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- 2021-05-10 发布
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2011年云南省昆明市中考数学试卷
参考答案与试卷解读
一、选择题(每小题3分,满分27分)
1.(3分)(2011•昆明)昆明小学1月份某天的气温为5℃,最低气温为﹣1℃,则昆明这天的气温差为( )
A.
4℃
B.
6℃
C.
﹣4℃
D.
﹣6℃
考点:
有理数的减法.
专题:
应用题.
分析:
依题意,这天的温差就是最高气温与最低气温的差,列式计算.
解答:
解:这天的温差就是最高气温与最低气温的差,
即5﹣(﹣1)=5+1=6℃.
故选B.
点评:
本题主要考查有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数.这是需要熟记的内容.
2.(3分)(2011•昆明)如图是一个由相同的小正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单组合体的三视图.
专题:
几何图形问题.
分析:
找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
解答:
解:从正面看易得第一层有2个正方形,第二层和第三层左上都有1个正方形.
故选D.
点评:
本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
3.(3分)(2011•昆明)据2010年全国第六次人口普查数据公布,云南省常住人口为45966239人,45966239用科学记数法表示且保留两个有效数字为( )
A.
4.6×107
B.
4.6×106
C.
4.5×108
D.
4.5×107
考点:
科学记数法与有效数字.
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于1 048 576有7位,所以可以确定n=7﹣1=6.
有效数字的计算方法是:从左边第一个不是0的数字起,后面所有的数字都是有效数字.
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关,与10的多少次方无关.
解答:
解:45 966 239=4.5966239×107≈4.6×107.
故选A.
点评:
本题考查科学记数法的表示方法,以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.
4.(3分)(2011•昆明)小明在九年级进行的六次数学测验成绩如下(单位:分):76、82、91、85、84、85,则这次数学测验成绩的众数和中位数分别为( )
A.
91,88
B.
85,88
C.
85,85
D.
85,84.5
考点:
众数;中位数.
分析:
根据众数的定义:出现次数最多的数,中位数定义:把所有的数从小到大排列,位置处于中间的数,即可得到答案.
解答:
解:众数出现次数最多的数,85出现了2次,次数最多,所以众数是:85,
把所有的数从小到大排列:76,82,84,85,85,91,位置处于中间的数是:84,85,因此中位数是:(85+84)÷2=84.5,
故选:D.
点评:
此题主要考查了众数与中位数的意义,关键是正确把握两种数的定义,即可解决问题.
5.(3分)(2011•昆明)若x1,x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根,则x1+x2与x1•x2的值分别是( )
A.
﹣,﹣2
B.
﹣,2
C.
,2
D.
,﹣2
考点:
根与系数的关系.
专题:
推理填空题.
分析:
根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣,x1•x2=,代入即可求出答案.
解答:
解:2x2﹣7x+4=0,
x1+x2=﹣=,x1•x2==2.
故选C.
点评:
本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握,能熟练地运用根与系数的关系进行计算是解此题的关键.
6.(3分)(2011•昆明)下列各式运算中,正确的是( )
A.
3a•2a=6a
B.
=2﹣
C.
D.
(2a+b)(2a﹣b)=2a2﹣b2
考点:
实数的性质;单项式乘单项式;多项式乘多项式;二次根式的加减法.
分析:
根据单项式乘单项式法则、绝对值的性质、二次根式的减法法则、平方差公式进行计算排除.
解答:
解:A、3a•2a=6a2,故本选项错误;
B、根据负数的绝对值是它的相反数,故本选项正确;
C、原式=4﹣=2,故本选项错误;
D、根据平方差公式,得原式=4a2﹣b2,故本选项错误.
故选B.
点评:
此题综合考查了单项式的乘法法则、多项式的乘法公式、二次根式的加减法则以及绝对值的化简计算.
7.(3分)(2011•昆明)如图,在▱ABCD中,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是( )
A.
AB=BC
B.
AC⊥BD
C.
BD平分∠ABC
D.
AC=BD
考点:
菱形的判定;平行四边形的性质.
分析:
根据菱形的判定定理,即可求得答案.注意排除法的应用.
解答:
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴A、当AB=BC时,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,可得▱ABCD是菱形,故本选项正确;
B、当AC⊥BD时,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可得▱ABCD是菱形,故本选项正确;
C、当BD平分∠ABC时,易证得AB=AD,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,可得▱ABCD是菱形,故本选项正确;
由排除法可得D选项错误.
故选D.
点评:
此题考查了菱形的判定.熟记判定定理是解此题的关键.
8.(3分)(2011•昆明)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
b2﹣4ac<0
B.
abc<0
C.
D.
a﹣b+c<0
考点:
二次函数图象与系数的关系.
专题:
压轴题.
分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:由抛物线的开口向下知a<0,
与y轴的交点为在y轴的正半轴上,
∴c>0,
对称轴为y轴,即 <﹣1,
A、应为b2﹣4ac>0,故本选项错误;
B、abc>0,故本选项错误;
C、即 <﹣1,故本选项正确;
D、x=﹣1时函数图象上的点在第二象限,所以a﹣b+c>0,故本选项错误.
故选C.
点评:
本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定交点,难度适中.
9.(3分)(2011•昆明)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点,垂足为E,则sin∠CAD=( )
A.
B.
C.
D.
考点:
锐角三角函数的定义;线段垂直平分线的性质;勾股定理.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
设AD=x,则CD=x﹣3,在直角△ACD中,运用勾股定理可求出AD、CD的值,即可解答出;
解答:
解:设AD=x,则CD=x﹣3,
在直角△ACD中,(x﹣3)2+=x2,
解得,x=4,
∴CD=4﹣3=1,
∴sin∠CAD==;
故选A.
点评:
本题考查了线段垂直平分线的性质定理及勾股定理的运用,求一个角的正弦值,可将其转化到直角三角形中解答.
二、填空题(每题3分,满分18分.)
10.(3分)(2011•昆明)当x ≥5 时,二次根式有意义.
考点:
二次根式有意义的条件.
专题:
计算题.
分析:
根据二次根式的性质意义,被开方数大于等于0,就可以求解.
解答:
解:根据题意知:x﹣5≥0,
解得,x≥5.
故答案是:x≥5.
点评:
考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
11.(3分)(2011•昆明)如图,点D是△ABC的边BC延长线上的一点,∠A=70°,∠ACD=105°,则∠B= 35° .
考点:
三角形的外角性质.
专题:
计算题.
分析:
由∠A=70°,∠ACD=105°,根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A,则∠B=∠ACD﹣∠A,然后代值计算即可.
解答:
解:∵∠ACD=∠B+∠A,
而∠A=70°,∠ACD=105°,
∴∠B=105°﹣70°=35°.
故答案为35°.
点评:
本题考查了三角形的外角定理:三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和.
12.(3分)(2011•昆明)若点P(﹣2,2)是反比例函数y=的图象上的一点,则此反比例函数的解读式为 y=﹣.
考点:
待定系数法求反比例函数解读式.
专题:
函数思想.
分析:
将点P(﹣2,2)代入反比例函数y=,求得k值,即利用待定系数法求反比例函数的解读式.
解答:
解:根据题意,得
2=,
解得,k=﹣4.
故答案是:y=﹣.
点评:
本题考查了待定系数法求反比例函数的解读式.解答该题时,借用了反比例函数图象上点的坐标特征.
13.(3分)(2011•昆明)计算:= a .
考点:
分式的混合运算.
分析:
首先对括号内的式子通分相减,然后把除法转化为乘法,约分计算即可.
解答:
解:原式=(+)•
=•
===a.
故答案是:a
点评:
本题主要考查分式的混合运算,通分、因式分解和约分是解答的关键.
14.(3分)(2011•昆明)如图,在△ABC中,∠C=120°,AB=4cm,两等圆⊙A与⊙B外切,则图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为cm2.(结果保留π).
考点:
扇形面积的计算;三角形内角和定理;等腰三角形的判定与性质;相切两圆的性质.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
根据等圆的性质得出AD=BD,根据CD⊥AB求出∠A、∠B的度数,根据扇形的面积公式求出即可.
解答:
解:∵两等圆⊙A与⊙B外切,
∴AD=BD=AB=2,
∵∠C=120°
∴∠CAB+∠CBA=60°
设∠CAB=x°,∠CBA=y°
则x+y=60
∴图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为+===π,
故答案为:π.
点评:
本题主要考查对三角形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,扇形的面积公式,相切两圆的性质等知识点的理解和掌握,正确利用扇形的面积公式是解此题的关键.
15.(3分)(2011•昆明)某公司只生产普通汽车和新能源汽车,该公司在去年的汽车产量中,新能源汽车占总产量的10%,今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响,计划将普通汽车的产量减少10%,为保持总产量与去年相等,那么今年新能源汽车的产量应增加的百分数为 90% .
考点:
一元一次方程的应用.
专题:
压轴题.
分析:
这是一道关于和差倍分问题的应用题,设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%,解这道的关键是根据“为保持总产量与去年相等”,而去年的总量未知,可以设为参数a,就可以表示出去年普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a和10%a,而几年的普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a(1﹣10%)和10%a(1+x%).就可以根据等量关系列出方程.
解答:
解:设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x%,去年的总产量为a,由题意,得
90%a(1﹣10%)+10%a(1+x%)=a,
解得:x=90.
故答案为:90%.
点评:
本题考查了一元一次方程的运用.要求学生能熟练地掌握例一元一次方程解应用题的步骤.解一元一次方程的关键是找到等量关系.
三、简答题(共10题,满分75.)
16.(5分)(2011•昆明)计算:.
考点:
实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.
专题:
计算题.
分析:
根据二次根式、负指数幂、零指数幂的性质进行化简,然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案.
解答:
解:原式=2+2﹣1﹣1=2.
点评:
本题主要考查了二次根式、负指数幂、零指数幂的性质及实数运算法则,比较简单.
17.(6分)(2011•昆明)解方程:.
考点:
解分式方程.
分析:
观察可得最简公分母是(x﹣2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
解答:
解:方程的两边同乘(x﹣2),得
3﹣1=x﹣2,
解得x=4.
检验:把x=4代入(x﹣2)=2≠0.
∴原方程的解为:x=4.
点评:
本题考查了分式方程的解法:(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
18.(5分)(2011•昆明)在▱ABCD中,E,F分别是BC、AD上的点,且BE=DF.求证:AE=CF.
考点:
平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
根据平行四边形的性质得出AB=CD,∠B=∠D,根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案.
解答:
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF,
∴AE=CF.
点评:
本题主要考查对平行四边形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键.
19.(7分)(2011•昆明)某校在八年级信息技术模拟测试后,八年级(1)班的最高分为99分,最低分为40分,课代表将全班同学的成绩(得分取整数)进行整理后分为6个小组,制成如下不完整的频数分布直方图,其中39.5~59.5的频率为0.08,结合直方图提供的信息,解答下列问题:
(1)八年级(1)班共有 50 名学生;
(2)补全69.5~79.5的直方图;
(3)若80分及80分以上为优秀,优秀人数占全班人数的百分比是多少?
(4)若该校八年级共有450人参加测试,请你估计这次模拟测试中,该校成绩优秀的人数大约有多少人?
考点:
频数(率)分布直方图;用样本估计总体.
分析:
(1)由图知:39.5~59.5的学生共有4人,根据频率=可得到答案;
(2)首先求出)69.5~79.5的频数,再画图.
(3)80分及80分以上的人数为:18+8=26,再用×100%=百分比可得答案.
(4)利用样本估计总体即可解决问题.
解答:
解:(1)4÷0.08=50,
(2)69.5~79.5的频数为:50﹣2﹣2﹣8﹣18﹣8=12,如图:
(3)×100%=52%,
(4)450×52%=234(人),
答:优秀人数大约有234人.
点评:
此题主要考查了看频数分布直方图,用样本估计总体,中考中经常出现,读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
20.(7分)(2011•昆明)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示,请解答下列问题:
(1)将△ABC向下平移3个单位长度,得到△A1B1C1,画出平移后的△A1B1C1;
(2)将△ABC绕点O顺时针方向旋转180°,得到△A2B2C2,画出旋转后的△A2B2C2,并写出A2点的坐标.
考点:
作图-旋转变换;作图-平移变换.
专题:
作图题.
分析:
(1)将三角形的各点分别向下平移3个单位,然后顺次连接即可得出平移后的△A1B1C1;
(2)根据题意所述的旋转角度、旋转中心及旋转方向依次找到各点旋转后的对应点,然后顺次连接即可得出旋转后的△A2B2C2,结合直角坐标系可写出A2点的坐标.
解答:
解:(1)所画图形如下:
(2)所画图形如下:
∴A2点的坐标为(2,﹣3).
点评:
本题考查了平移作图及旋转作图的知识,难度一般,解答此类题目的关键是掌握旋转及平移的特点,然后根据题意找到各点的对应点,然后顺次连接即可.
21.(7分)(2011•昆明)如图,在昆明市轨道交通的修建中,规划在A、B两地修建一段地铁,点B在点A的正东方向,由于A、B之间建筑物较多,无法直接测量,现测得古树C在点A的北偏东45°方向上,在点B的北偏西60°方向上,BC=400m,请你求出这段地铁AB的长度.(结果精确到1m,参考数据:,≈1.732)
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题.
专题:
几何综合题;压轴题.
分析:
过点C作CD⊥AB于D,则由已知求出CD和BD,也能求出AD,从而求出这段地铁AB的长度.
解答:
解:过点C作CD⊥AB于D,由题意知:
∠CAB=45°,∠CBA=30°,
∴CD=BC=200(m),
BD=CB•cos(90°﹣60°)=400×=200(m),
AD=CD=200(m),
∴AB=AD+BD=200+200≈546(m),
答:这段地铁AB的长度为546m.
点评:
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,可通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到直角三角形中,有公共直角边的可利用这条边进行求解.
22.(8分)(2011•昆明)小昆和小明玩摸牌游戏,游戏规则如下:有3张背面完全相同,牌面标有数字1、2、3的纸牌,将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上,随机抽出一张,记下牌面数字,放回后洗匀再随机抽出一张.
(1)请用画树形图或列表的方法(只选其中一种),表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果;
(2)若规定:两次抽出的纸牌数字之和为奇数,则小昆获胜,两次抽出的纸牌数字之和为偶数,则小明获胜,这个游戏公平吗?为什么?
考点:
游戏公平性;列表法与树状图法.
分析:
(1)根据题意直接列出树形图或列表即可;
(2)游戏是否公平,关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会,本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等,求出概率比较,即可得出结论.
解答:
解:(1)
(2)不公平.
理由:因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况:
1+1=2;2+1=3;3+1=4;1+2=3;2+2=4;3+2=5;1+3=4;2+3=5;3+3=6共9种情况,
其中5个偶数,4个奇数.
即小昆获胜的概率为,而小明的概率为,
∴>,
∴此游戏不公平.
点评:
本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
23.(9分)(2011•昆明)A市有某种型号的农用车50辆,B市有40辆,现要将这些农用车全部调往C、D两县,C县需要该种农用车42辆,D县需要48辆,从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元,从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元.
(1)设从A市运往C县的农用车为x辆,此次调运总费为y元,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若此次调运的总费用不超过16000元,有哪几种调运方案?哪种方案的费用最小?并求出最小费用?
考点:
一次函数的应用.
专题:
压轴题;函数思想.
分析:
(1)由已知用x表示出各种情况的费用,列出函数关系式,化简即得.根据已知列出不等式组求解.
(2)根据(1)得出的函数关系,由此次调运的总费用不超过16000元,计算讨论得出答案.
解答:
解:(1)从A市运往C县的农用车为x辆,此次调运总费为y元,根据题意得:
y=300x+200(42﹣x)+150(50﹣x)+250(x﹣2),
即y=200x+15400,
所以y与x的函数关系式为:y=200x+15400.
又∵,
解得:2≤x≤42,且x为整数,
所以自变量x的取值范围为:2≤x≤42,且x为整数.
(2)∵此次调运的总费用不超过16000元,
∴200x+15400≤16000
解得:x≤3,
∴x可以取:2或3,
方案一:从A市运往C县的农用车为2辆,从B市运往C县的农用车为40辆,从A市运往D县的农用车为48辆,从B市运往D县的农用车为0辆,
方案二:从A市运往C县的农用车为3辆,从B市运往C县的农用车为39辆,从A市运往D县的农用车为47辆,从B市运往D县的农用车为1辆,
∵y=200x+15400是一次函数,且k=200>0,y随x的增大而增大,
∴当x=2时,y最小,即方案一费用最小,
此时,y=200×2+15400=15800,
所以最小费用为:15800元.
点评:
此题考查的知识点是一次函数的应用,关键是使学生真切地感受到“数学来源于生活”,体验到数学的“有用性”.这样设计体现了《新课程规范》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式.
24.(9分)(2011•昆明)如图,已知AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,过点E的直线EF与AB的延长线交于点F,AC⊥EF,垂足为C,AE平分∠FAC.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)∠F=30°时,求的值.
考点:
切线的判定与性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
专题:
几何综合题;压轴题.
分析:
(1)连接OE,根据角平分线的性质和等边对等角可得出OE∥AC,则∠OEF=∠ACF,由AC⊥EF,则∠OEF=∠ACF=90°,从而得出OE⊥CF,即CF是⊙O的切线;
(2)由OE∥AC,则△OFE∽△AFC,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方,从而得出的值.
解答:
(1)证明:连接OE,
∵AE平分∠FAC,
∴∠CAE=∠OAE,
又∵OA=OE,∠OEA=∠OAE,∠CAE=∠OEA,
∴OE∥AC,
∴∠OEF=∠ACF,
又∵AC⊥EF,
∴∠OEF=∠ACF=90°,
∴OE⊥CF,
又∵点E在⊙O上,
∴CF是⊙O的切线;
(2)解:∵∠OEF=90°,∠F=30°,
∴OF=2OE
又OA=OE,
∴AF=3OE,
又∵OE∥AC,
∴△OFE∽△AFC,
∴==,
∴=,
∴=.
点评:
本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理,是基础知识要熟练掌握.
25.(12分)(2011•昆明)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.
(1)求AC、BC的长;
(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似,请说明理由;
(4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小?若存在,求出最小周长;若不存在,请说明理由.
考点:
相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;勾股定理.
专题:
压轴题;动点型.
分析:
(1)由在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,设AC=4y,BC=3y,由勾股定理即可求得AC、BC的长;
(2)分别从当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H与当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′去分析,首先过点Q作AB的垂线,利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高,则可求得y与x的函数关系式;
(3)由PQ⊥AB,可得△APQ∽△ACB,由相似三角形的对应边成比例,求得△PBQ各边的长,根据相似三角形的判定,即可得以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似;
(4)由x=5秒,求得AQ与AP的长,可得PQ是△ABC的中位线,即可得PQ是AC的垂直平分线,可得当M与P重合时△BCM得周长最小,则可求得最小周长的值.
解答:
解:(1)设AC=4ycm,BC=3ycm,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即:(4y)2+(3y)2=102,
解得:y=2,
∴AC=8cm,BC=6cm;
(2)①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H,
∵AP=xcm,
∴BP=(10﹣x)cm,BQ=2xcm,
∵△QHB∽△ACB,
∴,
∴QH=xcm,
y=BP•QH=(10﹣x)•x=﹣x2+8x(0<x≤3),
②当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′,
∵AP=xcm,
∴BP=(10﹣x)cm,AQ=(14﹣2x)cm,
∵△AQH′∽△ABC,
∴,
即:=,
解得:QH′=(14﹣2x)cm,
∴y=PB•QH′=(10﹣x)•(14﹣2x)=x2﹣x+42(3<x<7);
∴y与x的函数关系式为:y=;
(3)∵AP=xcm,AQ=(14﹣2x)cm,
∵PQ⊥AB,
∴△APQ∽△ACB,
∴=,
即:=,
解得:x=,PQ=,
∴PB=10﹣x=cm,
∴==≠,
∴当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似;
(4)存在.
理由:∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4cm,AP=x=5cm,
∵AC=8cm,AB=10cm,
∴PQ是△ABC的中位线,
∴PQ∥BC,
∴PQ⊥AC,
∴PQ是AC的垂直平分线,
∴PC=AP=5cm,
∵AP=CP,
∴AP+BP=AB,
∴AM+BM=AB,
∴当点M与P重合时,△BCM的周长最小,
∴△BCM的周长为:MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm.
∴△BCM的周长最小值为16cm.
点评:
本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理,以及最短距离问题.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.