3月中考数学一轮复习精品讲义含2011中考真题一元二次方程 31页

第二十二章 一元二次方程 本章小结 小结 1 本章概述 本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般 形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方 法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次 的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因 式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数 学综合问题等。一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方 法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有 一定的比例. 小结 2 本章学习重难点 【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为 0 这一前提条件，掌 握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法. 【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一 元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二 次方程根的判别式的应用. 小结 3 学法指导 1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量 关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式. 2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法—— 直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范化地表达方程思想 和方程知识的过程. 3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学， 思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一 步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”. 4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义， 并根据具体问题检验解的合理性. 5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题 的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关 系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用. 知识网络结构图 专题总结及应用 一、知识性专题 专题 1 一元二次方程的定义 【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为 0，不要忽略 某些题目中的隐含条件. 例 1 已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值. 分析 依题意可知 m－1≠0 与|m|+1＝2 必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的 m 的值即可. 解：依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得 m＝±1， 又∵m－1≠0，∴m≠1， 故 m＝－1. 【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系 数应为非零数这一隐含条件要注意. 专题 2 一元二次方程的解法 【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、 配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法. 例 2 用配方法解一元二次方程 2x2+1＝3 x. 分析 本题考查配方法解方程的步骤. 解：移项，得 2x2－3 x＝－1， 二次项系数化为 1，得 配方，得 由此可得 【解题策略】在二次系数为 1 的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方. 例 3 一元二次方程 3x2－x＝0 的解是（ ） A.x＝0 B.x1＝0，x2＝3 C. D. 2 3 1 ,2 2x x− = − 23 1( ) .4 16x − = 1 2 3 1 1, 1, .4 4 2x x x− = ± ∴ = = 1 2 10, 3x x= = 1 3x = 一元二次 方程 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未 知数的最高次数是 2（二次）的方程为一元二次方程 解法（降次） 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 2 2 2 4 0 4 0 4 b ac b ac b ac  − ⇔  − ⇔  − ⇔ ＞ 方程有两个不相等的实数根 ＝ 方程有两个相等的实数根 ＜ 方程无实数根 应用一元二次方程解决实际问题    步骤 实际问题的答案 分析 根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为 x(3x－1)＝0，易求出 x＝0 或 3x －1＝0，问题得解.故选 C. 【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为 0 的形式，可采用因式分解法来解方程. 例 4 解方程 x2－2x－2＝0. 分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解. 解法 1：∵a＝1，b＝－2，c＝－2， ∴b2－4ac＝（－2）2－4×1×（－2）＝12， ∴x＝ 解法 2：移项，得 x2－2x＝2， 配方得 x2－2x+1＝3， 即（x－1）2＝3，∴x－1＝ ，∴ 【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法. 专题 3 与方程的根有关的问题 【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判 别式相联系的问题. 例 5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中： 方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2－6x＝0 x2－5x+4＝0 x2+3x－10＝0 （1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？ （2）一般地，对于关于 x 的方程 x2+px+q＝0（p，q 为常数，且 p2－4q≥0）来说，是 否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备， 请举出反例. 分析 这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观 察，能发现一元二次方程的根与系数的关系. 解：填表如下： 方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2－6x＝0 0 6 6 0 x2－5x+4＝0 1 4 5 4 x2+3x－10＝0 －5 2 －3 －10 （1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之 积等于常数项. （2）对方程 x2+px+q＝0（p，q 为常数，且 p2－4q≥0）来说也具备同样的规律. 设方程 x2+px+q＝0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2＝－p，x1·x2＝q， 理由如下： ∵p2－4q≥0，∴方程 x2+px+q＝0 有两个实数根， 2 4 ( 2) 12 1 3,2 2 b b ac a − ± − − − ±= = ± 1 21 3, 1 3.x x= + = − 3± 1 21 3, 1 3.x x= + = − ∴ ∴x1+x2＝ x1·x2＝ ＝ 即 x1+x2＝－p，x1·x2＝q. 例 6 若 a 是关于 x 的方程 x2+bx+a＝0 的根，且 a≠0，则由此可得求得下列代数式的值 恒为常数的是（ ） A.ab B. C.a+b D.a－b 分析 此题应由根的意义入手，将 a 代入方程等得到关于 a，b 的一个方程，再通过因 式分解进行求解.把 x＝a 代入方程 x2+bx+a＝0，得 a2+ab+a＝0，∴a(a+b+1)＝0，又∵a≠0，∴ a+b+1＝0，即 a+b＝－1.故选 C. 【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思 想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题. 专题 4 一元二次方程的应用 【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而 列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍. 例 7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005 年市 政府对农牧区校舍改造的投入资金是 5786 万元，2007 年校舍改造的投入资金是 8050.9 万元， 若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为 x，则根据题意列方程得 . 分析 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金 的年平均增长率为 x，则 2006 年投入资金是 5786（1+x）万元，2007 年的投入资金是 5786 （1+x）2 万元，故所求方程为 5786（1+x）2＝8058.9. 【解题策略】有关增长率问题的常用公式为 a（1+x）n＝b（n 为正整数）. 二、规律方法专题 专题 5 一元二次方程的解法技巧 【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特 殊的方法. 1.换元法 例 8 如果（2m+2n+1）（2m+2n－1）＝63，那么 m+n 的值是 . 分析 把 m+n 看做一个整体求解.设 m+n＝x，则原方程化为（2x+1）（2x－1）＝63， 整理，得 4x2＝64，解得 x＝±4，∴m+n＝±4.故填±4. 例 9 解方程（3x+2）2－8（3x+2）+15＝0. 分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但 都比较麻烦，观察题目的结构可知把 3x+2 看做一个整体，设为 t，则原方程就可化成关于 未知数 t 的一元二次方程. 2 2 1 2 4 4, ,2 2 p p q p p qx x − + − − − −= = 2 24 4 2 ,2 2 2 p p q p p q p p − + − − − − −+ = = − 2 24 4 2 2 p p q p p q− + − − − −• 2 2 2 2 2( ) ( 4 ) ( 4 ) 4 4 4 4 p p q p p q q q − − − − −= = = ， b a 解：设 3x+2＝t，原方程化为 t2－8t+15＝0， ∴t1＝3，t2＝5. 当 t＝3 时，3x+2＝3，∴x＝ ； 当 t＝5 时，3x+2＝5，∴x＝1. ∴原方程的根为 x1＝ ，x2＝1. 【解题策略】 本题也可直接分解为[(3x+2)－3][ (3x+2)－5]＝0，即（3x－1）（3x－ 3）＝0，用因式分解法解得 x1＝ ，x2＝1. 例 10 解方程（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）＝44. 分析 解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次 方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方 程的右边为 0）. 解：原方程转化为（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）－44＝0， [（x+2）（x－4）][ （x+3）（x－5）] －44＝0， （x2－2x－8）（x2－2x－15）－44＝0， 令 x2－2x＝y，则原方程化为（y－8）（y－15）－44＝0， ∴y2－23y+76＝0， ∴y1＝4，y2＝19. 当 y＝4 时，x2－2x＝4，∴ 当 y＝19 时，x2－2x＝19，∴ ∴原方程的根是 2.配方法 例 11 先用配方法说明：无论 x 取何值，代数式 x2－6x+10 的值部大于 0；再求出当 x 取何值时，代数式 x2－6x+10 的值最小，最小值是多少. 解：x2－6x+10＝x2－6x+32+（10－32）＝（x－3）2+1. ∵（x－3）2≥0，∴（x－3）2+1＞0， ∴无论 x 取何值，代数式 x2－6x+10 的值部大于 0. 当 x－3＝0，即 x＝3 时，(x2－6x+10)最小＝1. 例 12 若实数 m，n，p 满足 m－n＝8，mn+p2+16＝0，则 m+n+p 的值为（ ） A.－1 B. 0 C.1 D.2 分析 本题有三个未知数 m，n，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由 m－n ＝8，得 m＝n+8，将 m＝n+8 代入 mn+p2+16＝0 中，得 n(n－8)+p2+16＝0，∴n2+8n+16+p2 ＝0，即（n+4）2+p2＝0，又∵（n+4）2≥0，p2≥0，且（n+4）2+p2＝0，∴ 故选 B. 3.构造法 1 3 1 3 1 3 1 21 5, 1 5;x x= + = − 3 41 2 5, 1 2 5.x x= + = − 1 21 5, 1 5;x x= + = − 3 41 2 5, 1 2 5.x x= + = − 4 0 0, n p + =  = ， 4, 4 ( 4) 0 0.0, n m n pp = − ∴ + + = + − + = = 解得 例 13 解方程 3x2+11x+10＝0. 解：原方程两边同时乘 3，得(3x)2+11×3x+30=0， ∴（3x+5）(3x+6)=0, ∴3x+5=0,或 3x+6=0， ∴ 4.特殊解法 例 14 解方程（x－1994）（x－1995）=1996×1997. 分析 观察方程可知 1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次 方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解. 解：方程组 的解一定是原方程的解， 解得 x=3991， 方程组 的解也一定是原方程的解， 解得 x=－2， ∵原方程最多只有两个实数解， ∴原方程的解为 x1=3991，x2=－2. 【解题策略】解本题也可采用换元法.设 x－1995=t，则 x－1994=t+1，原方程化为 t （t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或 t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当 t=－1997 时，x－1995=－1997，∴x=－2；当 t=1996 时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为 x1=－2，x2=3991. 三、思想方法专题 专题 6 建模思想 【专题解读】 建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等 量关系，通过解方程来解决实际问题. 例 15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的 降尘量从 50 吨下降到 40.5 吨，则平均每年下降的百分率是 . 分析 根据题意，设所求百分率为 x，则有 50（1－x） 2=40.5，解得 x1=1.9，x2=0.1， 而 1.9＞1，不合题意，舍去，故 x=0.1.故平均每年下降的百分率是 10%.故填 10%. 【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立 方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系. 2011 中考真题精选 一、选择题 1. （2011 新疆乌鲁木齐，8，4）关于 x 的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0 的一个根 是 0，则实数 a 的值为（　　） A、－1 B、0 C、1 D、－1 或 1 考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。 专题：常规题型。 分析：先把 x＝0 代入方程求出 a 的值，然后根据二次项系数不能为 0，把 a＝1 舍去． 解答：解：把 x＝0 代入方程得：|a|－1＝0，∴a＝±1， ∵a－1≠0，∴a＝－1． 1 2 5 , 2.3x x= − = − 1994 1997, 1995 1996 x x − =  − = 1994 1996, 1995 1997 x x − = −  − = − 故选 A． 点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到 a 的值，再由二次项系数 不为 0，确定正确的选项． 2. （2011 台湾，20，4 分）若一元二次方程式 ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝ 2 的两根为 0．2，则|3a＋4b|之值为何（　　） A．2 B．5 C．7 D．8 考点：解二元一次方程组；绝对值。 分析：先根据一元二次方程式 ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2 的根确定 a．b 的关系式．然后根据 a．b 的关系式得出 3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝 对值． 解答：解：将两根 0．2 分别代入 ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2 中计算 得 3a＋4b＝－5，所以|3a＋4b|＝5． 故选 B． 点评：此题考查了一元二次方程和二元一次方程及绝对值的运用． 3. （2011•台湾 31，4 分）关于方程式 88（x﹣2）2=95 的两根，下列判断何者正确（　　） A、一根小于 1，另一根大于 3 B、一根小于﹣2，另一根大于 2 C、两根都小于 0 D、两根都大于 2 考点：估算一元二次方程的近似解；解一元二次方程-直接开平方法。 分析：本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出 x1 和 x2 的值，再进 行估算即可得出结果． 解答：解：∵88（x﹣2）2=95， （x﹣2）2= ，x﹣2=± ，∴x=± +2， ∴x1= +2，∴x1＞3，∴x2=- +2，∴x2＜1．故选 A． 点评：本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏 掉方程根，这是解题的关键． 4. 6.某品牌服装原价 173 元，连续两次降价 后售价价为 127 元，下面所列方程中正确的 是（ ） A． B． C． D． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：增长率问题． 分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用 173（1－x%）表示第一 次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程． 解答：解：当商品第一次降价 x%时，其售价为 173－173x%＝173（1－x%）； 当商品第二次降价 x%后，其售价为 173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2． ∴173（1－x%）2＝127． 故选 C． 点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根 据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于 127 即可． 5. （2011 甘肃兰州，19，4 分）关于 x 的方程 的解是 x1=－2，x2=1（a， 88 95 88 95 88 95 88 95 88 95 0 0x ( )20 0173 1 127x+ = ( )0 0173 1 2 127x− = ( )20 0173 1 127x− = ( )20 0127 1 173x+ = 2( ) 0a x m b+ + = m，b 均为常数，a≠0），则方程 的解是 . 考点：一元二次方程的解. 分析：直接由向左平移加，向右平移减可得出 x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1． 解答：解：∵关于 x 的方程 a（x+m）2+b=0 的解是 x1=﹣2，x2=1，（a，m，b 均为常 数，a≠0），∴则方程 a（x+m+2）2+b=0 的解是 x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．故答案为： x1=﹣4，x2=﹣1． 点评：此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算． 6.（2011•湖南张家界，5，3）已知 1 是关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0 的一个根， 则 m 的值是（　　） A、1 B、﹣1 C、0 D、无法确定 考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。 分析：把 x=1 代入方程，即可得到一个关于 m 的方程，即可求解． 解答：解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0， 解得：m=﹣1． 故选 B． 点评：本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键． 7. （2011 甘肃兰州，1，4 分）下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 考点：一元二次方程的定义． 分析：一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答 案． 解答：解：A，由原方程，得 x4+1=0，未知数的最高次数是 4；故本选项错误； B，当 a=0 时，即 ax2+bx+c=0 的二次项系数是 0 时，该方程就不是一元二次方程；故本选 项错误；C，由原方程，得 x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D，方程 3x2-2xy-5y2=0 中含有两个未知数；故本选项错误．故选 C． 点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否 是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 8. （2011 黑龙江省哈尔滨,5，3 分）若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x 2﹣mx+8=0 的一个 解．则 m 的值是（　　） A.6 B.5 C.2 D.﹣6 考点：一元二次方程的解。 分析：先把 x 的值代入方程即可得到一个关于 m 的方程，解一元一方程即可． 解答：解：把 x=2 代入方程得：4﹣2m+8=0， 解得 m=6． 故选 A． 点评：本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握． 2( 2) 0a x m b+ + + = 2 2 1 0x x + = 2 0ax bx c+ + = ( 1)( 2) 1x x− + = 2 23 2 5 0x xy y− − = 二、填空题 1. （2011 江苏镇江常州，12，3 分）已知关于 x 的方程 x2+mx﹣6=0 的一个根为 2，则 m=　 1　，另一个根是　﹣3　． 考点：一元二次方程的解；根与系数的关系． 专题：方程思想． 分析：根据一元二次方程的解定义，将 x=2 代入关于 x 的方程 x2+mx﹣6=0，然后解关于 m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系 x1+x2=﹣ 解出方程的另一个根． 解答：解：根据题意，得 4+2m﹣6=0，即 2m﹣2=0， 解得，m=1； 由韦达定理，知 x1+x2=﹣m； ∴2+x2=﹣1， 解得，x2=﹣3． 故答案是：1．﹣3． 点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系 x1+x2=﹣ ．x1•x2= 来计算时，要弄清楚 a．b．c 的意义． 2. （2011 山东滨州，14，4 分）若 x=2 是关于 x 的方程 的一个根，则 a 的值为______. 【考点】一元二次方程的解． 【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把 x=2 代入方程，即可 得到一个关于 a 的方程，即可求得 a 的值． 【解答】解：把 x=2 代入方程 x2-x-a2+5=0 得： 4-2-a2+5=0， 解得：a=± ． 故答案为：± ． 【点评】本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容． 3. （2011 梧州，15，3 分）一元二次方程 x2+5x+6=0 的根是　x1=﹣2，x2=﹣3　． 考点：解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程。 专题：计算题。 分析：分解因式得到 x+2）（x+3）=0，推出 x+2=0，x+3=0，求出方程的解即可． 解答：解：x2+5x+6=0， 分解因式得：（x+2）（x+3）=0， 即 x+2=0，x+3=0， 解方程得：x1=﹣2，x2=﹣3． 故答案为：x1=﹣2，x2=﹣3． 点评：本题主要考查对等式的性质，解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的理解和掌 握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 一、选择题 b a b a c a 2 2 5 0x x a− − + = 7 7 1. （2011 四川凉山，6，4 分）某品牌服装原价 173 元，连续两次降价 后售价价为 127 元，下面所列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：增长率问题． 分析：根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用 173（1－x%）表示 第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程． 解答：解：当商品第一次降价 x%时，其售价为 173－173x%＝173（1－x%）； 当商品第二次降价 x%后，其售价为 173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2． ∴173（1－x%）2＝127． 故选 C． 点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价， 再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于 127 即可． 2. （2011•台湾 20，4 分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网 格线的交点上，若灰色三角形面积为 平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（　　） A、11 B、12 C、13 D、14 考点：一元二次方程的应用。 专题：网格型。 分析：可设方格纸的边长是 x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角 形的面积，列出方程可求解． 解答：解：方格纸的边长是 x， x2﹣ •x• x﹣ • x• x﹣ •x• x= x2=12． 所以方格纸的面积是 12， 故选 B． 点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三 个三角形的面积得解． 3. （2011 甘肃兰州，11，4 分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班 其他同学各送一张留作纪念，全班共送了 2070 张相片，如果全班有 x 名学生，根据题意， 列出方程为（ ） 0 0x ( )20 0173 1 127x+ = ( )0 0173 1 2 127x− = ( )20 0173 1 127x− = ( )20 0127 1 173x+ = 4 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 3 2 1 4 1 4 21 A． B． C． D． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 分析：根据题意得：每人要赠送 x-1 张相片，有 x 个人，然后根据题意可列出方程． 解答：解：根据题意得：每人要赠送 x-1 张相片，有 x 个人，∴全班共送：（x-1） x=2070， 故选：A． 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送 x-1 张相片，有 x 个人是解决问题的关键． 4. （2011 贵州毕节，10，3 分）广州亚运会期间，某纪念品原价 168 元，连续两次降价 后售价为 128 元，下列所列方程正确的是( ) A． B． C． D． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。专题：增长率问题。 分析：本题可先用 168（1﹣a%）表示第一次降价后某纪念品的售价，再根据题意表示 第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于 a 的方程． 解答：解：当某纪念品第一次降价 a%时，其售价为 168﹣168a%=168（1﹣a%）； 当某纪念品第二次降价 a%后，其售价为 168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%） 2．∴168（1﹣a%）2=128．故选 B． 点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根 据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于 128 即可． 5. （2011 广西百色，11，4 分）某工厂今年元月份的产量是 50 万元，3 月份的产值达到了 72 万元．若求 2、3 月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为 x，依题意可 列方程（　　） A．72（x+1）2=50 B．50（x+1）2=72 C．50（x﹣1）2=72 D．72（x﹣1）2=50 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：增长率问题． 分析：根据这两个月的产值平均月增长率为 x，则 2 月份的产值是 50（1+x），3 月份的产 值是 50（1+x）（1+x），从而列方程即可． 解答：解：根据题意，得 50（x+1）2=72． 故选 B． 点评：此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，此题中的等量关系是 3 月份的产值达 到了 72 万元． 6.（2011 湖北黄石，8,3 分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定 3 条 直线，若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线．则 n 的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 考点：一元二次方程的应用。 专题：规律型。 分析：这是个规律性题目，关键是找到不在同一直线上的 n 个点，可以确定多少条直线这个 %a 128%)1(160 2 =+ a 128%)1(160 2 =− a 128%)21(160 =− a 128%)1(160 =− a ( 1) 2070x x − = ( 1) 2070x x + = 2 ( 1) 2070x x + = ( 1) 20702 x x − = 规律，当有 n 个点时，就有 ，从而可得出 n 的值． 解答：解：设有 n 个点时， =21 n=7 或 n=﹣6（舍去）． 故选 C． 点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的 n 个点时，可确定多少条直线， 代入 21 可求出解． 二、填空题 1. （2011•宁夏，13，3 分）某商场在促销活动中，将原价 36 元的商品，连续两次降价 m% 后现价为 25 元．根据题意可列方程为　36（1﹣m%）2=25　． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。 专题：增长率问题。 分析：等量关系为：原价×（1﹣降低率）2=25，把相关数值代入即可． 解答：解：第一次降价后的价格为 36×（1﹣m%）， 第二次降价后的价格为 36×（1﹣m%）×（1﹣m%）=36×（1﹣m%）2， ∴列的方程为 36（1﹣m%）2=25． 故答案为：36（1﹣m%）2=25． 点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率 为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2=b． 2. （2011 山西，15，3 分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙 头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力． 2010 年全省全年旅游总收入大约 1000 亿元，如果到 2012 年全省全年旅游总收入要达到 1440 亿元，那么年平均增长率 应为__________． 考点：一元二次方程 专题：一元二次方程 分析：设年平均增长率应为 x，根据题意列方程 ，解得，检验即 可． 解答：20% 点评：增长率的基本关系式： ，其中 a 为原有量，b 为现有量，n 为增长的次 数，x 为增长率． 3. 某小区 2010 年屋顶绿化面积为 2000 平方米，计划 2012 年屋顶绿化面积要达到 2880 平 方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20%． 考点：一元二次方程的应用． 专题：增长率问题． 分析：本题需先设出这个增长率是 x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出 x 的值，即可得出答案． 解答：解：设这个增长率是 x，根据题意得： 2000×（1+x）2=2880 ( )21000 1 1440x+ = ( )1 na x b+ = 2 )1( −nn 2 )1( −nn 解得：x1=20%，x2=-220%（舍去） 故答案为：20%． 点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出 方程是本题的关键． 4. （2011 云南保山，13，3 分）据调查，某市 2011 年的房价为 4000 元/m2，预计 2013 年 将达到 4840 元/m2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为 x，根据题意，所列方程 为（ ） A．4000(1+x)=4840 B．4000(1+x)2=4840 C．4000(1-x)=4840 D．4000(1-x)2=4840 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。 专题：增长率问题。 分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出 2013 年的房价，而预计 2013 年将达到 4840 元/m2，故可得到一个一元二次方程． 解答：解：设年平均增长率为 x， 那么 2012 年的房价为：4000（1+x）， 2013 年的房价为：4000（1+x）2=4840． 故选 B． 点评：本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄 清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未 知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 5.（2011•青海）某种药品原价为 100 元，经过连续两次的降价后，价格变为 64 元，如果每 次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是　20%　． 考点：一元二次方程的应用。 专题：增长率问题。 分析：此题可设每次降价的百分率为 x，第一次降价后价格变为 100（1﹣x）元，第二次在 第一次降价后的基础上再降，变为 100（x﹣1）（x﹣1），即 100（x﹣1） 2 元，从而列出 方程，求出答案． 解答：解：设每次降价的百分率为 x，第二次降价后价格变为 100（1﹣x）2 元． 根据题意，得 100（1﹣x）2=64， 即（1﹣x）2=0.64， 解得 x1=1.8，x2=0.2． 因为 x=1.8 不合题意，故舍去， 所以 x=0.2． 即每次降价的百分率为 0.2，即 20%． 故答案为：20%． 点评：考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础， 另外还要注意解的取舍． 6. （2011 山东省潍坊， 16，3 分）已知线段 AB 的长为 ．以 AB 为边在 AB 的下方作正 方形 ACDB．取 AB 边上一点 E．以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AKNM．过 E 作 EF⊥ CD ． 垂 足 为 F 点 ． 若 正 方 形 AENM 与 四 边 形 EFDB 的 面 积 相 等 ． 则 AE 的 长 为 ________________． a 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题． 【分析】本题需先设出 AE 的长，从而得出 BE 的长，再根据题意列出方程，求出 x 的 值即可得出 AE 的长． 【解答】解：设 AE 的长为 x，则 BE 的长为 a-x 根据题意得：x2=（a-x）•a 解得：x= 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是 本题的关键． 7. （2011•山西 15，3 分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的 服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010 年全省全年旅游总收入大约 l000 亿元， 如果到 2012 年全省每年旅游总收入要达到 1440 亿元，那么年平均增长率应为　　． 考点：一元二次方程的应用。 专题：增长率问题。 分析：根据题意设年平均增长率为 x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 解答：解：设年平均增长率为 x， 则 1000（1+x）2=1440， 解得 x1=0.2 或 x2=﹣2.2（舍去）， 故年平均增长率为 20%； 故答案为 20%． 点评：本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给 出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题． 8. （2011 四川省宜宾市，15，3 分）某城市居民最低生活保障在 2009 年是 240 元，经过连 续两年的增加，到 2011 年提高到 345.6 元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率 是 . 考点：一元二次方程的应用． 分析：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，根据最低生活保障在 2009 年是 240 元，经过连续两年的增加，到 2011 年提高到 345.6 元，可列出方程求解． 5 1 2 a − 5 1 2 a − 答案：解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x， 240（1+x）2=345.6， 1+x=±1.2， x=20%或 x=-220%（舍去）． 故答案为：20%． 点评：本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为 240 元，两年变化后为 345.6 元，从而 求出解． 9. （2011•江苏宿迁，16，3）如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有 的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6m．若矩形的面积为 4m2，则 AB 的长度是　 　m （可利用的围墙长度超过 6m）． 考点：一元二次方程的应用。 专题：应用题；方程思想。 分析：设垂直墙的篱笆的长为 x，那么平行墙的篱笆长为（6﹣2x），（6﹣2x）和 x 就是鸡 场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解． 解答：解：设 AB 长为 x 米，则 BC 长为（6﹣2x）米． 依题意，得 x（6﹣2x）=4． 整理，得 x2﹣3x+2=0． 解方程，得 x1=1，x2=2．（3 分） 所以当 x=1 时，6﹣2x=4； 当 x=2 时，6﹣2x=2（不符合题意，舍去）． 答：AB 的长为 1 米． 故答案为：1． 点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题是用 6 米的篱笆围成三个边． 10. 某家用电器经过两次降价，每台零售价由 350 元下降到 299 元．若两次降价的百分率相 同，设这个百分率为 x，则可列出关于 x 的方程为 350×（1-x）2=299． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：增长率问题． 分析：设家用电器平均每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降 价的百分率），则第一次降价后的价格是 100（1-x），第二次后的价格是 100（1-x）2， 据此即可列方程求解． 解答：解：设降价的百分率为 x，根据题意列方程得 350×（1-x）2=299． 故答案为：350×（1-x）2=299． 点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出 方程是解决问题的关键．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 11. （2011 天水，14，4）如图（1），在宽为 20m，长为 32m 的矩形耕地上修建同样宽的 三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田 面积为 570m2，求道路宽为多少？设宽为 x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程 是　 　． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。 分析：设宽为 xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽， 从而根据面积可列出方程． 解答：解：设宽为 xm， （32﹣2x）（20﹣x）=570． 故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570． 点评：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且 能表示出长和宽，根据面积可列方程． 三、解答题 1. （2011 江苏镇江常州，26，7 分）某商店以 6 元/千克的价格购进某种干果 1140 千克，并 对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售 统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果 从开始销售至销售的第 x 天的总销量 y1（千克）与 x 的关系为 y1=﹣x2+40x；乙级干果从开 始销售至销售的第 t 天的总销量 y2（千克）与 t 的关系为 y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的 销售量的情况见下表： t 1 2 3 y2 21 44 69 （1）求 a．b 的值； （2）若甲级干果与乙级干果分别以 8 元/千克的 6 元/千克的零售价出售，则卖完这批干果 获得的毛利润是多少元？ （3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克？ （说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计） 考点：一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用． 专题：销售问题． 分析：（1）根据表中的数据代入后，y2=at2+bt，得到关于 a，b 的二元一次方程，从而可求 出解． （2）设干果用 n 天卖完，根据两个关系式和干果共有 1140 千克可列方程求解．然后用售价 ﹣进价，得到利润． （3）设第 m 天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克，从而可列出不等 式求解． 解答：解：（1）根据表中的数据可得 ． （2）甲级干果和乙级干果 n 天售完这批货． 21 44 4 2 a b a b = +  = + 1 20 a b =  = ﹣n2+4n+n2+20n=1140 n=19， 当 n=19 时，y1=399，y2=741， 毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元）． （3）设第 m 天甲级干果的销售量为﹣2m+19． （2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6 n≥7 第 7 天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克． 点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程方程组求出 a 和 b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解． 2. （2011 山东日照，20，8 分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加 快了廉租房的建设力度．2010 年市政府共投资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米，预 计到 2012 年底三年共累计投资 9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长 率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，求到 2012 年底共建设了多少万平方米廉租房． 考点：一元二次方程的应用。 专题：增长率问题。 分析：（1）设每年市政府投资的增长率为 x．根据到 2012 年底三年共累计投资 9.5 亿元人 民币建设廉租房，列方程求解； （2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果． 解答：解：（1）设每年市政府投资的增长率为 x，（1 分） 根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5， 整理，得：x2+3x﹣1.75=0，（3 分） 解之，得：x= ， ∴x1=0.5，x2=﹣3.5（舍去），（5 分） 答：每年市政府投资的增长率为 50%；（6 分） （2）到 2012 年底共建廉租房面积=9.5÷ =38（万平方米）．（8 分） 点评：主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为 a（1+x）n，其中 n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，x 是增长率． 3. （2011 四川广安，27，9 分）广安市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由 于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周 转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方 案以供选择：①打 9．8 折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种 方案更优惠？ 考点：一元二次方程的应用，增长（降低）率问题，方案选择问题． 专题：一元二次方程 、最优化方案问题． 分析：（1）设平价每次下调的百分率为 ，则第一次下调后的价格为 元， 第二次下调是在 元的基础上进行的，下调后的价格为 元， x ( )6000 1 x− ( )6000 1 x− ( )( )6000 1 1x x− − 2 75.1493 ×+±− 8 2 即 ，由此可列出一元二次方程求解． （2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断． 解答：（1）设平均每次下调的百分率 x，则 6000（1－x）2＝4860． 解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）． ∴平均每次下调的百分率 10%． （2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720 元 方案②可优惠：100×80＝8000 元． ∴方案①更优惠． 点评：对于平均增长（降低）率问题，应用公式 可直接列方程， 为增长 率（降低）前的基础数量， 为增长率（降低率）， 为增长（降低）的次数， 为增长 （降低）后的数量． 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． 4. （2011 新疆建设兵团，23，10 分）某商场推销一种书包，进价为 30 元，在试销中发现 这种书包每天的销售量 P（个）与每个书包销售价 x（元）满足一次函数关系式．当定 价为 35 元时，每天销售 30 个；定价为 37 元时，每天销售 26 个．问：如果要保证商场 每天销售这种书包获利 200 元，求书包的销售单价应定为多少元？ 考点：一元二次方程的应用；待定系数法求一次函数解析式． 分析：根据题意找出涨价和销售量的关系，然后根据利润 200 元列方程求解，设此时书包 的单价是 x 元． 解答：解：（30﹣26）÷（37﹣35）＝2，每涨价 1 元，少卖 2 个． 设此时书包的单价是 x 元． （x﹣30）[30﹣2（x﹣35）]＝200， x＝40． 故此时书包的单价是 40 元． 点评：本题考查理解题意的能力，关键看出涨价和销售量的关系，然后根据利润列方程求 解． 5. （2011•贵港）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地 进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008 年底该市汽车拥有量为 75 万辆，而截止到 2010 年底，该市的汽车拥有量已达 108 万辆． （1）求 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到 2012 年底全市汽车拥有量不超过 125.48 万辆；另据统计，从 2011 年初起，该市此后每年报废的 汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从 2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆． 考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用。 分析：（1）设 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 x，根据 2008 年底 该市汽车拥有量为 75 万辆，而截止到 2010 年底，该市的汽车拥有量已达 108 万辆可列方程 求解． （2）设从 2011 年初起每年新增汽车数量为 y 万辆，根据要求到 2012 年底全市汽车拥有量 不超过 125.48 万辆；另据统计，从 2011 年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽 车拥有量的 10%假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解． 解答：解：（1）设 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 x，…（2 分） 根据题意，75（1+x）2=108…（3 分） 1+x=±1.2 ( )26000 1 x− ( )1 na x b± = a x n b ∴x1=0.2=20% x2=﹣2.2（不合题意，舍去） …（4 分） 答：2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 20%．…（5 分） （2）设从 2011 年初起每年新增汽车数量为 y 万辆，由题意得：…（6 分） （108×0.9+y）×0.9+y≤125.48…（8 分） 解得 y≤20…（9 分） 答：从 2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过 20 万辆…（10 分） 点评：本题第一问考查的是一个增长率问题，知道 2008 年的辆数，知道 2010 年的辆数，发 生了两年变化，可列方程求解．第二问以汽车总量做为不等量关系，根据增加的和报废的， 可求出结果． 6.（2011•西宁）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从 2011 年 5 月 1 日起商 品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价 必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售，由于新政策的出台， 购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米 4050 元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以 供选择： ①打 9.8 折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月 1.5 元． 请问哪种方案更优惠？ 考点：一元二次方程的应用。 专题：增长率问题。 分析：（1）关系式为：原价×（1﹣降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的 解即可； （2）①费用为：总房价× ； ②费用为：总房价﹣2×12×1.5×平米数，把相关数值代入后求出解，比较即可． 解答：解：（1）设平均每次下调的百分率为 x． 5000×（1﹣x）2=4050． （1﹣x）2=0.81， ∵1﹣x=0.9， ∴x=0.1=10%， 答：平均每次下调的百分率为 10%； （2）方案一的总费用为：100×4050× =396900 元； 方案二的总费用为：100×4050﹣2×12×1.5×100=401400 元； ∴方案一优惠． 点评：主要考查了一元二次方程的应用；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键． 7. （2011 年山东省东营市，22，10 分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发 展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008 年底全市汽车拥有量为 15 万辆，而截止到 2010 年底，全市的汽车拥有量已达 21.6 万辆． （1）求 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从 2011 年初起，该市交通部门拟控制汽车总量， 要求到 2012 年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆；另据估计，该市从 2011 年起每年报 废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请 你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆． 考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用． 分析：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为 x，根据题意列出方程，不合题意的解， 舍去即可； （2）设全市每年新增汽车数量为 y 万两，则得出 2011 年底和 2012 年底全市的汽车拥有量， 从而列出不等式求解即可． 解答：解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为 x，根据题意得，15（1+x）2=21.6 解得 x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为 20%； （2）设全市每年新增汽车数量为 y 万两，则 2011 年底全市的汽车拥有量为 21.6×90%+y 万 两，2012 年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y）×90%+y 万两． 根据题意得：（21.6×90%+y）×90%+y≤23.196， 解得 y≤3， 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过 3 万两． 点评：本题考查了一元二次方程和不等式的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题 意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 8. （2011 山东淄博 23，分）已知：▱ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2﹣mx+ ﹣ =0 的两个实数根． （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么▱ABCD 的周长是多少？ 考点：一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质。 专题：应用题。 分析：（1）让根的判别式为 0 即可求得 m，进而求得方程的根即为菱形的边长； （2）求得 m 的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长． 解答：解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD， ∴△=0， m2﹣4（ ﹣ ）=0， （m﹣1）2=0， 解得 m=1， 当 m=1 时，原方程为 x2﹣x+ =0， 解得 x1=x2=0.5， ∴菱形的边长是 0.5cm； （2）把 AB=2 代入原方程得，m=2.5， 把 m=2.5 代入原方程得 x2﹣2.5x+1=0，解得 x1=2，x2=0.5， ∴▱ABCD 的周长=2×（2+0.5）=5cm． 点评：综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长 是解决本题的关键． 9.（2011 四川广安，27，9 分）广安市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由 2 m 1 4 2 m 1 4 1 4 于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周 转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方 案以供选择：①打 9．8 折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种 方案更优惠？ 考点：一元二次方程的应用，增长（降低）率问题，方案选择问题． 专题：一元二次方程 、最优化方案问题． 分析：（1）设平价每次下调的百分率为 ，则第一次下调后的价格为 元， 第二次下调是在 元的基础上进行的，下调后的价格为 元， 即 ，由此可列出一元二次方程求解． （2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断． 解答：（1）设平均每次下调的百分率 x，则 6000（1－x）2＝4860． 解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）． ∴平均每次下调的百分率 10%． （2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720 元 方案②可优惠：100×80＝8000 元． ∴方案①更优惠． 点评：对于平均增长（降低）率问题，应用公式 可直接列方程， 为增长率 （降低）前的基础数量， 为增长率（降低率）， 为增长（降低）的次数， 为增长（降 低）后的数量． 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． 10. （2011 年广西桂林，23，8 分）某市为争创全国文明卫生城，2008 年市政府对市区绿化 工程投入的资金是 2000 万元，2010 年投入的资金是 2420 万元，且从 2008 年到 2010 年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同. （1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率； （2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在 2012 年需投入多少万元？ 考点：一元二次方程的应用． 分析：（1）等量关系为：2008 年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长率）2=2010 年市政 府对市区绿化工程投入，把相关数值代入求解即可； （2）2012 年该市政府对市区绿化工程投入=2010 年市政府对市区绿化工程投入×（1+增长 率）2． 答案：23．（本题满分 8 分） 解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为 ， 根据题意得， 得 ， （舍去） 答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为 10﹪. （2）2012 年需投入资金： （万元） 答：2012 年需投入资金 2928.2 万元. 点评：考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 a，变化后的 量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2=b． 11.（2011 湖北黄石，20,8 分）解方程： ． x ( )6000 1 x− ( )6000 1 x− ( )( )6000 1 1x x− − ( )26000 1 x− ( )1 na x b± = a x n b x 22000(1 ) 2420x+ = 1 10%x = 2 2.1x = − 22420 (1 10%) 2928.2× + = 0)10553(|4| 222 =−−+−− yxyx 考点：高次方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。 专题：计算题。 分析：根据绝对值的性质以及数的偶次方的性质得出 x2﹣y2﹣4=0， ，进 而得出关于 x 的一元二次方程，求出 x，即可得出 y 的值． 解答：解：∵ ， ∴x2﹣y2﹣4=0， ， ∴由 ，得 ，代入 x2﹣y2﹣4=0 得： 整理得： ， 解得： ， ， 当 时 y1=1，当 时 y2=4． 点评：此题主要考查了高次方程的解法以及绝对值的性质以及数的偶次方性质，根据题意得 出关于 x 的一元二次方程是解决问题的关键． 12. （2011•恩施,23，）知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具 特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装 （上盖纸板面积刚好等于底面面积的 2 倍，如图） （1）实际运用：如果要求纸箱的高为 0.5 米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取 黄金比为 0.6），体积为 0.3 立方米． ①按方案 1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板 A1B1C1D1 的面积是多少平方米？ ②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案 2（如图）的菱形硬纸板 A2B2C2D2 做 一个纸箱比方案 1 更优，你认为呢？请说明理由． （2）拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉（1）中的纸箱 体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为 水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证． 010553 =−− yx 0)10553(|4| 222 =−−+−− yxyx 010553 =−− yx 010553 =−− yx 25 53 −= xy 04)25 53( 22 =−−− xx 010532 =+− xx 51 =x 522 =x 51 =x 522 =x 考点：正方形的性质；一元二次方程的应用；一次函数的图象；二次函数的图象；菱形的性 质。 分析：（1）①利用宽与长的比是黄金比，取黄金比为 0.6，假设底面长为 x，宽就为 0.6x， 再利用图形得出 QM= +0.5+1+0.5+ =3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，进而求出即可； ②根据菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案； （2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可． 解答：解：（1）①∵纸箱的高为 0.5 米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比 为 0.6），体积为 0.3 立方米， ∴假设底面长为 x，宽就为 0.6x， ∴体积为：0.6x•x•0.5=0.3， 解得：x=1， ∴AD=1，CD=0.6， DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH= CD=0.3， WQ=MK= AD= ， ∴QM= +0.5+1+0.5+ =3， FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2， ∴矩形硬纸板 A1B1C1D1 的面积是 3×2.2=6.6 平方米； ②从节省材料的角度考虑，采用方案 2（如图）的菱形硬纸板 A2B2C2D2 做一个纸箱比方案 1 更优， ∵如图可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ 面积相等，且和为 2 个矩形 FDQD1， 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 又∵菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积； ∴从节省材料的角度考虑，采用方案 2（如图）的菱形硬纸板 A2B2C2D2 做一个纸箱比方案 1 更优， （2）∵将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半时， ∴边长为：0.5，0.3，底面积将变为：0.3×0.5=0.15，将变为原来的 ，高再变为原来的一半 时，体积将变为原来的 ， ∴水果商的要求不能办到． 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及正方形性质与菱形性质等知识，根据题意得 出 DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH= CD=0.3，WQ=MK= AD= 是解决问题的关键． 13. (2011 襄阳，22，6 分)汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2008 年我市某种品牌汽 车的年产量为 6.4 万辆，到 2010 年，该品牌汽车的年产量达到 10 万 辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从 2008 年开始五年内保持不变，则该品牌汽车 2011 的年产量为多少万辆？ 考点：一元二次方程的应用。 专题：应用题。 分析：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为 x，由题意列出方程，求解把不符合题意的解 舍去即可． 解答：解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为 x，由题意得 6.4(1＋x)2＝10， 解之，得 x1＝0.25，x2＝－0.25， ∵x2＝－2.25＜0，故舍去， ∴x＝0.25＝25%， 10×(1＋25%)＝12.5， 答：2011 年的年产量为 12.5 万辆． 点评：本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的 解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 14. （2011•宜昌，22，7 分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高 员工当年的月工资．尹进 2008 年的月工资为 2000 元，在 2010 年时他的月工资增加到 2420 元，他 2011 年的月工资按 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率继续增长． （1）尹进 2011 年的月工资为多少？ （2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己 2011 年 6 月份的月工资刚好购买若干 本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书 款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比 2011 年 6 月份的月工资少了 242 元， 于是他用这 242 元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给 西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？ 考点：一元二次方程的应用；解三元一次方程组。 专题：应用题。 分析：（1）设 2008 至 2010 年的年平均增长率为 x，得到 2000（1+x）2=2420，求出 x，然 后计算 2420（1+x）得到尹进 2011 年的月工资． （2）可设甲工具书单价为 m 元，第一次选购 y 本．设乙工具书单价为 n 元，第一次 选购 z 本．根据等量关系：用 242 元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款 比 2011 年 6 月份的月工资少了 242 元；2011 年 6 月份的月工资刚好购买若干本 4 1 8 1 2 1 2 1 2 1 甲种工具书和一些乙种工具书．列出方程组求解即可． 解答：解：（1）设 2008 至 2010 年的年平均增长率为 x，依题意列方程： 2000（1+x）2=2420， 解得：x1=10%，x2=﹣210%． ∵增产率不能是负数， ∴﹣210%要舍去． 尹进 2011 年的月工资为：2420（1+10%）=2662 元． 故尹进 2011 年的月工资为 2662 元； （2）设甲工具书单价为 m 元，第一次选购 y 本．设乙工具书单价为 n 元，第一次 选购 z 本．则由题意，可列方程： 由②+③，整理得，（m+n）（y+z）=2×2662﹣242， 把①代入得，242（y+z）=2×2662﹣242， ∴y+z=22﹣1=21．（9 分） 21+2=23 本． 答：尹进捐出的这两种工具书总共有 23 本． 点评：本题考查的是一元二次方程的应用，先列方程求出 2008 至 2010 年的增长率，然后利 用这个增长率进行计算求出 2011 年的利用收入．同时考查了解三元一次方程组，注 意找准等量关系，及整体思想的应用． 15. （2011 湖北十堰，20，6 分）请阅读下列材料： 问题：已知方程 x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍。 解：设所求方程的根为 y,则 y=2x,所以 x= . 把 x= 代入已知方程，得（ ）2+ －1=0. 化简，得 y2+2y-4=0. 故所求方程为 y2+2y-4=0。 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）； （1）已知方程 x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则 所求方程为： ； （2）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一 元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数。 考点：一元二次方程的应用。 专题：计算题。 分析：根据所给的材料，设所求方程的根为 y，再表示出 x，代入原方程，整理即可得出所 求的方程． 解答：解：（1）设所求方程的根为 y，则 y=﹣x 所以 x=﹣y． 把 x=﹣y 代入已知方程，得 y2﹣y﹣2=0， 故所求方程为 y2﹣y﹣2=0； （2）设所求方程的根为 y，则 y= （x≠0），于是 x= （y≠0） 242 2662  =  =  m+n ny+mz my+nz =2662-242 ① ② ③ 2 y 2 y 2 y 2 y x 1 y 1 把 x= 代入方程 ax2+bx+c=0，得 a（ ）2+b• +c=0 去分母，得 a+by+cy2=0． 若 c=0，有 ax2+bx=0，于是方程 ax2+bx+c=0 有一个根为 0，不符合题意， ∴c≠0， 故所求方程为 cy2+by+a=0（c≠0）． 点评：本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟 练掌握． 16. （2011 安徽省芜湖市，20,8 分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边 形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm （其中 x＞0）．求这两段铁丝的总长． 考点：一元二次方程的应用。 专题：应用题；方程思想。 分析：直接根据围成的一个正五边形和一个正六边形的周长相等列出方程求解． 解答：解：∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形， ∴5（x2+17）=6（x2+2x） 整理得 x2+12x﹣85=0， （x+6）2=121， 解得 x1=5，x2=﹣17（不合题意，舍去）． 5×（52+17）×2=420cm． 答：这两段铁丝的总长为 420cm． 点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一 个正五边形和一个正六边形，实质上是正五边形和正六边形的周长相等． 17. （2011 福建省漳州市，24,10 分）2008 年漳州市出口贸易总值为 22.52 亿美元，至 2010 年出口贸易总值达到 50.67 亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长． （1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率； （2）按这样的速度增长，请你预测 2011 年漳州市的出口贸易总值． （温馨提示：2252=4×563，5067=9×563） 考点：一元二次方程的应用。 专题：增长率问题。 分析：（1）设年平均增长率为 x，则 2009 年出口贸易总值达到 22.52（1+x）亿美元； 2010 年出口贸易总值达到 22.52（1+x）（1+x）=22.52（1+x）2 亿美元，得方程求解； （2）2011 年出口贸易总值=50.67（1+x）． 解答：解：（1）设年平均增长率为 x，依题意得 …（1 分） 22.52 （1+x）2=50.67，…（3 分） y 1 y 1 y 1 1+x=±1.5， ∴x1=0.5=50%，x1=﹣2.5（舍去）． …（5 分） 答：这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为 50%； …（6 分） （2）50.67×（1+50%）=76.005（亿元）． …（9 分） 答：预测 2011 年漳州市的出口贸易总值 76.005 亿元． …（10 分） 点评：此题考查一元二次方程的应用．增长率的问题主要是搞清楚基数，再表示增长后的数 据． 18.（2011 巴彦淖尔，19，9 分）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价 36 元，能盈 利 80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为 25 元． （1）求这种玩具的进价； （2）求平均每次降价的百分率（精确到 0.1%）． 考点：一元二次方程的应用。 专题：一元二次方程。 分析：（1）根据计划每个售价 36 元，能盈利 80%，可求出进价． （2）设平均每次降价的百分率为 x，根据先后两次降价，售价降为 25 元可列方程求解． 解答： 解：（1）36÷（1+80%）=20 元． 故这种玩具的进价为每个 20 元； （2）设平均每次降价的百分率为 x． 36（1﹣x%）2=25， x≈16.7%． 故平均每次降价的百分率 16.7%． 点评：本题考查理解题意的能力，根据售价和盈利情况求出进价，根据原来的售价和经过两 次降价后现在的售价，可求出降价的百分率． 综合验收评估测试题 （时间：1 20 分钟 满分：120 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.将方程 3x(x+2)－4x+6=6x2+4 化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数和一次 系数分别为（ ） A.－3，－6 B.3，6 C.3，－6 D.3，－2 2.方程 2x(x－3)=5（x－3）的根是（ ） A. B.3 C. D. 3.若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x－1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 （ ） A.k＜－1 B.k＞－1，且 k≠0 5 2x = 1 2 53, 2x x= = 1 2 5 , 32x x= − = − C. k＜1 D. k＜1，且 k≠0 4.若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中的 a+b+c=0，则该方程必有一根为（ ） A.0 B.1 C.－1 D.±1 5.下列方程没有实数根的是（ ） A.4（x2+2）=3x B.5(x2－1)－x=0 C.x2－x=100 D.9x2－24x+16=0 6.若代数式 x2+8x+m 是一个完全平方式，则 m 的值为（ ） A.4 B.－4 C.16 D.－16 7.三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x2－16x+60=0 的一个实数 根，则该三角形的面积是（ ） A.24 B.24 或 C.48 D. 8.为解决药价偏高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品价格连续两次降价， 若设平均每次降价的百分率为 x，该药品的原价是 m 元，降价后的价格是 y 元，则 y 与 x 之 间的函数关系式是（ ） A.y=2m(1－x) B. y=2m(1+x) C. y=m(1－x)2 D. y=m(1+x)2 9.关于 x 的方程（m－3）xm2－8m+17+6x－1=0 是一元二次方程的条件是（ ） A.m=2 B.m=3 C.m=5 D.m=3 或 m=5 10.已知 ac＜0，则方程 ax2－bx+c=0 的根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11.方程 x2－2x－3=0 的根是 . 12.x2+6x+ =(x+3)2. 13.已知方程 mx2－mx+2=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 . 14.若 x=1 是一元二次方程 x2+x+c+=0 的一个解，则 c2= . 15.当 x= 时，分式 的值为 0. 16.要用一条长 30 cm 的铁丝围成一个斜边长为 13 cm 的直角三角形，则两直角边长分 别为 . 17.已知一元二次方程有一个根是 2，那么这个方程可以是 .（填一个即可） 18.若关于 x 的一元二次方程 x2+(k+3)x+k=0 的一个根是－2，则另一个根是 . 三、解答题（第 19~24 小题各 9 分，第 25 小题 12 分，共 66 分） 19.请用两种不同的方法解方程（x+3）（x+1）=2x+6. 2.当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根？此 时这两个实数根是多少？ 21.已知关于 x 的一元二次方程 x2+(m－2)x－m－1=0，试说明无论 m 取何值，这个方程 总有两个不相等的实数根. 22.已知 a，b，c 均为实数，且 ，求方程 ax2+bx+c=0 8 5 8 5 2 2 3 1 x x x + − − 2 14 02x x m− + − = 2 26 9 4 1 0a a b c− + + + + − =（ ） 的解. 23.在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行的高度 h(m)与打出后的飞行时间 t （s）之间的关系式是 h=－t(t－7). （1）经过多少秒球飞行的高度为 10 m？ （2）经过多少秒球双落到地面上？ 24.如图 22-13 所示，在长为 10 cm，宽为 8 cm 的矩形的四周截四个全 等的小正方形，使得留下的图形的面积是原矩形面积的 80%，求所截去的小 正方形的边长. 25.某商店从厂家以每件 21 元的价格构进一批商品，该商店可以自己定 价，若每件商品售价为 a 元，则可卖出（350－10a）件，但特价局限定每件 商品加价不能超过进价的 20%，商店计划要赚 400 元，需要卖出多少价商品？每件商品的 售价为多少元？ 参考答案 1.D[提示：先化成一般形式为 3x2－2x－2=0.] 2.C[提示：用因式分解法求解即可.] 3.B[提示：k≠0，(－2)2－4k（－1）＞0，k＞－1，且 k≠0.] 4.B[提示：由已知可得 a+b+c=0，而当 x=1 时，方程 ax2+bx+c=0 可化为 a+b+c=0，所以 该方程必有一根是 1.] 5.A[提示：用根的判别式△=b2－4ac 逐一判断.] 6.C[提示：m 等于 8 的一半的平方为 16.] 7.B[提示：由 x2－16x+60=0 可知 x=6，或 x=10，因为三角形两边长为 6 和 8，所以三角 形的第三边的边长 x 应满足三角形三边关系，即 2＜x＜14，所以三角形的第三边长为 6 或 10. 当第三边长为 10 时，由勾股定理的逆定理可知 62+82=102，即这是一个直角三角形，其面积 为 ； 当 x=6 时 ， 这 个 三 角 形 是 一 个 等 腰 三 角 形 ， 则 其 底 边 上 的 高 为1 6 8 242 × × = ，此时这个三角形的面积是 综上所述，这 个三角形的面积为 24 或 .] 8.C 9.C[提示：m2－8m+17=2，且 m－3≠0，∴m=5.] 10.B[提示：△=（－b）2－4ac=b2－4ac，∵ac＜0，∴△＞0.] 11.x1=3，x2=－1 12.9 13.8[提示：由题意可知△=（－m）2－4·m·2=0，且 m≠0，所以 m=8.] 14.4[提示：把 x=1 代入 x2+x+c=0，得 c=－2，∴c2=4.] 15.－3[提示：x2+2x－3=0，且 x－1≠0.] 16.5 cm 和 12 cm[提示：设其中一条直角边长为 x cm，则另一直角边长为（17－x）cm， 由题意，得 x2+（17－x）2=132，解得 x1=5，x2=12.] 17.x2=4（答案不唯一） 18.x=1[提示：把 x=－2 代入 x2+(k+3)x+k=0，得 4－2（k+3）+k=0，∴k=－2，∴方程为 x2+x－2=0，解得 x1=－2，x2=1.] 19.解法 1：（因式分解法）（x+3）(x+1)－（2x+6）=0，∴（x+3）(x+1－2)=0，∴x+3=0 或 x－1=0，∴x 1=－3，x 2=1.解法 2：去括号得 x2+4x+3=2x+6，x2+2x－3=0，x 2+2x=3，∴ x2+2x+1=4. ∴（x+1）2=4，∴x+1=±2.∴x1=－3，x2=1. 20.解：依题意得△=（－4） 2－4 ，所以 m= ,故当 m= 时，此方程有两个相等的实数根，此时 x1=x2=2. 21.解：△=（m－2）2－4×1×（－m－1）=m2－4m+4+4m+4=m2+8，∵无论 m 取什么 值，m2≥0，∴m2+8＞0，∴△m2+8＞0，∴无论 m 取何实数，原方程总有两个不相等的实数 根. 22.解：∵ ∴ ∴ a=3,b= － 4,c=1. ∴ 方 程 为 3x2 － 4x+1=0 ， b2 － 4ac=(－4)2－4×3×1=4.∴ ∴x1=1，x2= . 23.解：（1）由题意可知 10=－t(t－7)，∴t2－7t+10=0，∴t1=2,t2=5，∴经过 2 s 或 5 s 球飞 行的高度为 10 m.(2)当 h=0 时，－t(t－7)=0，∴t1=0,t2=7，∵t=0 不符合题意，故舍去.∴t=7， 即经过 7 s 球双落到地面上. 24.解：设截去小正方形的边长为 x cm，由题意，得 10×8－4x2=10×8×80%，解得 x1=2,x2= －2（舍去）.答：所截去的小正方形的边长为 2 cm. 25.提示：求出方程的解后，一定要检验所求得的解是否符合要求，不符合要求的要舍去.解： 设每件商品的售价为 x 元，才能使商店赚 400 元，依题意，得（x－21）（350－10x）=400 整理，得 x2－56x+775=0，解得 x1=25，x2=31.又因为 21×（1+20%）=25.2，而 x1＜25.2，x2 ＞25.2，所以 x2=31（舍去）.当 x=25 时， （件）. 26 20 2 5− = =28（ ） 2 1 8 2 2 5 8 5.2 × × × = 8 5 1 16 4 2 02m m − = − + =   9 2 9 2 2 6 9a a− + + 4b + + 2( 1) 0,c − = 2 6 9 0, 4 0, 1 0.a a b c− + = + = − = 4 4 4 2 ,2 3 6x ± += =× 1 3 400 10025 21 =− 答：该商品需要卖出 100 件商品，每件商品售价为 25 元才能使商店赚 400 元.