中考数学总复习一元一次方程和二元一次方程组基础讲练锁定考试目标导学知识探究方法北师大版 5页

第4讲　一元一次方程和二元一次方程组 考纲要求 备考指津 ‎1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．‎ ‎2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．‎ ‎3．会列方程(组)解决实际问题.‎ ‎　　中考中多以选择题、填空题、解方程(组)的形式考查方程(组)的解法，结合社会关注的热点，考查列方程(组)解决实际问题的能力．同时还注重对方程思想、转化思想以及分析问题和解决问题能力的考查．‎ 考点一　等式及方程的有关概念 ‎1．等式及其性质 ‎(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．‎ ‎(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．‎ ‎2．方程的有关概念 ‎(1)含有未知数的等式叫做方程．‎ ‎(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．‎ ‎(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．‎ 考点二　一元一次方程 ‎1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax＋b＝0(a≠0)，其解为x＝.‎ ‎2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.‎ 考点三　二元一次方程组的有关概念 ‎1．二元一次方程 ‎(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．‎ ‎(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．‎ ‎(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．‎ ‎(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．‎ ‎2．二元一次方程组 ‎(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．‎ ‎(2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不为零)．‎ ‎(3)二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．‎ 考点四　二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．‎ ‎1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中，求y(或x)的值．‎ ‎2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．‎ 考点五　列方程(组)解应用题 步骤：(1)设未知数；(2)列出方程(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5)写出答案(包括单位名称)．‎ ‎1．(a－1)x|a|＋5＝0是一元一次方程，那么a＝__________，x＝__________.‎ ‎2．已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是(　　)．‎ A．1 B．‎3 ‎ C．－3 D．－1‎ ‎3．方程组的解是(　　)．‎ A． B． C． D． ‎4．若有方程组则x－y的值是(　　)．‎ A．2 B．－‎2 ‎ C．1 D．－1‎ ‎5．2011年5月长江中下游发生严重干旱，受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？‎ 一、一元一次方程的解法 ‎【例1】 解方程：－＝1.‎ 解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6，‎ 去括号，得4x＋2－10x－1＝6，‎ 移项，得4x－10x＝6－2＋1，‎ 合并同类项，得－6x＝5，‎ 系数化为1，得x＝－.‎ 解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．‎ 二、二元一次方程组的有关概念 ‎【例2】 已知是二元一次方程组的解，则‎2m－n的算术平方根为(　　)．‎ A．4 B．‎2 C． D．±2‎ 解析：∵是方程组的解．‎ ‎∴解得 ‎∴＝＝＝2.‎ 答案：B 方程组的解适合于方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．‎ 三、二元一次方程组的解法 ‎【例3】 解方程组： 解：方法一：用加减消元法解方程组．‎ ‎①×2得6x－2y＝10，③‎ ‎②＋③得11x＝33，∴x＝3.‎ 把x＝3代入①得9－y＝5，∴y＝4.‎ 所以原方程组的解为 方法二：用代入消元法解方程组．‎ 由①得y＝3x－5，③‎ 把③代入②得5x＋2(3x－5)＝23，‎ 所以11x＝33，则x＝3.‎ 把x＝3代入③得y＝4.‎ 所以原方程组的解为 解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或-1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．‎ 四、列方程(组)解决实际问题 ‎【例4】 某工厂承接了生产第16届亚运会会标和亚运会吉祥物“乐羊羊”的生产任务，需要用到甲、乙两种原料．已知生产一套亚运会标志需要甲原料和乙原料分别为‎0.4 kg和‎0.3 kg，生产一套亚运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为‎0.5 kg和‎1 kg.该厂购进甲、乙原料的量分别为2 ‎300 kg和3 ‎600 kg，如果所进原料全部用完，求该厂能生产亚运会标志和亚运会吉祥物各多少套？‎ 解：设生产亚运会标志x套，生产亚运会吉祥物y套．‎ 根据题意，得 ‎①×2－②×1得0.5x＝1 000，‎ ‎∴x＝2 000.‎ 把x＝2 000代入②得600＋y＝3 600，‎ ‎∴y＝3 000.‎ 答：该厂能生产亚运会标志2 000套，生产亚运会吉祥物3 000套．‎ 对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．‎ ‎1．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多‎10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为(　　)．‎ A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝‎200 ‎C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200‎ ‎2．(2011湖南邵阳)请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________.‎ ‎3．(2011广东湛江)一件衬衣标价是132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衬衣的进价是________元．‎ ‎4．(2011安徽芜湖)方程组的解是__________．‎ ‎1．已知x＝2是关于x的方程x－‎2a＝0的解，则a的值是(　　)．‎ A．4 B．‎2 C．1 D． ‎2．方程2x＋3y＝11和下列方程构成的方程组的解是的是(　　)．‎ A．3x＋4y＝20 B．4x－7y＝‎3 ‎ C．2x－7y＝1 D．5x－4y＝6‎ ‎3．巴广高速公路正式通车，从巴中到广元全长约‎126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行‎6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km/h，y km/h，则下列方程组正确的是(　　)．‎ A． B．C． D． ‎4．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值为(　　)．‎ A．－ B． C． D．－ ‎5．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，再打8折出售，售价为480元，则售出这件商品可获利润________元．‎ ‎6．方程|4x－8|＋＝0，当y＞0时，m的取值范围是__________．‎ ‎7．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为__________．‎ ‎8．剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)，有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8 400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲的两倍，问这段时间内，乙销售了多少把刀架？多少片刀片？‎ 老式剃须刀 新式剃须刀 刀架 刀片 售价 ‎2.5(元/把)‎ ‎1(元/把)‎ ‎0.55(元/片)‎ 成本 ‎2(元/把)‎ ‎5(元/把)‎ ‎0.05(元/片)‎ ‎9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．‎ ‎(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；‎ ‎(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．‎ 参考答案 基础自主导学 自主测试 ‎1．－1　　2.A　3.C　4.D ‎5．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x，y亩，依题意，得解得 答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩．‎ 知能优化训练 中考回顾 ‎1．D　2.x＝2，x－2＝0,2x－3＝1……‎ ‎3．108　4. 模拟预测 ‎1．C　2.C　3.D　4.B 5．80　6.m＜2　7.－1‎ ‎8．解：设这段时间内乙厂家销售了x把刀架，则销售刀片x片．‎ 依题意，得(0.55－0.05)·50x＋(1－5)x＝2×(2.5－2)×8 400，解得x＝400.‎ 销售出的刀片数＝50×400＝20 000(片)．‎ 答：这段时间乙厂家销售出400把刀架，20 000片刀片．‎ ‎9．解：(1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元．‎ 依题意得解得 答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．‎ ‎(2)设买a支钢笔，则买笔记本(48－ a)本．‎ 依题意得 解得20≤a≤24.‎ 所以，一共有5种方案，‎ 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.‎