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- 2021-05-10 发布
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例 2011年上海市宝山区中考模拟第24题
如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,且OA=OB.
(1)求b+c的值;
(2)若点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,试求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,作∠OBC的角平分线,与抛物线交于点P,求点P的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11宝山24”,拖动点B在y轴正半轴上运动,观察b随c变化的跟踪图像,可以体验到,b+c等于定值1;在运动过程中,△AOB保持等腰直角三角形,四边形OABC保持平行四边形.双击按钮“点C落在抛物线上”,可以看到,此时点B与点C关于抛物线的对称轴对称,△BPM是等腰直角三角形.
请打开超级画板文件名“11宝山24”,
思路点拨
1.数形结合,由抛物线的解析式写出点B的坐标,根据OA=OB写出点A的坐标,将点A的坐标代入抛物线的解析式,就可以得到b+c等于定值1.
2.由于△AOB保持等腰直角三角形,当四边形OABC是平行四边形时,点C的坐标可以表示为(c,c).
3.第(3)题中,构造等腰直角三角形BPM,根据BM=PM列方程.
满分解答
(1)因为抛物线y=-x2+bx+c与y轴正半轴交于点B,
所以点B的坐标为(0,c).
因为OA=OB,所以点A的坐标为(-c,0).
将点A(-c,0)代入y=-x2+bx+c,得-c2+bc+c=0.
因为c≠0,整理,得b+c=1.
(2)如果四边形OABC是平行四边形,那么BC//AO,BC=AO.
因此点C的坐标可以表示为(c,c).
当点C(c,c)落在抛物线y=-x2+bx+c上时,得-c2+bc+c=c.
整理,得b=c.
结合第(1)题的结论b+c=1,得.
此时抛物线的解析式为.
(3)过点P作PM⊥y轴,垂足为M.
因为BP平分∠CBO,所以△BPM是等腰直角三角形.
设点P的坐标为,
由BM=PM,列方程.
解得或(舍去).
所以,点P的坐标为.
图2 图3
考点伸展
在(2)的条件下,如果点Q是抛物线上的动点,以A、B、C、Q为顶点的四边形是梯形,求点Q的坐标.
图4 图5 图6
由,知,,.
如图4,当AQ//BC时,根据对称性,易知点Q的坐标为(1,0);
如图5,当CQ//AB时,设Q(x,x),解方程,得Q(-1,-1);
如图6,是否存在BQ//AC的情况呢?方程组的解为几何意义就是点B与点Q重合.