中考动点问题汇编含答案 65页

‎2010年中考动点问题汇编 （供中考复习选用）‎ 一、选择题 ‎1．（2010重庆市潼南县）如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（ ）‎ ‎【答案】B ‎ ‎2．（2010江苏宿迁）如图，在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是 M Q D C B P N A ‎(第8题)‎ x y O ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ A x y O ‎2.25‎ ‎6‎ ‎3‎ D x y O ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ C ‎2.25‎ x y O ‎6‎ ‎3‎ B ‎【答案】D ‎ ‎3．（2010湖北鄂州）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上， 点Ｄ在OA上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求 PD+PA和的最小值是（ ）‎ A．　　　B．　　C．4　　　D．6‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 ‎1．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ▲ ；‎ ‎ （2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ ▲ ．‎ P y x ‎·‎ ‎【答案】（1）2(x－2)2 或 （2）3、1、、‎ ‎2．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点， 以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点，连 结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O 的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G. ‎ 若，则BK﹦ ▲ .‎ A O D B F K E ‎(第16题图)‎ G M CK ‎【答案】, ‎ ‎3．（2010江西）如图所示，半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为 ．‎ ‎ （14题）‎ ‎【答案】6‎ ‎4．（2010 四川成都）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么 经过_____________秒，四边形的面积最小．‎ ‎【答案】3‎ ‎5．（2010 四川成都）如图，内接于⊙O，，是⊙O上与点关于圆心成中心对称的点，是边上一点，连结．已知，，是线段上一动点，连结并延长交四边形的一边于点，且满足，则 的值为_______________．‎ ‎【答案】1和 ‎6．（2010广西柳州）如图8，AB是⊙O的直径，弦BC=‎2cm，F是弦BC的 中点，∠ABC=60°．若动点E以‎2cm/s的速度从A点 出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，‎ 连结EF，当t值为________s时，△BEF是直角三角形．‎ F E O A C B ‎【答案】1或1.75或2.25‎ 三、解答题 ‎1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=‎6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=‎4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．‎ ‎ (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ▲ ．‎ ‎ (填“不变”、“变大”或“变小”)‎ ‎ (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：‎ ‎ 问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?‎ ‎ 问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?‎ ‎ 问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，‎ ‎ 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．‎ ‎ 请你分别完成上述三个问题的解答过程．‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B‎1C1，试探究OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.‎ C D B A E O ‎【答案】（1）由题意得B（3，1）．‎ 若直线经过点A（3，0）时，则b＝‎ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝‎ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，‎ 图1‎ ‎ 此时E（2b，0）‎ ‎∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2‎ 图2‎ 此时E（3，），D（2b－2，1）‎ ‎∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )‎ ‎＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝‎ ‎∴‎ ‎（2）如图3，设O‎1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！‎ 图3‎ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．‎ 过点D作DH⊥OA，垂足为H，‎ 由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，‎ 设菱形DNEM 的边长为a，‎ 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴‎ ‎∴S四边形DNEM＝NE·DH＝‎ ‎∴矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．‎ ‎3．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）‎ ‎（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ‎ ‎① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ ‎② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．‎ 图1 图2‎ ‎【答案】解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）‎ 故可得c=0,b=4‎ 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 ‎（2）① 点P不在直线ME上. ‎ 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，‎ 设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ 于是得 ，解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分 ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴ 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ‎ ‎∴ OA=AP=t.‎ ‎∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分 ‎∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,‎ ‎∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t ‎ ‎…………………………………………………………………………………7分 ‎（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3. ‎ ‎（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD，AD⊥CD，‎ ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8分 当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 ‎ 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5‎ 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，‎ 当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ ‎），只有（ⅱ）也可以,不扣分）‎ ‎4．（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；‎ ‎(第23题)‎ ‎（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）解：设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明：当时，，.‎ ‎ ∴为（2，0），为（6，0）.∴.‎ 设⊙与相切于点，连接，则.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时，的面积最大为.‎ ‎ 此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………10分 ‎(第23题)‎ ‎5．（2010 浙江台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．‎ ‎（1）求证：△DHQ∽△ABC；‎ ‎（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；‎ ‎（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？‎ ‎（第24题）‎ H ‎【答案】‎ ‎ （1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，‎ ‎∴=90°，HD=HA，‎ ‎∴，‎ ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎∴△DHQ∽△ABC．‎ ‎（2）①如图1，当时， ‎ ED=，QH=，‎ 此时．‎ 当时，最大值．‎ ‎②如图2，当时，‎ ED=，QH=，‎ 此时． ‎ 当时，最大值．‎ ‎∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是．‎ ‎（3）①如图1，当时，‎ 若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，‎ ‎∴=，．‎ 显然ED=EH，HD=HE不可能；‎ ‎②如图2，当时，‎ 若DE=DH，=，； ‎ 若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；‎ 若ED=EH，则△EDH∽△HDA，‎ ‎∴，，． ‎ ‎∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.‎ ‎6．（2010 浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.‎ ‎（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　▲　°，猜想∠QFC= ▲ °；‎ ‎（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；‎ 图2‎ A B E Q P F C 图1‎ A C B E Q F P ‎（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．‎ ‎【答案】‎ 解: ‎ 图1‎ A C B E Q F P ‎（1） 30°‎ ‎ 　　 = 60‎ H 不妨设BP＞, 如图1所示 ‎∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ‎ 图2‎ A B E Q P F C ‎∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ‎∴∠BAP=∠EAQ ‎ 在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ ‎∴△ABP≌△AEQ ‎∴∠AEQ=∠ABP=90°‎ ‎∴∠BEF ‎∴=60°‎ ‎(事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）‎ ‎ 　　　　 (3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G ‎ 　　　 ∵△ABE是等边三角形 　　∴BE=AB=，由（1）得30°‎ ‎ 在Rt△BGF中， ∴BF= ∴EF=2 　　　 ∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE＋EF ‎ 　　　过点Q作QH⊥BC，垂足为H 在Rt△QHF中，（x＞0）‎ 即y关于x的函数关系式是：‎ ‎ 7．（2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上. 另一等腰△的顶点在第四象限，，．现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿向点运动，点以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．‎ ‎ ‎ ‎（1）求在运动过程中形成的△的面积与运动的时 ‎ 间之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）在等边△的边上（点除外）存在点，使 得△为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 点D的坐标；‎ ‎（3）如图(2)，现有，其两边分别与， ‎ 交于点，，连接．将绕着 ‎ 点旋转（旋转角），使得，始 终在边和边上．试判断在这一过程中，‎ ‎△的周长是否发生变化？若没变化，请求出 其周长；若发生变化，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）过点作于点．（如图①）‎ ‎26题答图①‎ ‎∵，，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∵，， ∴．‎ ‎ 在Rt中，． （1分）‎ ‎ （ⅰ）当时，,,；‎ 过点作于点．（如图①）‎ ‎ 在Rt中，∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎26题答图②‎ ‎ 即 ． （3分）‎ ‎ （ⅱ）当时，（如图②）‎ ‎，．‎ ‎∵，，∴．‎ ‎∴．‎ 即．‎ 故当时，，当时，． （5分）‎ ‎26题答图③‎ ‎（2）或或或． （9分）‎ ‎（3）的周长不发生变化．‎ 延长至点，使，连结．（如图③）‎ ‎∵，‎ ‎∴≌．‎ ‎∴，． （10分）‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ 又∵．‎ ‎ ∴≌．∴． （11分）‎ ‎∴．‎ ‎∴的周长不变，其周长为4． （12分）‎ ‎8．（2010 福建德化）（12分）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.‎ ‎（1）求该抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ‎ ‎① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ ‎② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ 图2‎ B C O A D E M y x P N ‎·‎ 图1‎ B C O ‎(A)‎ D E M y x ‎【答案】解：（1）‎ ‎（2）①点P不在直线ME上 ‎②依题意可知：P（,），N（，）‎ 当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：‎ ‎ =+=+=‎ ‎=‎ ‎∵抛物线的开口方向：向下，∴当=，且时，=‎ 当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得，==3‎ 综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值．‎ ‎9. （2010 福建晋江）（13分）如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.‎ ‎(1) 填空：度；‎ ‎(2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；‎ ‎(3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.‎ A B C 备用图(1)‎ A B C 备用图(2)‎ ‎【答案】26.（本小题13分）‎ ‎(1)60；…………………………………………（3分）‎ ‎(2)∵与都是等边三角形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴……………………………（5分）‎ ‎∴≌‎ ‎∴，∴.………………………（7分）‎ ‎(3)①当点在线段上（不与点重合）时，由(2)可知≌，则，作于点，则，连结，则.‎ 在中，，，则.‎ 在中，由勾股定理得：，则.………………………（9分）‎ ‎②当点在线段的延长线上时，∵与都是等边三角形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴，同理可得：‎ ‎.…………………………（11分）‎ ‎③当点在线段的延长线上时，‎ ‎∵与都是等边三角形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 同理可得：.‎ 综上，的长是6. ………………………（13分）‎ ‎10．（2010湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒‎1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；‎ ‎（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；‎ ‎（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．‎ ‎【答案】解：（1）由题意知，OQ＝8－t,OP＝t,‎ ‎ ∴．‎ ‎（2）由题意知，AB＝OC＝8,CQ＝ t, CB＝OA＝8,PA＝8－t,‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴四边形OPBQ的面积是一个定值，这个定值为32．‎ ‎（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，应满足．‎ 整理，得，‎ 解得，（不合题意）．‎ 此时P(,0),B(,8) ．‎ 因抛物线经过B、P两点，所以将B、P两点的坐标代入，得 解得 所以经过B、P两点的抛物线为．‎ 设过B、P两点的直线为y＝kx+b, 将B、P两点的坐标代入，得 解得 所以过B、P两点的直线为y＝x－8．‎ 依题得，动点M的坐标（x, x－8），N的坐标（x, ）‎ MN＝（x－8）－（）＝‎ 当时，MN的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3：1．‎ ‎11．（2010浙江金华如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB， BA上运动的 面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB， AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．‎ 请解答下列问题：‎ ‎ （1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；‎ ‎（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； ‎ ‎ （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为 菱形，则t的值是多少？‎ B F A P E O x y ‎(第11题图)‎ ‎② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）； （2）（0,），；‎ ‎（3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）‎ ‎ ‎B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△，∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ ‎ 而，∴,‎ B F A P E O x y M P′‎ H ‎（图2)‎ ‎ 由得 ；‎ ‎ 当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；‎ ‎ 当点P在线段上时，‎ 过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴， 又∵‎ ‎ 在Rt△中，‎ ‎ 即，解得．‎ y ‎②存在﹒理由如下：‎ ‎ ∵，∴,，‎ B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°，得到 ‎△（如图3）‎ ‎ ∵⊥，∴点在直线上，‎ ‎ C点坐标为（，－1）‎ ‎ 过作∥，交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由，可得Q的坐标为（－，）‎ 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件。‎ ‎12．（2010江苏无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．‎ ‎（1）用含的代数式表示点P的坐标；‎ ‎（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥轴于D，问：为何值时，以P为圆心、1为 半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系．‎ ‎【答案】解：⑴作PH⊥OB于H ﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°‎ ‎∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝ ;‎ ‎∴OH＝，∴P﹙，﹚‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，‎ ‎∵OB＝，∠BOC＝30°‎ ‎∴BC＝ ‎ ‎∴PC ‎ 由，得 ﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．‎ 当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，‎ PC 由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．‎ 综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割． ‎ ‎13．（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎ 【答案】解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6）‎ ‎∴c＝－6，即y＝ax2 ＋bx－6‎ 由解得：，‎ ‎∴该抛物线的解析式为 方法二：∵A、B关于x＝2对称 ‎∴A（－8，0） 设 C在抛物线上，∴－6＝a×8×，即a＝‎ ‎∴该抛物线解析式为：‎ ‎（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，‎ 在Rt△AOC中，AC＝＝10＝AD ‎∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：‎ 显然∠PDC＝∠QDC，‎ 由已知∠PDC＝∠ACD ‎∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC DB＝AB－AD＝20－10＝10‎ ‎∴DQ为△ABC的中位线 ‎∴DQ＝AC＝5‎ AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5‎ ‎∴t＝5÷1＝5（秒）‎ ‎∴存在t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分 在Rt△BOC中，BC＝＝‎ ‎∴CQ＝‎ ‎∴点Q的运动速度为每秒单位长度．‎ ‎（3）存在．如图，‎ 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9‎ 在Rt△PQH中，PQ＝＝‎ ‎①当MP＝MQ，即M为顶点，‎ 设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则：‎ ‎，解得：‎ ‎∴y＝3x－6‎ 当x＝1时，y＝－3‎ ‎∴M1(1，－3)‎ ‎②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点，‎ 设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：‎ ‎42＋y2＝90，即y＝±‎ ‎∴M2（1，）；M3（1，－）‎ ‎③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点．‎ 过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3）‎ 设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得：‎ ‎，即y＝－3±‎ ‎∴M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）‎ 综上所述，存在这样的五个点：M1(1，－3)；M2（1，）；M3（1，－）；M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）‎ ‎14．（2010湖南衡阳）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．‎ ‎（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；‎ ‎（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形mnqp的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．‎ C P Q B A M N ‎ ‎C P Q B A M N C P Q B A M N ‎【答案】(1)若要四边形MNQP为矩形，则有MP=QN，此时由于∠PMA=∠QNB=90°，∠A=∠B=60°，所以Rt△PMA≌Rt△QNB，因此AM=BN.移动了t秒之后有AM=t，BN=3-t，由AM=BN，t=3-t 即得 t=1.5. 此时Rt△AMP中，AM=1.5，∠A=60°，所以MP=，又MN=1，所以矩形面积为.‎ ‎(2)仍按上题的思路，如果M，N分列三角形底边AB中线两端，由于AM=t，所以MP=t，由于BN=4-t-1=3-t，所以NQ= (3-t)，因为MN=1，所以梯形MNQP的面积为 ·MN·(MP+QN)= ×(t+ (3-t))= 为定值（即不随时间变化而变化）。这时要求 14.8，x<12,所以.‎ 因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 ‎(0< x≤4.8)‎ ‎ ……………………………………8分 当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04‎ 当时，因为，所以当时，‎ ‎△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.‎ 因为24>23.04，‎ 所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. …………………10分 ‎29．（2010 山东淄博）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动 点．‎ ‎（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；‎ ‎（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；‎ ‎ （3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．‎ D A C B ‎(第23题)‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．‎ ‎（1）如图（1），作DF⊥AC，∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝．‎ ‎∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝，∴DP＝＝． ‎ ‎ (第23题)‎ D A C B ‎(2)‎ P F D A C B P F ‎(1)‎ ‎（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，∴cos∠PDF＝＝，∴∠PDF＝30°．‎ ‎∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．‎ 当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．‎ ‎∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°．‎ D A C B ‎(3)‎ P F D A C B P Q ‎(4)‎ ‎ (第23题)‎ ‎（3）CP＝．‎ 在□DPBQ中，BC∥DP，∵∠ACB＝90°，∴DP⊥AC．根据（1）中结论可知，DP＝CP＝，∴S□DPBQ＝＝．‎ ‎30．（2010 天津） 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、‎ 轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.‎ 温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时△的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.‎ ‎（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；‎ 第（25）题 y B O D C A x E y B O D C A x ‎（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.‎ 若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.‎ y B O D C A x E 由，‎ 可知△的周长最小.‎ ‎∵ 在矩形中，，，为的中点，‎ ‎∴ ，，.‎ ‎∵ OE∥BC，‎ ‎∴ Rt△∽Rt△，有.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 y B O D C A x E G F ‎（Ⅱ）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.‎ ‎∵ GC∥EF，，‎ ‎∴ 四边形为平行四边形，有.‎ 又 、的长为定值，‎ ‎∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小. ‎ ‎∵ OE∥BC，‎ ‎∴ Rt△∽Rt△, 有 .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎31．（2010 贵州贵阳）如图11，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝‎2cm，∠AOB＝120.‎ （1） 求tan∠OAB的值（4分）‎ （2） 计算S（4分）‎ （3） ‎⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，‎ 当S＝S时，求P点所经过的弧长（不考虑点P 与点B重合的情形）（4分）‎ ‎(图11)‎ ‎【答案】解：（1） ………………………………………………………………4分 ‎ （2）（cm）………………………8分 ‎ （3）如图，延长BO交⊙O于点，‎ ‎ ‎ ‎∵点O是直径的中点 ‎∴S＝S ∠AOP＝60‎ ‎∴ 的长度为（cm）………………………………………………10分 作点A关于直径的对称点，连结,．‎ 易得S＝S，  ∠AOP＝120‎ ‎∴ 的长度为（cm）………………………………………………11分 ‎ 过点B作∥交⊙O于点 易得，  ‎ ‎∴ 的长度为（cm）………………………………………………12分 ‎32．（2010广西桂林）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）直接写出C点坐标和t的取值范围； ‎ ‎（2）求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解（1）C（4，） ……………………………2分 的取值范围是：0≤≤4 ……………………………… 3分 ‎（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）‎ ‎∴DE=-= ……………………4分 ‎∴等边△DEF的DE边上的高为： ‎ ‎∴当点F在BO边上时：=，∴=3 ……………………5分 ① 当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：- …7分 S=‎ ‎=‎ ‎= ………………………………8分 ① 当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形 S= ………………… 9分 ‎= ……………………10分 ‎（3）存在，P（，0） ……………………12分 说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4‎ ‎∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,‎ 若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0）‎ ‎33．（2010 福建泉州南安）如图1，在中，，，，另有一等腰梯形（）的底边与重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．‎ ‎（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；‎ ‎（2）操作：固定，将等腰梯形以每秒1个单位的速度沿方向向右运动，直到点与点重合时停止．设运动时间为秒，运动后的等腰梯形为（如图2）．‎ ‎①探究1：在运动过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．‎ F G A B D C E 图2‎ ‎②探究2：设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．‎ A F G ‎(D)B C(E)‎ 图1‎ ‎【答案】解：（1）△AGF与△ABC的面积比是1：４．………………………3分 ‎（2）①能为菱形．……………………4分 由于FC∥，CE∥，‎ 四边形是平行四边形．…………………………5分 当时，四边形为菱形，………………… 6分 A F G ‎(D)B C(E)‎ 图3‎ M 此时可求得．‎ 当秒时，四边形为………… 7分 ‎②分两种情况：‎ ‎①当时，‎ 如图3过点作于．‎ ‎，，，为中点，‎ ‎．‎ 又分别为的中点，‎ ‎．…………………… 8分 方法一：‎ 等腰梯形的面积为6．‎ ‎，．…………… …………… 9分 重叠部分的面积为：．‎ 当时，与的函数关系式为．………………10分 方法二：‎ ‎，，，………… ……… 9分 重叠部分的面积为：‎ ‎．‎ F G A B C E 图4‎ Q D P 当时，与的函数关系式为．………………10分 ‎②当时，‎ 设与交于点，‎ 则．‎ ‎，，‎ 作于，则．……………11分 重叠部分的面积为：‎ ‎．‎ 综上，当时，与的函数关系式为；当时，‎ ‎…………………13分 ‎34．（2010 广西钦州市）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．‎ ‎ （1）点B的坐标为　▲ ；用含t的式子表示点P的坐标为 ▲ ；(3分)‎ ‎（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)‎ ‎（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分) ‎ ‎（备用图）‎ ‎【答案】解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分） 3分 ‎（2）∵S△OMP =×OM×， 4分 ‎∴S =×（6 -t）×=+2t．‎ ‎ ＝（0 < t <6）． 6分 ‎∴当时，S有最大值． 7分 ‎ （3）存在．‎ ‎ 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），‎ 则直线ON的函数关系式为：．‎ ‎ 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，‎ ‎（备用图）‎ R2‎ T1‎ T2‎ R1‎ D2‎ D1‎ 解方程组得 ‎∴直线ON与MT的交点R的坐标为．‎ ‎∵S△OCN ＝×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN ＝2． 8分 ‎① 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1＝••••RD1•OT ＝••b＝2.‎ ‎∴， b =.‎ ‎∴b1 ＝，b2 ＝（不合题意，舍去）‎ 此时点T1的坐标为（0，）. 9分 ‎② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 S△R2NE＝•EN•R2D2 =••＝2.‎ ‎∴，b=.‎ ‎∴b1＝，b2＝（不合题意，舍去）．‎ ‎∴此时点T2的坐标为（0，）．‎ 综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件．‎ ‎35．（2010广东茂名）如图，在直角坐标系O中，正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上，点B坐标为（6，6），抛物线经过点A、B两点，且．‎ ‎（1）求，，的值； （3分） ‎ ‎（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为S．‎ ‎①试求出S与之间的函数关系式，并求出S的最大值； （2分） ‎ ‎②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（3分） ‎ ‎(第24题图)‎ ‎(第24题备用图)‎ ‎【答案】解：（1）由已知A（0，6）、B（6，6）在抛物线上，‎ 得方程组： ‎ ‎ 解得： ‎ ‎（2）①运动开始秒时，EB＝，BF＝，‎ S＝，‎ 因为，‎ 所以当时，S有最大值．‎ ‎②当S取得最大值时，由①知，所以BF＝3，CF＝3，EB＝6-3＝3．‎ 若存在某点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形，‎ 则，即可得R1为（9，3）、（3，3）；‎ 或者，可得R2为（3，9）‎ 再将所求得的三个点代入，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R1（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形．‎ ‎36．（2010内蒙呼和浩特）如图，等边△ABC的边长为12㎝，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE＝4㎝，若点F从点B开始以2㎝/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O.‎ ‎（1）设△EGA的面积为S（㎝2），求S与t的函数关系式；‎ ‎（2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变，若不变，求其值；若改变，请说明理由.‎ ‎（3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点.‎ ‎【答案】解：（1）作EM⊥GA，垂足为M ‎∵等边△ABC　∴∠ACB＝60°‎ ‎∵GA∥BC　∴∠MAE＝60°‎ ‎∵AE＝4　∴ME＝AE·sin60°＝2…………1分 又GA∥BH　∴△AGD∽△BFD ‎∴＝　∴AG＝t ‎∴S=t…………3分 ‎（2） 猜想：不变…………4分 ‎∵AG∥BC ‎∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE ‎∴＝，＝ ‎∴＝ ‎∴＝ ‎∴BF＝CH……………………5分 情况①：0＜t＜6时，‎ ‎∵BF＝CH ‎∴BF＋CF＝CH＋CF，即：FH＝BC……………………6分 情况②：t＝6时，有FH＝BC……………………7分 情况③：t＞6时 ‎∵BF＝CH ‎∴BF－CF＝CH－CF，即：FH＝BC ‎∴S△GFH＝S△ABC＝36 综上所述，当点F在运动过程中，△GFH的面积为36㎝2……………………8分 （3） t=3s或12s……………………10分（每种情况各1分）‎ 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