2014湖北省荆门市初中毕业生学业水平及升学考试试卷 8页

2014 年湖北省荆门市初中毕业生学业水平及升学考试试卷 数学 满分 120 分 考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题只有唯一正确答案．每小题 3 分，共 36 分) 1．（2014 湖北荆门 1，3 分）若( )×(－2)＝1，则括号内填一个实数应该是( ) A． 1 2 B．2 C．－2 D．－ 1 2 【答案】D 2．（2014 湖北荆门 2，3 分）下列运算正确的是( ) A．3－1＝－3 B． 9 ＝±3 C．(ab2)3＝a3b6 D．a6÷a2＝a3 【答案】C 3．（2014 湖北荆门 3，3 分）如图，AB∥ED，AG 平分∠BAC，∠ECF＝70°，则∠FAG 的 度数是( ) A．155° B．145° C．110° D．35° E C D F A B G 第 3 题图 【答案】B 4．（2014 湖北荆门 4，3 分）将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 【答案】B 5．（2014 湖北荆门 5，3 分）已知α是一元二次方程 x2－x－1＝0 较大的根，则下面对α的估 计正确的是( ) A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3 【答案】C 6．（2014 湖北荆门 6，3 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连结 AD，DE，AE 与 BD 相交于点 C，要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件．下列 添加的条件其中错误．．的是( ) A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD 【答案】D A O B E D 第 6 题图 C 7．（2014 湖北荆门 7，3 分）如图所示，直线 y1＝x＋b 与 y2＝kx－1 相交于点 P，点 P 的横 坐标为－1，则关于 x 的不等式 x＋b＞kx－1 的解集在数轴上表示正确的是( ) xO y －1 －1 P 1y x b  2 1y kx  第 7 题图 －1 0 1 －1 0 1 －2 0－1 －2 0－1 A． B． C． D． 【答案】A 8．（2014 湖北荆门 8，3 分）如图，电路图上有四个开关 A、B、C、D 和一个小灯泡，闭 合开关 D 或同时闭合开关 A、B、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯 泡发光的概率是( ) A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 6 A B C D 第 8 题图 【答案】A 9．（2014 湖北荆门 9，3 分）如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格 点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正 方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是 中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有( ) A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种 第 9 题图 【答案】C 10．（2014 湖北荆门 10，3 分）已知：点 P(1－2a，a－2)关于原点的对称点在第一象限内， 且 a 为整数，则关于 x 的分式方程 1x x a   ＝2 的解是( ) A．5 B．1 C．3 D．不能确定 【答案】C 11．（2014 湖北荆门 11，3 分）如图，在第 1 个△A1BC 中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1 到 A2，使 A1A2＝A1D，得到第 2 个△A1A2D；在边 A2D 上任取一 点 E，延长 A1A2 到 A3，使 A2A3＝A2E，得到第 3 个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数是( ) A．( 1 2 )n·75° B．( 1 2 )n－1·65° C．( 1 2 )n－1·75° D．( 1 2 )n·85° 【答案】C A1A2A3A4 C B D EF … 第 11 题图 12．（2014 湖北荆门 12，3 分）如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm，在圆 柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( ) A．4 2 dm B．2 2 dm A B C 第 12 题图 C．2 5 dm D．4 5 dm 【答案】A 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 13．（2014 湖北荆门 13，3 分）若－2xm－ny2 与 3x4y2m＋n 是同类项，则 m－3n 的立方根是 ▲ ． 【答案】2. 14．（2014 湖北荆门 14，3 分）如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，点 O 为 位似中心，相似比为 1∶ 2 ，点 A 的坐标为(0，1)，则点 E 的坐标是 ▲ ． 【答案】( 2 ， 2 ) . xO y A B C D E F 第 14 题图 15．（2014 湖北荆门 15，3 分）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将 0.3 转化为分数时，可设 0.3 ＝x，则 x＝0.3＋ 1 10 x，解得 x＝ 1 3 ，即 0.3 ＝ 1 3 ．仿此方法，将 0.45  化成分数是 ▲ ． 【答案】 5 11(或 45 99 ). 16．（2014 湖北荆门 16，3 分）如图，在□ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆 恰好与 CD 相切于点 C，交 AD 于点 E，延长 BA 与⊙A 相交于点 F．若 EF 的长为 2  ，则 图中阴影部分的面积为 ▲ ． 【答案】2－ 2  . A B C DE F 第 16 题图 17．（2014 湖北荆门 17，3 分）如图，已知：点 A 是双曲线 y＝ 2 x 在第一象限的分支上的一 个动点，连结 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为边作等边△ABC，点 C 在第四象限．随 着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y＝ k x (k＞0)上运动，则 k 的值是 ▲ ． x y O A B C 第 17 题图 【答案】－6. 三、解答题(本大题共 7 题，共 69 分) 18．（2014 湖北荆门 18，8 分）(1)计算： 24 × 1 3 －4× 1 8 ×(1－ 2 )0； 【答案】(1)原式＝2 6 × 3 3 －4× 2 4 ×1＝2 2 － 2 ＝ 2 ． (2)先化简，再求值： 2 2 2 2 2 2( )2 a b a b b aa ab b a ab      ， 其中 a，b 满足 1a  ＋|b－ 3 |＝0． 【答案】原式＝ 2 2 ( )( ) ( )[ ]( ) a b a b a a ba a ba b b      ＝ 2 ( )a a bb a b b    ＝ a b ．∵ 1a  ≥0，|b－ 3 |≥0， 1a  ＋|b－ 3 |＝0，∴a＋1＝0 且 b－ 3 ＝0．∴a＝－1，b＝ 3 ．∴原式＝ 1 3  ＝－ 3 3 ． 19．（2014 湖北荆门 19，9 分）如图①，正方形 ABCD 的边 AB，AD 分别在等腰直角△AEF 的腰 AE，AF 上，点 C 在△AEF 内，则有 DF＝BE(不必证明)．将正方形 ABCD 绕点 A 逆 时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后，连结 BE，DF．请在图②中用实线补全图形，这时 DF＝BE 还成立吗？请说明理由． A EF A EF B C D 图① 图② 第 19 题图 A EF B CD α 19 题答案图 【答案】补全图形如图所示．DF＝BE 还成立，理由是：∵正方形 ABCD 和等腰△AEF，∴ AD＝AB，AF＝AE，∠FAE＝∠DAB＝90°．∴∠FAD＝∠EAB．在△ADF 和△ABE 中， , , . AD AB FAD EAB AF AE       ∴△ADF≌△ABE(SAS)．∴DF＝BE． 20．（2014 湖北荆门 20，10 分）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘 海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的 A 处和正东方向的 B 处，这时两船同时接到立即赶往 C 处海域巡查的任务，并测得 C 处位 于 A 处北偏东 59°方向、位于 B 处北偏西 44°方向．若甲、乙两船分别沿 AC，BC 方向航 行，其平均速度分别是 20 海里/小时，18 海里/小时，试估算哪艘船先赶到 C 处． (参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72) A B C 北 北 59° 第 20 题图 44° 钓鱼岛 A D B C 北 北 59° 20 题答案图 44° 【答案】过 C 作 CD⊥AB 于 D，设 CD＝h(海里)，两船从 A，B 到 C 的时间分别是 t 甲、t 乙(小 时)，则∠ACD＝59°，∠CBD＝90°－44°＝46°．在 Rt△ACD 中，cos59°＝ CD AC ＝ h AC ＝0.52， 则 AC＝ 0.52 h ．在 Rt△BCD 中，sin46°＝ CD BC ＝ h BC ＝0.72，则 BC＝ 0.72 h ．∴t 甲＝ 20 AC ＝ 0.52 20 h  ＝ 10.4 h t 乙＝ 18 BC ＝ 0.72 18 h  ＝ 12.96 h ．∵12.96＞10.4， ∴t 甲＞t 乙，即乙船先到达 C 处． 21．（2014 湖北荆门 21，10 分）我市某中学七、八年级各选派 10 名选手参加学校举办的“爱 我荆门”知识竞赛，计分采用 10 分制，选手得分均为整数，成绩达到 6 分或 6 分以上为 合格，达到 9 分或 10 分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条 形统计图和成绩统计分析表如下所示，其中七年级代表队得 6 分、10 分的选手人数分别 为 a，b． 0 3 95 86 107 1 1 1 1 11 2 2 4 a b 选手/人数 成绩/分 七年级队 八年级队 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% (1)请依据图表中的数据，求 a，b 的值； (2)直接写出．．．．表中的 m，n 的值； (3)有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但 也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 【答案】(1)依题意得： 3 1 6 7 1 8 1 9 1 10 6.7 10, 1 1 1 90% 10 1 1 1 1 10. a b a b a b                         或 解得 5, 1. a b    (2)m ＝6，n＝20%；(3)①八年级队平均分高于七年级队；②八年级队的成绩比七年级队稳定；③ 八年级队的成绩集中在中上游，所以支持八年级队成绩好．(注：任说两条即可) 22．（2014 湖北荆门 22，10 分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我 市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200 元/台．经 过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元/台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元，就可多售出 50 台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销 售商每月要完成不低于 450 台的销售任务． (1)试确定月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式； (2)求售价 x 的范围； (3)当售价 x(元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w(元)最大？ 最大利润是多少？ 【答案】(1)依题意得：y＝200＋50× 400 10 x ．化简得：y＝－5x＋2200．(2)依题意有：∵ 300, 5 2200 450. x x    ≥ ≥ 解得 300≤x≤350．(3)由(1)得：w＝(－5x＋2200)(x－200)＝－5x2＋3200x －440000＝－5(x－320)2＋72000．∵x＝320 在 300≤x≤350 内，∴当 x＝320 时，w 最大＝ 72000．即售价定为 320 元/台时，可获得最大利润为 72000 元． 23．（2014 湖北荆门 23，10 分）已知：函数 y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a 为常数)． (1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求 a 的值； (2)若该函数图象是开口向上的抛物线，与 x 轴相交于点 A(x1，0)，B(x2，0)两点，与 y 轴 相交于点 C，且 x2－x1＝2． ①求抛物线的解析式； ②作点 A 关于 y 轴的对称点 D，连结 BC，DC，求 sin∠DCB 的值． 【答案】(1)①当 a＝0 时，y＝－x＋1，有两个交点(0，1)，(1，0)；②当 a≠0 且图象过原点 时，2a＋1＝0，a＝－ 1 2 ，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当 a≠0 且图象与 x 轴只有一个交 点时，令 y＝0 有：△＝(3a＋1)2－4a(2a＋1)＝0．解得 a＝－1，有两个交点(0，－1)，(1， 0)；综上得：a＝0 或－ 1 2 或－1 时，函数图象与坐标轴有两个交点．(2)①依题意令 y＝0 时， x1＋x2＝ 3 1a a  ，x1x2＝ 2 1a a  ．由 x2－x1＝2 得：(x2－x1)2＝4，则( 3 1a a  )2－ 4(2 1)a a  ＝4．化 简得：3a2－2a－1＝0．解得：a1＝－ 1 3 ，a2＝1．∵△＝(3a＋1)2－4a(2a＋1)＝(a＋1)2＞0， 且 a＞0，∴a＝－ 1 3 应舍去．a＝1 符合题意．∴抛物线的解析式为 y＝x2－4x＋3．(注：其 它方法，请参照给分) ②令 y＝0 得：x2－4x＋3＝0．解得：x＝1 或 3．由 x2－x1＝2＞0 知 x2＞x1，∴A(1，0)，B(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)．如图，过 D 作 DE⊥BC 于 E，则有 OB ＝OC＝3，OD＝1．∴DE＝BD·sin45°＝2 2 ．而 CD＝ 2 2OC OD ＝ 10 ，∴在 Rt△ CDE 中，sin∠DCB＝ DE CD ＝ 2 2 10 ＝ 2 5 5 ． xO y A B C D E x＝2 －1 1 23 题答案图 24．（2014 湖北荆门 24，12 分）如图①，已知：在矩形 ABCD 的边 AD 上有一点 O，OA＝ 3 ，以 O 为圆心，OA 长为半径作圆，交 AD 于 M，恰好与 BD 相切于 H，过 H 作弦 HP ∥AB，弦 HP＝3．若点 E 是 CD 边上一动点(点 E 与 C，D 不重合)，过 E 作直线 EF∥BD 交 BC 于 F，再把△CEF 沿着动直线 EF 对折，点 C 的对应点为 G．设 CE＝x，△EFG 与 矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S． (1)求证：四边形 ABHP 是菱形； (2)问△EFG 的直角顶点 G 能落在⊙O 上吗？若能，求出此时 x 的值；若不能，请说明理 由； (3)求 S 与 x 之间的函数关系式，并直接写出．．．．FG 与⊙O 相切时，S 的值． A B C D F E O P H M G A B C DO H M 图① 图②(备用图) 第 24 题图 P(P1) A B C D F E O H R R1 Q M(M1) 24 题答案图① A B C D F E O P H M T G N 24 题答案图② 【答案】(1)连结 OH，如图①．∵AB∥HP，∠BAD＝90°，∴AQ⊥HP．而 AM 是直径，∴ HQ＝ 1 2 HP＝ 3 2 ．在 Rt△OHQ 中，sin∠HOQ＝ HQ OH ＝ 3 2 × 1 3 ＝ 3 2 ，∴∠HOQ＝60°， 则∠OHQ＝30°，∠APH＝60°．又 BD 与⊙O 相切，∴∠QHD＝90°－∠OHQ＝60°．∴∠APH ＝∠QHD．∴AP∥BH．又∵AB∥HP，∴四边形 ABHP 是平行四边形．由 AB⊥AM，AM 是 直径知 AB 是⊙O 的切线，而 BD 也是⊙O 的切线，∴AB＝BH．∴四边形 ABHP 是菱形．(注： 其它方法，请参照给分) (2)G 点能落在⊙O 上，如图①．方法一：过 C 作射线 CR⊥EF 交 EF 于 R，交 AD 于 M1，交 BD 于 R1，交 AP 于 P1，则 C 关于 EF 对称点 G 在射线 CR 上．当 G 点落在 M1 上时，M1E＝CE＝x，AB＝CD＝HP＝3，AD＝AB·tan60°＝3 3 ，ED＝CD－ CE＝3－x．在 Rt△M1DE 中，cos60°＝ 1 ED M E ＝ 3 x x  ＝ 1 2 ．解得 x＝2．sin60°＝ 1 1 M D M E ＝ 1M D x ＝ 3 2 ，∴M1D＝ 3 ．而 MD＝AD－AM＝ 3 ，∴M1 与 M 重合．∴M 在 CP1 上，则 MP1 ⊥AP，而 MP⊥AP，∴P 与 P1 重合，这校射线 CR 与⊙O 交于 M，P．由 AP∥BD，CP⊥AP， CR1＝PR1，知 C 与 P 关于 BD 对称．由于点 E 不与点 D 重合，故点 G 不可能落在 P 点．∴ 点 G 只能落在⊙O 的 M 点上，此时 x＝2．方法二：连结 CM，PM，如图①，由(1)知∠AMP ＝∠APH＝60°，tan∠CMD＝ CD MD ＝ 3 3 ＝ 3 ．∴∠CMD＝∠AMP＝60°．∴C，M，P 三 点共线．∵∠BDA＝30°，∴CM⊥BD．而 BD∥EF，∴CM⊥EF，点 C 关于 EF 的对称点 G 落在 CP 上．又∵点 P 到 BD 的距离等于点 C 到 BD 的距离(即点 A 到 BD 的距离)，EF 与 BD 不重合，∴点 G 不能落在 P 点，可以落在⊙O 上的 M 点．当点 G 落在⊙O 上的 M 点时， ME＝CE＝x，在 Rt△MDE 中，x＝ sin60 MD  ＝ 3 × 2 3 ＝2．∴点 G 落在床⊙O 上的 M 点， 此时 x＝2．方法三：证法略．提示：过 C 作 C′P⊥AP 于 P′，交 BD 于 R′，可求 CP′＝2CR′ ＝3 3 ，PM＋CM＝3 3 ，则 CP′＝CM＋MP，从而 C，M，P 三点共线，x 的值求法同上．(3) 由(2)知：①当点 G 在 CM 上运动时，0＜x≤2，S＝ 1 2 x· 3 x＝ 3 2 x2．②当点 G 在 PM 上 运动时，2＜x＜3，设 FG 交 AD 于 T，EG 交 AD 于 N，如图②，则：EG＝CE＝x，ED＝3 －x，S△EFG＝ 1 2 CE·CF＝ 3 2 x2．NE＝ sin30 ED  ＝6－2x，GN＝GE－NE＝3x－6．∵TG＝ GN·tan30°＝(3x－6)× 3 3 ＝ 3 x－2 3 ．S＝S△EFG－S△TGN＝ 3 2 x2－ 3 3 2 x2＋6 3 x－6 3 ＝－ 3 x2＋6 3 x－6 3 ．综上所述，S＝ 2 2 3 (0 2),2 3 6 3 6 3(2 3). x x x x x        ≤ 当 FG 与⊙O 相 切时，S＝ 31 3 6 －6．