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- 2021-05-10 发布
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2008年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
考
生
须
知:
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共8页.全卷共九道大题,25道小题.
2.本试卷满分120分,考试时间120分钟.
3.在试卷(包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷)密封线内准确填写区(县)名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号.
4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(机读卷 共32分)
考
生
须
知:
1.第Ⅰ卷从第1页到第2页,共2页,共一道大题,8道小题.
2.考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上,在试卷上作答无效.
一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)
下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑.
1.的绝对值等于( )
A. B. C. D.
2.截止到2008年5月19日,已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者,创历届奥运会之最.将21 600用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3.若两圆的半径分别是1cm和5cm,圆心距为6cm,则这两圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
4.众志成城,抗震救灾.某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区,他们捐款的数额分别是(单位:元):50,20,50,30,50,25,135.这组数据的众数和中位数分别是( )
A.50,20 B.50,30 C.50,50 D.135,50
5.若一个多边形的内角和等于,则这个多边形的边数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.如图,有5张形状、大小、质地均相同的卡片,正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物(福娃)、火炬和奖牌等四种不同的图案,背面完全相同.现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上,从中随机抽取一张,抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物(福娃)的概率是( )
A. B. C. D.
7.若,则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知为圆锥的顶点,为圆锥底面上一点,点在上.一只蜗牛从点出发,绕圆锥侧面爬行,回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示.若沿将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是( )
O
P
M
O
M
P
A.
O
M
P
B.
O
M
P
C.
O
M
P
D.
2008年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)
考 生
须 知:
1.第Ⅱ卷从第1页到第8页,共8页,共八道大题,17道小题.
2.除画图可以用铅笔外,答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔.
二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)
C
A
E
D
B
9.在函数中,自变量的取值范围是 .
10.分解因式: .
11.如图,在中,分别是的中点,
若,则 cm.
12.一组按规律排列的式子:,,,,…(),其中第7个式子是 ,第个式子是 (为正整数).
三、解答题(共5道小题,共25分)
13.(本小题满分5分)
计算:.
解:
14.(本小题满分5分)
解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.
1
2
3
0
解:
15.(本小题满分5分)
已知:如图,为上一点,点分别在两侧.,,.
A
C
E
D
B
求证:.
证明:
16.(本小题满分5分)
如图,已知直线经过点,求此直线与轴,轴的交点坐标.
y
x
O
M
1
1
解:
17.(本小题满分5分)
已知,求的值.
解:
四、解答题(共2道小题,共10分)
18.(本小题满分5分)
A
B
C
D
如图,在梯形中,,,,,,求的长.
解:
19.(本小题满分5分)
已知:如图,在中,,点在上,以为圆心,长为半径的圆与分别交于点,且.
D
C
O
A
B
E
(1)判断直线与的位置关系,并证明你的结论;
(2)若,,求的长.
解:(1)
(2)
五、解答题(本题满分6分)
20.为减少环境污染,自2008年6月1日起,全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”(以下简称“限塑令”).某班同学于6月上旬的一天,在某超市门口采用问卷调查的方式,随机调查了“限塑令”实施前后,顾客在该超市用购物袋的情况,以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分:
40
35
30
25
20
15
10
5
0
图1
1
2
3
4
5
6
7
4
3
11
26
37
9
塑料袋数/个
人数/位
“限塑令”实施前,平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图
“限塑令”实施后,使用各种
购物袋的人数分布统计图
其它
5%
收费塑料购物袋
_______%
自备袋
46%
押金式环保袋24%
图2
“限塑令”实施后,塑料购物袋使用后的处理方式统计表
处理方式
直接丢弃
直接做垃圾袋
再次购物使用
其它
选该项的人数占
总人数的百分比
5%
35%
49%
11%
请你根据以上信息解答下列问题:
(1)补全图1,“限塑令”实施前,如果每天约有2 000人次到该超市购物.根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数,估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋?
(2)补全图2,并根据统计图和统计表说明,购物时怎样选用购物袋,塑料购物袋使用后怎样处理,能对环境保护带来积极的影响.
解:(1)
(2)
六、解答题(共2道小题,共9分)
21.(本小题满分5分)列方程或方程组解应用题:
京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营,预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时.某次试车时,试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟,由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时,由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米,那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米?
解:
22.(本小题满分4分)
A
G
C
F
E
B
D
图2
已知等边三角形纸片的边长为,为边上的点,过点作交于点.于点,过点作于点,把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠,点分别落在点,,处.若点,,在矩形内或其边上,且互不重合,此时我们称(即图中阴影部分)为“重叠三角形”.
A
G
C
F
E
B
D
图1
(1)若把三角形纸片放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形),点恰好落在网格图中的格点上.如图2所示,请直接写出此时重叠三角形的面积;
(2)实验探究:设的长为,若重叠三角形存在.试用含的代数式表示重叠三角形的面积,并写出的取值范围(直接写出结果,备用图供实验,探究使用).
A
C
B
备用图
A
C
B
备用图
解:(1)重叠三角形的面积为 ;
(2)用含的代数式表示重叠三角形的面积为 ;的取值范围为 .
七、解答题(本题满分7分)
23.已知:关于的一元二次方程.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为,(其中).若是关于的函数,且,求这个函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:当自变量的取值范围满足什么条件时,.
(1)证明:
(2)解:
1
2
3
4
4
3
2
1
x
y
O
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
(3)解:
八、解答题(本题满分7分)
24.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点.
(1)求直线及抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为,点在抛物线的对称轴上,且,求点的坐标;
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-2
-1
(3)连结,求与两角和的度数.
解:(1)
(2)
(3)
九、解答题(本题满分8分)
25.请阅读下列材料:
问题:如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结.若,探究与的位置关系及的值.
小聪同学的思路是:延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;
(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示).
解:(1)线段与的位置关系是 ; .
(2)
2008年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知:
1.一律用红钢笔或红圆珠笔批阅,按要求签名.
2.第Ⅰ卷是选择题,机读阅卷.
3.第Ⅱ卷包括填空题和解答题.为了阅卷方便,解答题中的推导步骤写得较为详细,考生只要写明主要过程即可.若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分参考给分.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
第Ⅰ卷 (机读卷 共32分)
一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
C
B
B
B
D
第Ⅱ卷 (非机读卷 共88分)
二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)
题号
9
10
11
12
答案
4
三、解答题(共5道小题,共25分)
13.(本小题满分5分)
解:
4分
. 5分
14.(本小题满分5分)
解:去括号,得. 1分
移项,得. 2分
合并,得. 3分
系数化为1,得. 4分
1
2
3
0
不等式的解集在数轴上表示如下:
5分
15.(本小题满分5分)
证明:,
. 2分
在和中,
. 4分
. 5分
16.(本小题满分5分)
解:由图象可知,点在直线上, 1分
.
解得. 2分
直线的解析式为. 3分
令,可得.
直线与轴的交点坐标为. 4分
令,可得.
直线与轴的交点坐标为. 5分
17.(本小题满分5分)
解:
2分
. 3分
当时,. 4分
A
B
C
D
F
E
图1
原式. 5分
四、解答题(共2道小题,共10分)
18.(本小题满分5分)
解法一:如图1,分别过点作于点,
于点. 1分
.
又,
四边形是矩形.
. 2分
,,,
.
.
,
4分
在中,,
. 5分
解法二:如图2,过点作,分别交于点. 1分
,
A
B
C
D
F
E
图2
.
,
.
在中,,,,
2分
在中,,,,
.
. 4分
在中,,
. 5分
19. (本小题满分5分)
解:(1)直线与相切. 1分
D
C
O
A
B
E
图1
证明:如图1,连结.
,
.
, .
又,
.
.
直线与相切. 2分
(2)解法一:如图1,连结.
是的直径, .
,
. 3分
,,
. 4分
, . 5分
解法二:如图2,过点作于点. .
D
C
O
A
B
H
图2
,
. 3分
,,
. 4分
,
. 5分
五、解答题(本题满分6分)
解:(1)补全图1见下图. 1分
40
35
30
25
20
15
10
5
0
图1
1
2
3
4
5
6
7
4
3
11
26
37
9
塑料袋数/个
人数/位
“限塑令”实施前,平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图
10
(个).
这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个. 3分
.
估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋. 4分
(2)图2中,使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为. 5分
根据图表回答正确给1分,例如:由图2和统计表可知,购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋,少用塑料购物袋;塑料购物袋应尽量循环使用,以便减少塑料购物袋的使用量,为环保做贡献. 6分
六、解答题(共2道小题,共9分)
21.解:设这次试车时,由北京到天津的平均速度是每小时千米,则由天津返回北京的平均速度是每小时千米. 1分
依题意,得. 3分
解得. 4分
答:这次试车时,由北京到天津的平均速度是每小时200千米. 5分
22.解:(1)重叠三角形的面积为. 1分
(2)用含的代数式表示重叠三角形的面积为; 2分
的取值范围为. 4分
七、解答题(本题满分7分)
23.(1)证明:是关于的一元二次方程,
.
当时,,即.
方程有两个不相等的实数根. 2分
(2)解:由求根公式,得.
或. 3分
,
.
,
1
2
3
4
4
3
2
1
x
y
O
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
,. 4分
.
即为所求. 5分
(3)解:在同一平面直角坐标系中分别画出
与的图象.
6分
由图象可得,当时,. 7分
八、解答题(本题满分7分)
24.解:(1)沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点,
.
设直线的解析式为.
在直线上,
.
解得.
直线的解析式为. 1分
抛物线过点,
解得
抛物线的解析式为. 2分
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-2
-1
P
E
B
D
A
C
F
图1
(2)由.
可得.
,,,.
可得是等腰直角三角形.
,.
如图1,设抛物线对称轴与轴交于点,
.
过点作于点.
.
可得,.
在与中,,,
.
,.
解得.
点在抛物线的对称轴上,
点的坐标为或. 5分
(3)解法一:如图2,作点关于轴的对称点,则.
连结,
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-1
B
D
A
C
F
图2
可得,.
由勾股定理可得,.
又,
.
是等腰直角三角形,,
.
.
.
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-2
-1
B
D
A
C
F
图3
即与两角和的度数为. 7分
解法二:如图3,连结.
同解法一可得,.
在中,,,
.
在和中,
,,.
.
.
.
,
.
即与两角和的度数为. 7分
九、解答题(本题满分8分)
25.解:(1)线段与的位置关系是;
. 2分
(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.
证明:如图,延长交于点,连结.
是线段的中点,
.
D
C
G
P
A
B
E
F
H
由题意可知.
.
,
.
,.
四边形是菱形,
,.
由,且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,
可得.
.
四边形是菱形,
.
.
.
,.
.
即.
,,
,.
. 6分
(3). 8分
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