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  • 2021-05-10 发布

2008年北京市高级中等学校招生考试数学试题(含答案)

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‎2008年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 考 生 须 ‎ 知:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共8页.全卷共九道大题,25道小题.‎ ‎2.本试卷满分120分,考试时间120分钟.‎ ‎3.在试卷(包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷)密封线内准确填写区(县)名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号.‎ ‎4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 考 生 须 ‎ 知:‎ ‎1.第Ⅰ卷从第1页到第2页,共2页,共一道大题,8道小题.‎ ‎2.考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上,在试卷上作答无效.‎ 一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)‎ 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑.‎ ‎1.的绝对值等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.截止到‎2008年5月19日,已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者,创历届奥运会之最.将21 600用科学记数法表示应为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若两圆的半径分别是‎1cm和‎5cm,圆心距为‎6cm,则这两圆的位置关系是( )‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 ‎4.众志成城,抗震救灾.某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区,他们捐款的数额分别是(单位:元):50,20,50,30,50,25,135.这组数据的众数和中位数分别是( )‎ A.50,20 B.50,‎30 ‎ C.50,50 D.135,50‎ ‎5.若一个多边形的内角和等于,则这个多边形的边数是( )‎ A.5 B.‎6 ‎ C.7 D.8‎ ‎6.如图,有5张形状、大小、质地均相同的卡片,正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物(福娃)、火炬和奖牌等四种不同的图案,背面完全相同.现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上,从中随机抽取一张,抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物(福娃)的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知为圆锥的顶点,为圆锥底面上一点,点在上.一只蜗牛从点出发,绕圆锥侧面爬行,回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示.若沿将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是( )‎ O P M O M P A.‎ O M P B.‎ O M P C.‎ O M P D.‎ ‎2008年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)‎ 考 生 须 知:‎ ‎1.第Ⅱ卷从第1页到第8页,共8页,共八道大题,17道小题.‎ ‎2.除画图可以用铅笔外,答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔.‎ 二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)‎ C A E D B ‎9.在函数中,自变量的取值范围是 .‎ ‎10.分解因式: .‎ ‎11.如图,在中,分别是的中点,‎ 若,则 cm.‎ ‎12.一组按规律排列的式子:,,,,…(),其中第7个式子是 ,第个式子是 (为正整数).‎ 三、解答题(共5道小题,共25分)‎ ‎13.(本小题满分5分)‎ 计算:.‎ 解:‎ ‎14.(本小题满分5分)‎ 解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ 解:‎ ‎15.(本小题满分5分)‎ 已知:如图,为上一点,点分别在两侧.,,.‎ A C E D B 求证:.‎ 证明:‎ ‎16.(本小题满分5分)‎ 如图,已知直线经过点,求此直线与轴,轴的交点坐标.‎ y x O M ‎1‎ ‎1‎ 解:‎ ‎17.(本小题满分5分)‎ 已知,求的值.‎ 解:‎ 四、解答题(共2道小题,共10分)‎ ‎18.(本小题满分5分)‎ A B C D 如图,在梯形中,,,,,,求的长.‎ 解:‎ ‎19.(本小题满分5分)‎ 已知:如图,在中,,点在上,以为圆心,长为半径的圆与分别交于点,且.‎ D C O A B E ‎(1)判断直线与的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(2)若,,求的长.‎ 解:(1)‎ ‎(2)‎ 五、解答题(本题满分6分)‎ ‎20.为减少环境污染,自‎2008年6月1日起,全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”(以下简称“限塑令”).某班同学于6月上旬的一天,在某超市门口采用问卷调查的方式,随机调查了“限塑令”实施前后,顾客在该超市用购物袋的情况,以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分:‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ 图1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎11‎ ‎26‎ ‎37‎ ‎9‎ 塑料袋数/个 人数/位 ‎“限塑令”实施前,平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图 ‎“限塑令”实施后,使用各种 购物袋的人数分布统计图 其它 ‎5%‎ 收费塑料购物袋 ‎_______%‎ 自备袋 ‎46%‎ 押金式环保袋24%‎ 图2‎ ‎“限塑令”实施后,塑料购物袋使用后的处理方式统计表 处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋 再次购物使用 其它 选该项的人数占 总人数的百分比 ‎5%‎ ‎35%‎ ‎49%‎ ‎11%‎ 请你根据以上信息解答下列问题:‎ ‎(1)补全图1,“限塑令”实施前,如果每天约有2 000人次到该超市购物.根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数,估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋?‎ ‎(2)补全图2,并根据统计图和统计表说明,购物时怎样选用购物袋,塑料购物袋使用后怎样处理,能对环境保护带来积极的影响.‎ 解:(1)‎ ‎(2)‎ 六、解答题(共2道小题,共9分)‎ ‎21.(本小题满分5分)列方程或方程组解应用题:‎ 京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营,预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时.某次试车时,试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟,由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时,由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米,那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米?‎ 解:‎ ‎22.(本小题满分4分)‎ A G C F E B D 图2‎ 已知等边三角形纸片的边长为,为边上的点,过点作交于点.于点,过点作于点,把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠,点分别落在点,,处.若点,,在矩形内或其边上,且互不重合,此时我们称(即图中阴影部分)为“重叠三角形”.‎ A G C F E B D 图1‎ ‎(1)若把三角形纸片放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形),点恰好落在网格图中的格点上.如图2所示,请直接写出此时重叠三角形的面积;‎ ‎(2)实验探究:设的长为,若重叠三角形存在.试用含的代数式表示重叠三角形的面积,并写出的取值范围(直接写出结果,备用图供实验,探究使用).‎ A C B 备用图 A C B 备用图 解:(1)重叠三角形的面积为 ;‎ ‎(2)用含的代数式表示重叠三角形的面积为 ;的取值范围为 .‎ 七、解答题(本题满分7分)‎ ‎23.已知:关于的一元二次方程.‎ ‎(1)求证:方程有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)设方程的两个实数根分别为,(其中).若是关于的函数,且,求这个函数的解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:当自变量的取值范围满足什么条件时,.‎ ‎(1)证明:‎ ‎(2)解:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ x y O ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎(3)解:‎ 八、解答题(本题满分7分)‎ ‎24.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点.‎ ‎(1)求直线及抛物线的解析式;‎ ‎(2)设抛物线的顶点为,点在抛物线的对称轴上,且,求点的坐标;‎ ‎1‎ O y x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎(3)连结,求与两角和的度数.‎ 解:(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ 九、解答题(本题满分8分)‎ ‎25.请阅读下列材料:‎ 问题:如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结.若,探究与的位置关系及的值.‎ 小聪同学的思路是:延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.‎ D C G P A B E F 图2‎ D A B E F C P G 图1‎ 请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:‎ ‎(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;‎ ‎(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.‎ ‎(3)若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示).‎ 解:(1)线段与的位置关系是 ; .‎ ‎(2)‎ ‎2008年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷答案及评分参考 阅卷须知:‎ ‎1.一律用红钢笔或红圆珠笔批阅,按要求签名.‎ ‎2.第Ⅰ卷是选择题,机读阅卷.‎ ‎3.第Ⅱ卷包括填空题和解答题.为了阅卷方便,解答题中的推导步骤写得较为详细,考生只要写明主要过程即可.若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分参考给分.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 第Ⅰ卷 (机读卷 共32分)‎ 一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D C C B B B D 第Ⅱ卷 (非机读卷 共88分)‎ 二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎4‎ 三、解答题(共5道小题,共25分)‎ ‎13.(本小题满分5分)‎ 解:‎ ‎ 4分 ‎. 5分 ‎14.(本小题满分5分)‎ 解:去括号,得. 1分 移项,得. 2分 合并,得. 3分 系数化为1,得. 4分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ 不等式的解集在数轴上表示如下:‎ ‎ 5分 ‎15.(本小题满分5分)‎ 证明:,‎ ‎. 2分 在和中,‎ ‎. 4分 ‎. 5分 ‎16.(本小题满分5分)‎ 解:由图象可知,点在直线上, 1分 ‎.‎ 解得. 2分 直线的解析式为. 3分 令,可得.‎ 直线与轴的交点坐标为. 4分 令,可得.‎ 直线与轴的交点坐标为. 5分 ‎17.(本小题满分5分)‎ 解:‎ ‎ 2分 ‎. 3分 当时,. 4分 A B C D F E 图1‎ 原式. 5分 四、解答题(共2道小题,共10分)‎ ‎18.(本小题满分5分)‎ 解法一:如图1,分别过点作于点,‎ 于点. 1分 ‎.‎ 又,‎ 四边形是矩形.‎ ‎. 2分 ‎,,,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎ 4分 在中,,‎ ‎. 5分 解法二:如图2,过点作,分别交于点. 1分 ‎,‎ A B C D F E 图2‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ 在中,,,,‎ ‎ 2分 在中,,,,‎ ‎.‎ ‎. 4分 在中,,‎ ‎. 5分 ‎19. (本小题满分5分)‎ 解:(1)直线与相切. 1分 D C O A B E 图1‎ 证明:如图1,连结.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎, .‎ 又,‎ ‎.‎ ‎.‎ 直线与相切. 2分 ‎(2)解法一:如图1,连结.‎ 是的直径, .‎ ‎,‎ ‎. 3分 ‎,,‎ ‎. 4分 ‎, . 5分 解法二:如图2,过点作于点. .‎ D C O A B H 图2‎ ‎,‎ ‎. 3分 ‎,,‎ ‎. 4分 ‎,‎ ‎. 5分 五、解答题(本题满分6分)‎ 解:(1)补全图1见下图. 1分 ‎40‎ ‎35‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ 图1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎11‎ ‎26‎ ‎37‎ ‎9‎ 塑料袋数/个 人数/位 ‎“限塑令”实施前,平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图 ‎10‎ ‎(个).‎ 这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个. 3分 ‎.‎ 估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋. 4分 ‎(2)图2中,使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为. 5分 根据图表回答正确给1分,例如:由图2和统计表可知,购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋,少用塑料购物袋;塑料购物袋应尽量循环使用,以便减少塑料购物袋的使用量,为环保做贡献. 6分 六、解答题(共2道小题,共9分)‎ ‎21.解:设这次试车时,由北京到天津的平均速度是每小时千米,则由天津返回北京的平均速度是每小时千米. 1分 依题意,得. 3分 解得. 4分 答:这次试车时,由北京到天津的平均速度是每小时200千米. 5分 ‎22.解:(1)重叠三角形的面积为. 1分 ‎(2)用含的代数式表示重叠三角形的面积为; 2分 的取值范围为. 4分 七、解答题(本题满分7分)‎ ‎23.(1)证明:是关于的一元二次方程,‎ ‎.‎ 当时,,即.‎ 方程有两个不相等的实数根. 2分 ‎(2)解:由求根公式,得.‎ 或. 3分 ‎,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ x y O ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎,. 4分 ‎.‎ 即为所求. 5分 ‎(3)解:在同一平面直角坐标系中分别画出 与的图象.‎ ‎ 6分 由图象可得,当时,. 7分 八、解答题(本题满分7分)‎ ‎24.解:(1)沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点,‎ ‎.‎ 设直线的解析式为.‎ 在直线上,‎ ‎.‎ 解得.‎ 直线的解析式为. 1分 抛物线过点,‎ 解得 抛物线的解析式为. 2分 ‎1‎ O y x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎-1‎ P E B D A C F 图1‎ ‎(2)由.‎ 可得.‎ ‎,,,.‎ 可得是等腰直角三角形.‎ ‎,.‎ 如图1,设抛物线对称轴与轴交于点,‎ ‎.‎ 过点作于点.‎ ‎.‎ 可得,.‎ 在与中,,,‎ ‎.‎ ‎,.‎ 解得.‎ 点在抛物线的对称轴上,‎ 点的坐标为或. 5分 ‎(3)解法一:如图2,作点关于轴的对称点,则.‎ 连结,‎ ‎1‎ O y x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-1‎ B D A C F 图2‎ 可得,.‎ 由勾股定理可得,.‎ 又,‎ ‎.‎ 是等腰直角三角形,,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎1‎ O y x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎-1‎ B D A C F 图3‎ 即与两角和的度数为. 7分 解法二:如图3,连结.‎ 同解法一可得,.‎ 在中,,,‎ ‎.‎ 在和中,‎ ‎,,.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ 即与两角和的度数为. 7分 九、解答题(本题满分8分)‎ ‎25.解:(1)线段与的位置关系是;‎ ‎. 2分 ‎(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.‎ 证明:如图,延长交于点,连结.‎ 是线段的中点, ‎ ‎.‎ D C G P A B E F H 由题意可知.‎ ‎.‎ ‎, ‎ ‎.‎ ‎,.‎ 四边形是菱形,‎ ‎,.‎ 由,且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,‎ 可得. ‎ ‎.‎ 四边形是菱形,‎ ‎. ‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,.‎ ‎.‎ 即.‎ ‎,,‎ ‎,.‎ ‎. 6分 ‎(3). 8分