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  • 2021-05-10 发布

中考数学综合题专题动点综合型问题二专题解析

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中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析 ‎23.(江苏连云港)如图,甲、乙两人分别从A(1,)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点.甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行走,t h后,甲到达M点,乙到达N点.‎ ‎(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行.‎ ‎(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?‎ O B y x A ‎(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长,设s=MN 2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值.‎ 解:(1)∵A(1,),∴OA=2,∠AOB=60°‎ 假设MN∥AB,则有 = ‎∵OM=2-4t,ON=6-4t,∴ = 解得t=0‎ 即在甲、乙两人到达O点前,只有当t=0时,△OMN∽△OAB ‎∴MN与AB不可能平行 ‎(2)∵甲达到O点时间为t= = ,乙达到O点时间为t= = ‎∴甲先到达O点,∴t= 或t= 时,O、M、N三点不能构成三角形 ‎①当t < 时,若△OMN∽△OBA,则有 = 解得t=2> ,∴△OMN与△OBA不相似 O B y x A M H 图1‎ N ‎②当 <t < 时,∠MON>∠OAB,显然△OMN与△OBA不相似 ‎③当t > 时, = ,解得t=2> ‎∴当t=2时,△OMN∽△OBA ‎(3)①当t ≤ 时,如图1,过点M作MH⊥x轴,垂足为H 在Rt△MOH中,∵∠AOB=60°‎ ‎∴MH=OM·sin60°=( 2-4t )× =( 1-2t )‎ ‎∴NH= ( 4t-2 )+( 6-4t )=5-2t O B y x A M H 图2‎ N ‎∴s=[ ( 1-2t )]2+( 5-2t )2=16t 2-32t+28‎ ‎②当 <t ≤ 时,如图2,作MH⊥x轴,垂足为H 在Rt△MNH中,MH= ( 4t-2 )=( 2t-1 )‎ NH= ( 4t-2 )+( 6-4t )=5-2t ‎∴s=[ ( 1-2t )]2+( 5-2t )2=16t 2-32t+28‎ ‎③当t > 时,同理可得s=[ ( 1-2t )]2+( 5-2t )2=16t 2-32t+28‎ 综上所述,s=16t 2-32t+28‎ ‎∵s=16t 2-32t+28=16( t-1 )2+12‎ ‎∴当t=1时,s有最小值为12‎ ‎∴甲、乙两人距离的最小值为2km ‎24.(江苏南通)如图,在△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点.点P从B出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动,点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为t秒.‎ ‎(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;‎ ‎(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.‎ ‎①若a= ,求PQ的长;‎ ‎②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.‎ C B D A Q P 解:(1)∵BC=12,D是BC的中点 ‎∴BD=CD=6‎ ‎∵a=2,∴BP=2t,DQ=t,BQ=6-t ‎∵△BPQ∽△BDA,∴ = ‎∴ = ,∴t= C B D A Q P M ‎(2)①∵a= ,∴BP= t ‎∵四边形PQCM为平行四边形,∴PQ∥AC ‎∴△BPQ∽△BAC,∴ = ‎∴ = ,∴t= ,∴BP= ‎∵AB=AC,∴PQ=BP= ‎②不存在 理由:假设存在实数a,使得点P在∠ACB的角平分线上 则四边形PQCM为菱形,∴BP=PQ=CQ=6+t 由①知, = ,∴ = ‎∴t=- <0‎ ‎∴不存在实数a,使得点P在ACB的角平分线上 ‎25.(江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y= x与直线l2:y=-x+6相交于点M,直线l2与x轴相交于点N.‎ ‎(1)求M、N的坐标;‎ ‎(2)在矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重合部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时结束).直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程);‎ ‎(3)在(2)的条件下,当t为何值时,S的值最大?并求出最大值.‎ A B l1‎ N M x l2‎ C D y O A l1‎ N M x l2‎ C D y O B A B l1‎ N M x l2‎ C D y O 解:(1)对于y=-x+6,令y=0,得x=6‎ ‎∴点N的坐标为(6,0)‎ 由题意,得 解得 ‎∴点M的坐标为(4,2)‎ ‎(2)当0≤t ≤1时,S= t 2‎ 当1<t ≤4时,S= t- A l1‎ N M x l2‎ C D y O B A l1‎ N M x l2‎ C D y O B 当4<t <5时,S=- t 2+ t- 当5≤t <6时,S=-t+ 当6≤t ≤7时,S= ( 7-t )2‎ ‎(3)解法一:当0≤t ≤1时,S最大= 当1<t ≤4时,S最大= A l1‎ N M x l2‎ C D y O B 当4<t <5时,S=- ( t- )2+ ‎∴当t= 时,S最大= 当5≤t <6时,S最大= 当6≤t ≤7时,S最大= 综上可知,当t= 时,S的值最大,且最大值是 解法二:由(2)中的函数关系式可知,S的最大值一定在4<t <5时取得 当4<t <5时,S=- ( t- )2+ ‎∴当t= 时,S的值最大,且最大值是 ‎26.(江苏模拟)已知抛物线与x轴交于B、C(1,0)两点,与y轴交于点A,顶点坐标为( ,- ).P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为每秒1个单位,设P、Q运动时间为t(0≤t≤4).‎ ‎(1)求此抛物线的解析式,并求出P点的坐标(用t表示);‎ ‎(2)当△OPQ面积最大时求△OBP的面积;‎ ‎(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?‎ ‎(4)△OPQ是否可能为等边三角形?若可能请求出t的值;若不可能请说明理由,并改变Q点的运动速度,使△OPQ为等边三角形,求出Q点运动的速度和此时t的值.‎ y O x A B C Q P 解:(1)设抛物线的解析式为y=a( x- )2- ‎∵抛物线过点C(1,0)‎ ‎∴0=a( 1- )2- ,∴a= ‎∴y= ( x- )2- 令y=0,得x1=1,x2=4,∴B(4,0)‎ 令x=0,得y=3,∴A(0,3)‎ O x A B C Q P y M N ‎∴AB= =5‎ 过点P作PM⊥y轴于M 则△AMP∽△AOB,∴ = = 即 = = ,∴AM= t,PM= t ‎∴P( t,3- t)‎ ‎(2)过点P作PN⊥x轴于N ‎∴S△OPQ = OQ·PN= ·t·( 3- t )‎ ‎=- t 2+ t=- ( t- )2+ ‎∴当t= 时,△OPQ面积最大 此时OP为AB边上的中线 ‎∴S△OBP = S△AOB = ××3×4=3‎ ‎(3)若∠OPQ=90°,则OP 2+PQ 2=OQ 2‎ ‎∴( t )2+( 3- t )2+( t- t )2+( 3- t )2=t 2‎ 解得t1=3,t2=15(舍去)‎ 若∠OQP=90°,则PM=OQ ‎∴ t=t,∴t=0(舍去)‎ ‎∴当t=3时,△OPQ为直角三角形 ‎(4)∵OP 2=( t )2+( 3- t )2,PQ 2=( t- t )2+( 3- t )2‎ ‎∴OP≠PQ,∴△OPQ不可能是等边三角形 设Q的速度为每秒k个单位时,△OPQ为等边三角形 则OQ=2PM,∴kt=2· t,得k= PN= OP= OQ,∴3- t= · t ‎∴t= ‎27.(江苏模拟)如图,在梯形纸片ABCD中,BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2,过点B作BH⊥AD于H,BC=BH=2.动点F从点D出发,以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止,在运动过程中,过点F作FE⊥AD交折线D-C-B于点E,将纸片沿直线EF折叠,点C、D的对应点分别是点C1、D1.设F点运动的时间是t(秒).‎ ‎(1)当点E和点C重合时,求t的值;‎ ‎(2)在整个运动过程中,设△EFD1或四边形EFD1C1与梯形ABCD重叠部分面积为S,求S与t之间的函数关系式和相应自变量t的取值范围;‎ ‎(3)平移线段CD,交线段BH于点G,交线段AD于点P.在直线BC上是否存在点Q,使△PGQ为等腰直角三角形?若存在,求出线段BQ的长;若不存在,说明理由.‎ D1‎ A B C F E D H A B C D H 备用图 解:(1)过点C作CK⊥AD于K A B C D H K 则四边形BHKC是矩形,∴HK=BC=2,CK=BH=2‎ 在Rt△CKD中,∠DCK+∠D=90°‎ ‎∵∠A+∠D=90°,∴∠DCK=∠A ‎∴tan∠DCK=tanA=2,即 =2‎ ‎∴DK=4,即t=4‎ D1‎ A B C F E D H ‎(2)∵ =tanA=2,BH=2,∴AH=1‎ ‎∴AD=AH+HK+DK=1+2+4=7‎ ‎①当0<t ≤3.5时,重叠部分为△EFD1‎ 由题意,D1F=DF=t 在Rt△EFD中,∠DEF+∠D=90°‎ ‎∵∠A+∠D=90°,∴∠DEF=∠A D1‎ A B C F E D H N M ‎∴tan∠DEF=tanA=2,即 =2,∴EF= t ‎∴S=S△EFD1 = D1F·EF= t· t= t 2‎ ‎②当3.5<t ≤4时,重叠部分为四边形AFEM 过点M作MN⊥AD于N D1‎ A B C F E D H N M C1‎ 则tanA=D1A=2t-7, =tanA=2,得AN= MN =tanD1=tanD=cotA= 即 = ,得MN= ( 2t-7 )‎ D1‎ A B C F E D H C1‎ ‎∴S=S△EFD1 - S△MD1A = t 2- ( 2t-7 )·( 2t-7 )‎ ‎=- t 2+ t- ‎③当4<t ≤5时,重叠部分为五边形AFEC1M S=S△C1D1FE - S△MD1A = ( t-4+t )·2- ( 2t-7 )·( 2t-7 )‎ ‎=- t 2+ t- A B C D H P O Q G ‎④当5<t ≤6时,重叠部分为梯形AFEB S=S梯形AFEB = ( 6-t+7-t )·2=-2t+13‎ ‎(3)①当点P为直角顶点时 A B C D H P O G ‎(Q)‎ 作QO⊥AD于O,则∠GPH+∠QPO=90°‎ ‎∵∠GPH+∠PGH=90°,∴∠PGH=∠QPO 又∵PG=PQ,∠GHP=∠POQ=90°‎ ‎∴△GHP≌△POQ,∴HP=OQ=2,PO= OQ=1‎ ‎∴BQ=HO=3‎ A B C D H P G Q ‎②当点Q为直角顶点时 同①可证△BQG≌△OQP,∴BQ=OQ=2‎ ‎③当点G为直角顶点时 同①可证△BQG≌△HGP,∴BG=HP=2GH=2BQ ‎∵BG+GH=BH,∴2BQ+BQ=2,∴BQ= ‎∴在直线BC上存在点Q,使△PGQ为等腰直角三角形,线段BQ的长为3,2, ‎28.(江苏模拟)如图1,直线l:y=- x+3分别交x轴、y轴于B、A两点,等腰Rt△CDE的斜边CD在x轴上,且CD=6.若直线l以每秒3个单位的速度向上匀速运动,同时点C从(6,0)开始以每秒2个单位的速度向右匀速运动(如图2),设运动后直线l分别交x轴、y轴于N、M两点,以OM、ON为边作如图所示的矩形OMPN.设运动时间为t秒.‎ ‎(1)运动t秒后点E坐标为______________,点N坐标为______________(用含t的代数式表示);‎ ‎(2)设矩形OMPN与运动后的△CDE的重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;‎ ‎(3)若直线l和△CDE运动后,直线l上存在点Q使∠OQC=90°,则当在线段MN上符合条件的点Q有且只有两个时,求t的取值范围;‎ ‎(4)连接PC、PE,当△PCE是等腰三角形时,直接写出t的值.‎ N M x C y O P D l E 图2‎ A B x C D y O E l 图1‎ 解:(1)E(9+2t,3),N(4+4t,0)‎ ‎(2)运动t秒时,ON=4+4t,OC=6+2t,OD=12+2t 当点N与点C重合时,4+4t=6+2t,得t=1‎ 当点E在边PN上时,4+4t=9+2t,得t=2.5‎ 当点N与点D重合时,4+4t=12+2t,得t=4‎ ‎①当1<t ≤2.5时,重叠部分为等腰Rt△CFN CN=FN=4+4t-( 6+2t )=2t-2‎ ‎∴S= ( 2t-2 )2=2t 2-4t+2‎ ‎②当2.5<t <4时,重叠部分为四边形CEGN ND=12+2t-( 4+4t )=8-2t ‎∴S=S△CDE - S△NGD = ×6×3- ( 8-2t )2=-2t 2+16t-23‎ ‎③当t ≥4时,重叠部分为△CDE N M x C y O P D l E G ‎∴S= ×6×3=9‎ x C D y O E l N M F P ‎(3)①当直线l过点C,即C、N重合时,则线段MN上只存在一点Q使∠OQC=90°‎ 由(2)知,此时t=1‎ ‎②以OC为直径作⊙O′,当直线l切⊙O′ 于点Q时,则线段MN上只存在一点Q使∠OQC=90°‎ N x D y O E l M ‎(C)‎ Q OO′=O′Q= OC=3+t O′N=ON-OO′=4+4t-(3+t )=1+3t 由 =sin∠O′NQ=sin∠MNO= 得 = ,解得t=3‎ 所以当在线段MN上符合条件的点Q有且只有两个时,t的取值范围是1<t <3‎ C x D y O E l M Q N O′‎ ‎(4)t= ,t= ,t= ,t=1‎ 提示:∵P(4+4t,3+3t),C(6+2t,0),E(9+2t,3)‎ ‎∴PC 2=( 2t-2 )2+( 3+3t )2‎ PE 2=( 2t-5 )2+( 3t )2,CE 2=18‎ 若PC=PE,则( 2t-2 )2+( 3+3t )2=( 2t-5 )2+( 3t )2‎ 解得t= 若PC=CE,则( 2t-2 )2+( 3+3t )2=18‎ 解得t= (舍去负值)‎ 若PE=CE,则( 2t-5 )2+( 3t )2=18‎ 解得t=1或t= ‎29.(江苏模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx+c的顶点为C(0,-),与x轴交于点A、B(A在B的左侧),连接AC、BC,得等边△ABC.点P从点B出发,以每秒1个单位的速度向点A运动,同时点Q从点C出发,以每秒 个单位的速度向y轴负方向运动,连接PQ交射线BC于点D,当点P到达点A时,点Q停止运动.设运动时间为t秒.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)设△PQC的面积为S,求S关于t的函数关系式;‎ ‎(3)以点P为圆心,PB为半径的圆与射线BC交于点E,试说明:在点P运动的过程中,线段DE的长是一定值,并求出该定值.‎ A C O B Q x y P A C O B x y 备用图 解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+c的顶点为C(0,-)‎ A C O B D x H Q P E y ‎∴抛物线的对称轴是y轴,∴b=0‎ 可设抛物线的解析式为y=ax 2- ‎∵△ABC是等边三角形,且CO⊥AB,CO= ‎∴AO=1,∴A(-1,0)‎ 把A(-1,0)代入y=ax 2-,得a= ‎∴抛物线的解析式为y=x 2- ‎(2)当0<t <1时,OP=1-t,CQ=t ‎∴S= CQ·OP= ·t·( 1-t )=- t 2+ t 当1<t <2,OP=t-1,CQ=t ‎∴S= CQ·OP= ·t·( t-1 )= t 2- t ‎(3)连接PE,过D作DH⊥y轴于H,设DH=a ‎①当0<t <1时 ‎∵PB=PE,∠PBE=60°‎ ‎∴△PBE为等边三角形 A C O B H x D Q P E y ‎∴BE=PB=t ‎∵△QDH∽△QPO ‎∴ = ,即 = ‎∴a= ,∴DC=1-t ‎∴DE=CB-EB-DC=2-t-( 1-t )=1‎ ‎②当1<t <2时 同理,△QDH∽△QPO,得 = ‎∴ = ‎∴a= ,∴DC=t-1‎ ‎∴DE=DC+CE=t-1+( 2-t )=1‎ 综上所述,在点P运动的过程中,线段DE的长是定值2‎ ‎30.(河北)如图,点A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB,∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒.‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)当∠BCP=15°,求t的值;‎ B A Q x P O y C D ‎(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.‎ 解:(1)∵∠BCO=∠CBO=45°,∴OC=OB=3‎ 又∵点C在y轴的正半轴上,∴点C的坐标为(0,3)‎ ‎(2)当点P在点B右侧时,如图2‎ 若∠BCP=15°,得∠PCO=30°‎ 故OP=OC·tan30°= 此时t=4+ 当点P在点B左侧时,如图3‎ 由∠BCP=15°,得∠PCO=60°‎ 故OP=OC·tan60°=3 此时t=4+3 ‎∴t的值为4+ 或4+3 B A Q x P O y C D 图3‎ B A Q x P O y C D 图2‎ ‎(3)由题意知,若⊙P与四边形ABCD的边相切,有以下三种情况:‎ B A Q x P O y C D 图4‎ ‎①当⊙P与BC相切于点C时,有∠BCP=90°‎ 从而∠OCP=45°,得到OP=3,此时t=1‎ ‎②当⊙P与CD相切于点C时,有PC⊥CD 即点P与点O重合,此时t=4‎ ‎③当⊙P与AD相切时,由题意,∠DAO=90°‎ ‎∴点A为切点,如图4‎ PC 2=PA 2=( 9-t )2,PO 2=( t-4 )2‎ 于是( 9-t )2=( t-4 )2+32,解得:t=5.6‎ ‎∴t的值为1或4或5.6‎ ‎31.(河北模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6.点P从点A出发沿AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动;点Q从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动.运动过程中DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线PB-BC于点E.点P、Q同时出发,当点P到达点B时停止运动,点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒.‎ ‎(1)当t=______________秒,直线DE经过点B;当t=______________秒,直线DE经过点A;‎ ‎(2)四边形DPBE能否成为直角梯形?若能,求t的值;若不能,请说明理由;‎ ‎(3)当t为何值时,点E是BC的中点?‎ B Q A D C E P ‎(4)以E为圆心,EC长为半径的圆能否与AB、AC、PQ同时相切?若能,直接写出t的值;若不能,请说明理由.‎ B Q A D C P ‎(E)‎ 解:(1) ;2‎ 提示:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6‎ ‎∴BC= = =8‎ 当直线DE经过点B时,连接QB,则PB=QB ‎∴(10-2t )2=t 2+8 2,解得t= (舍去)或t= B Q A D C P E 当直线DE经过点A时,AP=AQ ‎∴2t=6-t,即t=2‎ ‎(2)①当DE∥PB时,四边形DPBE是直角梯形 此时∠APQ=90°,由△AQP∽△ABC,得 = B Q A D C P E 即 = ,解得t= ‎②当PQ∥BC时,四边形DPBE是直角梯形 此时∠AQP=90°,由△APQ∽△ABC,得 = 即 = ,解得t= B Q A D C P E ‎(3)连接QE、PE,作EG⊥PB于G,则QE=PE ‎∵QE 2=t 2+4 2‎ PE 2=PG 2+EG 2=(10-2t- ×4)2+( ×4)2‎ ‎∴t 2+4 2=(10-2t- ×4)2+( ×4)2‎ B Q A D C E P G 解得t= (舍去)或t= ‎(4)不能 设⊙E与AB相切于F点,连接EF、EP、EQ 则EC=EF,EQ=EP,∠ECQ=∠EFP=90°‎ ‎∴△ECQ≌△EFP,∴QC=PF ‎∵∠C=90°,∴⊙E与AC相切于C点 ‎∴AC=AF,∴AQ=AP 又AD=AD,DQ=DP ‎∴△ADQ≌△ADP,∴∠ADQ=∠ADP=90°‎ B Q A D C P E F 又∠QDE=90°,∴A、D、E三点在同一直线上 由(1)知,此时t=2,AQ=6-t=4‎ ‎∵AB=10,AC=6,∴sinB= = = 设EC=EF=x,则EB= = x ‎∵EC+EB=BC,∴x+ x=8‎ ‎∴x=3,∴EC=EF=3‎ ‎∴AE= = =3 易知△ADQ∽△ACE,∴ = ‎∴ = ,∴AD= ‎∴ED=AE-AD=3- = = 而EC=3=,∴ED>EC ‎∴此时⊙E与PQ相离 ‎∴⊙E不能与AB、AC、PQ同时相切 ‎32.(山东青岛)如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=6cm,BC=8cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE.点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t <4).解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,PQ⊥AB?‎ ‎(2)当点Q在B、E之间运动时,设五边形PQBCD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;‎ ‎(3)在(2)的情况下,是否存在某一时刻t,使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE : S五边形PQBCD =1 : 29?若存在,求出此时t的值以及点E到PQ的距离h;若不存在,请说明理由.‎ A P Q B C E D A B C 备用图 E D 解:(1)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=6,BC=8‎ A P Q B C E D ‎①‎ ‎∴AB= =10‎ ‎∵D、E分别是AC、AB的中点 AD=DC=3,AE=EB=5,DE∥BC且DE= BC=4‎ ‎∵PQ⊥AB,∴∠PQB=∠C=90°‎ 又∵DE∥BC,∴∠AED=∠B ‎∴△PQE∽△ACB,∴ = 由题意得:PE=4-t,QE=2t-5‎ ‎∴ = ,解得t= A P Q B C E D ‎②‎ M ‎(2)如图②,过点P作PM⊥AB于M 由△PME∽△ACB,得 = ‎∴ = ,得PM= ( 4-t )‎ ‎∴S△PQE = EQ·PM= ( 2t-5 )· ( 4-t )= t 2- t+6‎ S梯形DCBE = ×( 4+8 )×3=18‎ ‎∴y=18-( t 2- t+6)=- t 2+ t+12‎ ‎(3)假设存在时刻t,使S△PQE : S五边形PQBCD =1 : 29‎ 此时S△PQE = S梯形DCBE ‎∴ t 2- t+6= ×18,解得t1=2,t2= (舍去)‎ 当t=2时,PM= ( 4-2 )= ,ME= ( 4-2 )= EQ=5-2×2=1,MQ=ME+EQ= +1= PQ== ‎∵ PQ·h= ,∴h= × = ‎33.(山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4),以A为顶点的抛物线y=ax 2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G.当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?‎ x O y A D C B F G 图1‎ E 图1‎ P 图1‎ Q ‎(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.‎ x O y A D C B F G 图1‎ E 图1‎ P 图1‎ Q 解:(1)A(1,4)‎ 由题意,可设抛物线解析式为y=a( x-1 )2+4‎ ‎∵抛物线过点C(3,0)‎ ‎∴0=a( 3-1 )2+4,∴a=-1‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-( x-1 )2+4‎ 即y=-x 2+2x+3‎ ‎(2)∵A(1,4),C(3,0)‎ ‎∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6‎ P(1,4-t) 将y=4-t代入y=-2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+ ‎∴点G的横坐标为1+ ,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4- ‎∴GE=( 4- )-( 4-t )=t- 又点A到GE的距离为 ,C到GE的距离为2- 即S△ACG =S△AEG + S△CEG = EG· + EG( 2- )= ·2( t- )=- ( t-2 )2+1‎ x O y A D C B E 图1‎ P 图1‎ Q H N 当t=2时,S△ACG的最大值为1‎ ‎(3)t= 或t=20-8 提示:∵A(1,4),C(3,0),∴AB=4,BC=2‎ ‎∴AC= =2,∴cos∠BAC= = = ‎∵PE⊥AB,AP=t,∴AE= = t ‎∴CE=2- t x O y A D C B E 图1‎ P 图1‎ Q H 若EQ=CQ,则在矩形ABCD内存在点H,使四边形CQEH为菱形 过点Q作QN⊥EC于N,则CE=2CN 在Rt△QNC中,CN=CQ·cos∠ACD=CQ·cos∠BAC= t ‎∴2- t= t,解得t= 若CE=CQ,则在矩形ABCD的AD边上存在点H,使四边形CQHE为菱形 ‎∴2- t=t,解得t=20-8 ‎34.(山东模拟)把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠BAC=∠DEF=90°,∠ABC=45°,BC=9,DE=6,EF=8.如图2,△DEF从图1的位置出发,以1个单位/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF 移动的同时,点P从△DEF的顶点F出发,以3个单位/秒的速度沿FD向点D匀速移动.当点P移动到点D时,P点停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接BQ、PQ,设移动时间为t(s).‎ ‎(1)设△BQE的面积为y,求y与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;‎ ‎(2)当t为何值时,三角形DPQ为等腰三角形?‎ A B D E F 图2‎ P Q C ‎(E)‎ A B D C F 图1‎ ‎(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、B三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)∵∠ACB=45°,∠DEF=90°,∴∠EQC=45°‎ ‎∴EC=EQ=t,∴BE=9-t A B D E F P Q C ‎∴y= BE·EQ= ( 9-t )t 即y=- t 2+ t(0<t ≤ )‎ ‎(2)在Rt△DEF中,∵∠DEF=90°,DE=6,EF=8‎ ‎∴DF= = =10‎ ‎①当DQ=DP时,则6-t=10-3t,解得t=2‎ A B D E F P Q C G ‎②当PQ=PD时,过P作PG⊥DQ于G 则DH=HQ= ( 6-t )‎ ‎∵HP∥EF,∴△DHP∽△DEF ‎∴ = ,即 = ,解得t= ‎③当QP=QD时,过Q作QH⊥DP于H A B D E F H Q C P 则DH=HP= ( 10-3t )‎ 可得△DHQ∽△DEF,∴ = 即 = ,解得t= ‎(3)假设存在某一时刻t,使P、Q、B三点在同一条直线上 A B D E F P Q C K 过P作PK⊥BF于K,则△PKF∽△DEF ‎∴ = = ,即 = = ‎∴PK= t,KF= t ‎∵P、Q、B三点共线,∴△BQE∽△BPK ‎∴ = ,即 = ,解得t= 即当t= 秒时,P、Q、B三点在同一条直线上 ‎35.(山东模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于D,且BD=8cm.点M从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2cm/s;同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s,运动过程中始终保持PQ∥AC,直线PQ交AB于P,交BC于Q,连接PM,设运动时间为t(s).‎ ‎(1)当四边形PQCM是等腰梯形时,求t的值;‎ ‎(2)当点M在线段PC的垂直平分线上时,求t的值;‎ ‎(3)当t为何值时,①△PQM是等腰三角形;②△PQM是直角三角形;‎ ‎(4)是否存在时刻t,使以PM为直径的圆与BC相切?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ A C B D P Q M 解:(1)作PE⊥AC于E,作QF⊥AC于F E A C F B D P Q M 若四边形PQCM是等腰梯形,则ME=CF 易知四边形PQFE是矩形,∴EF=PQ ‎∵PQ∥AC,∴△PBQ∽△ABC ‎∵AB=AC,∴PQ=PB=t,∴EF=t ‎∵AB=10,BD=8,∴AD= =6‎ 易证△APE∽△ABD,∴ = 即 = ,∴AE=6- t ‎∴ME=AE-AM=6- t-2 t=6- t CF=AC-( AE+EF )=10-( 6- t+t )=4- t 由ME=CF,得6- t=4- t,解得t= A C B D P Q M G ‎∴当t= s时,四边形PQCM是等腰梯形 ‎(2)若点M在线段PC的垂直平分线上,则MP=MC 作MG⊥AB于G,则△AMG∽△ABD ‎∴ = = ,∴ = = ‎∴AG= t,MG= t ‎∴PG=10-t- t=10- t 在Rt△GPM中,MP 2=( t )2+( 10- t )2= t 2-44t+100‎ 又∵MC 2=( 10-2t )2=4t 2-40t+100‎ 由MP=MC,得 t 2-44t+100=4t 2-40t+100‎ 解得t1= ,t2=0(舍去)‎ E A C B D P Q M ‎∴当t= s时,点M在线段PC的垂直平分线上 ‎(3)①若PQ=PM,则t 2= t 2-44t+100‎ 即8t 2-55t+125=0‎ ‎△=(-55) 2-4×8×125=-975<0,方程无实数解 若MP=MQ,则点M在线段PQ的垂直平分线上 作PE⊥AC于E,∴EM= PQ= t E A C B D P Q M F 由(1)知,AE=6- t ‎∵AE+EM=AM,∴6- t+ t=2t 解得t= 若PQ=MQ,作PE⊥AC于E,作QF⊥AC于F 由(1)知,QF=PE ‎∵△APE∽△ABD,∴ = 即 = ,∴QF=PE=8- t 又FM=AM-( AE+EF )=2t-( 6- t+t )= t-6‎ ‎∴MQ 2=(8- t )2+( t-6)2= t 2-32t+100‎ 由PQ=MQ,得t 2= t 2-32t+100‎ 解得t1= ,t2=10(舍去)‎ A C B D P Q M ‎∴当t= s或t= s时,△PQM是等腰三角形 ‎②若∠MPQ=90°,则AM=6- t ‎∴2t=6- t,∴t= 若∠PMQ=90°,则PM 2+QM 2=PQ 2‎ ‎∴ t 2-44t+100+ t 2-32t+100=t 2‎ 即12t 2-95t+250=0‎ E A C B D P Q M ‎△=(-55) 2-4×8×125=-2975<0,方程无实数解 若∠PQM=90°,作PE⊥AC于E 则AE=6- t,EM=PQ=t ‎∵AE+EM=AM,∴6- t+t=2t ‎∴t= ‎∴当t= s或t= s时,△PQM是直角三角形 ‎(4)设PM的中点为N,分别过P、N、M作BC的垂线,垂足为G、K、H 易证△PBG∽△BCD,△MCH∽△BCD A C B D P Q M G H K N ‎∴ = , = ‎∵AC=10,AD=6,∴DC=4‎ ‎∴BC= =4 ‎∴ = , = ‎∴PG= t,MH= (10-2t )‎ ‎∴NK= ( PG+MH )= (10-t )‎ 若以PM为直径的圆与BC相切,则PM=2NK ‎∴PM 2=4NK 2‎ ‎∴ t 2-44t+100= (10-t )2‎ 解得t1= ,t2= ‎∴当t= s或t= s时,以PM为直径的圆与BC相切 ‎36.(内蒙古包头、乌兰察布)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm.现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以l cm/秒的速度沿AC向终点C运动;点Q以1.25 cm/秒的速度沿BC向终点C运动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ.设动点运动时间为t秒(t>0).‎ ‎(1)连接DP,经过1秒后,四边形EQDP能够成为平行四边形吗?请说明理由;‎ ‎(2)连接PQ,在运动过程中,不论t取何值时,总有线段PQ与线段AB平行,为什么?‎ A D Q 图1‎ C P 图1‎ B 图1‎ E 图1‎ ‎(3)当t为何值时,△EDQ为直角三角形.‎ 解:(1)能.‎ ‎∵点P的速度为l cm/秒,点Q的速度为1.25 cm/秒,t=1秒 A D Q 图1‎ C P 图1‎ B 图1‎ E 图1‎ ‎∴AP=1,BQ=1.25‎ ‎∴QD=BC-CD-BQ=5-3-1.25=0.75‎ ‎∵PE∥BC,∴△APE∽△ACD ‎∴ = ,即 = ‎∴PE=0.75,∴PE=QD ‎∴四边形EQDP是平行四边形 ‎(2)∵AC=4,BC=5,AP=t,BQ=1.25t ‎∴CP=4-t,CQ=5-1.25t A D Q 图1‎ C P 图1‎ B 图1‎ E 图1‎ ‎∴ = , = = ‎∴ = ,∴PQ∥AB ‎(3)①当∠EQD=90°时 易证△EDQ∽△ADC,∴ = 显然点Q在点D右侧,DQ=1.25t-2,EQ=PC=4-t A D Q 图1‎ C P 图1‎ B 图1‎ E 图1‎ ‎∴ = ,解得t=2.5‎ ‎②当∠DEQ=90°时 易证△DEQ∽△DCA,∴ = ‎∵PE∥BC,∴△APE∽△ACD,∴ = ‎∵AC=4,CD=3,∴AD=5‎ ‎∴ = ,∴AE=1.25t,DE=5-1.25t 显然点Q在点D右侧,DQ=1.25t-2‎ ‎∴ = ,解得t=3.1‎ ‎∴当t=2.5秒或t=3.1秒时,△EDQ为直角三角形 ‎37.(内蒙古呼伦贝尔)如图①,在平面直角坐标系内,Rt△ABC≌Rt△FED,点C、D与原点O重合,点A、F在y轴上重合,∠B=∠E=30°,AC=FD=.△FED不动,△ABC沿直线BE以每秒1个单位的速度向右平移,直到点B与点E重合为止.设平移时间为x(秒),平移过程中AB与EF的交点为M.‎ ‎(1)求出图①中点B的坐标;‎ ‎(2)如图②,当x=4秒时,求出过F、M、A三点的抛物线的解析式;此抛物线上有一动点P,以点P为圆心,以2为半径的⊙P在运动过程中是否存在与y轴相切的情况,若存在,直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)设移动x秒后两个三角形重叠部分的面积为S,求出整个运动过程中S与x的函数关系式.‎ F B D E O x y 图②‎ C A M A B C E ‎(F)‎ ‎(D)‎ O x y 图①‎ 解:(1)如图①,在Rt△ABC中,AC=,∠B=30°‎ A B C E ‎(F)‎ ‎(D)‎ O x y 图①‎ ‎∴BC=AC=3,∴B(-3,0)‎ ‎(2)如图②,∵x=4,∴A(4,),B(1,0)‎ 过M作MH⊥BE于H 由题意,OE=BC=3,∴BE=2‎ ‎∵∠B=∠E,∴MB=ME ‎∴BH= BE=1,∴OH=2,MH= ‎∴M(2,)‎ 设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c,把F、M、A三点坐标代入 F B D E O x y 图②‎ C A M H 解得 ‎∴抛物线的解析式为y= x 2- x+ P1(2,)或P2(-2,3)‎ 提示:若半径为2的⊙P与y轴相切,那么点P的横坐标为2或-2‎ 当x=2时,y= x 2- x+= 当x=-2时,y= x 2- x+=3 ‎∴存在符合条件的点P,坐标为P1(2,)或P2(-2,3)‎ ‎(3)当点B、O重合时,x=3,所以整个运动过程可分为两个阶段:‎ ‎①当0≤x <3时,如图③‎ F B D E O x y 图③‎ C A M H G BO=3-x,CD=x,OG=CH= BO= ( 3-x )‎ FG=- ( 3-x )= x ‎∴S=S梯形FDCH - S△FGM ‎= [ + ( 3-x )]·x- ·x··x ‎=- x 2+x F B D E O x y 图④‎ C A M ‎②当3≤x ≤6时,如图④,BE=3-( x-3 )=6-x ‎∴S=S△BME = ( 6-x )· ( 6-x )·= x 2-x+3 综上所述,S与x的函数关系式为:‎ S= ‎38.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OAB的直角边OA在x轴正半轴上,且OA=4,AB=2,将△OAB沿某条直线翻折,使OA与y轴正半轴的OC重合.点B的对应点为点D,连接AD交OB于点E.‎ ‎(1)求AD所在直线的解析式:‎ ‎(2)连接BD,若动点M从点A出发,以每秒2个单位的速度沿射线AO运动,线段AM的垂直平分线交直线AD于点N,交直线BD于点Q.设线段QN的长为y(y≠0),点M的运动时间为t秒,求y与t之问的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围);‎ A O C x E B D y 备用图 A O C x E B D y ‎(3)在(2)的条件下,连接MN,当t为何值时,直线MN与过D、E、O三点的圆相切,并求出此时切点的坐标.‎ A O C x N B D y E Q H M 解:(1)由题意,△OAB≌△OCD ‎∴OC=OA=4,CD=AB=2‎ ‎∴D(2,4)‎ 设直线AD的解析式为y=kx+b,把A(4,0),D(2,4)代入 解得 ‎∴y=-2x+8‎ ‎(2)由B(4,2),D(2,4),可得直线BD的解析式为y=-x+6‎ ‎∵直线NQ垂直平分线段AM A O C x N B D y E Q H M ‎∴NH⊥AM,AH=MH= AM= ×2t=t ‎∴OH=4-t,∴H(4-t,0)‎ ‎∴点Q、N的横坐标为为4-t ‎∴QH=-( 4-t )+6=t+2,NH=-2( 4-t )+8=2t 当0<t <2时,点Q在点N上方 y=QN=t+2-2t=-t+2‎ 当t >2时,点Q在点N下方 y=QN=2t-( t+2 )=t-2‎ ‎(3)过点D作DF⊥OA于F,则CD∥OF,CD=OF=2‎ A O C x E B D y F K G I M O′M N ‎∵OA=4,∴AF=OF=2‎ ‎∵DF⊥OA,∴OD=AD,∠ODC=∠DOF=∠DAF ‎∵△OAB≌△OCD,∴∠COD=∠AOB ‎∵∠COD+∠AOD=90°,∴∠OED=∠AOB+∠OAD=90°‎ ‎∴OD为经过D、E、O三点的圆的直径,OD的中点O′ 为圆心 在Rt△OCD中,OD= =2 tan∠COD= = ,tan∠ODC= =2‎ ‎∵NH垂直平分线段AM,∴∠NMA=∠NAM ‎∵∠DOA=∠NAM,∠NMA=∠DOA,∴MN∥OD 设直线MN与⊙O′ 相切于G点,连接O′G,作GK⊥OA于K,MI⊥OD于I A O C x E B D y F K G I M O′M N 则∠OO′G=∠O′GM=90°‎ ‎∵MI⊥OD,∴四边形O′IMG为矩形 ‎∴IM=O′G=,MG=O′I ‎∴OI= ,OM= ,∴MG=O′I= ‎∴KG=1,MK= ,∴OK=3,∴G(3,1)‎ ‎∵OM+AM=OA,∴ +2t=4,∴t= 同理可求当t= 时,切点G(-1,3)‎ ‎∴当t= 或t= 时,直线MN与过D、E、O三点的圆相切,切点分别为G(3,1)或G(-1,3)‎ ‎39.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+b与x轴交于点A,与正比例函数y=- x的图象交于点B,过B点作BC⊥y轴,点C为垂足,C(0,8).‎ ‎(1)求直线AB的解析式;‎ ‎(2)动点M从点A出发沿线段AO以每秒1个单位的速度向终点O匀速移动,过点M作x轴的垂线交折线A-B-O于点P.设M点移动的时间为t秒,线段BP的长为d,求d与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,动点Q同时从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿折线O-C-B向点B移动,当动点M停止移动时,点Q同时停止移动.当t为何值时,△BPQ是等腰三角形?‎ A O C B y x A O C B y x 备用图 A O C B y x 备用图 解:(1)∵BC⊥y轴,点C为垂足,C(0,8)‎ ‎∴点B的纵坐标为8‎ ‎∵y=- x,当y=8时,x=-6,∴B(-6,8)‎ A O C B y x P M D 把(-6,8)代入y=x+b,得8=-6+b,∴b=14‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+14‎ ‎(2)由题意得AM=t ‎∵直线AB:y=x+14交x轴于点A ‎∴A(-14,0),∴OA=14‎ 过点B作BD⊥x轴于点D ‎∵B(-6,8),∴BD=8,OD=6‎ ‎∴AD=14-6=8,∴AB= =8 OB= =10,∴∠BAD=45°,cos∠DOB= ‎①当点M在AD上时 A O C B y x P M D ‎∵PM⊥x轴,∴∠PMA=90°,∴AP=t ‎∴d=BP=AB-AP=8-t(0≤t <8)‎ ‎②当点M在OD上时,OM=14-t ‎∵∠PMO=90°,cos∠DOB= ,∴OP= ( 14-t )‎ ‎∴d=BP=OB-OP=10- ( 14-t )= t- (8<t ≤14)‎ 综上,d= ‎(3)①当点P在AB上时(0≤t <8),Q在OC上 A O C B y x P M D Q BQ 2=BC 2+CQ 2=6 2+( 8-t )2‎ ‎∵PM=OQ=t,∠PMO=∠MOQ=90°‎ ‎∴四边形PMOQ为矩形,∴PQ=OM=14-t ‎∵PM=OQ=t,∴PQ∥AO ‎∴∠BPQ=∠BAO=∠ABD ‎∵∠PBQ>∠ABD,∴∠PBQ>∠BPQ,∴PQ≠BQ 当BP=BQ时,( 8-t )2=6 2+( 8-t )2‎ A O C B y x P M D Q H 解得t1=2或t2=14‎ ‎∵0≤t <8,∴t2=2‎ 当PB=PQ时,( 8-t )2=( 14-t )2,解得t=2±6 ‎∵0≤t <8,∴t=2±6 不合题意,舍去 ‎②当点P在BO上时(8<t ≤14),Q在BC上 BQ=6+8-t=14-t 当BP=BQ时, t- =14-t,解得t= A O C B y x P M D Q K 当PB=PQ时,过点P作PH⊥BC于H ‎∴BQ=2BH ‎∵BH=DM=t-8,∴14-t=2( t-8 ),解得t=10‎ 当QB=QP时,过点Q作QK⊥BC于K ‎∴BP=2BK ‎∵BP= ( t-8 ),BK= ( 14-t )‎ ‎∴( t-8 )= ( 14-t ),解得t= 综上,当t=2或t=10或t= 或t= 时,△BPQ是等腰三角形 ‎40.(哈尔滨模拟)如图,直线y= x+12分别与x轴、y轴交于点A、B,直线BC交x轴于点C,且AB=AC.‎ ‎(1)求直线BC的解析式;‎ ‎(2)点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位的速度向点O运动,过点P作y轴的平行线,分别交直线BC、直线AB于点Q、M,过点Q作QN⊥AB于点N.设点P的运动时间为t(秒),线段MN的长为d,求d与t的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;‎ ‎(3)若经过A、N、Q三点的圆与直线BC交于另一点K,当t为何值时,KQ : AQ= : 10?‎ A O C N y x P Q B M K 解:(1)∵直线y= x+12分别与x轴、y轴交于点A、B ‎∴A(-9,0),B(0,12),∴OA=9,OB=12‎ ‎∴AB= =15,∴sin∠BAO= = ‎ ‎∵AB=AC,∴AC=15,∴C(6,0)‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b ‎∴ 解得 ‎∴直线BC的解析式为y=-2x+12‎ ‎(2)由题意,PC=t,∴OP=6-t A O C N y x P Q B M K ‎∴点P的横坐标为6-t ‎∴PM= ( 6-t )+12,PQ=-2( 6-t )+12‎ ‎∴MQ=PM-PQ=20- t ‎∵∠AMP+∠MAP=∠AMP+∠MQN=90°‎ ‎∴∠MQN=∠MAP=∠BAO ‎∴sin∠MQN=sin∠BAO= ‎∴MN=MQ·sin∠MQN= ( 20- t )=16- t ‎∴d=16- t(0≤t <6)‎ ‎(3)连接AK、AQ ‎∵∠ANQ=90°,∴AQ为经过A、N、Q三点的圆的直径 ‎∴∠AKQ=90°‎ ‎∵OB=12,OC=6,∴BC= =6 由S△ABC = AC·OB= BC·AK,得AK=6 ‎∵KQ : AQ= : 10,∴设KQ=m,则AQ=m 在Rt△AKQ中,AK 2+KQ 2=AQ 2‎ ‎∴( 6)2+m 2=( m )2,m=2 ‎∴AQ=m=10 ‎∵tan∠BCO= =2,∴PQ=PC·tan∠BCO=2t 在Rt△AQP中,AP 2+PQ 2=AQ 2‎ ‎∴( 15-t )2+( 2t )2=( 10 )2‎ 解得t1=1,t2=5‎ ‎∴当t=1或t=5时,KQ : AQ= : 10‎ ‎41.(哈尔滨模拟)如图,直线y=-kx+6k(k >0)与x轴、y轴分别相交于点A、B,且△AOB的面积是24.‎ ‎(1)求直线AB的解析式;‎ ‎(2)点P从点O出发,以每秒2个单位的速度沿折线OA-AB运动;同时点E从点O出发,以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动,过点E作与x轴平行的直线l,与线段AB相交于点F,当点P与点F重合时,点P、E均停止运动.连接PE、PF,设△PEF的面积为S,点P运动的时间为t秒,求S与t的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;‎ B O y x E A F P l B O y x A 备用图 ‎(3)在(2)的条件下,过P作x轴的垂线,与直线l相交于点M,连接AM,当tan∠MAB= 时,求t的值.‎ 解:(1)∵y=-kx+6k,当x=0时,y=6k;当y=0时,x=6‎ ‎∴OA=6,OB=6k ‎∵S△AOB =24,∴×6×6k=24,∴k= B O y x E A F P l H ‎∴直线AB的解析式为y=- x+8‎ ‎(2)根据题意,OE=t,EF∥OA,∴△BEF∽△BOA ‎∴ = ,即 = ,∴EF= ( 8-t )‎ ‎①当0<t ≤3时,点P在OA上运动 过点P作PH⊥EF于H,则PH=OE=t ‎∴S= EF·PH= ·( 8-t )·t=- t 2+3t ‎②当点P在AB上运动时 过点P作PG⊥OA于G,设直线PG与EF相交于点M,则MG=OE=t B O y x E A F P l G M 易知△APG∽△ABO,∴ = ‎∵OA=6,OB=8,∴AB= =10‎ ‎∴ = ,∴PG= ( 2t-6 )‎ 当点P与点F重合时,有PG=OE ‎∴( 2t-6 )=t,解得t=8,即PG=8‎ 点P与点F重合前,MP=MG-PG=t- ( 2t-6 )=- t+ ‎∴S= EF·MP= ·( 8-t )(- t+ )= t 2- t+ 综上,S= ‎(3)①当点P在OA上,点M在点F左侧时 B O y x E A F P l C M D 作MC⊥AB于C,FD⊥OA于D 则FD=OE=t,EM=OP=2t,MF=EF-EM= ( 8-t )-2t 在Rt△CMF中, =tan∠MFC=tan∠BAO= = 设CM=4k,则CF=3k,MF= =5k 在Rt△MAC中, =tan∠MAC=tan∠MAB= ‎∴AC=2CM=8k,∴AF=5k,∴MF=AF 在Rt△AFD中, = =sin∠FAD=sin∠BAO= ‎∴AF= t,∴( 8-t )-2t= t,解得t= 当点P在OA上,点M在点F右侧时,可求得t= B O y x E A F P l G M K ‎②当点P在AB上时,过点M作MK⊥AB于K 在Rt△PMK中, =tan∠MPK=tan∠ABO= 设MK=3m,则PK=4m,MP=5m,AK=6m ‎∴AP=AK-PK=2m,∴2t-6=2m ‎∵MP=t- ( 2t-6 ),∴t- ( 2t-6 )=5m ‎∴t- ( 2t-6 )= ( 2t-6 ),解得t= 综上所述,满足条件的t值是 或 或 ‎42.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,△AOB为等腰三角形,且OA=OB=10,过点B作y轴的垂线,垂足为D,直线AB的解析式为y=-3x+30,点C在线段BD上,点D关于直线OC的对称点在腰OB上.‎ ‎(1)求点B坐标;‎ ‎(2)点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿折线BC-CO运动;同时点Q从点O出发,以每秒1个单位的速度沿对角线OB向终点B运动,当一点停止运动时,另一点也随之停止运动.设△PQC的面积为S,运动时间为t,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,连接PQ,设PQ与OB所成的锐角为α,当α=90°-∠AOB时,求t的值.‎ C O y x D A B C O y x D A B 备用图 C O y x D A B F D′‎ 解:(1)过点B作BF⊥OA于F,设B(a,-3a+30)‎ 在Rt△OBF中,a 2+( -3a+30 )2=10 2‎ 解得a1=10(舍去),a2=8‎ 当a=8时,-3a+30=6‎ ‎∴B(8,6) (2)设点D关于直线OC的对称点为D′,连接CD′‎ ‎∵D′ 在腰OB上,∴OD=OD′,∠DOC=∠D′OC 又OC=OC,∴△DOC≌△D′OC ‎∴CD′=CD,∠CDO′=∠CDO=90°‎ C O y x D A B E P Q ‎∴S△POQ = OD·BD = OD·CD + OB·CD′‎ ‎∴CD= = =3,∴BC=5‎ ‎①当0≤t <5时,点P在线段BC上 过点Q作QE⊥BD于E,则△BQE∽△BOD ‎∴ = ,即 = ,∴QE=6- t ‎∴S= PC·QE= ( 5-t )( 6- t )‎ C O y x D A B Q P F 即S= t 2- t+15‎ ‎②当5<t ≤10时,点P在线段CO上 过点Q作QF⊥OC于F ‎∵COQ=∠COD,∠QFO=∠CDO=90°‎ ‎∴△QFO∽△CDO,∴ = 即 = ,∴QF= t C O y x D A B P Q ‎∴S= PC·QF= ( t-5 )· t 即S= t 2- t ‎(3)①当0≤t <5时 ‎∵α=90°-∠AOB=∠BOD,即∠PQB=∠DOB ‎∴PQ∥DO,∴△BPQ∽△BDO ‎∴ = ,即 = ,∴t= ‎②当5<t ≤10时,过点P作PH⊥OB于H C O y x D A B P Q H ‎∵∠PQO=∠BOD,∴tan∠PQO=∠BOD= 设PH=4k,则QH=3k,OH=8k,OP=4k ‎∴OQ=11k,∴11k=t,∴k= ‎ ‎∴OP=4k= t 又∵OP=3-( t-5 )=3+5-t ‎∴ t=3+5-t,∴t= ‎∴当α=90°-∠AOB时,t的值为 或 ‎43.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A( ,0),点B(3,4),将△OAB沿直线OB翻折,点A落在第二象限内的点C处.‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)动点P从点O出发,以每秒5个单位的速度沿OB向终点B运动,连接AP,将射线AP绕着点A逆时针旋转与y轴交于一点Q,且旋转角α= ∠OAB.设线段OQ的长为d,点P运动的时间为t秒,求d与t的函数关系式(直接写出时间t的取值范围);‎ ‎(3)在(2)的条件下,连接CP.点P在运动的过程中,是否存在CP∥AQ,若存在,求此时t的值,并辨断点B与以点P为圆心,OQ长为半径的⊙P的位置关系;若不存在,请说明理由.‎ B O C x A y 备用图 B O C x A y 解:(1)过点B作BG⊥x轴于G,过点C作CH⊥x轴于H B O C x A y G H ‎∵A( ,0),B(3,4),∴OA= ,OG=3,BG=4‎ ‎∴AG= ,∴AB= = ,∴AB=OA ‎∵△OAB沿直线OB翻折得到△OCB ‎∴△OAB≌△OCB,∴AB=OA=BC=CO ‎∴四边形ABCO是菱形 ‎∴CO∥AB,∴∠COH=∠BAG ‎∴Rt△CHO≌Rt△BGA,∴CH=BG=4,OH=AG= B O C x A y E P Q ‎∴C(- ,4) (2)连接AC交BO于点E ‎∵菱形ABCO,∴AC⊥BO,∠OAE= ∠OAB ‎∵α= ∠OAB,∴∠OAP=∠OAE,∴∠OAQ=∠EAP ‎∵∠AOQ=∠AEP=90°,∴△AOQ≌△AEP ‎∴ = 由(1)知,CH=4,AH= ‎∴AC= = ,∴AE= ,同理OE= ‎①当0≤t < 时 ‎∵OP=5t,∴PE= -5t,∴ = ‎∴d=- t+ ‎②当 <t ≤1时,同理可求d= t- B O C x A y E P Q F K ‎(3)过点P作PK⊥AB于K ‎∵AQ∥CP,∴∠PCE=∠QAE ‎∵AE=CE,AC⊥BO,∴PC=PA ‎∴∠PAE=∠PCE=∠QAE= ∠PAQ ‎∴∠PAB=∠QAE,∴∠PAE=∠PAB,∴PE=PK ‎∵菱形ABCO,∴∠PBK=∠OBF ‎∴sin∠PBK=sin∠OBF= = = ‎∵OP=5t,OB=5,∴PE=5t- ,PB=5-5t ‎∴ = ,解得t= ‎∴存在CP∥AQ,此时t= ‎∵ < <1,∴当t= 时,OQ=d= t- = BP=OB-OP=5-5t= ‎∴BP=OQ,即点B与圆心P的距离等于⊙P的半径,点B在⊙P上 ‎∴存在CP∥AQ,此时t= ,且点B在⊙P上 ‎44.(黑龙江大庆)已知等边△ABC的边长为3个单位,若点P由A出发,以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动,第一次回到点A处停止运动,设AP=S,用t表示运动时间.‎ A C B ‎(1)当点P由B到C运动的过程中,用t表示S;‎ ‎(2)当t取何值时,S等于 (求出所有的t值);‎ ‎(3)根据(2)中t的取值,直接写出在哪些时段AP< ?‎ 解:(1)当点P在BC上时,有3≤t ≤6‎ 作PM⊥AB,垂足为M 由PB=t-3,∠B=60°,得PM= ( t-3 ),BM= ( t-3 )‎ ‎∴AM=3- ( t-3 )‎ 于是S=AP= =(3≤t ≤6)‎ ‎(2)当S= 时 ‎(i)当点P在AB上时,有t= ‎(ii)当点P在CA上时,有t=9- ‎(iii)当点P在BC上时,S== 解得t=4或t=5‎ 综上t= 或t=9- 或t=4或t=5‎ ‎(3)根据(2)可知0<t <,4<t <5,9-<t ≤9‎ 这三个时间段内AP< ‎45.(黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x 2-7x+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.‎ ‎(1)求A、B两点的坐标.‎ ‎(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标.‎ ‎(3)当t=2时,在坐标平面内找一点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形,求M点的坐标;‎ B Q x P O y A ‎(4)在P、Q运动过程中,在坐标平面内是否存在点N,使以A、P、Q、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ B Q x P O y A 图1‎ 解:(1)解方程x 2-7x+12=0,得x1=3,x2=4‎ ‎∵OA<OB,∴OA=3,OB=4‎ ‎∴A(0,3),B(4,0)‎ ‎(2)由题意得,AP=t,AQ=5-2t 可分两种情况讨论:‎ ‎①当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB 如图1, = ,解得t= B Q x P O y A 图2‎ ‎∴Q( ,)‎ ‎②当∠AQP=∠AOB时,△APQ∽△ABO 如图2, = ,解得t= ‎∴Q( ,)‎ ‎(3)当t=2时,AP=2,AQ=5-2t=1‎ ‎∴PO=1,∴P(0,1),‎ B Q x P O y A 图3‎ M 点Q的横坐标为:1×cos∠ABO= ,纵坐标为:3-1×sin∠ABO= ‎∴Q( ,)‎ 若AP是平行四边形的边,则MQ∥AP,MQ=AP=2,如图3、图4‎ ‎∴点M的横坐标为 ,纵坐标为: +2= 或 - 2= ‎∴M1( ,),M2( ,)‎ B Q x P O y A 图4‎ M 若AP是平行四边形的对角线,则△AMP≌PQA,如图5‎ ‎∵点Q的横坐标为 ,∴点M的横坐标为- ‎∵点A的纵坐标比点Q的纵坐标大 ‎∴点M的纵坐标比点P的纵坐标大 即点M的纵坐标为:1+ = B Q x P O y A 图5‎ M ‎∴M3(- ,)‎ ‎(4)存在.N1( ,),N2( ,),N3(- ,)‎ 提示:有三种情况 若AP=AQ,则在坐标平面内存在点N,‎ 使四边形APNQ是菱形,如图6‎ ‎∴t=5-2t,解得t= ,∴AQ= B Q x P O y A 图6‎ N ‎∴Q( ,2),∴N1( ,)‎ 若AP=PQ,则在坐标平面内存在点N,‎ 使四边形APQN是菱形,如图7‎ 由题意,P(0,3-t),Q(4- t, t)‎ ‎∴PQ 2=( 4- t )2+( 3-t- t )2‎ ‎∴t 2=( 4- t )2+( 3-t- t )2,解得t= 或t= B Q x P O y A 图7‎ N 当t= 时,点Q与点A重合,不合题意,舍去 ‎∴t= ,∴Q( ,)‎ ‎∴N2( ,)‎ 若AQ=PQ,则在坐标平面内存在点N,‎ 使四边形ANPQ是菱形,如图8‎ B Q x P O y A 图8‎ N O′‎ 连接NQ交AP于O′,则NQ⊥AP,AO′=O′P ‎∴AP=2AO′,∴t= ( 5-2t )‎ 解得t= ,∴Q( ,)‎ ‎∴N3(- ,)‎ ‎46.(吉林)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm.动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为t s,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S cm2.‎ ‎(1)当t=_________s时,点P与点Q重合;‎ ‎(2)当t=_________s时,点D在QF上;‎ ‎(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,求S与t之间的函数关系式.‎ B Q D P C A E F B C A ‎(备用图)‎ 解:(1)1‎ ‎(2) 提示:点D在QF上时 ‎∵QF∥BC,∠DPQ=CAB=90°‎ ‎∴△PQD∽△ABC,∴ = 即 = ,解得t= ‎(3)如图①,当点D在BC上时 B Q D P C A E 图①‎ ‎(F)‎ 由四边形APDE是正方形,得DP∥AC ‎∴△BDP∽△BCA,∴ = = = ‎∴PB= DP= t 由AP+PB=AB,得t+ t=2,解得t= 此时点E与点F重合 当1<t ≤ 时 解法1:‎ 如图②,设DE交FQ于点H,则重合部分为梯形DHQP PQ=AP+QB-AB=t+t-2=2t-2‎ B Q D P C A E F 图②‎ G H 过点Q作QG⊥DE于点G,则DG=PQ=2t-2‎ 由△HGQ∽△BAC,得HG= ‎∴HD=HG+GD= t+2t-2= t-2‎ ‎∴S= ( PQ+HD )·DP= ( 2t-2+ t-2 )·t= t 2-2t 解法2:‎ 如图②,设DE交FQ于点H 由△FAQ∽△CAB,得AF=2AQ=2( 2-t )=4-2t ‎∴EF=AF-AE=4-2t-t=4-3t 由△FEH∽△CAB,得EH= EF=2- t ‎∴S梯形AQHE = ( AQ+EH )·AE= ( 2-t+2- t )·t=- t 2+2t ‎∴S=S正方形APDE - S梯形AQHE =t 2-( - t 2+2t )= t 2-2t 由题意,当t=2时,点P到达点B B Q D P C A E 图③‎ F M N 当 <t <2时 如图③,设DE交BC于点M,DP交BC于点N 则重合部分为六边形EFQPNM 由△FAQ∽△CAB,得AF=4-2t ‎∴S△FAQ = AQ·AF= ( 2-t )( 4-2t )=( 2-t )2‎ 由△NPB∽△CAB,得PN=4-2t ‎∴DN=DP-NP=t-( 4-2t )=3t-4‎ 由△DMN∽△ABC,得DM= ( 3t-4 )‎ ‎∴S△DMN = DM·DN= ·( 3t-4 )( 3t-4 )= ( 3t-4 )2‎ ‎∴S=S正方形APDE - S△DMN - S△FAQ =t 2- ( 3t-4 )2-( 2-t )2=- t 2+10t-8‎ 综上所述,S= ‎47.(吉林模拟)如图,梯形OABC中,OA在x轴上,CB∥OA,∠OAB=90°,B(4,4),BC=2.动点E从点O出发,以每秒1个单位的速度沿线段OA运动,到点A停止,过点E作ED⊥x轴交折线O-C-B于点D,以DE为一边向右作正方形DEFG.设运动时间为t(秒),正方形DEFG与梯形OABC重叠面积为S(平方单位).‎ ‎(1)求tan∠AOC的值;‎ ‎(2)求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;‎ ‎(3)连接AC,AC的中点为M,t为何值时,△DMG为等腰三角形?‎ D A B C G O E F x y D A B C G O E F x 备用图 y D A B C G O E F x H y D A B C G O E x ‎(F)‎ y 解:(1)过C作CD⊥x轴于H ‎∵B(4,4),BC=2,∴OH=2,CH=4‎ ‎∴tan∠AOC= = =2,‎ ‎(2)当点F与点A重合时,OE=t,AE=DE=4-t ‎∴tan∠AOC= = =2,解得t= 当0<t ≤ 时,S=DE 2=( 2OE )2=( 2t )2=4t 2‎ D A B C G O E F x y D A B C G O E F x y 当 ≤t ≤2时,S=DE·AE=2t·( 4-t )=-2t 2+8t 当2≤t ≤4时,S=4AE=4( 4-t )=-4t+16‎ 当0<t ≤ 时,t= 时,S最大= 当 ≤t ≤2时,t=2时,S最大=8‎ 当2≤t ≤4时,t=2时,S最大=8‎ 综上,t=2时,S的最大值为8‎ D A B C G O E F x M y D A B C G O E F x M y ‎(3)t1= ,t2= ,t3=2-1‎ 提示:由题意,A(4,0),C(2,4)‎ ‎∴M(3,2)‎ 当0<t ≤2时,D(t,2t),G(3t,2t)‎ ‎∴DM 2=( t-3 )2+( 2t-2 )2,DG 2=4t 2‎ MG 2=( 3t-3 )2+( 2t-2 )2‎ 若DG=MG,则4t 2=( 3t-3 )2+( 2t-2 )2‎ 解得t= >2(舍去)或t= 若MD=MG,则( t-3 )2+( 2t-2 )2=( 3t-3 )2+( 2t-2 )2‎ 解得t=0(舍去)或t= D A B C G O E F x M 若DM=DG,则( t-3 )2+( 2t-2 )2=4t 2,无实数解 当2<t ≤4时,D(t,4),G(t+4,4)‎ ‎∴DM 2=( t-3 )2+ 2 2,DG 2=4 2‎ MG 2=( t+1 )2+ 2 2‎ 若DG=MG,则4 2=( t+1 )2+ 2 2‎ 解得t=2-1或t=-2-1(舍去)‎ 若MD=MG,则( t-3 )2+ 2 2=( t+1 )2+ 2 2‎ 解得t=1(舍去)‎ 若DM=DG,则( t-3 )2+ 2 2=4 2‎ 解得t=3±2(舍去)‎ ‎48.(吉林长春)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm.D、E分别为边AB、BC的中点,连接DE.点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止.点P在线段AD上以 cm/s的速度运动,在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时,过点P作PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在线段AQ上.设点P的运动时间为t(s).‎ ‎(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为______________cm(用含t的代数式表示).‎ ‎(2)当点N落在AB边上时,求t的值.‎ ‎(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式.‎ ‎(4)连接CD.当点N与点D重合时,有一点H从点M出发,在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动,直至点P与点E重合时,点H停止往返运动;当点P在线段EB上运动时,点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围.‎ M C A B Q P N D E ‎(1)( t-2 )‎ M C A B Q P D E 图①‎ ‎(N)‎ ‎(2)①当点P在线段DE上时,如图①‎ PD=PN=PQ=2,∴t-2=2‎ ‎∴t=4‎ ‎②当点P在线段EB上时,如图②‎ PN=2PB ‎∵PN=PC=( t-6 )+2=t-4‎ M C A B N D E 图②‎ P ‎(Q)‎ PB=2-( t-6 )=8-t ‎∴t-4=2( 8-t ),解得t= ‎∴当点N落在AB边上时,t的值为4或 ‎(3)①当2<t <4时,如图③‎ M C A B N D E 图③‎ P Q S=2 2- ( 4-t )2‎ 即S=- t 2+2t ‎②当 <t <8时,如图④‎ S=( t-4 )2- ( 3t-20 )2‎ M C A B N D E 图④‎ P ‎(Q)‎ 即S=- t 2+22t-84‎ ‎(4)t= 或t=5或6≤t ≤8‎ 提示:当点H第一次落在线段CD上时 ‎2.5( t-4 )+ ( t-4 )=2,解得t= 当点H第二次落在线段CD上时 ‎2.5( t-4 )-2= ( t-4 ),解得t=5‎ 当点H第三次落在线段CD上时 ‎6-2.5( t-4 )= ( t-4 ),解得t=6‎ 当6≤t ≤8时,点H恒在线段CD上 P A B C M O F D E N Q ‎49.(长春模拟)如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB=6,C为OB上一点,射线CD⊥OB交AB于点D,OC=2.点P从点A出发以每秒 个单位长度的速度沿AB方向运动,点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点B时停止运动,点Q也随之停止.过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,得到矩形PEOF,以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN,斜边MN∥OB,且MN=QC.设运动时间为t(秒).‎ ‎(1)求t=1时FC的长度.‎ ‎(2)求MN=PF时t的值.‎ ‎(3)当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时,求重叠(阴影)部分图形 面积S与t的函数关系式.‎ ‎(4)直接写出△QMN和矩形PEOF的边有三个公共点时t的值.‎ 解:(1)根据题意,△AOB、△AEP都是等腰直角三角形 P A C M O F D E N Q B 图①‎ G H ‎∵AP=t,∴OF=EP=t ‎∵OC=2,∴FC=|2-t |‎ ‎∴当t=1时,FC=1‎ ‎(2)∵AP=t,∴AE=t,PF=OE=6-t ‎∵MN=QC=2t,MN=PF ‎∴2t=6-t,∴t=2‎ ‎(3)当点F在点C左侧时,设MQ、MN分别与PF交于点G、H 当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时 P A F M O C D E N Q B 图③‎ I J K L P A C M O F D E N Q B 图②‎ K 则MH=GH=t-( 2-t )=2t-2≥0,得t ≥1‎ 当点F与点C重合时,t=2‎ 当1≤t ≤2时,重叠部分为△MGH,如图①‎ ‎∵MH=GH=t-( 2-t )=2t-2‎ ‎∴S = ( 2t-2 )2=2t 2-4t+2‎ 当点E落在MQ上时,如图②‎ ‎∵AE=t,EK=MK=t-2,AK=6-t,AE+EK=AK ‎∴t+( t-2 )=6-t,∴t= P A F M O C D E N Q B 图④‎ K L 当2<t ≤ 时,重叠部分为五边形IJKLP,如图③‎ ‎∵JK=MK=t-2,AK=6-t,∴AJ=6-t-( t-2 )=8-2t ‎∴EK=6-t-t=6-2t,EI=EJ=8-2t-t=8-3t ‎∴S =S矩形EKLP - S△EJI=t( 6-2t )- ( 8-3t )2=- t 2+30t-32‎ A C M O D E N Q B 图⑤‎ ‎(F)‎ ‎(P)‎ ‎(F)‎ 当MN与EP重合时,t=3‎ 当 <t ≤3时,重叠部分为矩形EKLP,如图④‎ ‎∴S =t( 6-2t )=-2t 2+6t ‎(4)t=2或t= 提示:如图⑤、图②‎ A B R x E C Q D P M O y ‎50.(长春模拟)如图,在平面直角坐标系中,梯形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为A(-3,0),B(15,0),D(0,4),且CD=10.一条抛物线经过C、D两点,其顶点M在x轴上.点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿AD向点D运动,到点D后又以每秒3‎ 个单位的速度沿DC向点C运动,到点C停止;同时,点E从点B出发以每秒5个单位的速度沿BO运动,到点O停止.过点E作y轴的平行线,交边BC或CD于点Q,交抛物线于点R.设P、E两点运动的时间为t(秒).‎ ‎(1)写出点M的坐标,并求这条抛物线的解析式;‎ ‎(2)当点Q和点R之间的距离为8时,求t的值;‎ ‎(3)直接写出使△MPQ成为直角三角形时t值的个数;‎ ‎(4)设P、Q两点直径的距离为d,当2≤d≤7时,求t的取值范围.‎ 解:(1)M(5,0)‎ A B R x E C Q D P M O y N 设抛物线的解析式为y=a( x-5)2‎ ‎∵抛物线经过点D(0,4),∴25a=4,∴a= ‎∴抛物线的解析式为y= ( x-5 )2或y= x 2- x+4‎ ‎(2)作CN⊥AB于N,则CN=4,BN=5‎ ‎①当0≤t ≤1时,由△BQE∽△BCN得: = = ‎∵BE=5t,∴QE=4t ‎∵RQ=8,∴RE=4t+8‎ ‎∴R(15-5t,4t+8)‎ ‎∵点R在抛物线y= ( x-5 )2上,∴( 15-5t-5 )2=4t+8‎ 解得t1= >1(舍去) ,t2= ‎②当1≤t ≤3时,QR≤CN=4‎ ‎∴当t= 时,点Q和点R之间的距离为8‎ ‎(3)4‎ 提示:‎ 当0≤t ≤1时,P在线段AD上,Q在线段BC上,∠PMQ ≥∠DMC >90°‎ 当1<t ≤ 时(P到达C时,t=1+ =),P、Q均在CD上 若∠PMQ=90°,则由射影定理得:(8-3t )(10-5t )=4 2‎ 解得t1= ,t2= 若∠PQM=90°,则Q到达M的正上方,t= =2‎ 若∠QPM=90°,则P到达M的正上方,t=1+ = 所以使△MPQ成为直角三角形时的t值有4个 ‎(4)∵当t=1时,P、Q分别到达D、C两点,CD=10‎ ‎∴当2≤d ≤7时,P、Q均在CD上 当点P和点Q相遇前,d=PQ=3+15-( 3t+5t )=18-8t ‎∴2≤18-8t ≤7,解得 ≤t ≤2‎ 当点P和点Q相遇后,d=PQ=8t-18‎ ‎∴2≤8t-18≤7,解得 ≤t ≤ ‎∵ >3,而3t-3=7时,t= ‎∴≤t ≤ 综上所述,当2≤d ≤7时,t的取值范围为 ≤t ≤2或 ≤t ≤ ‎51.(辽宁大连)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P、Q同时从点C出发,以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动.过点P作AC的垂线l交AB于点R,连接PQ、RQ,并作△PQR关于直线l对称的图形,得到△PQ′R.设点Q的运动时间为t(s),△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2).‎ ‎(1)t为何值时,点Q′ 恰好落在AB上?‎ ‎(2)求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围;‎ B l A C Q P R Q′‎ ‎(3)S能否为 cm2?若能,求出此时的t值,若不能,说明理由.‎ B A 备用图 C B A 备用图 C 解:(1)过点Q′ 作Q′H⊥AC,垂足为H(如图1)‎ B l A C Q P R Q′‎ 图1‎ H ‎∴∠Q′HA=90°=∠C,Q′H∥BC ‎∴AQ′H△∽△ABC,∴ = 由题意知QC=CP=PH=Q′H=t ‎∴ = ,即AH= t ‎∵CP+PH+HA=CA,即t+t+ t=8‎ ‎∴t= ,即t为 s时,点Q′ 恰好落在AB上 B l A C Q P R Q′‎ 图2‎ ‎(2)①当0<t ≤ 时(如图2)‎ 同理 = ,即 = ‎∴RP= ( 8-t )‎ ‎∴S=S△PQ′R =S△PQR = RP·CP= ×( 8-t )×t=- t 2+3t ‎②当 <t ≤6时(如图3)‎ B l A C Q P R Q′‎ 图3‎ M H 设PQ′ 与AB相交于点M,过点M作MH⊥AC,垂足为H 设MH=a,由对称性知,∠MPH=∠QPC=45°,则PH=MH=a 同理 = ,即 = ,∴AH= a ‎∵CP+PH+HA=CA,即t+a+ a=8‎ ‎∴a= ( 8-t )‎ ‎∴S= RP·PH= ×( 8-t )×( 8-t )= ( 8-t )2=- t 2- t+ 综上,S= ‎(3)若S= ,则 ‎①当0<t ≤ 时,- t 2+3t= ,解得t1=4+(舍去),t2=4- ‎②当 <t ≤6时,( 8-t )2= ,解得t1=8+(舍去),t2=8- 即S能为 cm2,此时t为( 4- )s或( 8- )s