- 1.32 MB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析
23.(江苏连云港)如图,甲、乙两人分别从A(1,)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点.甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行走,t h后,甲到达M点,乙到达N点.
(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行.
(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?
O
B
y
x
A
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长,设s=MN 2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值.
解:(1)∵A(1,),∴OA=2,∠AOB=60°
假设MN∥AB,则有 =
∵OM=2-4t,ON=6-4t,∴ =
解得t=0
即在甲、乙两人到达O点前,只有当t=0时,△OMN∽△OAB
∴MN与AB不可能平行
(2)∵甲达到O点时间为t= = ,乙达到O点时间为t= =
∴甲先到达O点,∴t= 或t= 时,O、M、N三点不能构成三角形
①当t < 时,若△OMN∽△OBA,则有 =
解得t=2> ,∴△OMN与△OBA不相似
O
B
y
x
A
M
H
图1
N
②当 <t < 时,∠MON>∠OAB,显然△OMN与△OBA不相似
③当t > 时, = ,解得t=2>
∴当t=2时,△OMN∽△OBA
(3)①当t ≤ 时,如图1,过点M作MH⊥x轴,垂足为H
在Rt△MOH中,∵∠AOB=60°
∴MH=OM·sin60°=( 2-4t )× =( 1-2t )
∴NH= ( 4t-2 )+( 6-4t )=5-2t
O
B
y
x
A
M
H
图2
N
∴s=[ ( 1-2t )]2+( 5-2t )2=16t 2-32t+28
②当 <t ≤ 时,如图2,作MH⊥x轴,垂足为H
在Rt△MNH中,MH= ( 4t-2 )=( 2t-1 )
NH= ( 4t-2 )+( 6-4t )=5-2t
∴s=[ ( 1-2t )]2+( 5-2t )2=16t 2-32t+28
③当t > 时,同理可得s=[ ( 1-2t )]2+( 5-2t )2=16t 2-32t+28
综上所述,s=16t 2-32t+28
∵s=16t 2-32t+28=16( t-1 )2+12
∴当t=1时,s有最小值为12
∴甲、乙两人距离的最小值为2km
24.(江苏南通)如图,在△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点.点P从B出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动,点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为t秒.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a= ,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
C
B
D
A
Q
P
解:(1)∵BC=12,D是BC的中点
∴BD=CD=6
∵a=2,∴BP=2t,DQ=t,BQ=6-t
∵△BPQ∽△BDA,∴ =
∴ = ,∴t=
C
B
D
A
Q
P
M
(2)①∵a= ,∴BP= t
∵四边形PQCM为平行四边形,∴PQ∥AC
∴△BPQ∽△BAC,∴ =
∴ = ,∴t= ,∴BP=
∵AB=AC,∴PQ=BP=
②不存在
理由:假设存在实数a,使得点P在∠ACB的角平分线上
则四边形PQCM为菱形,∴BP=PQ=CQ=6+t
由①知, = ,∴ =
∴t=- <0
∴不存在实数a,使得点P在ACB的角平分线上
25.(江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y= x与直线l2:y=-x+6相交于点M,直线l2与x轴相交于点N.
(1)求M、N的坐标;
(2)在矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重合部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时结束).直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程);
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,S的值最大?并求出最大值.
A
B
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
A
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
B
A
B
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
解:(1)对于y=-x+6,令y=0,得x=6
∴点N的坐标为(6,0)
由题意,得 解得
∴点M的坐标为(4,2)
(2)当0≤t ≤1时,S= t 2
当1<t ≤4时,S= t-
A
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
B
A
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
B
当4<t <5时,S=- t 2+ t-
当5≤t <6时,S=-t+
当6≤t ≤7时,S= ( 7-t )2
(3)解法一:当0≤t ≤1时,S最大=
当1<t ≤4时,S最大=
A
l1
N
M
x
l2
C
D
y
O
B
当4<t <5时,S=- ( t- )2+
∴当t= 时,S最大=
当5≤t <6时,S最大=
当6≤t ≤7时,S最大=
综上可知,当t= 时,S的值最大,且最大值是
解法二:由(2)中的函数关系式可知,S的最大值一定在4<t <5时取得
当4<t <5时,S=- ( t- )2+
∴当t= 时,S的值最大,且最大值是
26.(江苏模拟)已知抛物线与x轴交于B、C(1,0)两点,与y轴交于点A,顶点坐标为( ,- ).P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为每秒1个单位,设P、Q运动时间为t(0≤t≤4).
(1)求此抛物线的解析式,并求出P点的坐标(用t表示);
(2)当△OPQ面积最大时求△OBP的面积;
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)△OPQ是否可能为等边三角形?若可能请求出t的值;若不可能请说明理由,并改变Q点的运动速度,使△OPQ为等边三角形,求出Q点运动的速度和此时t的值.
y
O
x
A
B
C
Q
P
解:(1)设抛物线的解析式为y=a( x- )2-
∵抛物线过点C(1,0)
∴0=a( 1- )2- ,∴a=
∴y= ( x- )2-
令y=0,得x1=1,x2=4,∴B(4,0)
令x=0,得y=3,∴A(0,3)
O
x
A
B
C
Q
P
y
M
N
∴AB= =5
过点P作PM⊥y轴于M
则△AMP∽△AOB,∴ = =
即 = = ,∴AM= t,PM= t
∴P( t,3- t)
(2)过点P作PN⊥x轴于N
∴S△OPQ = OQ·PN= ·t·( 3- t )
=- t 2+ t=- ( t- )2+
∴当t= 时,△OPQ面积最大
此时OP为AB边上的中线
∴S△OBP = S△AOB = ××3×4=3
(3)若∠OPQ=90°,则OP 2+PQ 2=OQ 2
∴( t )2+( 3- t )2+( t- t )2+( 3- t )2=t 2
解得t1=3,t2=15(舍去)
若∠OQP=90°,则PM=OQ
∴ t=t,∴t=0(舍去)
∴当t=3时,△OPQ为直角三角形
(4)∵OP 2=( t )2+( 3- t )2,PQ 2=( t- t )2+( 3- t )2
∴OP≠PQ,∴△OPQ不可能是等边三角形
设Q的速度为每秒k个单位时,△OPQ为等边三角形
则OQ=2PM,∴kt=2· t,得k=
PN= OP= OQ,∴3- t= · t
∴t=
27.(江苏模拟)如图,在梯形纸片ABCD中,BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2,过点B作BH⊥AD于H,BC=BH=2.动点F从点D出发,以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止,在运动过程中,过点F作FE⊥AD交折线D-C-B于点E,将纸片沿直线EF折叠,点C、D的对应点分别是点C1、D1.设F点运动的时间是t(秒).
(1)当点E和点C重合时,求t的值;
(2)在整个运动过程中,设△EFD1或四边形EFD1C1与梯形ABCD重叠部分面积为S,求S与t之间的函数关系式和相应自变量t的取值范围;
(3)平移线段CD,交线段BH于点G,交线段AD于点P.在直线BC上是否存在点Q,使△PGQ为等腰直角三角形?若存在,求出线段BQ的长;若不存在,说明理由.
D1
A
B
C
F
E
D
H
A
B
C
D
H
备用图
解:(1)过点C作CK⊥AD于K
A
B
C
D
H
K
则四边形BHKC是矩形,∴HK=BC=2,CK=BH=2
在Rt△CKD中,∠DCK+∠D=90°
∵∠A+∠D=90°,∴∠DCK=∠A
∴tan∠DCK=tanA=2,即 =2
∴DK=4,即t=4
D1
A
B
C
F
E
D
H
(2)∵ =tanA=2,BH=2,∴AH=1
∴AD=AH+HK+DK=1+2+4=7
①当0<t ≤3.5时,重叠部分为△EFD1
由题意,D1F=DF=t
在Rt△EFD中,∠DEF+∠D=90°
∵∠A+∠D=90°,∴∠DEF=∠A
D1
A
B
C
F
E
D
H
N
M
∴tan∠DEF=tanA=2,即 =2,∴EF= t
∴S=S△EFD1 = D1F·EF= t· t= t 2
②当3.5<t ≤4时,重叠部分为四边形AFEM
过点M作MN⊥AD于N
D1
A
B
C
F
E
D
H
N
M
C1
则tanA=D1A=2t-7, =tanA=2,得AN= MN
=tanD1=tanD=cotA=
即 = ,得MN= ( 2t-7 )
D1
A
B
C
F
E
D
H
C1
∴S=S△EFD1 - S△MD1A = t 2- ( 2t-7 )·( 2t-7 )
=- t 2+ t-
③当4<t ≤5时,重叠部分为五边形AFEC1M
S=S△C1D1FE - S△MD1A = ( t-4+t )·2- ( 2t-7 )·( 2t-7 )
=- t 2+ t-
A
B
C
D
H
P
O
Q
G
④当5<t ≤6时,重叠部分为梯形AFEB
S=S梯形AFEB = ( 6-t+7-t )·2=-2t+13
(3)①当点P为直角顶点时
A
B
C
D
H
P
O
G
(Q)
作QO⊥AD于O,则∠GPH+∠QPO=90°
∵∠GPH+∠PGH=90°,∴∠PGH=∠QPO
又∵PG=PQ,∠GHP=∠POQ=90°
∴△GHP≌△POQ,∴HP=OQ=2,PO= OQ=1
∴BQ=HO=3
A
B
C
D
H
P
G
Q
②当点Q为直角顶点时
同①可证△BQG≌△OQP,∴BQ=OQ=2
③当点G为直角顶点时
同①可证△BQG≌△HGP,∴BG=HP=2GH=2BQ
∵BG+GH=BH,∴2BQ+BQ=2,∴BQ=
∴在直线BC上存在点Q,使△PGQ为等腰直角三角形,线段BQ的长为3,2,
28.(江苏模拟)如图1,直线l:y=- x+3分别交x轴、y轴于B、A两点,等腰Rt△CDE的斜边CD在x轴上,且CD=6.若直线l以每秒3个单位的速度向上匀速运动,同时点C从(6,0)开始以每秒2个单位的速度向右匀速运动(如图2),设运动后直线l分别交x轴、y轴于N、M两点,以OM、ON为边作如图所示的矩形OMPN.设运动时间为t秒.
(1)运动t秒后点E坐标为______________,点N坐标为______________(用含t的代数式表示);
(2)设矩形OMPN与运动后的△CDE的重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;
(3)若直线l和△CDE运动后,直线l上存在点Q使∠OQC=90°,则当在线段MN上符合条件的点Q有且只有两个时,求t的取值范围;
(4)连接PC、PE,当△PCE是等腰三角形时,直接写出t的值.
N
M
x
C
y
O
P
D
l
E
图2
A
B
x
C
D
y
O
E
l
图1
解:(1)E(9+2t,3),N(4+4t,0)
(2)运动t秒时,ON=4+4t,OC=6+2t,OD=12+2t
当点N与点C重合时,4+4t=6+2t,得t=1
当点E在边PN上时,4+4t=9+2t,得t=2.5
当点N与点D重合时,4+4t=12+2t,得t=4
①当1<t ≤2.5时,重叠部分为等腰Rt△CFN
CN=FN=4+4t-( 6+2t )=2t-2
∴S= ( 2t-2 )2=2t 2-4t+2
②当2.5<t <4时,重叠部分为四边形CEGN
ND=12+2t-( 4+4t )=8-2t
∴S=S△CDE - S△NGD = ×6×3- ( 8-2t )2=-2t 2+16t-23
③当t ≥4时,重叠部分为△CDE
N
M
x
C
y
O
P
D
l
E
G
∴S= ×6×3=9
x
C
D
y
O
E
l
N
M
F
P
(3)①当直线l过点C,即C、N重合时,则线段MN上只存在一点Q使∠OQC=90°
由(2)知,此时t=1
②以OC为直径作⊙O′,当直线l切⊙O′ 于点Q时,则线段MN上只存在一点Q使∠OQC=90°
N
x
D
y
O
E
l
M
(C)
Q
OO′=O′Q= OC=3+t
O′N=ON-OO′=4+4t-(3+t )=1+3t
由 =sin∠O′NQ=sin∠MNO=
得 = ,解得t=3
所以当在线段MN上符合条件的点Q有且只有两个时,t的取值范围是1<t <3
C
x
D
y
O
E
l
M
Q
N
O′
(4)t= ,t= ,t= ,t=1
提示:∵P(4+4t,3+3t),C(6+2t,0),E(9+2t,3)
∴PC 2=( 2t-2 )2+( 3+3t )2
PE 2=( 2t-5 )2+( 3t )2,CE 2=18
若PC=PE,则( 2t-2 )2+( 3+3t )2=( 2t-5 )2+( 3t )2
解得t=
若PC=CE,则( 2t-2 )2+( 3+3t )2=18
解得t= (舍去负值)
若PE=CE,则( 2t-5 )2+( 3t )2=18
解得t=1或t=
29.(江苏模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx+c的顶点为C(0,-),与x轴交于点A、B(A在B的左侧),连接AC、BC,得等边△ABC.点P从点B出发,以每秒1个单位的速度向点A运动,同时点Q从点C出发,以每秒 个单位的速度向y轴负方向运动,连接PQ交射线BC于点D,当点P到达点A时,点Q停止运动.设运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设△PQC的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(3)以点P为圆心,PB为半径的圆与射线BC交于点E,试说明:在点P运动的过程中,线段DE的长是一定值,并求出该定值.
A
C
O
B
Q
x
y
P
A
C
O
B
x
y
备用图
解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+c的顶点为C(0,-)
A
C
O
B
D
x
H
Q
P
E
y
∴抛物线的对称轴是y轴,∴b=0
可设抛物线的解析式为y=ax 2-
∵△ABC是等边三角形,且CO⊥AB,CO=
∴AO=1,∴A(-1,0)
把A(-1,0)代入y=ax 2-,得a=
∴抛物线的解析式为y=x 2-
(2)当0<t <1时,OP=1-t,CQ=t
∴S= CQ·OP= ·t·( 1-t )=- t 2+ t
当1<t <2,OP=t-1,CQ=t
∴S= CQ·OP= ·t·( t-1 )= t 2- t
(3)连接PE,过D作DH⊥y轴于H,设DH=a
①当0<t <1时
∵PB=PE,∠PBE=60°
∴△PBE为等边三角形
A
C
O
B
H
x
D
Q
P
E
y
∴BE=PB=t
∵△QDH∽△QPO
∴ = ,即 =
∴a= ,∴DC=1-t
∴DE=CB-EB-DC=2-t-( 1-t )=1
②当1<t <2时
同理,△QDH∽△QPO,得 =
∴ =
∴a= ,∴DC=t-1
∴DE=DC+CE=t-1+( 2-t )=1
综上所述,在点P运动的过程中,线段DE的长是定值2
30.(河北)如图,点A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB,∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒.
(1)求点C的坐标;
(2)当∠BCP=15°,求t的值;
B
A
Q
x
P
O
y
C
D
(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.
解:(1)∵∠BCO=∠CBO=45°,∴OC=OB=3
又∵点C在y轴的正半轴上,∴点C的坐标为(0,3)
(2)当点P在点B右侧时,如图2
若∠BCP=15°,得∠PCO=30°
故OP=OC·tan30°=
此时t=4+
当点P在点B左侧时,如图3
由∠BCP=15°,得∠PCO=60°
故OP=OC·tan60°=3
此时t=4+3
∴t的值为4+ 或4+3
B
A
Q
x
P
O
y
C
D
图3
B
A
Q
x
P
O
y
C
D
图2
(3)由题意知,若⊙P与四边形ABCD的边相切,有以下三种情况:
B
A
Q
x
P
O
y
C
D
图4
①当⊙P与BC相切于点C时,有∠BCP=90°
从而∠OCP=45°,得到OP=3,此时t=1
②当⊙P与CD相切于点C时,有PC⊥CD
即点P与点O重合,此时t=4
③当⊙P与AD相切时,由题意,∠DAO=90°
∴点A为切点,如图4
PC 2=PA 2=( 9-t )2,PO 2=( t-4 )2
于是( 9-t )2=( t-4 )2+32,解得:t=5.6
∴t的值为1或4或5.6
31.(河北模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6.点P从点A出发沿AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动;点Q从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动.运动过程中DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线PB-BC于点E.点P、Q同时出发,当点P到达点B时停止运动,点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒.
(1)当t=______________秒,直线DE经过点B;当t=______________秒,直线DE经过点A;
(2)四边形DPBE能否成为直角梯形?若能,求t的值;若不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,点E是BC的中点?
B
Q
A
D
C
E
P
(4)以E为圆心,EC长为半径的圆能否与AB、AC、PQ同时相切?若能,直接写出t的值;若不能,请说明理由.
B
Q
A
D
C
P
(E)
解:(1) ;2
提示:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6
∴BC= = =8
当直线DE经过点B时,连接QB,则PB=QB
∴(10-2t )2=t 2+8 2,解得t= (舍去)或t=
B
Q
A
D
C
P
E
当直线DE经过点A时,AP=AQ
∴2t=6-t,即t=2
(2)①当DE∥PB时,四边形DPBE是直角梯形
此时∠APQ=90°,由△AQP∽△ABC,得 =
B
Q
A
D
C
P
E
即 = ,解得t=
②当PQ∥BC时,四边形DPBE是直角梯形
此时∠AQP=90°,由△APQ∽△ABC,得 =
即 = ,解得t=
B
Q
A
D
C
P
E
(3)连接QE、PE,作EG⊥PB于G,则QE=PE
∵QE 2=t 2+4 2
PE 2=PG 2+EG 2=(10-2t- ×4)2+( ×4)2
∴t 2+4 2=(10-2t- ×4)2+( ×4)2
B
Q
A
D
C
E
P
G
解得t= (舍去)或t=
(4)不能
设⊙E与AB相切于F点,连接EF、EP、EQ
则EC=EF,EQ=EP,∠ECQ=∠EFP=90°
∴△ECQ≌△EFP,∴QC=PF
∵∠C=90°,∴⊙E与AC相切于C点
∴AC=AF,∴AQ=AP
又AD=AD,DQ=DP
∴△ADQ≌△ADP,∴∠ADQ=∠ADP=90°
B
Q
A
D
C
P
E
F
又∠QDE=90°,∴A、D、E三点在同一直线上
由(1)知,此时t=2,AQ=6-t=4
∵AB=10,AC=6,∴sinB= = =
设EC=EF=x,则EB= = x
∵EC+EB=BC,∴x+ x=8
∴x=3,∴EC=EF=3
∴AE= = =3
易知△ADQ∽△ACE,∴ =
∴ = ,∴AD=
∴ED=AE-AD=3- = =
而EC=3=,∴ED>EC
∴此时⊙E与PQ相离
∴⊙E不能与AB、AC、PQ同时相切
32.(山东青岛)如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=6cm,BC=8cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE.点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t <4).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ⊥AB?
(2)当点Q在B、E之间运动时,设五边形PQBCD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)在(2)的情况下,是否存在某一时刻t,使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE : S五边形PQBCD =1 : 29?若存在,求出此时t的值以及点E到PQ的距离h;若不存在,请说明理由.
A
P
Q
B
C
E
D
A
B
C
备用图
E
D
解:(1)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=6,BC=8
A
P
Q
B
C
E
D
①
∴AB= =10
∵D、E分别是AC、AB的中点
AD=DC=3,AE=EB=5,DE∥BC且DE= BC=4
∵PQ⊥AB,∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC,∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB,∴ =
由题意得:PE=4-t,QE=2t-5
∴ = ,解得t=
A
P
Q
B
C
E
D
②
M
(2)如图②,过点P作PM⊥AB于M
由△PME∽△ACB,得 =
∴ = ,得PM= ( 4-t )
∴S△PQE = EQ·PM= ( 2t-5 )· ( 4-t )= t 2- t+6
S梯形DCBE = ×( 4+8 )×3=18
∴y=18-( t 2- t+6)=- t 2+ t+12
(3)假设存在时刻t,使S△PQE : S五边形PQBCD =1 : 29
此时S△PQE = S梯形DCBE
∴ t 2- t+6= ×18,解得t1=2,t2= (舍去)
当t=2时,PM= ( 4-2 )= ,ME= ( 4-2 )=
EQ=5-2×2=1,MQ=ME+EQ= +1=
PQ==
∵ PQ·h= ,∴h= × =
33.(山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4),以A为顶点的抛物线y=ax 2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G.当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
x
O
y
A
D
C
B
F
G
图1
E
图1
P
图1
Q
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
x
O
y
A
D
C
B
F
G
图1
E
图1
P
图1
Q
解:(1)A(1,4)
由题意,可设抛物线解析式为y=a( x-1 )2+4
∵抛物线过点C(3,0)
∴0=a( 3-1 )2+4,∴a=-1
∴抛物线的解析式为y=-( x-1 )2+4
即y=-x 2+2x+3
(2)∵A(1,4),C(3,0)
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6
P(1,4-t)
将y=4-t代入y=-2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+
∴点G的横坐标为1+ ,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4-
∴GE=( 4- )-( 4-t )=t-
又点A到GE的距离为 ,C到GE的距离为2-
即S△ACG =S△AEG + S△CEG = EG· + EG( 2- )= ·2( t- )=- ( t-2 )2+1
x
O
y
A
D
C
B
E
图1
P
图1
Q
H
N
当t=2时,S△ACG的最大值为1
(3)t= 或t=20-8
提示:∵A(1,4),C(3,0),∴AB=4,BC=2
∴AC= =2,∴cos∠BAC= = =
∵PE⊥AB,AP=t,∴AE= = t
∴CE=2- t
x
O
y
A
D
C
B
E
图1
P
图1
Q
H
若EQ=CQ,则在矩形ABCD内存在点H,使四边形CQEH为菱形
过点Q作QN⊥EC于N,则CE=2CN
在Rt△QNC中,CN=CQ·cos∠ACD=CQ·cos∠BAC= t
∴2- t= t,解得t=
若CE=CQ,则在矩形ABCD的AD边上存在点H,使四边形CQHE为菱形
∴2- t=t,解得t=20-8
34.(山东模拟)把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠BAC=∠DEF=90°,∠ABC=45°,BC=9,DE=6,EF=8.如图2,△DEF从图1的位置出发,以1个单位/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF
移动的同时,点P从△DEF的顶点F出发,以3个单位/秒的速度沿FD向点D匀速移动.当点P移动到点D时,P点停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接BQ、PQ,设移动时间为t(s).
(1)设△BQE的面积为y,求y与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(2)当t为何值时,三角形DPQ为等腰三角形?
A
B
D
E
F
图2
P
Q
C
(E)
A
B
D
C
F
图1
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、B三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
解:(1)∵∠ACB=45°,∠DEF=90°,∴∠EQC=45°
∴EC=EQ=t,∴BE=9-t
A
B
D
E
F
P
Q
C
∴y= BE·EQ= ( 9-t )t
即y=- t 2+ t(0<t ≤ )
(2)在Rt△DEF中,∵∠DEF=90°,DE=6,EF=8
∴DF= = =10
①当DQ=DP时,则6-t=10-3t,解得t=2
A
B
D
E
F
P
Q
C
G
②当PQ=PD时,过P作PG⊥DQ于G
则DH=HQ= ( 6-t )
∵HP∥EF,∴△DHP∽△DEF
∴ = ,即 = ,解得t=
③当QP=QD时,过Q作QH⊥DP于H
A
B
D
E
F
H
Q
C
P
则DH=HP= ( 10-3t )
可得△DHQ∽△DEF,∴ =
即 = ,解得t=
(3)假设存在某一时刻t,使P、Q、B三点在同一条直线上
A
B
D
E
F
P
Q
C
K
过P作PK⊥BF于K,则△PKF∽△DEF
∴ = = ,即 = =
∴PK= t,KF= t
∵P、Q、B三点共线,∴△BQE∽△BPK
∴ = ,即 = ,解得t=
即当t= 秒时,P、Q、B三点在同一条直线上
35.(山东模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于D,且BD=8cm.点M从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2cm/s;同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s,运动过程中始终保持PQ∥AC,直线PQ交AB于P,交BC于Q,连接PM,设运动时间为t(s).
(1)当四边形PQCM是等腰梯形时,求t的值;
(2)当点M在线段PC的垂直平分线上时,求t的值;
(3)当t为何值时,①△PQM是等腰三角形;②△PQM是直角三角形;
(4)是否存在时刻t,使以PM为直径的圆与BC相切?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
A
C
B
D
P
Q
M
解:(1)作PE⊥AC于E,作QF⊥AC于F
E
A
C
F
B
D
P
Q
M
若四边形PQCM是等腰梯形,则ME=CF
易知四边形PQFE是矩形,∴EF=PQ
∵PQ∥AC,∴△PBQ∽△ABC
∵AB=AC,∴PQ=PB=t,∴EF=t
∵AB=10,BD=8,∴AD= =6
易证△APE∽△ABD,∴ =
即 = ,∴AE=6- t
∴ME=AE-AM=6- t-2 t=6- t
CF=AC-( AE+EF )=10-( 6- t+t )=4- t
由ME=CF,得6- t=4- t,解得t=
A
C
B
D
P
Q
M
G
∴当t= s时,四边形PQCM是等腰梯形
(2)若点M在线段PC的垂直平分线上,则MP=MC
作MG⊥AB于G,则△AMG∽△ABD
∴ = = ,∴ = =
∴AG= t,MG= t
∴PG=10-t- t=10- t
在Rt△GPM中,MP 2=( t )2+( 10- t )2= t 2-44t+100
又∵MC 2=( 10-2t )2=4t 2-40t+100
由MP=MC,得 t 2-44t+100=4t 2-40t+100
解得t1= ,t2=0(舍去)
E
A
C
B
D
P
Q
M
∴当t= s时,点M在线段PC的垂直平分线上
(3)①若PQ=PM,则t 2= t 2-44t+100
即8t 2-55t+125=0
△=(-55) 2-4×8×125=-975<0,方程无实数解
若MP=MQ,则点M在线段PQ的垂直平分线上
作PE⊥AC于E,∴EM= PQ= t
E
A
C
B
D
P
Q
M
F
由(1)知,AE=6- t
∵AE+EM=AM,∴6- t+ t=2t
解得t=
若PQ=MQ,作PE⊥AC于E,作QF⊥AC于F
由(1)知,QF=PE
∵△APE∽△ABD,∴ =
即 = ,∴QF=PE=8- t
又FM=AM-( AE+EF )=2t-( 6- t+t )= t-6
∴MQ 2=(8- t )2+( t-6)2= t 2-32t+100
由PQ=MQ,得t 2= t 2-32t+100
解得t1= ,t2=10(舍去)
A
C
B
D
P
Q
M
∴当t= s或t= s时,△PQM是等腰三角形
②若∠MPQ=90°,则AM=6- t
∴2t=6- t,∴t=
若∠PMQ=90°,则PM 2+QM 2=PQ 2
∴ t 2-44t+100+ t 2-32t+100=t 2
即12t 2-95t+250=0
E
A
C
B
D
P
Q
M
△=(-55) 2-4×8×125=-2975<0,方程无实数解
若∠PQM=90°,作PE⊥AC于E
则AE=6- t,EM=PQ=t
∵AE+EM=AM,∴6- t+t=2t
∴t=
∴当t= s或t= s时,△PQM是直角三角形
(4)设PM的中点为N,分别过P、N、M作BC的垂线,垂足为G、K、H
易证△PBG∽△BCD,△MCH∽△BCD
A
C
B
D
P
Q
M
G
H
K
N
∴ = , =
∵AC=10,AD=6,∴DC=4
∴BC= =4
∴ = , =
∴PG= t,MH= (10-2t )
∴NK= ( PG+MH )= (10-t )
若以PM为直径的圆与BC相切,则PM=2NK
∴PM 2=4NK 2
∴ t 2-44t+100= (10-t )2
解得t1= ,t2=
∴当t= s或t= s时,以PM为直径的圆与BC相切
36.(内蒙古包头、乌兰察布)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm.现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以l cm/秒的速度沿AC向终点C运动;点Q以1.25 cm/秒的速度沿BC向终点C运动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ.设动点运动时间为t秒(t>0).
(1)连接DP,经过1秒后,四边形EQDP能够成为平行四边形吗?请说明理由;
(2)连接PQ,在运动过程中,不论t取何值时,总有线段PQ与线段AB平行,为什么?
A
D
Q
图1
C
P
图1
B
图1
E
图1
(3)当t为何值时,△EDQ为直角三角形.
解:(1)能.
∵点P的速度为l cm/秒,点Q的速度为1.25 cm/秒,t=1秒
A
D
Q
图1
C
P
图1
B
图1
E
图1
∴AP=1,BQ=1.25
∴QD=BC-CD-BQ=5-3-1.25=0.75
∵PE∥BC,∴△APE∽△ACD
∴ = ,即 =
∴PE=0.75,∴PE=QD
∴四边形EQDP是平行四边形
(2)∵AC=4,BC=5,AP=t,BQ=1.25t
∴CP=4-t,CQ=5-1.25t
A
D
Q
图1
C
P
图1
B
图1
E
图1
∴ = , = =
∴ = ,∴PQ∥AB
(3)①当∠EQD=90°时
易证△EDQ∽△ADC,∴ =
显然点Q在点D右侧,DQ=1.25t-2,EQ=PC=4-t
A
D
Q
图1
C
P
图1
B
图1
E
图1
∴ = ,解得t=2.5
②当∠DEQ=90°时
易证△DEQ∽△DCA,∴ =
∵PE∥BC,∴△APE∽△ACD,∴ =
∵AC=4,CD=3,∴AD=5
∴ = ,∴AE=1.25t,DE=5-1.25t
显然点Q在点D右侧,DQ=1.25t-2
∴ = ,解得t=3.1
∴当t=2.5秒或t=3.1秒时,△EDQ为直角三角形
37.(内蒙古呼伦贝尔)如图①,在平面直角坐标系内,Rt△ABC≌Rt△FED,点C、D与原点O重合,点A、F在y轴上重合,∠B=∠E=30°,AC=FD=.△FED不动,△ABC沿直线BE以每秒1个单位的速度向右平移,直到点B与点E重合为止.设平移时间为x(秒),平移过程中AB与EF的交点为M.
(1)求出图①中点B的坐标;
(2)如图②,当x=4秒时,求出过F、M、A三点的抛物线的解析式;此抛物线上有一动点P,以点P为圆心,以2为半径的⊙P在运动过程中是否存在与y轴相切的情况,若存在,直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设移动x秒后两个三角形重叠部分的面积为S,求出整个运动过程中S与x的函数关系式.
F
B
D
E
O
x
y
图②
C
A
M
A
B
C
E
(F)
(D)
O
x
y
图①
解:(1)如图①,在Rt△ABC中,AC=,∠B=30°
A
B
C
E
(F)
(D)
O
x
y
图①
∴BC=AC=3,∴B(-3,0)
(2)如图②,∵x=4,∴A(4,),B(1,0)
过M作MH⊥BE于H
由题意,OE=BC=3,∴BE=2
∵∠B=∠E,∴MB=ME
∴BH= BE=1,∴OH=2,MH=
∴M(2,)
设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c,把F、M、A三点坐标代入
F
B
D
E
O
x
y
图②
C
A
M
H
解得
∴抛物线的解析式为y= x 2- x+
P1(2,)或P2(-2,3)
提示:若半径为2的⊙P与y轴相切,那么点P的横坐标为2或-2
当x=2时,y= x 2- x+=
当x=-2时,y= x 2- x+=3
∴存在符合条件的点P,坐标为P1(2,)或P2(-2,3)
(3)当点B、O重合时,x=3,所以整个运动过程可分为两个阶段:
①当0≤x <3时,如图③
F
B
D
E
O
x
y
图③
C
A
M
H
G
BO=3-x,CD=x,OG=CH= BO= ( 3-x )
FG=- ( 3-x )= x
∴S=S梯形FDCH - S△FGM
= [ + ( 3-x )]·x- ·x··x
=- x 2+x
F
B
D
E
O
x
y
图④
C
A
M
②当3≤x ≤6时,如图④,BE=3-( x-3 )=6-x
∴S=S△BME = ( 6-x )· ( 6-x )·= x 2-x+3
综上所述,S与x的函数关系式为:
S=
38.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OAB的直角边OA在x轴正半轴上,且OA=4,AB=2,将△OAB沿某条直线翻折,使OA与y轴正半轴的OC重合.点B的对应点为点D,连接AD交OB于点E.
(1)求AD所在直线的解析式:
(2)连接BD,若动点M从点A出发,以每秒2个单位的速度沿射线AO运动,线段AM的垂直平分线交直线AD于点N,交直线BD于点Q.设线段QN的长为y(y≠0),点M的运动时间为t秒,求y与t之问的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围);
A
O
C
x
E
B
D
y
备用图
A
O
C
x
E
B
D
y
(3)在(2)的条件下,连接MN,当t为何值时,直线MN与过D、E、O三点的圆相切,并求出此时切点的坐标.
A
O
C
x
N
B
D
y
E
Q
H
M
解:(1)由题意,△OAB≌△OCD
∴OC=OA=4,CD=AB=2
∴D(2,4)
设直线AD的解析式为y=kx+b,把A(4,0),D(2,4)代入
解得
∴y=-2x+8
(2)由B(4,2),D(2,4),可得直线BD的解析式为y=-x+6
∵直线NQ垂直平分线段AM
A
O
C
x
N
B
D
y
E
Q
H
M
∴NH⊥AM,AH=MH= AM= ×2t=t
∴OH=4-t,∴H(4-t,0)
∴点Q、N的横坐标为为4-t
∴QH=-( 4-t )+6=t+2,NH=-2( 4-t )+8=2t
当0<t <2时,点Q在点N上方
y=QN=t+2-2t=-t+2
当t >2时,点Q在点N下方
y=QN=2t-( t+2 )=t-2
(3)过点D作DF⊥OA于F,则CD∥OF,CD=OF=2
A
O
C
x
E
B
D
y
F
K
G
I
M
O′M
N
∵OA=4,∴AF=OF=2
∵DF⊥OA,∴OD=AD,∠ODC=∠DOF=∠DAF
∵△OAB≌△OCD,∴∠COD=∠AOB
∵∠COD+∠AOD=90°,∴∠OED=∠AOB+∠OAD=90°
∴OD为经过D、E、O三点的圆的直径,OD的中点O′ 为圆心
在Rt△OCD中,OD= =2
tan∠COD= = ,tan∠ODC= =2
∵NH垂直平分线段AM,∴∠NMA=∠NAM
∵∠DOA=∠NAM,∠NMA=∠DOA,∴MN∥OD
设直线MN与⊙O′ 相切于G点,连接O′G,作GK⊥OA于K,MI⊥OD于I
A
O
C
x
E
B
D
y
F
K
G
I
M
O′M
N
则∠OO′G=∠O′GM=90°
∵MI⊥OD,∴四边形O′IMG为矩形
∴IM=O′G=,MG=O′I
∴OI= ,OM= ,∴MG=O′I=
∴KG=1,MK= ,∴OK=3,∴G(3,1)
∵OM+AM=OA,∴ +2t=4,∴t=
同理可求当t= 时,切点G(-1,3)
∴当t= 或t= 时,直线MN与过D、E、O三点的圆相切,切点分别为G(3,1)或G(-1,3)
39.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+b与x轴交于点A,与正比例函数y=- x的图象交于点B,过B点作BC⊥y轴,点C为垂足,C(0,8).
(1)求直线AB的解析式;
(2)动点M从点A出发沿线段AO以每秒1个单位的速度向终点O匀速移动,过点M作x轴的垂线交折线A-B-O于点P.设M点移动的时间为t秒,线段BP的长为d,求d与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,动点Q同时从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿折线O-C-B向点B移动,当动点M停止移动时,点Q同时停止移动.当t为何值时,△BPQ是等腰三角形?
A
O
C
B
y
x
A
O
C
B
y
x
备用图
A
O
C
B
y
x
备用图
解:(1)∵BC⊥y轴,点C为垂足,C(0,8)
∴点B的纵坐标为8
∵y=- x,当y=8时,x=-6,∴B(-6,8)
A
O
C
B
y
x
P
M
D
把(-6,8)代入y=x+b,得8=-6+b,∴b=14
∴直线AB的解析式为y=x+14
(2)由题意得AM=t
∵直线AB:y=x+14交x轴于点A
∴A(-14,0),∴OA=14
过点B作BD⊥x轴于点D
∵B(-6,8),∴BD=8,OD=6
∴AD=14-6=8,∴AB= =8
OB= =10,∴∠BAD=45°,cos∠DOB=
①当点M在AD上时
A
O
C
B
y
x
P
M
D
∵PM⊥x轴,∴∠PMA=90°,∴AP=t
∴d=BP=AB-AP=8-t(0≤t <8)
②当点M在OD上时,OM=14-t
∵∠PMO=90°,cos∠DOB= ,∴OP= ( 14-t )
∴d=BP=OB-OP=10- ( 14-t )= t- (8<t ≤14)
综上,d=
(3)①当点P在AB上时(0≤t <8),Q在OC上
A
O
C
B
y
x
P
M
D
Q
BQ 2=BC 2+CQ 2=6 2+( 8-t )2
∵PM=OQ=t,∠PMO=∠MOQ=90°
∴四边形PMOQ为矩形,∴PQ=OM=14-t
∵PM=OQ=t,∴PQ∥AO
∴∠BPQ=∠BAO=∠ABD
∵∠PBQ>∠ABD,∴∠PBQ>∠BPQ,∴PQ≠BQ
当BP=BQ时,( 8-t )2=6 2+( 8-t )2
A
O
C
B
y
x
P
M
D
Q
H
解得t1=2或t2=14
∵0≤t <8,∴t2=2
当PB=PQ时,( 8-t )2=( 14-t )2,解得t=2±6
∵0≤t <8,∴t=2±6 不合题意,舍去
②当点P在BO上时(8<t ≤14),Q在BC上
BQ=6+8-t=14-t
当BP=BQ时, t- =14-t,解得t=
A
O
C
B
y
x
P
M
D
Q
K
当PB=PQ时,过点P作PH⊥BC于H
∴BQ=2BH
∵BH=DM=t-8,∴14-t=2( t-8 ),解得t=10
当QB=QP时,过点Q作QK⊥BC于K
∴BP=2BK
∵BP= ( t-8 ),BK= ( 14-t )
∴( t-8 )= ( 14-t ),解得t=
综上,当t=2或t=10或t= 或t= 时,△BPQ是等腰三角形
40.(哈尔滨模拟)如图,直线y= x+12分别与x轴、y轴交于点A、B,直线BC交x轴于点C,且AB=AC.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位的速度向点O运动,过点P作y轴的平行线,分别交直线BC、直线AB于点Q、M,过点Q作QN⊥AB于点N.设点P的运动时间为t(秒),线段MN的长为d,求d与t的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;
(3)若经过A、N、Q三点的圆与直线BC交于另一点K,当t为何值时,KQ : AQ= : 10?
A
O
C
N
y
x
P
Q
B
M
K
解:(1)∵直线y= x+12分别与x轴、y轴交于点A、B
∴A(-9,0),B(0,12),∴OA=9,OB=12
∴AB= =15,∴sin∠BAO= =
∵AB=AC,∴AC=15,∴C(6,0)
设直线BC的解析式为y=kx+b
∴ 解得
∴直线BC的解析式为y=-2x+12
(2)由题意,PC=t,∴OP=6-t
A
O
C
N
y
x
P
Q
B
M
K
∴点P的横坐标为6-t
∴PM= ( 6-t )+12,PQ=-2( 6-t )+12
∴MQ=PM-PQ=20- t
∵∠AMP+∠MAP=∠AMP+∠MQN=90°
∴∠MQN=∠MAP=∠BAO
∴sin∠MQN=sin∠BAO=
∴MN=MQ·sin∠MQN= ( 20- t )=16- t
∴d=16- t(0≤t <6)
(3)连接AK、AQ
∵∠ANQ=90°,∴AQ为经过A、N、Q三点的圆的直径
∴∠AKQ=90°
∵OB=12,OC=6,∴BC= =6
由S△ABC = AC·OB= BC·AK,得AK=6
∵KQ : AQ= : 10,∴设KQ=m,则AQ=m
在Rt△AKQ中,AK 2+KQ 2=AQ 2
∴( 6)2+m 2=( m )2,m=2
∴AQ=m=10
∵tan∠BCO= =2,∴PQ=PC·tan∠BCO=2t
在Rt△AQP中,AP 2+PQ 2=AQ 2
∴( 15-t )2+( 2t )2=( 10 )2
解得t1=1,t2=5
∴当t=1或t=5时,KQ : AQ= : 10
41.(哈尔滨模拟)如图,直线y=-kx+6k(k >0)与x轴、y轴分别相交于点A、B,且△AOB的面积是24.
(1)求直线AB的解析式;
(2)点P从点O出发,以每秒2个单位的速度沿折线OA-AB运动;同时点E从点O出发,以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动,过点E作与x轴平行的直线l,与线段AB相交于点F,当点P与点F重合时,点P、E均停止运动.连接PE、PF,设△PEF的面积为S,点P运动的时间为t秒,求S与t的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;
B
O
y
x
E
A
F
P
l
B
O
y
x
A
备用图
(3)在(2)的条件下,过P作x轴的垂线,与直线l相交于点M,连接AM,当tan∠MAB= 时,求t的值.
解:(1)∵y=-kx+6k,当x=0时,y=6k;当y=0时,x=6
∴OA=6,OB=6k
∵S△AOB =24,∴×6×6k=24,∴k=
B
O
y
x
E
A
F
P
l
H
∴直线AB的解析式为y=- x+8
(2)根据题意,OE=t,EF∥OA,∴△BEF∽△BOA
∴ = ,即 = ,∴EF= ( 8-t )
①当0<t ≤3时,点P在OA上运动
过点P作PH⊥EF于H,则PH=OE=t
∴S= EF·PH= ·( 8-t )·t=- t 2+3t
②当点P在AB上运动时
过点P作PG⊥OA于G,设直线PG与EF相交于点M,则MG=OE=t
B
O
y
x
E
A
F
P
l
G
M
易知△APG∽△ABO,∴ =
∵OA=6,OB=8,∴AB= =10
∴ = ,∴PG= ( 2t-6 )
当点P与点F重合时,有PG=OE
∴( 2t-6 )=t,解得t=8,即PG=8
点P与点F重合前,MP=MG-PG=t- ( 2t-6 )=- t+
∴S= EF·MP= ·( 8-t )(- t+ )= t 2- t+
综上,S=
(3)①当点P在OA上,点M在点F左侧时
B
O
y
x
E
A
F
P
l
C
M
D
作MC⊥AB于C,FD⊥OA于D
则FD=OE=t,EM=OP=2t,MF=EF-EM= ( 8-t )-2t
在Rt△CMF中, =tan∠MFC=tan∠BAO= =
设CM=4k,则CF=3k,MF= =5k
在Rt△MAC中, =tan∠MAC=tan∠MAB=
∴AC=2CM=8k,∴AF=5k,∴MF=AF
在Rt△AFD中, = =sin∠FAD=sin∠BAO=
∴AF= t,∴( 8-t )-2t= t,解得t=
当点P在OA上,点M在点F右侧时,可求得t=
B
O
y
x
E
A
F
P
l
G
M
K
②当点P在AB上时,过点M作MK⊥AB于K
在Rt△PMK中, =tan∠MPK=tan∠ABO=
设MK=3m,则PK=4m,MP=5m,AK=6m
∴AP=AK-PK=2m,∴2t-6=2m
∵MP=t- ( 2t-6 ),∴t- ( 2t-6 )=5m
∴t- ( 2t-6 )= ( 2t-6 ),解得t=
综上所述,满足条件的t值是 或 或
42.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,△AOB为等腰三角形,且OA=OB=10,过点B作y轴的垂线,垂足为D,直线AB的解析式为y=-3x+30,点C在线段BD上,点D关于直线OC的对称点在腰OB上.
(1)求点B坐标;
(2)点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿折线BC-CO运动;同时点Q从点O出发,以每秒1个单位的速度沿对角线OB向终点B运动,当一点停止运动时,另一点也随之停止运动.设△PQC的面积为S,运动时间为t,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接PQ,设PQ与OB所成的锐角为α,当α=90°-∠AOB时,求t的值.
C
O
y
x
D
A
B
C
O
y
x
D
A
B
备用图
C
O
y
x
D
A
B
F
D′
解:(1)过点B作BF⊥OA于F,设B(a,-3a+30)
在Rt△OBF中,a 2+( -3a+30 )2=10 2
解得a1=10(舍去),a2=8
当a=8时,-3a+30=6
∴B(8,6)
(2)设点D关于直线OC的对称点为D′,连接CD′
∵D′ 在腰OB上,∴OD=OD′,∠DOC=∠D′OC
又OC=OC,∴△DOC≌△D′OC
∴CD′=CD,∠CDO′=∠CDO=90°
C
O
y
x
D
A
B
E
P
Q
∴S△POQ = OD·BD = OD·CD + OB·CD′
∴CD= = =3,∴BC=5
①当0≤t <5时,点P在线段BC上
过点Q作QE⊥BD于E,则△BQE∽△BOD
∴ = ,即 = ,∴QE=6- t
∴S= PC·QE= ( 5-t )( 6- t )
C
O
y
x
D
A
B
Q
P
F
即S= t 2- t+15
②当5<t ≤10时,点P在线段CO上
过点Q作QF⊥OC于F
∵COQ=∠COD,∠QFO=∠CDO=90°
∴△QFO∽△CDO,∴ =
即 = ,∴QF= t
C
O
y
x
D
A
B
P
Q
∴S= PC·QF= ( t-5 )· t
即S= t 2- t
(3)①当0≤t <5时
∵α=90°-∠AOB=∠BOD,即∠PQB=∠DOB
∴PQ∥DO,∴△BPQ∽△BDO
∴ = ,即 = ,∴t=
②当5<t ≤10时,过点P作PH⊥OB于H
C
O
y
x
D
A
B
P
Q
H
∵∠PQO=∠BOD,∴tan∠PQO=∠BOD=
设PH=4k,则QH=3k,OH=8k,OP=4k
∴OQ=11k,∴11k=t,∴k=
∴OP=4k= t
又∵OP=3-( t-5 )=3+5-t
∴ t=3+5-t,∴t=
∴当α=90°-∠AOB时,t的值为 或
43.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A( ,0),点B(3,4),将△OAB沿直线OB翻折,点A落在第二象限内的点C处.
(1)求点C的坐标;
(2)动点P从点O出发,以每秒5个单位的速度沿OB向终点B运动,连接AP,将射线AP绕着点A逆时针旋转与y轴交于一点Q,且旋转角α= ∠OAB.设线段OQ的长为d,点P运动的时间为t秒,求d与t的函数关系式(直接写出时间t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,连接CP.点P在运动的过程中,是否存在CP∥AQ,若存在,求此时t的值,并辨断点B与以点P为圆心,OQ长为半径的⊙P的位置关系;若不存在,请说明理由.
B
O
C
x
A
y
备用图
B
O
C
x
A
y
解:(1)过点B作BG⊥x轴于G,过点C作CH⊥x轴于H
B
O
C
x
A
y
G
H
∵A( ,0),B(3,4),∴OA= ,OG=3,BG=4
∴AG= ,∴AB= = ,∴AB=OA
∵△OAB沿直线OB翻折得到△OCB
∴△OAB≌△OCB,∴AB=OA=BC=CO
∴四边形ABCO是菱形
∴CO∥AB,∴∠COH=∠BAG
∴Rt△CHO≌Rt△BGA,∴CH=BG=4,OH=AG=
B
O
C
x
A
y
E
P
Q
∴C(- ,4)
(2)连接AC交BO于点E
∵菱形ABCO,∴AC⊥BO,∠OAE= ∠OAB
∵α= ∠OAB,∴∠OAP=∠OAE,∴∠OAQ=∠EAP
∵∠AOQ=∠AEP=90°,∴△AOQ≌△AEP
∴ =
由(1)知,CH=4,AH=
∴AC= = ,∴AE= ,同理OE=
①当0≤t < 时
∵OP=5t,∴PE= -5t,∴ =
∴d=- t+
②当 <t ≤1时,同理可求d= t-
B
O
C
x
A
y
E
P
Q
F
K
(3)过点P作PK⊥AB于K
∵AQ∥CP,∴∠PCE=∠QAE
∵AE=CE,AC⊥BO,∴PC=PA
∴∠PAE=∠PCE=∠QAE= ∠PAQ
∴∠PAB=∠QAE,∴∠PAE=∠PAB,∴PE=PK
∵菱形ABCO,∴∠PBK=∠OBF
∴sin∠PBK=sin∠OBF= = =
∵OP=5t,OB=5,∴PE=5t- ,PB=5-5t
∴ = ,解得t=
∴存在CP∥AQ,此时t=
∵ < <1,∴当t= 时,OQ=d= t- =
BP=OB-OP=5-5t=
∴BP=OQ,即点B与圆心P的距离等于⊙P的半径,点B在⊙P上
∴存在CP∥AQ,此时t= ,且点B在⊙P上
44.(黑龙江大庆)已知等边△ABC的边长为3个单位,若点P由A出发,以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动,第一次回到点A处停止运动,设AP=S,用t表示运动时间.
A
C
B
(1)当点P由B到C运动的过程中,用t表示S;
(2)当t取何值时,S等于 (求出所有的t值);
(3)根据(2)中t的取值,直接写出在哪些时段AP< ?
解:(1)当点P在BC上时,有3≤t ≤6
作PM⊥AB,垂足为M
由PB=t-3,∠B=60°,得PM= ( t-3 ),BM= ( t-3 )
∴AM=3- ( t-3 )
于是S=AP= =(3≤t ≤6)
(2)当S= 时
(i)当点P在AB上时,有t=
(ii)当点P在CA上时,有t=9-
(iii)当点P在BC上时,S==
解得t=4或t=5
综上t= 或t=9- 或t=4或t=5
(3)根据(2)可知0<t <,4<t <5,9-<t ≤9
这三个时间段内AP<
45.(黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x 2-7x+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标.
(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标.
(3)当t=2时,在坐标平面内找一点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形,求M点的坐标;
B
Q
x
P
O
y
A
(4)在P、Q运动过程中,在坐标平面内是否存在点N,使以A、P、Q、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
B
Q
x
P
O
y
A
图1
解:(1)解方程x 2-7x+12=0,得x1=3,x2=4
∵OA<OB,∴OA=3,OB=4
∴A(0,3),B(4,0)
(2)由题意得,AP=t,AQ=5-2t
可分两种情况讨论:
①当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB
如图1, = ,解得t=
B
Q
x
P
O
y
A
图2
∴Q( ,)
②当∠AQP=∠AOB时,△APQ∽△ABO
如图2, = ,解得t=
∴Q( ,)
(3)当t=2时,AP=2,AQ=5-2t=1
∴PO=1,∴P(0,1),
B
Q
x
P
O
y
A
图3
M
点Q的横坐标为:1×cos∠ABO= ,纵坐标为:3-1×sin∠ABO=
∴Q( ,)
若AP是平行四边形的边,则MQ∥AP,MQ=AP=2,如图3、图4
∴点M的横坐标为 ,纵坐标为: +2= 或 - 2=
∴M1( ,),M2( ,)
B
Q
x
P
O
y
A
图4
M
若AP是平行四边形的对角线,则△AMP≌PQA,如图5
∵点Q的横坐标为 ,∴点M的横坐标为-
∵点A的纵坐标比点Q的纵坐标大
∴点M的纵坐标比点P的纵坐标大
即点M的纵坐标为:1+ =
B
Q
x
P
O
y
A
图5
M
∴M3(- ,)
(4)存在.N1( ,),N2( ,),N3(- ,)
提示:有三种情况
若AP=AQ,则在坐标平面内存在点N,
使四边形APNQ是菱形,如图6
∴t=5-2t,解得t= ,∴AQ=
B
Q
x
P
O
y
A
图6
N
∴Q( ,2),∴N1( ,)
若AP=PQ,则在坐标平面内存在点N,
使四边形APQN是菱形,如图7
由题意,P(0,3-t),Q(4- t, t)
∴PQ 2=( 4- t )2+( 3-t- t )2
∴t 2=( 4- t )2+( 3-t- t )2,解得t= 或t=
B
Q
x
P
O
y
A
图7
N
当t= 时,点Q与点A重合,不合题意,舍去
∴t= ,∴Q( ,)
∴N2( ,)
若AQ=PQ,则在坐标平面内存在点N,
使四边形ANPQ是菱形,如图8
B
Q
x
P
O
y
A
图8
N
O′
连接NQ交AP于O′,则NQ⊥AP,AO′=O′P
∴AP=2AO′,∴t= ( 5-2t )
解得t= ,∴Q( ,)
∴N3(- ,)
46.(吉林)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm.动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为t s,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S cm2.
(1)当t=_________s时,点P与点Q重合;
(2)当t=_________s时,点D在QF上;
(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,求S与t之间的函数关系式.
B
Q
D
P
C
A
E
F
B
C
A
(备用图)
解:(1)1
(2)
提示:点D在QF上时
∵QF∥BC,∠DPQ=CAB=90°
∴△PQD∽△ABC,∴ =
即 = ,解得t=
(3)如图①,当点D在BC上时
B
Q
D
P
C
A
E
图①
(F)
由四边形APDE是正方形,得DP∥AC
∴△BDP∽△BCA,∴ = = =
∴PB= DP= t
由AP+PB=AB,得t+ t=2,解得t=
此时点E与点F重合
当1<t ≤ 时
解法1:
如图②,设DE交FQ于点H,则重合部分为梯形DHQP
PQ=AP+QB-AB=t+t-2=2t-2
B
Q
D
P
C
A
E
F
图②
G
H
过点Q作QG⊥DE于点G,则DG=PQ=2t-2
由△HGQ∽△BAC,得HG=
∴HD=HG+GD= t+2t-2= t-2
∴S= ( PQ+HD )·DP= ( 2t-2+ t-2 )·t= t 2-2t
解法2:
如图②,设DE交FQ于点H
由△FAQ∽△CAB,得AF=2AQ=2( 2-t )=4-2t
∴EF=AF-AE=4-2t-t=4-3t
由△FEH∽△CAB,得EH= EF=2- t
∴S梯形AQHE = ( AQ+EH )·AE= ( 2-t+2- t )·t=- t 2+2t
∴S=S正方形APDE - S梯形AQHE =t 2-( - t 2+2t )= t 2-2t
由题意,当t=2时,点P到达点B
B
Q
D
P
C
A
E
图③
F
M
N
当 <t <2时
如图③,设DE交BC于点M,DP交BC于点N
则重合部分为六边形EFQPNM
由△FAQ∽△CAB,得AF=4-2t
∴S△FAQ = AQ·AF= ( 2-t )( 4-2t )=( 2-t )2
由△NPB∽△CAB,得PN=4-2t
∴DN=DP-NP=t-( 4-2t )=3t-4
由△DMN∽△ABC,得DM= ( 3t-4 )
∴S△DMN = DM·DN= ·( 3t-4 )( 3t-4 )= ( 3t-4 )2
∴S=S正方形APDE - S△DMN - S△FAQ =t 2- ( 3t-4 )2-( 2-t )2=- t 2+10t-8
综上所述,S=
47.(吉林模拟)如图,梯形OABC中,OA在x轴上,CB∥OA,∠OAB=90°,B(4,4),BC=2.动点E从点O出发,以每秒1个单位的速度沿线段OA运动,到点A停止,过点E作ED⊥x轴交折线O-C-B于点D,以DE为一边向右作正方形DEFG.设运动时间为t(秒),正方形DEFG与梯形OABC重叠面积为S(平方单位).
(1)求tan∠AOC的值;
(2)求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)连接AC,AC的中点为M,t为何值时,△DMG为等腰三角形?
D
A
B
C
G
O
E
F
x
y
D
A
B
C
G
O
E
F
x
备用图
y
D
A
B
C
G
O
E
F
x
H
y
D
A
B
C
G
O
E
x
(F)
y
解:(1)过C作CD⊥x轴于H
∵B(4,4),BC=2,∴OH=2,CH=4
∴tan∠AOC= = =2,
(2)当点F与点A重合时,OE=t,AE=DE=4-t
∴tan∠AOC= = =2,解得t=
当0<t ≤ 时,S=DE 2=( 2OE )2=( 2t )2=4t 2
D
A
B
C
G
O
E
F
x
y
D
A
B
C
G
O
E
F
x
y
当 ≤t ≤2时,S=DE·AE=2t·( 4-t )=-2t 2+8t
当2≤t ≤4时,S=4AE=4( 4-t )=-4t+16
当0<t ≤ 时,t= 时,S最大=
当 ≤t ≤2时,t=2时,S最大=8
当2≤t ≤4时,t=2时,S最大=8
综上,t=2时,S的最大值为8
D
A
B
C
G
O
E
F
x
M
y
D
A
B
C
G
O
E
F
x
M
y
(3)t1= ,t2= ,t3=2-1
提示:由题意,A(4,0),C(2,4)
∴M(3,2)
当0<t ≤2时,D(t,2t),G(3t,2t)
∴DM 2=( t-3 )2+( 2t-2 )2,DG 2=4t 2
MG 2=( 3t-3 )2+( 2t-2 )2
若DG=MG,则4t 2=( 3t-3 )2+( 2t-2 )2
解得t= >2(舍去)或t=
若MD=MG,则( t-3 )2+( 2t-2 )2=( 3t-3 )2+( 2t-2 )2
解得t=0(舍去)或t=
D
A
B
C
G
O
E
F
x
M
若DM=DG,则( t-3 )2+( 2t-2 )2=4t 2,无实数解
当2<t ≤4时,D(t,4),G(t+4,4)
∴DM 2=( t-3 )2+ 2 2,DG 2=4 2
MG 2=( t+1 )2+ 2 2
若DG=MG,则4 2=( t+1 )2+ 2 2
解得t=2-1或t=-2-1(舍去)
若MD=MG,则( t-3 )2+ 2 2=( t+1 )2+ 2 2
解得t=1(舍去)
若DM=DG,则( t-3 )2+ 2 2=4 2
解得t=3±2(舍去)
48.(吉林长春)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm.D、E分别为边AB、BC的中点,连接DE.点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止.点P在线段AD上以 cm/s的速度运动,在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时,过点P作PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在线段AQ上.设点P的运动时间为t(s).
(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为______________cm(用含t的代数式表示).
(2)当点N落在AB边上时,求t的值.
(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式.
(4)连接CD.当点N与点D重合时,有一点H从点M出发,在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动,直至点P与点E重合时,点H停止往返运动;当点P在线段EB上运动时,点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围.
M
C
A
B
Q
P
N
D
E
(1)( t-2 )
M
C
A
B
Q
P
D
E
图①
(N)
(2)①当点P在线段DE上时,如图①
PD=PN=PQ=2,∴t-2=2
∴t=4
②当点P在线段EB上时,如图②
PN=2PB
∵PN=PC=( t-6 )+2=t-4
M
C
A
B
N
D
E
图②
P
(Q)
PB=2-( t-6 )=8-t
∴t-4=2( 8-t ),解得t=
∴当点N落在AB边上时,t的值为4或
(3)①当2<t <4时,如图③
M
C
A
B
N
D
E
图③
P
Q
S=2 2- ( 4-t )2
即S=- t 2+2t
②当 <t <8时,如图④
S=( t-4 )2- ( 3t-20 )2
M
C
A
B
N
D
E
图④
P
(Q)
即S=- t 2+22t-84
(4)t= 或t=5或6≤t ≤8
提示:当点H第一次落在线段CD上时
2.5( t-4 )+ ( t-4 )=2,解得t=
当点H第二次落在线段CD上时
2.5( t-4 )-2= ( t-4 ),解得t=5
当点H第三次落在线段CD上时
6-2.5( t-4 )= ( t-4 ),解得t=6
当6≤t ≤8时,点H恒在线段CD上
P
A
B
C
M
O
F
D
E
N
Q
49.(长春模拟)如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB=6,C为OB上一点,射线CD⊥OB交AB于点D,OC=2.点P从点A出发以每秒 个单位长度的速度沿AB方向运动,点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点B时停止运动,点Q也随之停止.过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,得到矩形PEOF,以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN,斜边MN∥OB,且MN=QC.设运动时间为t(秒).
(1)求t=1时FC的长度.
(2)求MN=PF时t的值.
(3)当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时,求重叠(阴影)部分图形
面积S与t的函数关系式.
(4)直接写出△QMN和矩形PEOF的边有三个公共点时t的值.
解:(1)根据题意,△AOB、△AEP都是等腰直角三角形
P
A
C
M
O
F
D
E
N
Q
B
图①
G
H
∵AP=t,∴OF=EP=t
∵OC=2,∴FC=|2-t |
∴当t=1时,FC=1
(2)∵AP=t,∴AE=t,PF=OE=6-t
∵MN=QC=2t,MN=PF
∴2t=6-t,∴t=2
(3)当点F在点C左侧时,设MQ、MN分别与PF交于点G、H
当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时
P
A
F
M
O
C
D
E
N
Q
B
图③
I
J
K
L
P
A
C
M
O
F
D
E
N
Q
B
图②
K
则MH=GH=t-( 2-t )=2t-2≥0,得t ≥1
当点F与点C重合时,t=2
当1≤t ≤2时,重叠部分为△MGH,如图①
∵MH=GH=t-( 2-t )=2t-2
∴S = ( 2t-2 )2=2t 2-4t+2
当点E落在MQ上时,如图②
∵AE=t,EK=MK=t-2,AK=6-t,AE+EK=AK
∴t+( t-2 )=6-t,∴t=
P
A
F
M
O
C
D
E
N
Q
B
图④
K
L
当2<t ≤ 时,重叠部分为五边形IJKLP,如图③
∵JK=MK=t-2,AK=6-t,∴AJ=6-t-( t-2 )=8-2t
∴EK=6-t-t=6-2t,EI=EJ=8-2t-t=8-3t
∴S =S矩形EKLP - S△EJI=t( 6-2t )- ( 8-3t )2=- t 2+30t-32
A
C
M
O
D
E
N
Q
B
图⑤
(F)
(P)
(F)
当MN与EP重合时,t=3
当 <t ≤3时,重叠部分为矩形EKLP,如图④
∴S =t( 6-2t )=-2t 2+6t
(4)t=2或t=
提示:如图⑤、图②
A
B
R
x
E
C
Q
D
P
M
O
y
50.(长春模拟)如图,在平面直角坐标系中,梯形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为A(-3,0),B(15,0),D(0,4),且CD=10.一条抛物线经过C、D两点,其顶点M在x轴上.点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿AD向点D运动,到点D后又以每秒3
个单位的速度沿DC向点C运动,到点C停止;同时,点E从点B出发以每秒5个单位的速度沿BO运动,到点O停止.过点E作y轴的平行线,交边BC或CD于点Q,交抛物线于点R.设P、E两点运动的时间为t(秒).
(1)写出点M的坐标,并求这条抛物线的解析式;
(2)当点Q和点R之间的距离为8时,求t的值;
(3)直接写出使△MPQ成为直角三角形时t值的个数;
(4)设P、Q两点直径的距离为d,当2≤d≤7时,求t的取值范围.
解:(1)M(5,0)
A
B
R
x
E
C
Q
D
P
M
O
y
N
设抛物线的解析式为y=a( x-5)2
∵抛物线经过点D(0,4),∴25a=4,∴a=
∴抛物线的解析式为y= ( x-5 )2或y= x 2- x+4
(2)作CN⊥AB于N,则CN=4,BN=5
①当0≤t ≤1时,由△BQE∽△BCN得: = =
∵BE=5t,∴QE=4t
∵RQ=8,∴RE=4t+8
∴R(15-5t,4t+8)
∵点R在抛物线y= ( x-5 )2上,∴( 15-5t-5 )2=4t+8
解得t1= >1(舍去) ,t2=
②当1≤t ≤3时,QR≤CN=4
∴当t= 时,点Q和点R之间的距离为8
(3)4
提示:
当0≤t ≤1时,P在线段AD上,Q在线段BC上,∠PMQ ≥∠DMC >90°
当1<t ≤ 时(P到达C时,t=1+ =),P、Q均在CD上
若∠PMQ=90°,则由射影定理得:(8-3t )(10-5t )=4 2
解得t1= ,t2=
若∠PQM=90°,则Q到达M的正上方,t= =2
若∠QPM=90°,则P到达M的正上方,t=1+ =
所以使△MPQ成为直角三角形时的t值有4个
(4)∵当t=1时,P、Q分别到达D、C两点,CD=10
∴当2≤d ≤7时,P、Q均在CD上
当点P和点Q相遇前,d=PQ=3+15-( 3t+5t )=18-8t
∴2≤18-8t ≤7,解得 ≤t ≤2
当点P和点Q相遇后,d=PQ=8t-18
∴2≤8t-18≤7,解得 ≤t ≤
∵ >3,而3t-3=7时,t=
∴≤t ≤
综上所述,当2≤d ≤7时,t的取值范围为 ≤t ≤2或 ≤t ≤
51.(辽宁大连)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P、Q同时从点C出发,以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动.过点P作AC的垂线l交AB于点R,连接PQ、RQ,并作△PQR关于直线l对称的图形,得到△PQ′R.设点Q的运动时间为t(s),△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2).
(1)t为何值时,点Q′ 恰好落在AB上?
(2)求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
B
l
A
C
Q
P
R
Q′
(3)S能否为 cm2?若能,求出此时的t值,若不能,说明理由.
B
A
备用图
C
B
A
备用图
C
解:(1)过点Q′ 作Q′H⊥AC,垂足为H(如图1)
B
l
A
C
Q
P
R
Q′
图1
H
∴∠Q′HA=90°=∠C,Q′H∥BC
∴AQ′H△∽△ABC,∴ =
由题意知QC=CP=PH=Q′H=t
∴ = ,即AH= t
∵CP+PH+HA=CA,即t+t+ t=8
∴t= ,即t为 s时,点Q′ 恰好落在AB上
B
l
A
C
Q
P
R
Q′
图2
(2)①当0<t ≤ 时(如图2)
同理 = ,即 =
∴RP= ( 8-t )
∴S=S△PQ′R =S△PQR = RP·CP= ×( 8-t )×t=- t 2+3t
②当 <t ≤6时(如图3)
B
l
A
C
Q
P
R
Q′
图3
M
H
设PQ′ 与AB相交于点M,过点M作MH⊥AC,垂足为H
设MH=a,由对称性知,∠MPH=∠QPC=45°,则PH=MH=a
同理 = ,即 = ,∴AH= a
∵CP+PH+HA=CA,即t+a+ a=8
∴a= ( 8-t )
∴S= RP·PH= ×( 8-t )×( 8-t )= ( 8-t )2=- t 2- t+
综上,S=
(3)若S= ,则
①当0<t ≤ 时,- t 2+3t= ,解得t1=4+(舍去),t2=4-
②当 <t ≤6时,( 8-t )2= ,解得t1=8+(舍去),t2=8-
即S能为 cm2,此时t为( 4- )s或( 8- )s