陕西中考数学试题 6页

2018 年陕西省中考数学试卷 一、选择题：（本大题共 10 题，每题 3 分，满分 30 分） 1、－ 7 11的倒数是 A． 7 11 B．－ 7 11 C．11 7 D．－11 7 2、如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是 A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥 3、如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1 互补的角有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、如图，在矩形ABCD 中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数 y＝kx 的图像经过点 C，则k 的取值为 A．－1 2 B．1 2 C．－2 D．2 第2题图 第3题图第4题图 5、下列计算正确的是 A．a2·a2＝2a4 B．(－a2)3＝－a6 C．3a2－6a2＝3a2 D．(a－2)2＝a2－4 6、如图，在△ABC 中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为 D，∠ABC 的平分线交AD 于 点E，则AE 的长为 A．4 2 3 B．2 2 C．8 2 3 D．3 2 第6题图第8题图第9题图 7、若直线l1 经过点(0，4)，l2 经过(3，2)，且l1 与l2 关于x 轴对称，则l 1 与l2 的交点坐标为 A．(－2，0) B．(2，0) C．(－6，0) D．(6，0) 8、如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 和DA 的中点，连接 EF、FG、GH 和 HE．若 EH＝2EF，则下列结论正确的是 A．AB＝ 2EF B．AB＝2EF C．AB＝ 3EF D．AB＝ 5EF 9、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O 相交于点 D，连接BD， 则∠DBC 的大小为 A．15° B．35° C．25° D．45° 10、对于抛物线y＝ax 2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1 时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题：（本大题共 4 题，每题 3 分，满分 12 分） 11、比较大小：3＜ 10(填<，>或＝)． 12、如图，在正五边形 ABCDE 中，AC 与 BE 相交于点 F，则 AFE 的度数为 72° 13、若一个反比例函数的图像经过点 A(m，m) 和 B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为 y＝4 x 14、点O 是平行四边形A BCD 的对称中心，AD＞AB，E、F 分别是AB 边上的点，且EF＝1 2AB；G、H 分别是BC 边上的点，且GH＝1 3BC；若S1,S2 分 别 表 示 ∆EOF 和 ∆ GOH 的面积，则 S1,S2 之间的等量关系是 2S1＝3S2 1 l4 l3 l2l1 E DB A C G H E F DA CB DO A B C y C B A O x 第 12 题图 第 14 题图 二、解答题（共 11 小题，计 78 分．解答应写出过程） 15．（本题满分 5 分） 计算：(－3)×(－ 6)＋| 2－1|＋(5－2π)0 解：原式＝3 2＋ 2－1＋1＝42 16．（本题满分 5 分） 化简：(a＋1 a－1－ a a＋1)÷3a＋1 a2＋a 解：原式＝ 3a＋1 (a＋1)(a－1)×a(a＋1) 3a＋1 ＝ a a－1 17．（本题满分5分）[来源:学科网] 如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA ∽△ABM（不写做法保留作图痕迹） 解：如图，P即为所求点． 18、（本题满分5分） 如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD， 求证：AG＝DH． 证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D ∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC 在∆ABH和∆DCG中， ∵{∠A＝∠D ∠AHB＝∠DGC AB＝CD ) ∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG ∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD 19．（本题满分7分） 对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知 识的了解程度增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识．某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾 F A E DC B S2 S1 O D B C A E F G H B C A D M H G A F B C D E 分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测 试．根据测试成绩分布情况，他们将全 部测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表： “垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表 [来源:学科网] （第19题图） 依据以上统计信息，解答下列问题： (1)求得m＝30，n＝19%; (2)这次测试成绩的中位数落在B组； (3)求本次全部测试成绩的平均数． 解：测试的平均成绩＝2581＋5543＋5100＋2796 200 ＝80.1． 20．（本题满分7分） 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其 底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D 竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测 量信息，求河宽 AB． 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90° ∵∠CAB＝∠EAD ∴∆ABC∽∆ADE ∴AD AB ＝DE BC ∴AB＋8.5 AB ＝1.5 1 ∴AB＝17，即河宽为 17 米． 组别 分数/分 频数 各组总分/分 A 60＜x≤70 38 2581 B 70＜x≤80 72 5543 C 80＜x≤90 60 5100 D 90＜x≤100 m 2796 A n D 、 15% B 36% C 30% 21．（本题满分7分） 经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国，小明 家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表： 商品[来源:Zxxk.Com] 红枣 小米 规格 1kg/袋 2kg/袋 成本（元/袋） 40 38 售价（元/袋） 60 54 根据上表提供的信息，解答下列问题： (1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4．2万元，求这前五个 月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋； (2)根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共 2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣味x（kg），销售这 种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出这后五个月，小明家网店销售这 种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元． 解：(1)设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣a袋，销售小米b袋，根据题意列方程得：a＋2b＝3000， (60－40)a＋(54－38)b＝42000，解得：a＝1500，b＝750 ∴前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋，销售小米750袋 (2)根据题意得：y＝(60－40)x＋(54－38)×2000－x 2 ＝12x＋16000 y随x的增大而增大，∵x≥600，∴当x＝600时，y取得最小值， 最小值为y＝12×600＋16000＝23200 ∴小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元． 22 ．（本题满分 7 分） 如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形 圆心角为 120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字， 此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个 扇形的内部为止） (1)转动转盘一次，求转出的数字是－2 的概率； (2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率． （第 22 题图） 解：(1)由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为 120°，所以 2 个“－2”所占的扇形圆心角为 360°－ 2×120°＝120°，∴转动转盘一次，求转出的数字是－2 的概率为120° 360°＝1 3 ； (2)由(1)可知，该转盘转出“1”“3”“－2”的概率相同，均为1 3 ，所有可能性如下表所示： 第一次 第二次 1 －2 3 1 (1，1) (1，－2) (1，3) －2 (－2，1) (－2，－2) (－2，3) 3 (3，1) (3，－2) (3，3) 由上表可知：所有可能的结果共 9 种，其中数字之积为正数的的有 5 种，其概率为5 9 1 －2 3 －2 23．（本题满分8分） 如图，在 Rt△A BC 中，∠ACB＝90°，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作⊙O，分别与 AC、BC 相交于点 M、N． (1)过点 N 作⊙O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NE⊥AB； (2)连接 MD，求证：MD＝NB． 23 题图 23 题解图(1) 解：(1)如图，连接 ON ∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线 ∴AD＝CD＝DB ∴∠DCB＝∠DBC 又∵∠DCB＝∠ONC ∴∠ONC＝∠DBC ∴ON∥AB[来源:学&科&网] ∵NE 是⊙O 的切线，ON 是⊙O 的半径 ∴∠ONE＝90° ∴∠NEB＝90°，即 NE⊥AB； (2)如解图(1)所示，由( 1)可知 ON∥AB，[来源:Z§xx§k.Com] O 为⊙O 的圆心，∴OC＝OB，∠CMD＝90° ∴CN＝NB＝1 2CB，MD∥CB 又∵D 是 AB 的中点，∴MD＝1 2CB ∴MD＝NB． 24．（本题满分 10 分） 已知抛物线 L：y＝x2＋x－6 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），并与 y 轴相交于点 C． (1)求 A、B、C 三点的坐标，并求出△ABC 的面积； (2)将抛物线向 左或向右平移，得到抛物线 L´，且 L´与 x 轴相交于 A´、B´两点（点 A´在点 B´的左侧），并与 y 轴交于点 C´，要使△A´B´C´和△ABC 的面 积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式． 解：(1)当 y＝0 时，x2＋x－6＝0，解得 x1＝－3，x2＝2；当 x＝0 时，y＝－6 ∴A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6) ∴S△ABC＝1 2AB·OC＝1 2 ×5×6＝15； (2)将抛物线向左或向右平移时，A´、B´两点间的距离不变，始终为 5，那么要使△A´B´C´和△ABC 的面积相 等，高也只能是 6 设 A(a，0)，则 B(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，当 x＝0 时，y＝a2＋5a 当 C 点在 x 轴上方时，y＝a2＋5a＝6，a＝1 或 a＝－6，此时 y＝x2－7x－6 或 y＝x2＋7x－6； 当 C 点在 x 轴下方时，y＝a2＋5a＝－6，a＝－2 或 a＝－3，此时 y＝x2－x－6 或 y＝x2＋x－6(与圆抛物线重 合，舍去)； 所以，所有满足条件的抛物线的函数表达式为：y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6． 25．（本题满分 12 分） 问题提出 (1 )如图①，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC 的外接圆半径 R 的值为 ． 问题探究 (2)如图②，⊙O 的半径为 13，弦 AB＝24，M 是 AB 的中点，P 是⊙O 上一动点，求 PM 的最大值． 问题解决 E NM O DA B C E NM O D BA C (3)如图③所示，AB、AC、BC 是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC 所对的 圆心角为 60°．新区管委会想在 BC 路边建物资总站点 P，在 AB、AC 路边分别建物资分站点 E、F．也就是，分 别在 BC 线段 AB 和 AC 上选取点 P、E、F．由于总 站工作人员每天要将物资在各物资站点间按 P→E→F→P 的 路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 PE、EF 和 FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段 PE、 EF、FP 之和最短，试求 PE＋EF＋FP 的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)． 图① 图② 图③ 解：(1)R＝AB＝AC＝5； (2)如 25 题解图(2)所示，连接 MO 并延长交⊙O 于 N，连接 OP 显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ 132－122＝5，MN＝18 ∴PM 的最大值为 18； 25 题解图(2) 25 题解图(3) (3)假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB、AC 的对称点 P´、P＂连接 PP´、P´E，PE，P＂F，PF， PP＂ 由对称性可知 PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且 P´、E、F、P＂在一条直线上，所以 P´P＂即为最短 距离，其长度取决于 PA 的长度 25 题解图(4) 作出弧 BC 的圆心 O，连接 AO，与弧 BC 交于 P，P 点即为使得 PA 最短的点 ∵AB＝6km，AC＝3km，∠ BAC＝60°，∴∆ABC 是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 3 BC 所对的圆心角为 60°，∴∆OBC 是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 3 ∴∠ABO＝90°，AO＝3 7，PA＝3 7－3 3 ∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30° ∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝ 3P´A＝3 21－9 所以 PE＋EF＋FP 的最小值为 3 21－9km． CB A BA M O P B A C N BA M O P F E P'' P' B A C P F E P'' P' P O B A C