中考概率新题型 7页

中考概率新题型 武丽虹 一、判断说理型 ‎［例1］（福建泉州市）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份并在每一份内标上的数字，如图所示，游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜。‎ ‎（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；‎ ‎（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由。‎ 解析：（1）（法1）画树状图 由上可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种。‎ ‎（法2）列表如下：‎ ‎∴P（和为奇数）=0.5‎ ‎（2）∵P（和为奇数）=0.5‎ ‎∴P（和为偶数）=0.5‎ ‎∴这个游戏规则对双方是公平的。‎ 点评：这类题重在考查学生细致严谨的品质和实事求是的科学精神，要求学生以树状图或列表的方式能言简意赅表达自己对事物的理解，集考试与能力培养于一体，体现了“以人为本”的原则。‎ 二、方案设计型 ‎［例2］（2006年泸州市）如图，转盘被等分成六个扇形区域，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6。转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止。‎ ‎（1）当停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？‎ ‎（2）请你用这个转盘设计一个游戏（六等分扇形不变），使自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为，并说明你的设计理由。（设计方案可用图示表示，也可以用文字表述）‎ 解析：（1）所有等可能的结果共有6种，指针指向奇数区域的结果有3种，故P（奇数）‎ ‎（2）本题设计的方案不唯一。‎ 如方案一：指针指向大于2的数区域的概率；方案二：指针指向小于5的数区域的概率；等等。‎ 点评：本题既是策略开放题，又是数学知识应用的方案设计问题，试题一改传统的命题方式，注重将基础知识与应用结合，给中考命题注入了新的活力，体现了“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆”。‎ 三、图形变换型 ‎［例3］（2006年大连西岗区）放在平面直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（如图，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4）。‎ 每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）。‎ ‎（1）求点P落在正方形面上（含边界，下同）的概率。‎ ‎（2）将正方形ABCD平移数个单位，是否存在一种平移，使点P落在正方形面上的概率为，若存在，指出其中的一种平移方式，若不存在，说明理由。‎ 解析：（1）用列表法表示点坐标的可能性；‎ 可见，所有等可能的结果共有16种，点落在正方形面上的结果有9种 ‎∴P（落在正方形面上的点）‎ ‎（2）根据题目要求，也就是要使得16个点坐标有4个落在正方形的面上，不妨按下列方法平移。‎ 方法一：把正方形向右平移一个单位，再向下平移二个单位；‎ 方法二：把正方形向左平移二个单位，再向上平移一个单位；‎ 方法三：把正方形向左平移一个单位，再向上平移一个单位。‎ 点评：以概率为背景将之与图形有关的操作问题有机地结合，充分体现了新课程的理念。要求学生能灵活运用数学思想方法和数学知识分析问题、解决问题；本题自由度和思维空间较大，有利于培养学生主动探究，勇于实践，敢于探索的精神。‎ 四、方法迁移型 ‎［例4］（2006年扬州市）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：‎ ‎（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近____________；‎ ‎（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是_______。‎ ‎（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？‎ ‎（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了，这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法。‎ 解析：（1）频率具有稳定性。当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；‎ ‎（2）取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值。因此，摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4；‎ ‎（3）白球的只数大约是0.6×20=12只 黑球的只数大约是20－12=8只 ‎（4）可按照以下步骤来解决问题（方法不唯一）：‎ ‎（i）添加：向口袋中添加一定数量的黑球，并充分搅匀。‎ ‎（ii）实验：进行大数次的摸球实验（有返回），记录摸到白球和黑球的次数，分别计算频率，由此来估算概率；‎ ‎（iii）估计：；球总数×摸到白球的概率=白球的个数 点评：本题取材于摸球实验，蕴涵着研究性学习的思想方法。研究性学习是课改中的一种崭新的学习方式，是学生学习成长的有效途径，会促使学生关注生活中遇到的相关信息，并作研究，是一种趋势。‎ 五、信息交流型 ‎［例5］（2006年江苏省淮安市）王强与李刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：‎ ‎（1）请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率。‎ ‎（2）王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大。”‎ 李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次。”‎ 请判断王强和李刚说法的对错。‎ ‎（3）如果王强与李刚各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率。‎ 解析：（1）容易计算得：f（点数为3）=；‎ f（点数为5）。‎ ‎（2）概率是描述随机现象的数学模型，频率与概率不能等同，两者存在着一定的偏差。也可能无论做多少的实验，它的频率都不等于概率，而是稳定于概率，所以频率是概率的一个近似值，两者存在着一定的偏差。因此，两位同学的说法是错误的 ‎（3）用表格来表示；所有可能的结果共有36种，点数之和为3的倍数的结果有12种 ‎∴P（出现向上点数之和为3的倍数）‎ 点评：在强调“双基”和运用数学知识的同时，引入联系学生活动实际的情境，加大了对实验、判断、探索、归纳问题考查的力度，以拓展学生的思维潜能，多角度地考查学生的综合素质。‎ 六、函数结合型 ‎［例6］已知函数，令，可得函数图象上的十个点。在这十个点中随机取两个点P（，）、Q（），则P、Q两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解析：分别计算出这十个点的坐标 ‎－3）、，根据反比例函数的特点，可知A1与A8、A2与A9、A3与A7、A4与A6这四组分别在同一反比例函数图象上。在这十个点中随机取两个点的可能事件有（种）。‎ 故P（两点在同一反比例函数图象上）=，本题选B。‎ 点评：试题融入了新课标的理念，形式新颖富有个性。它集一次函数、点坐标与反比例函数图象特点于一体，多方位、多角度地考查学生的综合素质，体现了数学知识点之间的紧密联系，有利于引导学生数学思维能力和思维品质的培养，并进一步感受数学的内在美、含蓄美和理性美。‎ 七、规则修改型 ‎［例7］（2006年山东省青岛市）小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏，游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分。你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平。‎ 解析：从表中可以得到：‎ P（小明获胜），P（小亮获胜）=。‎ ‎∴小明的得分为，小亮的得分为。‎ ‎∵，∴游戏不公平。‎ 修改规则不惟一。如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得4分，否则小亮得5分。‎ 点评：在判断结果的前提下，要求学生说理，并进一步要求给出别的有创意的解决问题的办法，成为考查学生多方面素质和能力的新颖题，也是中考命题新的趋势，体现了实施新课程标准的理念。‎ 八、方程求解型 ‎［例8］（2006年大连市）在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是。‎ ‎（1）试写出y与x的函数关系式。‎ ‎（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为，求x和y的值。‎ 解析：（1）P（黑）‎ 由题可知 整理得 ①‎ ‎（2）根据题意得 P（黑）‎ 整理得： ②‎ 由①②得 点评：在强调“双基”和运用数学知识解决实际问题能力和考试要求下，本题颇有新意地将方程应用问题与概率知识相结合，旨在考查学生的知识整合能力以及数学建模能力和应用能力。‎