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  • 2021-05-10 发布

上海市中考数学试题分类解析汇编专题7平面几何基础

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2002 年-2011 年上海市中考数学试题分类解析汇编 专题 7:平面几何基础和向量 锦元数学工作室 编辑 一、选择题 1.(上海市 2002 年 3 分)下列命题中,正确的是【 】   (A)正多边形都是轴对称图形;   (B)正多边形一个内角的大小与边数成正比例;   (C)正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少;   (D)边数大于 3 的正多边形的对角线长相等. 【答案】A,C。 【考点】正多边形和圆,命题与定理。 【分析】根据正多边形的性质,以及正多边形的内角和.外角和的计算方法即可求解: A、所有的正多边形都是轴对称图形,故正确; B、正多边形一个内角的大小=(n-2)×180n,不符合正比例的关系式,故错误; C、正多边形的外角和为 360°,每个外角= ,随着 n 的增大,度数将变小,故正确; D、正五边形的对角线就不相等,故错误。 故选 A,C。 2.(上海市 2008 年Ⅱ组 4 分)计算 的结果是【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】向量的计算。 【分析】根据向量计算的法则直接计算即可: 。故选 B。 3.(上海市 2008 年Ⅱ组 4 分)如图,在平行四边形 中,如果 , ,那么 等于【 】 0360 n 3 2a a−  a a a− a− 3 2 =a a a−   ABCD AB a=  AD b=  a b+  A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】向量的几何意义。 【分析】根据向量的意义, 。故选 B。 4.(上海市 2009 年 4 分)下列正多边形中,中心角等于内角的是【 】 A.正六边形 B.正五边形 C.正四边形 C.正三边形 【答案】C。 【考点】多边形内角与外角。 【分析】正 边形的内角和可以表示成 ,则它的内角是等于 , 边形的中心 角等于 ,根据中心角等于内角就可以得到一个关于 的方程: ,解这个方程 得 =4,即这个多边形是正四边形。故选 C。 5.(上海市 2009 年 4 分)如图 1,已知 ,那么下列结论正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】A。 【考点】平行线分线段成比例。 【分析】已知 ,根据平行线分线段成比例定理,得 。故选 A。 二、填空题 1. 上海市 2002 年 2 分)在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE∥BC,如果 AD=8,DB= 6,EC=9,那么 AE= ▲ . 【答案】12。 【考点】平行线分线段成比例。 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得 AE 的长: BD AC DB CA =a b AC+   n 02 180n − ⋅( ) 02 180n n − ⋅( ) n 0360 n n 0 02 180 360n n n − ⋅ =( ) n AB CD EF∥ ∥ AD BC DF CE = BC DF CE AD = CD BC EF BE = CD AD EF AF = AB CD EF∥ ∥ AD BC DF CE = ∵DE∥BC,∴ 。 ∵AD=8,DB=6,CE=9,∴ 。 2.(上海市 2002 年 2 分)在 Rt△ABC 中,∠A<∠B,CM 是斜边 AB 上的 中线,将△ACM 沿直线 CM 折叠,点 A 落在点 D 处,如果 CD 恰好与 AB 垂直,那么∠A 等于 ▲ 度. 【答案】30。 【考点】翻折变换(折叠问题),线段垂直平分线的性质,直角三角形斜边上 的中线性质。 【分析】根据折叠的性质可知,折叠前后的两个三角形全等,则∠D=∠A,∠MCD=∠MCA,从而求得答 案: 在 Rt△ABC 中,∠A<∠B,CM 是斜边 AB 上的中线, ∴∠A=∠ACM。 将△ACM 沿直线 CM 折叠,点 A 落在点 D 处,设∠A=∠ACM=x 度, ∴∠A+∠ACM=∠CMB。∴∠CMB=2x。 又根据折叠的性质可知∠MCG =∠ACM=x, 如果 CD 恰好与 AB 垂直,则在 Rt△CMG 中,∠MCG+∠CMB=90°, 即 3x=90°,x=30°,即∠A 等于 30°。 3.(上海市 2004 年 2 分)正六边形是轴对称图形,它有 ▲ 条对称轴。 【答案】6。 【考点】轴对称的性质。 【分析】根据轴对称图形的特点,知正六边形有 6 条对称轴,分别是 3 条对角线和三组对边的垂直平分线, ∴正六边形是轴对称图形,它有 6 条对称轴。 4.(上海市 2005 年 3 分)在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB 和 AC 上,且 DE∥BC,如果 AD=2, DB=4,AE=3,那么 EC= ▲ 【答案】6。 【考点】平行线分线段成比例。 【分析】根据平行线分线段成比例定理,列出比例式求解,即可得到 EC 的长: AD AE DB CE = AD CE 72AE 12DB 6 ⋅= = = ∵DE∥BC,∴CE:AE=BD:AD。 ∵AD=2,DB=4,AE=3,∴EC=6。 5,(上海市 2005 年 3 分)在三角形纸片 ABC 中,∠C=90°,∠A=30°, AC=3,折叠该纸片,使点 A 与点 B 重合,折痕与 AB、AC 分别相交于点 D 和 点 E(如图),折痕 DE 的长为 ▲ 【答案】1。 【考点】翻折变换(折叠问题)。 【分析】∵△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AC=3, ∴ 。 又∵△BDE 是△ADE 翻折而成,DE 为折痕, ∴DE⊥AB, , ∴在 Rt△ADE 中, 。 6.(上海市 2006 年 3 分)在中国的园林建筑中,很多建筑图形具有对称性。图是一个 破损花窗的图形,请把它补画成中心对称图形。 【答案】 【考点】用旋转设计图案,中心对称图形。 【分析】通过画中心对称图形来完成,找出关键点这里半径长,画弧,连接关键点即可。 7.(上海市 2007 年 3 分)图是 正方形网格,请在其中选取一个白色的单位正方形 并涂黑,使图中黑色部分是一个中心对称图形. AC 3AB 2 3cos A 3 2 = = =∠ 1 1AD BD AB 2 3 32 2 = = = × = 3DE AD tan A 3 tan30 3 13 = ⋅ ∠ = × ° = × = 4 4× 【答案】 。 【考点】利用旋转设计图案,中心对称图形。 【分析】图中中间的相邻的 2 对黑色的正方形已是中心对称图形,需找到最上边的那个小正方形的中心对 称图形,它原来在右上方,那么旋转 180°后将在左下方。 8.(上海市 2008 年 4 分)如图,已知 , ,那么 的度数等 于 ▲ 0. 【答案】40。 【考点】平行线的性质,对顶角的性质。 【分析】∵ ,∴∠2 等于∠1 的对顶角,∴ 。 9.(上海市 2009 年 4 分)如图,在 中, 是边 上的中线,设向量 , ,如果 用向量 , 表示向量 ,那么 = ▲ . 【答案】 。 【考点】向量的计算。 【分析】∵ , ,∴根据平行四边形法则, 。 又∵在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,∴ 。 ∴用向量 , 表示向量 为 。 10.(上海市 2009 年 4 分)在 中, 为边 上的点,联结 (如 图所示).如果将 沿直线 翻折后,点 恰好落在边 的中点处, 那么点 到 的距离是 ▲ . 【答案】2。 【考点】翻折变换(折叠问题)。 a b∥ 1 40∠ =  2∠ a b∥ 2= 1 40∠ ∠ =  ABC△ AD BC AB a=  BC b=  a b AD AD 1 2a+ b  AB a=  BC b=  AC AB BC a b= + = +     1 1 2 2CD BC b= − = −   a b AD 1 1 2 2AD AC CD a+b+ b a+ b = + = − =           Rt ABC△ 90 3BAC AB M∠ = =°, , BC AM ABM△ AM B AC M AC 【分析】∵ 沿直线 翻折后,点 恰好落在边 的中点处,假设这个点是 ′。作 ,垂足分别为 。 ∵在 中, , ∴ ′=3, , ′= ′ =3, 。 ∴ ,即 。 ∴ ,即 。 所以点 M 到 AC 的距离是2。 11.(上海市 2010 年 4 分)如图,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交 于点 O 设向量 , ,则向量 ▲ .(结果用 、 表示) 【答案】 。 【考点】平面向量,平行四边形的性质。 【分析】根据平行四边形的性质,可知 ,则 ,所以 。 12.(上海市 2010 年 4 分)已知正方形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上,DE = 2,EC = 1 (如图所示) 把线段 AE 绕点 A 旋转,使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处,则 F、C 两点的距离为 ▲ . 【答案】1 或 5。 【考点】正方形的性质,旋转的性质,勾股定理。 【分析】旋转两种情况如图所示: 顺时针旋转得到 F1 点,由旋转对称的性质知 F1C=EC =1。 逆时针旋转得到 F2 点,则 F2B=DE = 2, F2C =F2B+BC=5。 13.(上海市 2011 年 4 分)如图,AM 是△ABC 的中线,设向量 , ,那么向量 ▲ (结果用 、 表示). 【答案】 。 【考点】平面向量。 a b ABM△ AM B AC B ,MN AC MD AB⊥ ⊥ ,M D Rt ABC△ 90 3BAC AB∠ = =°, AB AB= DM MN= AB B C 6AC = BAC BAM MACS S S∆ ∆ ∆= + 1 1 13 6 3 62 2 2DM MN⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 99 2 MN= =2MN AD a=  AB b=  AO = ( )1= 2AO b a+   AD BC a= =   AC AB BC= 2b a AO= + + =      ( )1= 2AO b a+   AB a=  BC b=  AM = a b 1 2a b+  F2 F1 E D CB A 【分析】∵AM 是△ABC 的中线, ,∴ 。又∵ ,∴ 。 14.(上海市 2011 年 4 分) 如图, 点 B、C、D 在同一条直线上,∠ACB=90°,如果∠ECD=36°, 那 么∠A= ▲ . 【答案】54°。 【考点】平行线的性质,三角形内角和定理。 【分析】由 CE∥AB,,根据平行线同位角相等的性质,得∠B=∠ECD=36°,从而根据三角形内角和定 理,得∠A=180°-∠ACB-∠B=180°-90°-36°=54°。 15.(上海市 2011 年 4 分)Rt△ABC 中,已知∠C=90°,∠B=50°,点 D 在边 BC 上, BD =2CD (如图).把△ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m(0<m<180)度后,如果点 B 恰 好落在初始 Rt△ABC 的边上, 那么 m= ▲ . 【答案】80°或 120°。 【考点】图形旋转的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角三 角函数值,三角形内角和定理,邻补角定义。 【分析】由已知,B 恰好落在初始 Rt△ABC 的边上且旋转角 0°<m<180°,故 点 B 可落在 AB 边上和 AC 边上两种情况。 当点 B 落在 AB 边上时(如图中红线),由旋转的性质知△DBE 是等腰 三角形,由∠B=50°和等腰三角形等边对等角的性质,三角形内角和定理可得 m=∠BDE=80°。 当点 B 落在 AC 边上时(如图中蓝线),在 Rt△CDH 中,由已知 BD=2CD,即 DH=2CD,得∠CDH 的余弦等于 ,从而由特殊角三角函数值得∠CDH=60°,所以根据邻补角定义得 m=∠BDH=120°。 三、解答题 1.(上海市 2004 年 10 分)如图所示,在△ABC 中, ,延长 BA 到点 D,使 ,点 E、F 分别为 BC、AC 的中点。 (1)求证:DF=BE; (2)过点 A 作 AG//BC,交 DF 于点 G,求证:AG=DG。 【答案】证明:(1)过点 F 作 。 BC b=  1 1BM BC2 2 b= =   AB a=  1AM AB BM 2a b= + = +     1 2 ∠ =BAC 90° AD AB= 1 2 / /FH CB ∵点 E、F 分别为 BC、AC 的中点, ∴ ,点 H 是 AB 的中点。 ∴ 。 ∴ 。 又∵ ,∴ 是 的垂直平分线。∴ 。 (2)画出线段 AG ∵ , ∴ 。 由(1)知 ,∴ 。 【考点】三角形中位线的判定和性质,线段垂直平分线的判定和性质。 【分析】(1)过点 F 作 ,由点 E、F 分别为 BC、AC 的中点,根据三角形中位线的判定和性质 证明 是 的垂直平分线即可得出结论。 (2)由(1)的结论,根据三角形中位线的判定和性质即可得出结论。 2.(上海市 2005 年 8 分)(1)在图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中,关于 y 轴对称的两 个三角形的编号为        ;关于坐标原点 O 对称的两个三角形的编号为        ; (2)在图 4 中,画出与△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 【答案】解:(1):①,②;①,③; (2)如图,△A1B1C1 即为所求: 1 2HF BC BE= = 1 1 2 2AD AB AH AB= =, AD AH= ∠ =BAC 90° AF DH DF HF BE= = AD AH= / /AG BC 1 1 2 2AG HF DG DF= =, DF HF= AG DG= / /FH CB AF DH 【考点】作图(轴对称变换),中心对称。 【分析】(1)根据轴对称的性质,对应点到对称轴的距离相等,可知 1,2 两个图形是轴对称图形,根据 中心对称的性质,对应点到原点的距离相等可知 1,3 是中心对称图形。 (2)从三角形三个顶点向 x 轴引垂线并延长相同的长度,找到对应点,顺次连接。 3.(上海市 2008 年 10 分)“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上,导致其中部分图形 和数据看不清楚(如图 1 所示).已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图,它是以圆 的半径 所在的直线为对称轴的轴对称图形, 是 与圆 的交点. (1)请你帮助小王在图 2 中把图形补画完整(3 分); (2)由于图纸中圆 的半径 的值已看不清楚,根据上述信息(图纸中 是坡面 的坡度), 求 的值(7 分). 【答案】解:(1)图形补画如下: O OC A OD O O r 1:0.75i = CE r 图 1 O CA ( 上 海 市 20 08 年 10 分) “创 意 设 计” 公 司 员 工 小 王 不 慎 将 墨 水 泼 在 一 张 设 计 图 纸 上, 导 致 其 中 部 分 图 形 和 数 据 看 不 清 楚 ( 如 图 1 所 示) . 已 知 图 纸 上 的 图 形 是 某 建 筑 物 横 断 面 的 示 意 图, 它 是 以 圆 O 的 半 径 OC 所 在 的 直 线 为 对 称 轴 的 轴 对 称 图 形, A 是 OD 与 圆 O 的 交 点. ( 1) 请 你 帮 助 小 王 在 图 2 中 把 图 形 补 画 完 整 ( 3 分) ; ( 2) 由 于 图 纸 中 圆 O 的 半 径 r 的 值 已 看 不 清 楚, 根 据 上 述 信 息 ( 图 纸 中 1:0.75i = 是 坡 面 CE 的 坡 度) , 求 r 的 值 ( 7 分) . 【 答 案】 解: ( 1) 图 形 补 画 如 下: ( 2) 由 已 知 OC DE⊥ , 垂 足 为 点 H , 则 90CHE∠ =  . ∵ 1:0.75i = , ∴ 4 3 CH EH = 。 在 Rt HEC△ 中, 2 2 2EH CH EC+ = . 设 4CH k= , 3 ( 0)EH k k= > , 又 ∵ 5CE = , 得 2 2 2(3 ) (4 ) 5k k+ = , 解 得 1k = 。 ∴ 3EH = , 4CH = 。 ∴ 7DH DE EH= + = , 7OD OA AD r= + = + , 4OH OC CH r= + = + 。 在 Rt ODH△ 中, 2 2 2OH DH OD+ = , ∴ 2 2 2( 4) 7 ( 7)r r+ + = + , 解 得 8 3r = 。 【 考 点】 轴 对 称 图 形, 解 直 角 三 角 形 的 应 用, 勾 股 定 理。 【 分 析】 ( 1) 根 据 轴 对 称 图 形 的 性 质 画 出 图 形。 ( 2) 在 Rt HEC△ 和 Rt ODH△ 中 分 别 应 用 勾 股 定 理 求 解 即 可。 D E H 图 2 (2)由已知 ,垂足为点 ,则 . ∵ ,∴ 。 在 中, .设 , , 又∵ ,得 ,解得 。∴ , 。 ∴ , , 。 在 中, ,∴ ,解得 。 【考点】轴对称图形,解直角三角形的应用,勾股定理。 【分析】(1)根据轴对称图形的性质画出图形。 (2)在 和 中分别应用勾股定理求解即可。 OC DE⊥ H 90CHE∠ =  1:0.75i = 4 3 CH EH = Rt HEC△ 2 2 2EH CH EC+ = 4CH k= 3 ( 0)EH k k= > 5CE = 2 2 2(3 ) (4 ) 5k k+ = 1k = 3EH = 4CH = 7DH DE EH= + = 7OD OA AD r= + = + 4OH OC CH r= + = + Rt ODH△ 2 2 2OH DH OD+ = 2 2 2( 4) 7 ( 7)r r+ + = + 8 3r = Rt HEC△ Rt ODH△