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- 2021-05-10 发布
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2010年北京顺义区高中招生考试
数学试题
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
1.4的平方根是( )
A.2 B.±2 C. D.±
2.下列计算正确的是( )
A.x3+x2=x5 B.x4÷x=x4
C.x3·x2=x5 D.(x3)2=x5
3.从北京教育考试院获悉,截至2010年3月5日,今年北京市中考报名确认考生人数达10.2万,与去年报考人数持平.请把10.2万用科学记数法表示应为( )
A.0.102×106 B.10.2×104 C.1.02×105 D.1.02×104
4.把a3-4ab2分解因式,结果正确的是( )
A.a(a+4b)(a-4b) B.a(a2-4b2)
C.a(a+2b)(a-2b) D.a(a-2b)2
5.小明在做一道数学选择题时,经过审题,他知道在A、B、C、D四个备选答案中,只有一个是正确的,但他只能确定选项D是错误的,于是他在其它三个选项中随机选择了B,那么,小明答对这道选择题的概率是( )
A. B. C. D.1
6.若一个正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数是( )
A.9 B.8 C.6 D.4
7.某一段时间,小芳测得连续五天的日最高气温后,整理得出下表(有两个数据被遮盖).
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最高气温
1℃
2℃
-2℃
0℃
1℃
被遮盖的两个数据依次是( )
A.3℃,2 B.3℃,4 C.4℃,2 D.4℃,4
8.点E为正方形ABCD的BC边的中点,动点F在对角线AC上运动,连接BF、EF.设AF=x,△BEF的周长为y,那么能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A
O
B
C
O
x
O
O
O
x
x
x
y
y
y
y
A
B
C
D
A
B
C
D
F
E
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.函数y=中,自变量x的取值范围是 .
10.若|m-n|+(m+2)2=0,则mn的值是 .
11.如图,△ABC内接于⊙O,已知∠ABO=50º,则∠ACB= .
12.在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(4,10),点C在y轴上,且△ABC是直角三角形,则满足条件的C点的坐标为 .
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.计算:.
14.解方程组
A
B
C
D
E
15.如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.
求证:AD=AE.
16.已知x=2010,y=2009,求代数式的值.
17.已知正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A、B两点,且点A的坐标为(2,3).
(1)求正比例函数及反比例函数的解析式;
(2)在所给的平面直角坐标系中画出两个函数的图象,根据图象直接写出点B的坐标及不等式kx>的解集.
18.列方程或方程组解应用题:
在“五一”期间,小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩,下面是购买门票时,小明与他爸爸的对话(如图),试根据图中的信息,解答下列问题:
(1)小明他们一共去了几个成人,几个学生?
(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式购票更省钱?
四、解答题(本题共20分,第19题6分,第20题5分,第21题5分,第22题4分)
19.某市青少年健康研究中心随机抽取了本市1000名小学生和若干名中学生,对他们的视力状况进行了调查,并把调查结果绘制成如下统计图(近视程度分为轻度、中度、高度三种).
(1)求这1000名小学生患近视的百分比;
(2)求本次抽查的中学生人数;
(3)该市有中学生8万人,小学生10万人,分别估计该市的中
学生与小学生患“中度近视”的人数.
[
A
B
C
D
20.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,∠C=60°,AD=4,BC=6,求AB的长.
B
E
F
A
O
C
D
21.如图,⊙O的直径AB=4,C、D为圆周上两点,且四边形OBCD是菱形,过点D的直线EF∥AC,交BA、BC的延长线于点E、F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求DE的长.
22.已知正方形纸片ABCD的边长为2.
操作:如图1,将正方形纸片折叠,使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合),折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置,PQ与BC交于点G.
探究:(1)观察操作结果,找到一个与△DEP相似的三角形,并证明你的结论;
(2)当点P位于CD中点时,你找到的三角形与△DEP周长的比是多少?
B
B
A
C
D
E
F
G
Q
P
C
A
D
(备用)
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.已知抛物线y=(k-1)x2+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点.
(1)求k的取值范围;
(2)当k为整数,且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时,求抛物线的解析式;
y
x
O
4
8
-8
-4
(3)在(2)的条件下,若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形,使得正方形的一边在x轴上,其对边的两个端点在抛物线上,试求出这个最大正方形的边长.
24.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为AC的中点.
(1)如图1,E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连结CF,过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明.
(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.
A
A
B
B
D
E
C
F
H
D
C
E
F
H
图1 图2
25.如图,直线l1:y=kx+b平行于直线y=x-1,且与直线l2:y=mx+交于P(-1,0).
(1)求直线l1、l2的解析式;
(2)直线l1与y轴交于点A.一动点C从点A出发,先沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B1处后,改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A1处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B2处后,又改为垂直于x
轴的方向运动,到达直线l1上的点A2处后,仍沿平行于x轴的方向运动,…照此规律运动,动点C依次经过点B1,A1,B2,A2,B3,A3,…,Bn,An,…
①求点B1,B2,A1,A2的坐标;
A
O
P
x
y
l1
l2
A1
A2
B1
B2
B3
②请你通过归纳得出点An、Bn的坐标;并求当动点C到达An处时,运动的总路径的长.
2010年顺义区高中招生考试数学试题答案
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
B
C
D
B
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
题 号[
9
10
11
12
答 案
,,
三、解答题:(本题共30分,每小题5分)
13.解:
……………………………………………………… 4分
………………………………………………………………… 5分
14.解:
①+②,得 .
. …………………………………………………… 2分
把代入①,得
.
. ………………………………………………… 4分
∴原方程组的解为 …………………………………………… 5分
15.证明:∵ AB=AC,点D是BC的中点,
∴ ∠ADB=90°. ………………… 1分[来源:学科网]
∵ AE⊥AB,
∴ ∠E=90°=∠ADB. ………………… 2分
∵ AB平分,
∴ ∠1=∠2.……………………………… 3分
在△ADB和△AEB中,
∴ △ADB≌△AEB.……………………………………………………… 4分
∴ AD=AE.………………………………………………………………… 5分
16.解:
…………………………………………………… 2分
………………………………………………………… 3分
……………………………………………………………………… 4分
当,时,原式=. ………… 5分
17.解:(1)∵点A 在正比例函数的图象上,
∴ .
解得 .
∴ 正比例函数的解析式为 . ……………………………… 1分
∵点A 在反比例函数的图象上,
∴ .
解得 .
∴ 反比例函数的解析式为.…… 2分
(2)点B的坐标为, …………… 3分
不等式的解集为或. ………………………… 5分[来]
18.解:(1)设去了x个成人,则去了(12- x)个学生,依题意,得
……………………………………………… 2分
解得 . ………………………………………………………… 3分[来
.
答:小明他们一共去了8个成人,4个学生. ……………………… 4分
(2)若按团体票购票:.
∵, ∴按团体票购票更省钱. ……………………… 5分
四、解答题(本题共20分,第19题6分,第20题5分,第21题5分,第22题4分)
19.解:(1),
∴这1000名小学生患近视的百分比为38%. ……………………… 2分
(2)抽查的中学生近视人数:263+260+37=560,
560÷56%=1000(人),
∴本次抽查的中学生有1000人. …………………………………… 4分
(3)∵8×=2.08(万人),
∴该市中学生患“中度近视”的约有2.08万人. …………………… 5分
∵10×=1.04(万人),
∴该市小学生患“中度近视”的约有1.04万人. …………………… 6分
20.解:过点A作AE⊥BD,垂足为E.
∵BD⊥DC,∠C=60°,BC=6,
∴∠1=30°,. …………………… 1分
∵AD//BC,
∴∠2=∠1=30°.
∵AE⊥BD,AD=4,
∴,. ……… 3分
∴. ………………………………… 4分
∴. …………………………………………… 5分[来源:学|科|网]
21.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°. …………………………………………………… 1分
∵四边形OBCD是菱形,
∴OD//BC.
∴∠1=∠ACB=90°.
∵EF∥AC,
∴∠2=∠1 =90°. …………… 2分
∵OD是半径,
∴EF是⊙O的切线. ………………………………………… 3分
(2)解:连结OC,
∵直径AB=4,
∴半径OB=OC=2.
∵四边形OBCD是菱形,
∴OD=BC=OB=OC=2. ………………………………………… 4分
∴∠B=60°.
∵OD//BC,
∴∠EOD=∠B= 60°.
在Rt△EOD中,.…… 5分
22.解:(1)与相似的三角形是. ……………………………… 1分
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠C=∠D=90°.
由折叠知 ∠EPQ=∠A=90°.
∴∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°.
∴∠2=∠3.
∴∽. ……… 2分
(2)设ED=x,则AE=,
由折叠可知:EP=AE=.
∵点P是CD中点,
∴DP=1.
∵∠D=90°,
∴,
即
解得 .
∴. ………………………………………………………… 3分
∵∽,
∴.
∴与周长的比为4∶3. ………………………… 4分
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.解:(1),
依题意,得
∴的取值范围是且. ① …………………………… 2分[来源:学#科#网Z#X#X#K]
(2)解方程,得
. …………………………………………………………… 3分
∵方程的解是负数,
∴. ∴. ② ……………………………… 4分
综合①②,及为整数,可得 .
∴抛物线解析式为 . ……………………………… 5分
(3)如图,设最大正方形ABCD的边长为m,则B、C两点的纵坐标为,
且由对称性可知:B、C两点关于抛物线对称轴对称.
∵抛物线的对称轴为:.
∴点C的坐标为. ……………… 6分
∵C点在抛物线上,
∴.
整理,得 .
∴(舍负)
∴. …………………… 7分
24.解:(1)FH与FC的数量关系是:. … 1分
证明:延长交于点G,
由题意,知 ∠EDF=∠ACB=90°,DE=DF.
∴DG∥CB.
∵点D为AC的中点,
∴点G为AB的中点,且.
∴DG为的中位线.
∴.
∵AC=BC,
∴DC=DG.
∴DC- DE =DG- DF.
即EC =FG. …………………………………………………………… 2分
∵∠EDF =90°,,
∴∠1+∠CFD =90°,∠2+∠CFD=90°.
∴∠1 =∠2. …………………………………………………………… 3分
∵与都是等腰直角三角形,
∴∠DEF =∠DGA = 45°.
∴∠CEF =∠FGH = 135°. …………………………………………… 4分
∴△CEF ≌△FGH. ……………………………………………………… 5分
∴ CF=FH. ……………………………………………………………… 6分
(2)FH与FC仍然相等. ……………………………………………… 7分
25.解:(1)由题意,得 解得
∴直线的解析式为 . ………………………………… 1分
∵点在直线上,
∴.
∴.
∴直线的解析式为 . ……………………………… 2分
(2)① A点坐标为 (0,1),
则点的纵坐标为1,设,
∴.
∴.
∴点的坐标为 . ………………………………………… 3分[来源:学§科§网]
则点的横坐标为1,设
∴.
∴点的坐标为 . ………………………………………… 4分
同理,可得 ,. ……………………………… 6分
②经过归纳得 ,. ……………… 7分
当动点到达处时,运动的总路径的长为点的横纵坐标之和再减去1,
即 . ……………………………………… 8分