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2015年海南省中考数学试卷
一、选择题(每小题3分,共42分)
1.(3分)(2015•海南)﹣2015的倒数是( )
A. ﹣ B. C. ﹣2015 D. 2015
2.(3分)(2015•海南)下列运算中,正确的是( )
A. a2+a4=a6 B. a6÷a3=a2 C. (﹣a4)2=a6 D. a2•a4=a62·1·c·n·j·y
3.(3分)(2015•海南)已知x=1,y=2,则代数式x﹣y的值为( )
A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣3
4.(3分)(2015•海南)有一组数据:1,4,﹣3,3,4,这组数据的中位数为( )
A. ﹣3 B. 1 C. 3 D. 4
5.(3分)(2015•海南)如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体.则这个几何体的主视图是( )【来源:21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
6.(3分)(2015•海南)据报道,2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人,数据9 420 000用科学记数法表示为9.42×10n,则n的值是( )2-1-c-n-j-y
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.(3分)(2015•海南)如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A. AB=DC,AC=DB B. AB=DC,∠ABC=∠DCB
C. BO=CO,∠A=∠D D. AB=DC,∠A=∠D
8.(3分)(2015•海南)方程=的解为( )
A. x=2 B. x=6 C. x=﹣6 D. 无解
9.(3分)(2015•海南)某企业今年1月份产值为x万元,2月份比1月份减少了10%,3月份比2月份增加了15%,则3月份的产值是21教育名师原创作品
( )
A. (1﹣10%)(1+15%)x万元 B. (1﹣10%+15%)x万元
C. (x﹣10%)(x+15%)万元 D. (1+10%﹣15%)x万元
10.(3分)(2015•海南)点A(﹣1,1)是反比例函数y=的图象上一点,则m的值为( )
A. ﹣1 B. ﹣2 C. 0 D. 1
11.(3分)(2015•海南)某校幵展“文明小卫士”活动,从学生会“督查部”的3名学生(2男1女)中随机选两名进行督导,恰好选中两名男学生的概率是( )
A. B. C. D.
12.(3分)(2015•海南)甲、乙两人在操场上赛跑,他们赛跑的路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示,则下列说法错误的是( )
A. 甲、乙两人进行1000米赛跑
B. 甲先慢后快,乙先快后慢
C. 比赛到2分钟时,甲、乙两人跑过的路程相等
D. 甲先到达终点
13.(3分)(2015•海南)如图,点P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有( )
A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
14.(3分)(2015•海南)如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为( )
A. 45° B. 30° C. 75° D. 60°
二、填空题(每小题4分,共16分)
15.(4分)(2015•海南)分解因式:x2﹣9= .
16.(4分)(2015•海南)点(﹣1,y1)、(2,y2〕是直线y=2x+1上的两点,则y1 y2(填“>”或“=”或“<”)
17.(4分)(2015•海南)如图,在平面直角坐标系中,将点P(﹣4,2)绕原点顺时针旋转90°,则其对应点Q的坐标为 .
18.(4分)(2015•海南)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,则图中五个小矩形的周长之和为 .
三、解答题(本题共6小题,共62分)
19.(10分)(2015•海南)(1)计算:(﹣1)3﹣﹣12×2﹣2;
(2)解不等式组:.
20.(8分)(2015•海南)小明想从“天猫”某网店购买计算器,经査询,某品牌A号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元,5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同,问A、B两种型号计算器的单价分别是多少?【来源:21cnj*y.co*m】
21.(8分)(2015•海南)为了治理大气污染,我国中部某市抽取了该市2014年中120天的空气质量指数,绘制了如下不完整的统计图表:空气质量指数统计表
级别 指数 天数 百分比
优 0﹣50 24 m
良 51﹣100 a 40%
轻度污染 101﹣150 18 15%
中度污染 151﹣200 15 12.5%
重度污染 201﹣300 9 7.5%
严重污染 大于300 6 5%
合计 120 100%
请根据图表中提供的信息,解答下面的问题:
(1)空气质量指数统计表中的a= ,m= ;
(2)请把空气质量指数条形统计图补充完整:
(3)若绘制“空气质量指数扇形统计图”,级别为“优”所对应扇形的圆心角是 度;
(4)估计该市2014年(365天)中空气质量指数大于100的天数约有 天.
22.(9分)(2015•海南)如图,某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险,在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛O相距8海里,渔船在中国渔政船的正东方向上. 21*cnjy*com
(1)求∠BAO与∠ABO的度数(直接写出答案);
(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能否在1小时内赶到?请说明理由.(参考數据:tan75°≈3.73,tan15°≈0.27,≈1.41,≈2.45)
23.(13分)(2015•海南)如图,菱形ABCD中,点P是CD的中点,∠BCD=60°,射线AP交BC的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点.
(1)求证:△ADP≌△ECP;
(2)若BP=n•PK,试求出n的值;
(3)作BM丄AE于点M,作KN丄AE于点N,连结MO、NO,如图2所示,请证明△MON是等腰三角形,并直接写出∠MON的度数.
24.(14分)(2015•海南)如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(1,0),与y轴相交于点C,点G是二次函数图象的顶点,直线GC交x轴于点H(3,0),AD平行GC交y轴于点D.21·世纪*教育网
(1)求该二次函数的表达式;
(2)求证:四边形ACHD是正方形;
(3)如图2,点M(t,p)是该二次函数图象上的动点,并且点M在第二象限内,过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.
①若四边形ADCM的面积为S,请求出S关于t的函数表达式,并写出t的取值范围;
②若△CMN的面积等于,请求出此时①中S的值.
2015年海南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共42分)
1.(3分)(2015•海南)﹣2015的倒数是( )
A. ﹣ B. C. ﹣2015 D. 2015
考点: 倒数.
分析: 根据倒数的意义,乘积是1的两个数叫做互为倒数,据此解答.
解答: 解:∵﹣2015×(﹣)=1,
∴﹣2015的倒数是﹣,
故选:A.
点评: 本题主要考查倒数的意义,解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数.
2.(3分)(2015•海南)下列运算中,正确的是( )
A. a2+a4=a6 B. a6÷a3=a2 C. (﹣a4)2=a6 D. a2•a4=a621cnjy.com
考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
分析: 根据同底数幂的除法,底数不变指数相减;合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;同底数幂的乘法,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘,对各选项计算后利用排除法求解.
解答: 解:A、a2•a4=a6,故错误;
B、a6÷a3=a3,故错误;
C、(﹣a4)2=a8,故错误;
D、正确;
故选:D.
点评: 本题考查同底数幂的除法,合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方很容易混淆,一定要记准法则才能做题.
3.(3分)(2015•海南)已知x=1,y=2,则代数式x﹣y的值为( )
A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣3
考点: 代数式求值.
分析: 根据代数式的求值方法,把x=1,y=2代入x﹣y,求出代数式x﹣y的值为多少即可.
解答: 解:当x=1,y=2时,
x﹣y=1﹣2=﹣1,
即代数式x﹣y的值为﹣1.
故选:B.
点评: 此题主要考查了代数式的求法,采
用代入法即可,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值.题型简单总结以下三种:①已知条件不化简,所给代数式化简;②已知条件化简,所给代数式不化简;③已知条件和所给代数式都要化简.
4.(3分)(2015•海南)有一组数据:1,4,﹣3,3,4,这组数据的中位数为( )
A. ﹣3 B. 1 C. 3 D. 4
考点: 中位数.
分析: 根据中位数的定义,将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数求解即可.
解答: 解:将这组数据从小到大排列为:﹣3,1,3,4,4,中间一个数为3,则中位数为3.
故选C.
点评: 本题为统计题,考查中位数的意义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.
5.(3分)(2015•海南)如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体.则这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
考点: 简单组合体的三视图.
分析: 根据从正面看得到的视图是主视图,可得答案.
解答: 解:从正面看第一层是三个小正方形,第二层右边一个小正方形,
故选:B.
点评: 本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的视图是主视图.
6.(3分)(2015•海南)据报道,2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人,数据9 420 000用科学记数法表示为9.42×10n,则n的值是( )www-2-1-cnjy-com
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
考点: 科学记数法—表示较大的数.
分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.确定a×10n(1≤|a|<10,n为整数)中n的值,由于9420000有7位,所以可以确定n=7﹣1=6.
解答: 解:∵9420000=9.42×106,
∴n=6.
故选C.
点评: 此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
7.(3分)(2015•海南)如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A. AB=DC,AC=DB B. AB=DC,∠ABC=∠DCB
C. BO=CO,∠A=∠D D. AB=DC,∠A=∠D
考点: 全等三角形的判定.
分析: 本题要判定△ABC≌△DCB,已知BC是公共边,具备了一组边对应相等.所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可.
解答: 解:根据题意知,BC边为公共边.
A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB,故本选项错误;
B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB,故本选项错误;
C、由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC,则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB,故本选项错误;
D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB,故本选项正确.
故选:D.
点评: 本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
8.(3分)(2015•海南)方程=的解为( )
A. x=2 B. x=6 C. x=﹣6 D. 无解
考点: 解分式方程.
专题: 计算题.
分析: 本题考查解分式方程的能力,观察可得最简公分母是x(x﹣2),方程两边乘以最简公分母,可以把分式方程化为整式方程,再求解.
解答: 解:方程两边同乘以x(x﹣2),得3(x﹣2)=2x,解得x=6,
将x=6代入x(x﹣2)=24≠0,所以原方程的解为:x=6,故选B.
点评: (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
9.(3分)(2015•海南)某企业今年1月份产值为x万元,2月份比1月份减少了10%,3月份比2月份增加了15%,则3月份的产值是21*cnjy*com
( )
A. (1﹣10%)(1+15%)x万元 B. (1﹣10%+15%)x万元
C. (x﹣10%)(x+15%)万元 D. (1+10%﹣15%)x万元
考点: 列代数式.
分析: 根据3月份、1月份与2月份的产值的百分比的关系列式计算即可得解.
解答: 解:3月份的产值为:(1﹣10%)(1+15%)x万元.
故选A
点评: 本题考查了列代数式,理解各月之间的百分比的关系是解题的关键.
10.(3分)(2015•海南)点A(﹣1,1)是反比例函数y=的图象上一点,则m的值为( )
A. ﹣1 B. ﹣2 C. 0 D. 1
考点: 反比例函数图象上点的坐标特征.
分析: 把点A(﹣1,1)代入函数解析式,即可求得m的值.
解答: 解:把点A(﹣1,1)代入函数解析式得:1=,
解得:m+1=﹣1,
解得m=﹣2.
故选B.
点评: 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,经过函数的某点一定在函数的图象上.
11.(3分)(2015•海南)某校幵展“文明小卫士”活动,从学生会“督查部”的3名学生(2男1女)中随机选两名进行督导,恰好选中两名男学生的概率是( )21教育网
A. B. C. D.
考点: 列表法与树状图法.
分析: 首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况,再利用概率公式即可求得答案.
解答: 解:画树状图得:
∵共有6种等可能的结果,恰好选中两名男学生的有2种情况,
∴恰好选中两名男学生的概率是:=.
故选A.
点评: 此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
12.(3分)(2015•海南)甲、乙两人在操场上赛跑,他们赛跑的路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示,则下列说法错误的是( )
A. 甲、乙两人进行1000米赛跑
B. 甲先慢后快,乙先快后慢
C. 比赛到2分钟时,甲、乙两人跑过的路程相等
D. 甲先到达终点
考点: 函数的图象.
分析: 根据给出的函数图象对每个选项进行分析即可.
解答: 解:从图象可以看出,
甲、乙两人进行1000米赛跑,A说法正确;
甲先慢后快,乙先快后慢,B说法正确;
比赛到2分钟时,甲跑了500米,乙跑了600米,甲、乙两人跑过的路程不相等,C说法不正确;
甲先到达终点,D说法正确,
故选:C.
点评: 本题考查的是函数的图象,从函数图象获取正确的信息是解题的关键.
13.(3分)(2015•海南)如图,点P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有( )
A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
考点: 相似三角形的判定;平行四边形的性质.
分析: 利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可.
解答: 解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴△EAP∽△EDC,△EAP∽△CPB,
∴△EDC∽△CBP,
故有3对相似三角形.
故选:D.
点评: 此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质,熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.【出处:21教育名师】
14.(3分)(2015•海南)如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为( )
A. 45° B. 30° C. 75° D. 60°
考点: 圆周角定理;含30度角的直角三角形;翻折变换(折叠问题).
专题: 计算题.
分析: 作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB,如图,根据折叠的性质得OD=CD,则OD=OA,根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°,接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°,
然后根据圆周角定理计算∠APB的度数.
解答: 解:作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB,如图,
∵将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,
∴OD=CD,
∴OD=OC=OA,
∴∠OAD=30°,
而OA=OB,
∴∠CBA=30°,
∴∠AOB=120°,
∴∠APB=∠AOB=60°.
故选D.
点评: 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质.
二、填空题(每小题4分,共16分)
15.(4分)(2015•海南)分解因式:x2﹣9= (x+3)(x﹣3) .
考点: 因式分解-运用公式法.
分析: 本题中两个平方项的符号相反,直接运用平方差公式分解因式.
解答: 解:x2﹣9=(x+3)(x﹣3).
故答案为:(x+3)(x﹣3).
点评: 主要考查平方差公式分解因式,熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征,即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法.【版权所有:21教育】
16.(4分)(2015•海南)点(﹣1,y1)、(2,y2〕是直线y=2x+1上的两点,则y1 < y2(填“>”或“=”或“<”)
考点: 一次函数图象上点的坐标特征.
分析: 根据k=2>0,y将随x的增大而增大,得出y1与y2的大小关系.
解答: 解:∵k=2>0,y将随x的增大而增大,2>﹣1,
∴y1<y2.
故y1与y2的大小关系是:y1<y2.
故答案为:<
点评: 本题考查一次函数的图象性质,关键是根据当k>0,y随x增大而增大;当k<0时,y将随x的增大而减小.
17.(4分)(2015•海南)如图,在平面直角坐标系中,将点P(﹣4,2)绕原点顺时针旋转90°,则其对应点Q的坐标为 (2,4) .
考点: 坐标与图形变化-旋转.
分析: 首先求出∠MPO=∠QON,利用AAS证明△PMO≌△ONQ,即可得到PM=ON,OM=QN,进而求出Q点坐标.
解答: 解:作图如右,
∵∠MPO+∠POM=90°,∠QON+∠POM=90°,
∴∠MPO=∠QON,
在△PMO和△ONQ中,
∵,
∴△PMO≌△ONQ,
∴PM=ON,OM=QN,
∵P点坐标为(4,2),
∴Q点坐标为(2,4),
故答案为(2,4).
点评: 此题主要考查了旋转的性质,以及全等三角形的判定和性质,关键是掌握旋转后对应线段相等.
18.(4分)(2015•海南)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,则图中五个小矩形的周长之和为 14 .
考点: 矩形的性质.
分析: 运用平移个观点,五个小矩形的上边之和等于AD,下边之和等于BC,同理,它们的左边之和等于AB,右边之和等于DC,可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长.
解答: 解:将五个小矩形的所有上边平移至AD,所有下边平移至BC,所有左边平移至AB,所有右边平移至CD,
则五个小矩形的周长之和=2(AB+BC)=2×(3+4)=14.
故答案为:14.
点评: 本题考查了平移的性质,矩形性质,勾股定理的运用.关键是运用平移的观点,将小矩形的四边平移,与大矩形的周长进行比较.
三、解答题(本题共6小题,共62分)
19.(10分)(2015•海南)(1)计算:(﹣1)3﹣﹣12×2﹣2;
(2)解不等式组:.
考点: 实数的运算;负整数指数幂;解一元一次不等式组.
专题: 计算题.
分析: (1)原式第一项利用乘方的意义计算,第二项利用算术平方根定义计算,第三项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
解答: 解:(1)原式=﹣1﹣3﹣12×=﹣1﹣3﹣3=﹣7;
(2),
由①得:x≤2,
由②得:x>﹣1,
则不等式组的解集为﹣1<x≤2.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.(8分)(2015•海南)小明想从“天猫”某网店购买计算器,经査询,某品牌A号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元,5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同,问A、B两种型号计算器的单价分别是多少?
考点: 一元一次方程的应用.
分析: 设A号计算器的单价为x元,则B型号计算器的单价是(x﹣10)元,依据“5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同”列出方程并解答.
解答: 解:设A号计算器的单价为x元,则B型号计算器的单价是(x﹣10)元,
依题意得:5x=7(x﹣10),
解得x=35.
所以35﹣10=25(元).
答:A号计算器的单价为35元,则B型号计算器的单价是25元.
点评: 本题考查了一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.
21.(8分)(2015•海南)为了治理大气污染,我国中部某市抽取了该市2014年中120天的空气质量指数,绘制了如下不完整的统计图表:空气质量指数统计表
级别 指数 天数 百分比
优 0﹣50 24 m
良 51﹣100 a 40%
轻度污染 101﹣150 18 15%
中度污染 151﹣200 15 12.5%
重度污染 201﹣300 9 7.5%
严重污染 大于300 6 5%
合计 120 100%
请根据图表中提供的信息,解答下面的问题:
(1)空气质量指数统计表中的a= 48 ,m= 20% ;
(2)请把空气质量指数条形统计图补充完整:
(3)若绘制“空气质量指数扇形统计图”,级别为“优”所对应扇形的圆心角是 72 度;
(4)估计该市2014年(365天)中空气质量指数大于100的天数约有 146 天.
考点: 条形统计图;用样本估计总体;统计表;扇形统计图.
分析: (1)用24÷120,即可得到m;120×40%即可得到a;
(2)根据a的值,即可补全条形统计图;
(3)用级别为“优”的百分比×360°,即可得到所对应的圆心角的度数;
(4)根据样本估计总体,即可解答.
解答: 解:(1)a=120×40%=48,m=24÷120=20%.
故答案为:48,20%;
(2)如图所示:
(3)360°×20%=72°.
故答案为:72;
(4)365×=146(天).
故答案为:146.
点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.21·cn·jy·com
22.(9分)(2015•海南)如图,某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险,在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛O相距8海里,渔船在中国渔政船的正东方向上.
(1)求∠BAO与∠ABO的度数(直接写出答案);
(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能否在1小时内赶到?请说明理由.(参考數据:tan75°≈3.73,tan15°≈0.27,≈1.41,≈2.45)
考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.
分析: (1)作OC⊥AB于C,根据方向角的定义得到∠AOC=45°,∠BOC=75°,由直角三角形两锐角互余得出∠BAO=90°﹣∠AOC=45°,∠ABO=90°﹣∠BOC=15°;
(2)先解Rt△OAC,得出AC=OC=OA≈5.64海里,解Rt△OBC,求出BC=OC•tan∠BOC≈21.0372海里,那么AB=AC+BC≈26.6772海里,再根据时间=路程÷速度求出中国渔政船赶往B处救援所需的时间,与1小时比较即可求解.
解答: 解:(1)如图,作OC⊥AB于C,由题意得,∠AOC=45°,∠BOC=75°,
∵∠ACO=∠BCO=90°,
∴∠BAO=90°﹣∠AOC=90°﹣45°=45°,
∠ABO=90°﹣∠BOC=90°﹣75°=15°;
(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能在1小时内赶到.理由如下:
∵在Rt△OAC中,∠ACO=90°,∠AOC=45°,OA=8海里,
∴AC=OC=OA≈4×1.41=5.64海里.
∵在Rt△OBC中,∠BCO=90°,∠BOC=75°,OC=4海里,
∴BC=OC•tan∠BOC≈5.64×3.73=21.0372海里,
∴AB=AC+BC≈5.64+21.0372=26.6772海里,
∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,
∴中国渔政船所需时间:26.6772÷28≈0.953小时<1小时,
故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能在1小时内赶到.
点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,直角三角形的性质,锐角三角函数定义,准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
23.(13分)(2015•海南)如图,菱形ABCD中,点P是CD的中点,∠BCD=60°,射线AP交BC的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点.
(1)求证:△ADP≌△ECP;
(2)若BP=n•PK,试求出n的值;
(3)作BM丄AE于点M,作KN丄AE于点N,连结MO、NO,如图2所示,请证明△MON是等腰三角形,并直接写出∠MON的度数.
考点: 四边形综合题.
分析: (1)根据菱形的性质得到AD∥BC,根据平行线的性质得到对应角相等,根据全等三角形的判定定理证明结论;
(2)作PI∥CE交DE于I,根据点P是CD的中点证明CE=2PI,BE=4PI,根据相似三角形的性质证明结论;
(3)作OG⊥AE于G,根据平行线等分线段定理得到MG=NG,又OG⊥MN,证明△MON是等腰三角形,根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠MON的度数.
解答: (1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴AD∥BC,
∴∠DAP=∠CEP,∠ADP=∠ECP,
在△ADP和△ECP中,
,
∴△ADP≌△ECP;
(2)如图1,作PI∥CE交DE于I,
则=,又点P是CD的中点,
∴=,
∵△ADP≌△ECP,
∴AD=CE,
∴==,
∴BP=3PK,
∴n=3;
(3)如图2,作OG⊥AE于G,
∵BM丄AE于,KN丄AE,
∴BM∥OG∥KN,
∵点O是线段BK的中点,
∴MG=NG,又OG⊥MN,
∴OM=ON,
即△MON是等腰三角形,
由题意得,△BPC,△AMB,△ABP为直角三角形,
设BC=2,则CP=1,由勾股定理得,BP=,
则AP=,
根据三角形面积公式,BM=,
由(2)得,PB=3PO,
∴OG=BM=,
MG=MP=,
tan∠MOG==,
∴∠MOG=60°,
∴∠MON的度数为120°.
点评: 本题考查的是菱形的性质和相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质,灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键,注意锐角三角函数在解题中的运用.www.21-cn-jy.com
24.(14分)(2015•海南)如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(1,0),与y轴相交于点C,点G是二次函数图象的顶点,直线GC交x轴于点H(3,0),AD平行GC交y轴于点D.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)求证:四边形ACHD是正方形;
(3)如图2,点M(t,p)是该二次函数图象上的动点,并且点M在第二象限内,过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.
①若四边形ADCM的面积为S,请求出S关于t的函数表达式,并写出t的取值范围;
②若△CMN的面积等于,请求出此时①中S的值.
考点: 二次函数综合题.
分析: (1)根据二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(1,0),应用待定系数法,求出a、b的值,即可求出二次函数的表达式.
(2)首先分别求出点C、G、H、D的坐标;然后判断出AO=CO=DO=HO=3,AH⊥CD,判断出四边形ACHD是正方形即可.
(3)①作ME⊥x轴于点E,作MF⊥y轴于点F,根据四边形ADCM的面积为S,可得S=S四边形AOCM+S△AOD,再分别求出S四边形AOCM、S△AOD即可.
②首先设点N的坐标是(t1,p1),则NI=|t1|,所以S△CMN=S△COM+S△CON=(|t|+|t1|),再根据t<0,t1>0,可得S△CMN=(|t|+|t1|)==,据此求出t1﹣t=;然后求出k1、k2的值是多少,进而求出t1、t2的值是多少,再把它们代入S关于t的函数表达式,求出S的值是多少即可.
解答: 解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(1,0),
∴
解得
∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3.
(2)如图1,
,
∵二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3,
∴点C的坐标为(0,3),
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴点G的坐标是(﹣1,4),
∵点C的坐标为(0,3),
∴设CG所在的直线的解析式是y=mx+3,
则﹣m+3=4,
∴m=﹣1,
∴CG所在的直线的解析式是y=﹣x+3,
∴点H的坐标是(3,0),
设点D的坐标是(0,p),
则,
∴p=﹣3,
∵AO=CO=DO=HO=3,AH⊥CD,
∴四边形ACHD是正方形.
(3)①如图2,作ME⊥x轴于点E,作MF⊥y轴于点F,
,
∵四边形ADCM的面积为S,
∴S=S四边形AOCM+S△AOD,
∵AO=OD=3,
∴S△AOD=3×3÷2=4.5,
∵点M(t,p)是y=kx与y=﹣x2﹣2x+3在第二象限内的交点,
∴点M的坐标是(t,﹣t2﹣2t+3),
∵ME=﹣t2﹣2t+3,MF=﹣t,
∴S四边形AOCM=×3×(﹣t2﹣2t+3)=﹣t2﹣t+,
∴S=﹣t2﹣t++4.5=﹣t2﹣t+9,﹣3<t<0.
②如图3,作NI⊥x轴于点I,
,
设点N的坐标是(t1,p1),
则NI=|t1|,
∴S△CMN=S△COM+S△CON=(|t|+|t1|),
∵t<0,t1>0,
∴S△CMN=(|t|+|t1|)==,
,
联立
可得x2﹣(k+2)x﹣3=0,
∵t1、t是方程的两个根,
∴
∴=﹣4t1t=(k+2)2﹣4×(﹣3)==,
解得,,
a、k=﹣时,
由x2+(2﹣)x﹣3=0,
解得x1=﹣2,或(舍去).
b、k=﹣时,
由x2+(2﹣)x﹣3=0,
解得x3=﹣,或x4=2(舍去),
∴t=﹣2,或t=﹣,
t=﹣2时,
S=﹣t2﹣t+9
=﹣×4﹣×(﹣2)+9
=12
t=﹣时,
S=﹣×﹣×+9
=,
∴S的值是12或.
点评: (1)此题主要考查了二次函数综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合方法的应用,考查了从已知函数图象中获取信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力.21世纪教育网版权所有
(2)此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法,以及方程的根与系数的关系,要熟练掌握.
(3)此题还考查了三角形的面积的求法,以及正方形的判定和性质的应用,要熟练掌握.