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- 2021-05-10 发布
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动点问题专题训练
x
A
O
Q
P
B
y
2、直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止.点沿线段 运动,速度为每秒1个单位长度,点沿路线→→运动.
(1)直接写出两点的坐标;
(2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间的函数关系式;
(3)当时,求出点的坐标,并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.
2.解(1)A(8,0)B(0,6) 1分
(2)
点由到的时间是(秒)
点的速度是(单位/秒) 1分
当在线段上运动(或0)时,
1分
当在线段上运动(或)时,,
如图,作于点,由,得, 1分
1分
(自变量取值范围写对给1分,否则不给分.)
(3) 1分
3分
A
C
B
P
Q
E
D
图16
5、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后
立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值.
5.解:(1)1,;
(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴.
由△AQF∽△ABC,,
得.∴.
A
C
B
P
Q
E
D
图4
∴,
即.
(3)能.
①当DE∥QB时,如图4.
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.
此时∠AQP=90°.
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
由△APQ ∽△ABC,得,
即. 解得.
②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.
此时∠APQ =90°.
由△AQP ∽△ABC,得 ,
即. 解得.
(4)或.
①点P由C向A运动,DE经过点C.
连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6.
,.
由,得,解得.
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.
,】
O
E
C
B
D
A
l
O
C
B
A
(备用图)
6如图,在中,,.点是的中点,过点的直线从与重合的位置开始,绕点作逆时针旋转,交边于点.过点作交直线于点,设直线的旋转角为.
(1)①当 度时,四边形是等腰梯形,此时的长为 ;
②当 度时,四边形是直角梯形,此时的长为 ;
(2)当时,判断四边形是否为菱形,并说明理由.
6.解(1)①30,1;②60,1.5; ……………………4分
(2)当∠α=900时,四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分
在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2,
∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2.
∴AO== . ……………………8分
在Rt△AOD中,∠A=300,∴AD=2.
∴BD=2.
∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形,
∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分
A
D
C
B
M
N
7如图,在梯形中,动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点
运动.设运动的时间为秒.
(1)求的长.
(2)当时,求的值.
(3)试探究:为何值时,为等腰三角形.
7.解:(1)如图①,过、分别作于,于,则四边形是矩形
∴ 1分
在中,
2分
在中,由勾股定理得,
∴ 3分
(图①)
A
D
C
B
K
H
(图②)
A
D
C
B
G
M
N
(2)如图②,过作交于点,则四边形是平行四边形
∵
∴
∴
∴ 4分
由题意知,当、运动到秒时,
∵
∴
又
∴
∴ 5分
即
解得, 6分
(3)分三种情况讨论:
①当时,如图③,即
∴ 7分
A
D
C
B
M
N
(图③)
(图④)
A
D
C
B
M
N
H
E
②当时,如图④,过作于
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
在中,
又在中,
∴
解得 8分
解法二:
∵
∴
∴
即
∴ 8分
③当时,如图⑤,过作于点.
解法一:(方法同②中解法一)
(图⑤)
A
D
C
B
H
N
M
F
解得
解法二:
∵
∴
∴
即
∴
综上所述,当、或时,为等腰三角形 9分
10数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证:AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
10.解:(1)正确. (1分)
A
D
F
C
G
E
B
M
证明:在上取一点,使,连接. (2分)
.,.
是外角平分线,
,
.
.
,,
.
(ASA). (5分)
. (6分)
(2)正确. (7分)
证明:在的延长线上取一点.
A
D
F
C
G
E
B
N
使,连接. (8分)
.
.
四边形是正方形,
.
.
.
(ASA). (10分)
. (11分)
11已知一个直角三角形纸片,其中.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边交于点,与边交于点.
x
y
B
O
A
(Ⅰ)若折叠后使点与点重合,求点的坐标;
11.解(Ⅰ)如图①,折叠后点与点重合,
则.
设点的坐标为.
则.
于是.
在中,由勾股定理,得,
即,解得.
点的坐标为. 4分
x
y
B
O
A
(Ⅱ)若折叠后点落在边上的点为,设,,试写出关于的函数解析式,并确定的取值范围;
(Ⅱ)如图②,折叠后点落在边上的点为,
则.
由题设,
则,
在中,由勾股定理,得.
,
即 6分
由点在边上,有,
解析式为所求.
当时,随的增大而减小,
的取值范围为. 7分
(Ⅲ)若折叠后点落在边上的点为,且使,求此时点的坐标.
x
y
B
O
A
(Ⅲ)如图③,折叠后点落在边上的点为,且.
则.
又,有.
.
有,得. 9分
在中,
设,则.
由(Ⅱ)的结论,得,
解得.
点的坐标为. 10分
12图(1)
A
B
C
D
E
F
M
N
如图(1),将正方形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点,重合),压平后得到折痕.当CE/CD=1/2时,求AM/BN的值.
方法指导:
为了求得的值,可先求、的长,不妨设:=2
类比归纳
在图(1)中,若则的值等于 ;若则的值等于 ;若(为整数),则的值等于 .(用含的式子表示)
联系拓广
图(2)
N
A
B
C
D
E
F
M
如图(2),将矩形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点重合),压平后得到折痕设则的值等于 .(用含的式子表示)
12解:方法一:如图(1-1),连接.
N
图(1-1)
A
B
C
D
E
F
M
由题设,得四边形和四边形关于直线对称.
∴垂直平分.∴ 1分
∵四边形是正方形,∴
∵设则
在中,.
∴解得,即 3分
在和在中,
,
,
5分
设则∴
解得即 6分
∴ 7分
方法二:同方法一, 3分
如图(1-2),过点做交于点,连接
N
图(1-2)
A
B
C
D
E
F
M
G
∵∴四边形是平行四边形.
∴
同理,四边形也是平行四边形.∴
∵
在与中
∴ 5分
∵ 6分
∴ 7分
12..如图所示,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠A=90°,AB=12,BC=21,AD=16。动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q同时从点A出发,在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t(秒)。
(1)设△DPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时,四边形PCDQ是平行四边形?
(3)分别求出出当t为何值时,① PD=PQ,② DQ=PQ ?
类比归纳
(或);; 10分
联系拓广
12分
解1:依题意,得AQ=t,BP=2t,QD=16-t。过点Q作QF⊥BP,又
∵AQ‖BF, ∴∠ABP=90° ∴四边形AQFB是矩形
∴AQ=BF=t ∵BP=2t ∴FP=t, ∴在Rt△QFP中,QP=√(12²+t²)
又∵QD=QP=PD ∴√(12²+t²)=16-t ∴12²+t²=16²-2*16*t+t²
∴解得:t=7/2
解2:如图所示,
:这P作PE垂直AD于E,垂足为E点,则ABPE为矩形.PE=AB=12;AE=BP
(1).s=1/2×AB×DQ=1/2×12×(AD-AQ)=6×(16-t)=96-6t;
(2).当 BC-2t=21-2t=PC=DQ=AD-t=16-t,即t=5时,四边形PCDQO为平形四边形.
(3).①QE=AE-AQ=BP-AQ=2t-t=t,而ED=AD-AE=16-BP=16-2t;当QE=ED时,PE为QD的垂直平分线时,PQ=PD,而此时t=16-2t; t=16/3;所以当t=16/3时,PD=PQ;
.②在Rt△PEQ中,PE=AB=12; EQ=AE-AQ=PB-AQ=2t-t=t; PQ²=QE²+PE²=t²+12²;
QD²=(AD-AQ)²=(16-t)²; 所以当t²+12²=(16-t)²,即:t=3.5时,DQ=PQ;
解:因为∠C=90°,∠CBA=30°,BC=20√3
所以可求出AB=40
如图,圆心从A向B的方向运动时,共有三个位置能使此圆与直线AC或直线BC相切
当圆心在O1点时,设切点为P
显然PO1=6,∠APO1=90°,∠AO1P=30°
所以AO1=4√3
因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动
所以当t1=4√3/2=2√3(秒)时,圆O与直线AC相切
当圆心在O2点时,设切点为Q
显然QO2=6,∠BQO2=90°,∠QBO2=30°
所以BO2=12,AO2=40-12=28
因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动
所以当t2=28/2=14(秒)时,圆O与直线BC相切
当圆心在O3点时,设切点为R
显然RO3=6,∠BRO3=90°,∠RBO3=30°
所以BO3=12,AO3=40+12=52
因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动
所以当t3=52/2=26(秒)时,圆O与直线BC相切
综上所述,当圆O运动2√3秒、14秒、26秒时与△ABC的一边所在的直线相切.