中考数学分类汇编相似形 17页

‎2010中考数学分类汇编 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．（2010山东烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 ‎【答案】D ‎ ‎2．（2010山东烟台）如图，△ ABC中，点D在线段BC上，且△ ABC∽△ DBA，则下列结论一定正确的是 A、AB2=BC·BD B、AB2=AC·BD C、AB·AD=BD·BC D、AB·AD=AD·CD ‎【答案】A ‎ ‎3．（2010台湾） 图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中与 ‎ 交于H点。若ÐABC=ÐEFC=70°，ÐACB=60°，ÐDGB=40°，则下列哪 ‎ 一组三角形相似？(A) △BDG，△CEF (B) △ABC，△CEF ‎ (C) △ABC，△BDG (D) △FGH，△ABC 。‎ A B C D E F G H 图(一)‎ ‎【答案】B ‎4．（2010浙江嘉兴）如图，已知AD为△ABC的角平分线，交AC于E，如果，那么（　▲　）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（第7题）‎ ‎【答案】B ‎ ‎5．（2010 福建德化）下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（　　）‎ A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、3、5、9、13 D、1、2、2、3‎ ‎【答案】B ‎ ‎6．（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为‎24cm、‎30cm、‎36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为‎27cm、‎45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）‎ A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 ‎【答案】B ‎ ‎7．（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（ ）‎ A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 ‎【答案】D ‎ ‎8．（2010山东潍坊）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）．‎ A．0．618 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎ ‎9．（2010北京） 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC等于( )‎ A B C D E A．3 B．4 C．6 D． 8‎ ‎【答案】D ‎ ‎10．（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（ ）‎ A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 ‎【答案】D ‎ ‎11．（2010云南楚雄）下列说法不正确的是（ ）‎ A．在选举中，人们通常最关心的数据是众数．‎ B．掷一枚骰子，3点朝上是不确定事件．‎ C．数据3，5，4，1，－2的中位数是3．‎ D．有两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．‎ ‎【答案】D ‎ ‎12．（2010河南）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③.其中正确的有 ‎ ‎(A)3个 (B)2个 ‎(C)1个 （D）0个 ‎【答案】A ‎ ‎13．（2010 四川绵阳）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．‎ 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．‎ A．1 : 2 B．1 : 3‎ C．2 : 3 D．11 : 20‎ G A B D C O ‎【答案】A ‎ ‎14．15．16．17．18．19．20．‎ ‎21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．‎ 二、填空题 ‎1．（2010江苏南通）若△ABC∽△DEF， △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为 ▲ ． ‎ ‎【答案】1∶2‎ ‎2．（2010 嵊州市）如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F,C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD＝CF，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎3．（2010年上海）如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.‎ 图2‎ ‎【答案】DB=3‎ ‎4．（2010山东临沂） 如图，，添加一个条件使得∽ .‎ ‎ ‎ ‎（第17题图）‎ ‎【答案】∠B=∠D, ∠C=∠E,等 ‎5．（2010江苏淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为 m． ‎ ‎【答案】9‎ ‎6．（2010陕西西安）如图，在中，D是AB边上一点，连接CD，要使与 相似，应添加的条件是 。‎ ‎（只需写出一个条件即可）‎ ‎【答案】∠ACD=∠B（∠ADC=∠ACB或）‎ ‎7．（2010四川内江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE＝CF，D为BF的中点，则AE∶AF的值为　　　　　　.‎ A B D E F C ‎【答案】　‎ ‎8．9．10．‎ ‎11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．‎ ‎21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．‎ 三、解答题 ‎1．（2010江苏南京）（8分）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。‎ ‎（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。‎ ‎（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 ‎ 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。‎ 已知：如图， 。‎ 试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010 浙江省温州市）(本题l4分)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点 E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．‎ ‎(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；‎ ‎(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；‎ ‎(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．‎ ‎ ①当t>时，连结C′C，设四边形ACC′A ′的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎②当线段A ′C ′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．‎ ‎【答案】‎ ‎3．（2010 四川南充）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E． （1）求证：△ABD∽△CED． （2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．‎ A D E B F C ‎【答案】A D E B F C M （1）证明：∵　△ABC是等边三角形， ∴　∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°． ∵　CE是外角平分线，　∴　∠ACE＝60°． ‎ ‎∴　∠BAC＝∠ACE．　　　　 又∵　∠ADB＝∠CDE， ∴　△ABD∽△CED．　　　　　‎ ‎（2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴　AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝． ∵　AD＝2CD，∴　CD＝2，AD＝4，MD＝1．　　　　　　　　 在Rt△BDM中，BD＝＝．　　　　　　　 由（1）△ABD∽△CED得，，， ∴　ED＝，∴　BE＝BD＋ED＝．‎ ‎4．（2010 浙江衢州）(本题10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．‎ ‎(1)　判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；‎ ‎(2)　P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．‎ A C B F E D P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ ‎【答案】解：(1)　△ABC和△DEF相似． ‎ 根据勾股定理，得　，，BC=5 ；‎ ‎，，．‎ ‎∵　， ‎ ‎∴　△ABC∽△DEF． ‎ ‎(2)　答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可． ‎ A C B F E D P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ ‎(第22题)‎ P5‎ ‎△P2P5D，△P4P‎5F，△P2P4D，‎ ‎△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．‎ ‎5．（2010 河北）（本小题满分10分）在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．‎ ‎（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD ‎ 的数量关系和位置关系；‎ ‎（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到 图15-2，其中AO = OB．‎ 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；‎ ‎（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到 图15-3，求的值．‎ 图15-2‎ A D O B C ‎2‎ ‎1‎ M N 图15-1‎ A D B M N ‎1‎ ‎2‎ 图15-3‎ A D O B C ‎2‎ ‎1‎ M N O ‎【答案】‎ 解：（1）AO = BD，AO⊥BD； ‎ ‎（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．‎ 图4‎ A D O B C ‎2‎ ‎1‎ M N E F ‎  又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，‎ ‎∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． ‎ 又∵∠1 = 45°， ‎ ‎∴∠ACO = ∠BEO = 135°．‎ ‎∴∠DEB = 45°．‎ ‎∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．‎ ‎∴AC = BD． ‎ 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．‎ ‎∴AC⊥BD．‎ ‎（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．‎ A O B C ‎1‎ D ‎2‎ 图5‎ M N E 又∵∠BOE = ∠AOC ， ‎ ‎∴△BOE ∽ △AOC．‎ ‎∴． ‎ 又∵OB = kAO，‎ 由（2）的方法易得 BE = BD．‎ ‎∴．‎ ‎6．（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，‎ 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.‎ (1) 求证：△ADF∽△DEC (2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC AB∥CD ‎ ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°‎ ‎ ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ‎ ∴∠AFD=∠C ‎ ∴△ADF∽△DEC ‎(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC CD=AB=4‎ ‎ 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD ‎ 在Rt△ADE中，DE=‎ ‎ ∵△ADF∽△DEC ‎ ∴ ∴ AF=‎ ‎7．（2010湖北武汉）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．‎ ‎（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；‎ ‎（2）如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；‎ ‎（3）如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶时，直接写出tan∠BPC的值．‎ 图 1‎ 图 2‎ 图 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）过C作CE∥OA交BD于E，证△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再证△ECP∽△DAP得； （2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，证△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再证△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=； (3)．‎ ‎8．（2010江苏淮安）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．‎ ‎ (1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；‎ ‎ (2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值 ‎ 时，S最大；‎ ‎ (3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时 ‎ 出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以 ‎ 点A．O为对应顶点的情况)：‎ 题28(a)图 题28(b)图 ‎【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）‎ ‎（2）当D在OA上运动时，（0＜t＜6）；‎ 当D在AB上运动时，过点O作OE⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E和F，过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，如图：‎ 设D点运动的时间为t秒，所以DA=2t-12，BD=22-2t，‎ 又因为C为OB的中点，‎ 所以BF为△BOE的中位线，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为BN⊥OA，DM⊥OA，‎ 所以△ADM∽△ABN，‎ 所以， ‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 即（6≤t＜11），‎ 所以当t=6时，△OCD面积最大，为；‎ 当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0（11≤t≤16）.‎ ‎（3）设当运动t秒时，△OCD∽△ADE，则，即，所以t=3.5；‎ 设当运动t秒时，△OCD∽△AED，则，即，所以，所以，（舍去），‎ 所以当t为3.5秒或秒时两三角形相似.‎ ‎9．（2010 山东滨州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．‎ ‎(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；‎ ‎(2)请分别说明两对三角形相似的理由．‎ ‎【答案】解： (1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎(2)①证△ABC∽△ADE．‎ ‎∵∠BAD=∠CAE，‎ ‎∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，‎ 即∠BAC=∠DAE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又∵∠ABC=∠ADE，‎ ‎∴△ABC∽△ADE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎②证△ABD∽△ACE．‎ ‎∵△ABC∽△ADE，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎10．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．‎ ‎（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；‎ ‎（2）求证：AB2＝AE•AC．‎ ‎【答案】‎ 证明：（1）在△ADE和△ACD中 ‎ ∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE ‎∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE ‎∠ADC＝180°－∠DAE－∠C ‎∴∠AED=∠ADC ‎∵∠AED+∠DEC=180°‎ ‎∠ADB+∠ADC=180°‎ ‎∴∠DEC=∠ADB 又∵AB=AD ‎ ∴∠ADB=∠B ‎ ∴∠DEC=∠B ‎（2）在△ADE和△ACD中 由（1）知∠ADE＝∠C，∠DAE=∠DAE ‎∴△ADE∽△ACD ‎∴‎ 即AD2=AE•AC 又∵AB=AD ‎∴AB2＝AE•AC ‎11．（2010江苏南京）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。‎ ‎（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。‎ ‎（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 ‎ 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。‎ 已知：如图， 。‎ 试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.‎ ‎【答案】 ‎ ‎12．13．14．15．16．17．18．19．20．‎ ‎21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．‎