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- 2021-05-10 发布
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2012年岳阳中考数学试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项)
1.岳阳楼是江南三大名楼之一,享有“洞庭天下水,岳阳天下楼”的盛名,从图中看,你认为它是( )
A.
轴对称图形
B.
中心对称图形
C.
既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.
既不是轴对称图形,又不是中心对称图形
考点:
中心对称图形;轴对称图形。1052629
分析:
根据轴对称及中心对称的定义,结合图形即可作出判断.
解答:
解:由图形可得,岳阳楼是轴对称图形,不是中心对称图形.
故选A.
点评:
此题考查了轴对称及中心对称图形的判定,属于基础题,掌握轴对称及中心对称的定义是解答本题的关键.
2.下列运算正确的是( )
A.
a2•a3=a6
B.
+=2+
C.
(x﹣2)(x+3)=x2﹣6
D.
(﹣a)2=﹣a2
考点:
多项式乘多项式;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;二次根式的加减法。1052629
分析:
利用多项式的乘法、二次根式的加减法及幂的有关运算性质计算后即可得到正确的选项.
解答:
解:A、a2•a3=a2+3=a5,故本选项错误;
B、+=2+,故本选项正确;
C、(x﹣2)(x+3)=x2+x﹣6,故本选项错误;
D、(﹣a)2=a2,故本选项错误;
故选B.
点评:
本题考查了多项式的乘法、二次根式的加减法及幂的有关运算性质,属于基本运算,要求必须掌握.
3.下列说法正确的是( )
A.
随机事件发生的可能性是50%
B.
一组数据2,2,3,6的众数和中位数都是2
C.
为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩,可以从中抽取10名学生作为样本
D.
若甲组数据的方差S甲2=0.31,乙组数据的方差S乙2
=0.02,则乙组数据比甲组数据稳定
考点:
可能性的大小;抽样调查的可靠性;中位数;众数;方差。1052629
分析:
根据事件发生可能性的大小和概率的值的大小的关系以及中位数、众数、方差的定义分别进行判断即可.
解答:
解:A、随机事件发生的可能性是大于0,小于1,故本选项错误;
B、一组数据2,2,3,6的众数是2,中位数是2.5,故本选项错误;
C、为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩,可以从中抽取10名学生的中考数学成绩作为样本,容量太小,故本选项错误;
D、若甲组数据的方差S甲2=0.31,乙组数据的方差S乙2=0.02,则乙组数据比甲组数据稳定,故本选项正确;
故选D.
点评:
此题考查了可能性大小,用到的知识点是可能性的大小、中位数、众数、方差等,解题的关键是根据有关定义判断出每一项的正误.
4.下列命题是真命题的是( )
A.
如果|a|=1,那么a=1
B.
一组对边平行的四边形是平行四边形
C.
如果a有有理数,那么a是实数
D.
对角线相等的四边形是矩形
考点:
命题与定理;绝对值;实数;平行四边形的判定;矩形的判定。1052629
分析:
分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
解答:
解:A、如果|a|=1,那么a=±1,错误;
B、一组对边平行的四边形是平行四边形,也可能是梯形,错误;
C、如果a有有理数,那么a是实数,正确;
D、对角线相等的四边形是矩形,也有可能是等腰梯形或其它四边形,错误.
故选C.
点评:
主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
5.如图,是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的,将正方体A向右平移2个单位,向后平移1个单位后,所得几何体的视图( )
A.
主视图改变,俯视图改变
B.
主视图不变,俯视图不变
C.
主视图不变,俯视图改变
D.
主视图改变,俯视图不变
考点:
简单组合体的三视图。1052629
分析:
主视图是从正面观察得到的图形,俯视图是从上面观察得到的图形,结合图形即可作出判断.
解答:
解:根据图形可得,图①及图②的主视图一样,俯视图不一样,即主视图不变,俯视图改变.
故选C.
点评:
此题考查了简单组合体的三视图,掌握主视图及俯视图的观察方法是解答本题的关键,难度一般.
6.如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点,过点作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接AO、BO,下列说法正确的是( )
A.
点A和点B关于原点对称
B.
当x<1时,y1>y2
C.
S△AOC=S△BOD
D.
当x>0时,y1、y2都随x的增大而增大
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题。1052629
分析:
求出两函数式组成的方程组的解,即可得出A、B的坐标,即可判断A;根据图象的特点即可判断B;根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积,即可判断C;根据图形的特点即可判断D.
解答:
解:A、,
∵把①代入②得:x+1=,
解得:x1=﹣2,x2=1,
代入①得:y1=﹣1,y2=2,
∴B(﹣2,﹣1),A(1,2),
∴A、B不关于原点对称,故本选项错误;
B、当﹣2<x<0或x>1时,y1>y2,故本选项错误;
C、∵S△AOC=×1×2=1,S△BOD=×|﹣2|×|﹣1|=1,
∴S△BOD=S△AOC,故本选项正确;
D、当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小,故本选项错误;
故选C.
点评:
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用,主要考查学生观察图象的能力,能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键,题目比较典型,是一道具有一定代表性的题目.
7.如图,两个边长相等的正方形ABCD和EFGH,正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置,正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为S,旋转的角度为θ,S与θ的函数关系的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
动点问题的函数图象。1052629
专题:
动点型。
分析:
过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥AB于点N,则可证明△ENK≌△ENL,从而得出重叠部分的面积不变,继而可得出函数关系图象.
解答:
解:如右图,过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥AB于点N,
∵点E是正方形的对称中心,
∴EN=EM,
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL,
在Rt△ENK和Rt△EML中,,
故可得△ENK≌△ENL,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的.
故选B.
点评:
此题考查了动点问题的函数图象,证明△ENK≌△ENL,得出阴影部分的面积始终等于正方形面积的是解答本题的关键.
8.如图,AB为半圆O的直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,AD与CD相交于D,BC与CD相交于C,连接OD、OC,对于下列结论:①OD2=DE•CD;②AD+BC=CD;③OD=OC;④S梯形ABCD=CD•OA;⑤∠DOC=90°,其中正确的是( )
A.
①②⑤
B.
②③④
C.
③④⑤
D.
①④⑤
考点:
切线的性质;切线长定理;相似三角形的判定与性质。1052629
专题:
计算题。
分析:
连接OE,由AD,DC,BC都为圆的切线,根据切线的性质得到三个角为直角,且利用切线长定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代换可得出CD=AD+BC,选项②正确;由AD=ED,OD为公共边,利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而这四个角之和为平角,可得出∠DOC为直角,选项⑤正确;由∠DOC与∠DEO都为直角,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形DEO与三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE•CD,选项①正确;又ABCD为直角梯形,利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB(AD+BC),将AD+BC化为CD,可得出梯形面积为AB•CD,选项④错误,而OD不一定等于OC,选项①错误,即可得到正确的选项.
解答:
解:连接OE,如图所示:
∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,
∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,
∴CD=DE+EC=AD+BC,选项②正确;
在Rt△ADO和Rt△EDO中,
,
∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),
∴∠AOD=∠EOD,
同理Rt△CEO≌Rt△CBO,
∴∠EOC=∠BOC,
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,选项⑤正确;
∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,
∴△EDO∽△ODC,
∴=,即OD2=DC•DE,选项①正确;[来源:学。科。网Z。X。X。K]
而S梯形ABCD=AB•(AD+BC)=AB•CD,选项④错误;
由OD不一定等于OC,选项③错误,
则正确的选项有①②⑤.
故选A
点评:
此题考查了切线的性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,以及梯形面积的求法,利用了转化的数学思想,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.
二、填空题(本大题共8小题,每题3分,满分共24分)
9.计算:|﹣2|= 2 .
考点:
绝对值。1052629
分析:
根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.
解答:
解:∵﹣2<0,
∴|﹣2|=2.
点评:
解题关键是掌握绝对值的规律.一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
10.分解因式:x3﹣x= x(x+1)(x﹣1) .
考点:
提公因式法与公式法的综合运用。1052629
分析:
本题可先提公因式x,分解成x(x2﹣1),而x2﹣1可利用平方差公式分解.
解答:
解:x3﹣x,
=x(x2﹣1),
=x(x+1)(x﹣1).
点评:
本题考查了提公因式法,公式法分解因式,先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解,分解因式一定要彻底.
11.圆锥底面半径为,母线长为2,它的侧面展开图的圆心角是 90° .
考点:
圆锥的计算。1052629
分析:
易得圆锥的底面周长,就是圆锥的侧面展开图的弧长,利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度,把相关数值代入即可求解.
解答:
解:∵圆锥底面半径是,
∴圆锥的底面周长为π,
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°,
=π,
解得n=90.
故答案为90°.
点评:
此题考查了圆锥的计算,用到的知识点为:圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长.
12.若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k﹣1=0有两个实数根,则k的取值范围是
k≥﹣,且k≠0 .
考点:
根的判别式。1052629
分析:
若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0.
解答:
解;∵a=k,b=2(k+1),c=k﹣1,
∴△=[2(k+1)]2﹣4×k×(k﹣1)=8k+6≥0,
解得:k≥,
∵原方程是一元二次方程,
∴k≠0.
故本题答案为:k≥,且k≠0.
点评:
总结:(1)一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
①△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
②△=0⇔方程有两个相等的实数根;
③△<0⇔方程没有实数根.
(2)一元二次方程的二次项系数不为0.
13. “校园手机”现象受社会普遍关注,某校针对“学生是否可带手机”的问题进行了问卷调查,并绘制了扇形统计图.从调查的学生中,随机抽取一名恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是 9% .
考点:
概率公式;扇形统计图。1052629
分析:
根据扇形统计图求出持“无所谓”态度的学生所占的百分比,即可求出持“无所谓”态度的学生的概率.
解答:
解:恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是1﹣35%﹣56%=9%.
故答案为:9%.
点评:
此题考查了概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
14.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,沿AD折叠,使点B落在斜边AC上,若AB=3,BC=4,则BD= .
考点:
翻折变换(折叠问题)。1052629
分析:
由题意可得∠AB′D=∠B=90°,AB′=AB=3,由勾股定理即可求得AC的长,则可得B′C的长,然后设BD=B′D=x,则CD=BC﹣BD=4﹣x,由勾股定理CD2=B′C2+B′D2,即可得方程,解方程即可求得答案.
解答:
解:如图,点B′是沿AD折叠,点B的对应点,连接B′D,
∴∠AB′D=∠B=90°,AB′=AB=3,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴AC=5,
∴B′C=AC﹣AB′=5﹣3=2,
设BD=B′D=x,则CD=BC﹣BD=4﹣x,
在Rt△CDB′中,CD2=B′C2+B′D2,
即:(4﹣x)2=x2+4,
解得:x=,
∴BD=.
故答案为:.
点评:
此题考查了折叠的性质与勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用,注意掌握折叠中的对应关系.
15.图中各圆的三个数之间都有相同的规律,据此规律,第n个圆中,m= 9n2﹣1 (用含n的代数式表示).
考点:
规律型:图形的变化类;规律型:数字的变化类。1052629
分析:
根据8=2×4,5×7=35,8×10=80,得出2,5,8…第n个数为:2+3(n﹣1),4,7,10,…第n个数为:4+3(n﹣1)即可得出第n个圆中,m的值.
解答:
解:∵2×4=8,
5×7=35,
8×10=80,
…
∴2,5,8…第n个数为:2+3(n﹣1),
4,7,10,…第n个数为:4+3(n﹣1),
∴第n个圆中,m=[2+3(n﹣1)]×[4+3(n﹣1)]=(3n+1)(3n﹣1)=9n2﹣1.
故答案为:9n2﹣1.
点评:
此题主要考查了数字变化规律,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.
16.如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,且AD=AB,DF∥BC,E为BD的中点.若EF⊥AC,BC=6,则四边形DBCF的面积为 15 .
考点:
相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理。1052629
分析:
过D点作DG⊥AC,垂足为G,过A点作AH⊥BC,垂足为H,根据题意设BE=DE=x,则AD=AF=4x,由DG∥EF,利用平行线分线段成比例求FG,由DF∥BC得△ADF∽△ABC,利用相似比求DF,同时可得∠DFG=∠C,易证Rt△DFG∽Rt△ACH,利用相似比求x,在Rt△ABH中,用勾股定理求AH,计算△ABC的面积,由△ADF∽△ABC,利用相似三角形的性质求△ADF的面积,作差求四边形DBCF的面积.
解答:
解:如图,过D点作DG⊥AC,垂足为G,过A点作AH⊥BC,垂足为H,
∵E为BD的中点,且AD=AB,
∴可设BE=DE=x,则AD=AF=4x,
∵DG⊥AC,EF⊥AC,[来源:学。科。网]
∴DG∥EF,=,即=,解得FG=x,
∵DF∥BC,∴△ADF∽△ABC,=,即=,
解得DF=4,
又∵DF∥BC,∴∠DFG=∠C,
∴Rt△DFG∽Rt△ACH,=,即=,[来源:Z&xx&k.Com]
解得x2=,
在Rt△ABH中,由勾股定理,得AH===9,
则S△ABC=×BC×AH=×6×9=27,
又∵△ADF∽△ABC,∴=()2=,
S△ADF=×27=12,
∴S四边形DBCF=S△ABC﹣S△ADF=27﹣12=15,
故答案为:15.
点评:
本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理.关键是通过作辅助线,构造相似三角形,利用相似比解题.
三、解答题(本大题共10道小题,满分共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算:3﹣+()﹣1﹣(2012﹣π)0+2cos30°.
考点:
实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值。1052629
专题:
计算题。
分析:
本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
解答:
解:原式=3﹣+3﹣1+2×
=3﹣+3﹣1+
=5.
点评:
本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点.
18.解不等式组,并将解集在数轴上表示出来.
考点:
解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集。1052629
分析:
先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.
解答:
解:,
由①得2x≥2,即x≥1;
由②得x<3;
在数轴上表示为:
故不等式的解集为:1≤x<3.
点评:
本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不等式的解,若x≥较小的数、<较大的数,那么解集x介于两数之间.
19.先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=.
考点:
分式的化简求值。1052629
专题:
计算题。
分析:
先把除法化成乘法,再根据乘法分配律展开得出x﹣1+x+1,合并同类项得出2x,代入求出即可.
解答:
解:原式=(+)×(x+1)(x﹣1)
=×(x+1)(x﹣1)+×(x+1)x﹣1)
=x﹣1+x+1
=2x,
当x=时,
原式=2×=1.
点评:[来源:学.科.网Z.X.X.K]
本题考查了对分式的化简求值的应用,通过做此题培养了学生的计算能力,题目比较典型,是一道具有一定代表性的题目.
20.九(一)班课题学习小组,为了了解大树生长状况,去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°,树高5m;今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°,问这棵树一年生长了多少m?(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75,≈1.732)
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题。1052629
分析:
由题意得:∠DAB=37°,∠CAB=30°,BC=5m,然后分别在Rt△ABC与Rt△DAB中,利用正切函数求解即可求得答案.
解答:
解:根据题意得:∠DAB=37°,∠CAB=30°,BC=5m,
在Rt△ABC中,AB===5(m),
在Rt△DAB中,BD=AB•tan37°≈5×0.75≈6.495(m),
则CD=BD﹣BC=6.495﹣5=1.495(m).
答:这棵树一年生长了1.495m.
点评:
本题考查仰角的定义.此题难度适中,注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.
21.如图所示,在⊙O中,=,弦AB与弦AC交于点A,弦CD与AB交于点F,连接BC.
(1)求证:AC2=AB•AF;
(2)若⊙O的半径长为2cm,∠B=60°,求图中阴影部分面积.
考点:
扇形面积的计算;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理;相似三角形的判定与性质。1052629
专题:
几何综合题。
分析:
(1)由=
,利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似,根据相似得比例可得证;
(2)连接OA,OC,利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,由∠B为60°,求出∠AOC为120°,过O作OE垂直于AC,垂足为点E,由OA=OC,利用三线合一得到OE为角平分线,可得出∠AOE为60°,在Rt△AOE中,由OA及cos60°的值,利用锐角三角函数定义求出OE的长,在Rt△AOE中,利用勾股定理求出AE的长,进而求出AC的长,由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积,利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积.
解答:
(1)证明:∵=,
∴∠ACD=∠ABC,又∠BAC=∠CAF,
∴△ACF∽△ABC,
∴=,即AC2=AB•AF;
(2)解:连接OA,OC,过O作OE⊥AC,垂足为点E,
如图所示:
∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°,
又OA=OC,∴∠AOE=∠COE=×120°=60°,
在Rt△AOE中,OA=2cm,
∴OE=OAcos60°=1cm,
∴AE==cm,
∴AC=2AE=2cm,
则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=(﹣)cm2.
点评:
此题考查了扇形面积的求法,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,弧、圆心角及弦之间的关系,等腰三角形的性质,勾股定理,以及锐角三角函数定义,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
22.岳阳楼、君山岛去年评为国家5A级景区.“十•一”期间,游客满员,据统计绘制了两幅不完整的游客统计图(如图①、图②),请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)把图①补充完整;
(2)在图②中画出君山岛“十•一”期间游客人次的折线图;
(3)由统计可知,岳阳楼、君山岛两景点“十一”期间共接待游客149000人次,占全市接待游客总数的40%,求全市共接待游客多少人次(用科学记数法表示,保留两位有效数字)
考点:
条形统计图;用样本估计总体;折线统计图。1052629
分析:
(1)根据折线图可以看出3日岳阳楼的游客有13000人,再画出条形图即可;
(2)根据条形图可得到每天到君山岛的游客人次,再画出折线图;
(3)总人数=岳阳楼、君山岛两景点“十一”期间所接待游客总数÷它所占全市接待游客总数的百分比.
解答:
解(1)根据折线图可以看出3日岳阳楼的游客有13000人,
如图①所示:
(2)如图②所示:
(3)149000÷40%=372500=3.725×105≈3.7×105(人).
点评:
此题主要考查了条形统计图和折线图,关键是读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
23.游泳池常需进行换水清洗,图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y(m3)与时间t(min)之间的函数关系式.
(1)根据图中提供的信息,求整个换水清洗过程水量y(m3)与时间t(min)的函数解析式;
(2)问:排水、清洗、灌水各花多少时间?
考点:
一次函数的应用。1052629
分析:
(1)根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式,以及清洗阶段:y=0和灌水阶段解析式即可;
(2)根据(1)中所求解析式,即可得出图象与x轴交点坐标,即可得出答案.
解答:
解:(1)排水阶段:设解析式为:y=kt+b,
图象经过(0,1500),(25,1000),则:
,
解得:,
故排水阶段解析式为:y=﹣20t+1500;
清洗阶段:y=0,
灌水阶段:设解析式为:y=at+c,
图象经过(195,1000),(95,0),则:
,
解得:,
灌水阶段解析式为:y=10t﹣950;
(2)∵排水阶段解析式为:y=﹣20t+1500;
∴y=0时,0=﹣20t+1500,
解得:t=75,
则排水时间为75分钟,
清洗时间为:95﹣75=20(分钟),
∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500(m3),
∴1500=10t﹣950,
解得:t=245,
故灌水所用时间为:245﹣95=150(分钟).
点评:
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及图象与x轴交点坐标求法,根据图象得出正确信息是解题关键.
24.岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动,其中某项工程,若由甲、乙两建筑队合做,6个月可以完成,若由甲、乙两队独做,甲队比乙队少用5个月的时间完成.
(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间?
(2)已知甲队每月施工费用为15万元,比乙队多6万元,按要求该工程总费用不超过141万元,工程必须在一年内竣工(包括12个月).为了确保经费和工期,采取甲队做a个月,乙队做b个月(a、b均为整数)分工合作的方式施工,问有哪几种施工方案?
考点:
分式方程的应用;一元一次不等式组的应用。1052629
分析:
(1)设乙队需要x个月完成,则甲队需要(x﹣5)个月完成,根据两队合作6个月完成求得x的值即可;
(2)根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可.
解答:
解:(1)设乙队需要x个月完成,则甲队需要(x﹣5)个月完成,根据题意得:
+=,
解得:x=15,
经检验x=15是原方程的根.
答:甲队需要10个月完成,乙队需要15个月完成;
(2)根据题意得:15a+9b≤141,
+=1
解得:a≤4 b≥9.
∵a、b都是整数
∴a=4 b=9或a=2 b=12
点评:
本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用,解题时,可把总工程量看做“1”.此题主要考查列分式方程(组)解应用题中的工程问题.分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
25.(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.
(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论.
Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.
考点:
全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。1052629
专题:
几何综合题。
分析:
(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF;然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD;
(2)通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD;
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB;
Ⅱ.
Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;通过证明△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等);再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′.
解答:
解:(1)AF=BD;
证明如下:∵△ABC是等边三角形(已知),
∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);
同理知,DC=CF,∠DCF=60°;
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA,即∠BCD=∠ACF;
在△BCD和△ACF中,
,
∴△BCD≌△ACF(SAS),
∴BD=AF(全等三角形的对应边相等);
(2)证明过程同(1),证得△BCD≌△ACF(SAS),则AF=BD(全等三角形的对应边相等),所以,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,AF=BD仍然成立;
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;
证明如下:由(1)知,△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF;
同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,
∴AF+BF′=BD+AD=AB;
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;
证明如下:在△BCF′和△ACD中,
,
∴△BCF′≌△ACD(SAS),
∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等);
又由(2)知,AF=BD;
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.等边三角形的三条边都相等,三个内角都是60°.
26.我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直接坐标系如图①所示,如果把锅纵断面的抛物线的记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2.
(1)求C1和C2的解析式;
(2)如图②,过点B作直线BE:y=x﹣1交C1于点E(﹣2,﹣),连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标;
(3)如果(2)中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题。1052629
专题:
压轴题;分类讨论。
分析:
(1)已知A、B、C、D四点坐标,利用待定系数法即可确定两函数的解析式.
(2)根据直线BE:y=x﹣1知,该直线必过(0,﹣1)点,那么∠EBO=∠CBO,若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,那么夹这组对应角的对应边必成比例,先求出BC、BO、BE的长,然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长,进而得到OP的长,即可确定P点坐标.
(3)△EBQ中,BE长为定值,若以BE为底,当△EBQ的面积最大时,Q到直线BE的距离最大;由于点Q可能在抛物线C1或C2上,因此两种情况都要解一下,最后通过比较得到能使△EBQ面积最大的Q点.首先作直线l∥BE,分别令直线l与抛物线C1、C2有且仅有一个交点,那么符合条件的Q点必在这两个交点中,先求出这两个交点分别到直线BE的距离,距离大者符合条件,由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值.
解答:
解:(1)由于抛物线C1、C2都过点A(﹣3,0)、B(3,0),可设它们的解析式为:y=a(x﹣3)(x+3);
抛物线C1还经过D(0,﹣3),则有:
﹣3=a(0﹣3)(0+3),a=
即:抛物线C1:y=x2﹣3(﹣3≤x≤3);
抛物线C2还经过A(0,1),则有:
1=a(0﹣3)(0+3),a=﹣
即:抛物线C2:y=﹣x2+1(﹣3≤x≤3).
(2)由于直线BE:y=
x﹣1必过(0,﹣1),所以∠CBO=∠EBO(tan∠CBO=tan∠EBO=);
由E点坐标可知:tan∠AOE≠,即∠AOE≠∠CBO,所以它们的补角∠EOB≠∠CBx;
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,只需考虑两种情况:
①∠CBP1=∠EBO,且OB:BE=BP1:BC,即:
3:=BP1:,得:BP1=,OP1=OB﹣BP1=;
∴P1(,0);
②∠P2BC=∠EBO,且BC:BP2=OB:BE,即:
:BP2=3:,得:BP2=,OP2=BP2﹣OB=;
∴P2(﹣,0).
综上,符合条件的P点有:P1(,0)、P2(﹣,0).
(3)如图,作直线l∥直线BE,设直线l:y=x+b;
①当直线l与抛物线C1只有一个交点时:
x+b=x2﹣3,即:x2﹣x﹣(3b+9)=0
∴该交点Q2(,﹣);
Q2到直线 BE:x﹣y﹣1=0 的距离:==;
②当直线l与抛物线C2只有一个交点时:
x+b=﹣x2+1,即:x2+3x+9b﹣9=0
∴该交点Q1(﹣,);
Q1到直线 BE:x﹣y﹣1=0 的距离:=;
∴符合条件的Q点为Q1(﹣,);
△EBQ的最大面积:Smax=×BE×=.
点评:
考查了二次函数综合题.该题的难度和计算量都比较大,涉及了函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、图形面积的解法等重点知识;解答(2)题时,应注意分不同的对应边来进行讨论,以免漏解.(3)的难度较大,点到直线的距离公式【点(x0,y0)到直线(Ax+By+C=0)的距离为:d=】是需要记住的内容.另外,题目在设计时结合了一定的生活元素,形式较为新颖.
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