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- 2021-05-10 发布
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第2讲 整式及其运算
第一章 数与式
知识盘点
1
、单项式、多项式、整式的概念
2
、同类项
3
、幂的运算法则
4
、整式乘法法则与除法法则
5
、乘法公式
1
.
法则公式的逆向运用
法
则
公式既可正向运用
,
也可逆向运用.当直接
计
算有
较
大困
难时
,
考
虑
逆向运用
,
可起到化
难为
易的功效.
2
.
整式运算中的整体思想
在
进
行整式运算或求代数式
值时
,
若将注意力和着眼点放在
问题
的整体
结
构上
,
把一些
紧
密
联
系的代数式作
为
一个整体来
处
理.
借助
“
整体思想
”
,
可以拓
宽
解
题
思路
,
收到事半功倍之效.整体思想最典型的是
应
用于乘法公式中
,
公式中的字母
a
和
b
不
仅
可以表示
单项
式
,
也可以表示多
项
式
,
如
(
x
-
2
y
+
z
)(
x
+
2
y
-
z
)
=
[
x
-
(2
y
-
z
)][
x
+
(2
y
-
z
)]
=
x
2
-
(2
y
-
z
)
2
=
x
2
-
4
y
2
+
4
yz
-
z
2
.
难点与易错点
1
.
(
2015
·
厦门
)
已知一个单项式的系数是
2
,
次数是
3
,
则这个单项式可以是
( )
A
.
-
2
xy
2
B
.
3
x
2
C
.
2
xy
3
D
.
2
x
3
2
.
(
2015
·
黔南州
)
下列运算正确的是
( )
A
.
a
·
a
5
=
a
5
B
.
a
7
÷
a
5
=
a
3
C
.
(2
a
)
3
=
6
a
3
D
.
10
ab
3
÷(
-
5
ab
)
=-
2
b
2
D
D
夯实基础
C
B
5
.
(
2015
·
日照
)
观察下列各式及其展开式:
(a
+
b)
2
=
a
2
+
2ab
+
b
2
(a
+
b)
3
=
a
3
+
3a
2
b
+
3ab
2
+
b
3
(a
+
b)
4
=
a
4
+
4a
3
b
+
6a
2
b
2
+
4ab
3
+
b
4
(a
+
b)
5
=
a
5
+
5a
4
b
+
10a
3
b
2
+
10a
2
b
3
+
5ab
4
+
b
5
…
请你猜想
(a
+
b)
10
的展开式第三项的系数是
( )
A
.
36 B
.
45 C
.
55 D
.
66
B
点拔:
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2ab
+
b
2
;
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3a
2
b
+
3ab
2
+
b
3
;
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+
4a
3
b
+
6a
2
b
2
+
4ab
3
+
b
4
;
(
a
+
b
)
5
=
a
5
+
5a
4
b
+
10a
3
b
2
+
10a
2
b
3
+
5ab
4
+
b
5
;
(
a
+
b
)
6
=
a
6
+
6a
5
b
+
15a
4
b
2
+
20a
3
b
3
+
15a
2
b
4
+
6ab
5
+
b
6
;
(
a
+
b
)
7
=
a
7
+
7a
6
b
+
21a
5
b
2
+
35a
4
b
3
+
35a
3
b
4
+
21a
2
b
5
+
7ab
6
+
b
7
;
第
8
个式子系数分别为:
1
,
8
,
28
,
56
,
70
,
56
,
28
,
8
,
1
;
第
9
个式子系数分别为:
1
,
9
,
36
,
84
,
126
,
126
,
84
,
36
,
9
,
1
;
第
10
个式子系数分别为:
1
,
10
,
45
,
120
,
210
,
252
,
210
,
120
,
45
,
10
,
1
,
则
(
a
+
b
)
10
的展开式第三项的系数为
45.
故选
B
【
例
1
】
(1)(
2015
·
连云港
)
下列运算正确的是
( )
A
.
2
a
+
3
b
=
5
ab
B
.
5
a
-
2
a
=
3
a
C
.
a
2
·
a
3
=
a
6
D
.
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
b
2
(2)
(
2015
·
北海
)
下列运算正确的是
( )
A
.
3
a
+
4
b
=
12
a
B
.
(
ab
3
)
2
=
ab
6
C
.
(5
a
2
-
ab
)
-
(4
a
2
+
2
ab
)
=
a
2
-
3
ab
D
.
x
12
÷
x
6
=
x
2
(3)
计算:
3(2
xy
-
y
)
-
2
xy
=
.
【
点评
】
整式的加减
,
实质
上就是合并同
类项
,
有括号的
,
先去括号
,
只要算式中没有同
类项
,
就是最后的
结
果.
B
C
4xy
-
3y
典例探究
C
D
解析:原式=-
x
+
2
-
12
+
15x
=
14x
-
10
3
解析:-
4x
a
y
+
x
2
y
b
=-
3x
2
y
,
可知-
4x
a
y
,
x
2
y
b
,
-
3x
2
y
是同类项
,
则
a
=
2
,
b
=
1
,
所以
a
+
b
=
3
【
点评
】
(1)
判断同
类项时
,
看字母和相
应
字母的指数
,
与系数无关
,
也与字母的相关位置无关
,
两个只含数字的
单项
式也是同
类项
;
(
2)
只有同
类项
才可以合并.
A
D
B
A
【
点评
】
(1)
幂
的运算法
则
是
进
行整式乘除法的基
础
,
要熟
练
掌握
,
解
题时
要明确运算的
类
型
,
正确运用法
则
;
(
2)
在运算的
过
程中
,
一定要注意指数、系数和符号的
处
理.
D
B
【
点评
】
注意多
项
式乘多
项
式的运算中要做到不
重不漏
,
应
用乘法公式
进
行
简
便
计
算
,
另外去括号
时
,
要注意符号的
变
化
,
最后把所得式子化
简
,
即合并同
类项
,
再代
值计
算.
解:
∵
2a
2
+
3a
-
6
=
0
,
即
2a
2
+
3a
=
6
,
∴
原式=
6a
2
+
3a
-
4a
2
+
1
=
2a
2
+
3a
+
1
=
6
+
1
=
7
【
例
5
】
(1)(
2015
·
遵义
)
下列运算正确的是
( )
A
.
4
a
-
a
=
3 B
.
2(2
a
-
b
)
=
4
a
-
b
C
.
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
b
2
D
.
(
a
+
2)(
a
-
2)
=
a
2
-
4
(2)
(
2015
·
邵阳
)
已知
a
+
b
=
3
,
ab
=
2
,
则
a
2
+
b
2
的值为
( )
A
.
3 B
.
4 C
.
5 D
.
6
【
点评
】
(1)
在利用完全平方公式求
值时
,
通常用到以下几种
变
形:
①
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
-
2
ab
;
②
a
2
+
b
2
=
(
a
-
b
)
2
+
2
ab
;
③
(
a
+
b
)
2
=
(
a
-
b
)
2
+
4
ab
;
④
(
a
-
b
)
2
=
(
a
+
b
)
2
-
4
ab
.
注意公式的
变
式及整体代入的思想.
(2)
算式中的局部直接使用乘法公式、
简
化运算
,
任何
时
候都要遵循先化
简
,
再求
值
的原
则.
D
C
-
3
试题
计算
①
x
3
·x
5
;
②
x
4
·x
4
;
③
(a
m
+
1
)
2
;
④
(
-
2a
2
·b)
2
;
⑤
(m
-
n)
6
÷(n
-
m)
3
.
错解
①
x
3
·x
5
=
x
3
×
5
=
x
15
;
②
x
4
·x
4
=
2x
4
;
③
(a
m
+
1
)
2
=
a
2m
+
1
;
④
(
-
2a
2
·b)
2
=-
2
2
a
4
b
2
;
⑤
(m
-
n)
6
÷(n
-
m)
3
=
(m
-
n)
6
-
3
=
(m
-
n)
3
.
剖析
幂
的四种运算
(
同底数幂相乘、
幂
的乘方、
积
的乘方、同底数
幂
相除
)
是学
习
整式乘除的基
础
,
对幂
运算的性
质
理解不深刻
,
记忆
不牢固
,
往往会出
现这样
或那
样
的
错误.针对
具体
问题
要分清
问题
所
对应
的基本形式
,
以便合理运用法
则
,
对
符号的
处
理
,
应
特
别
引起
重
视.
正解
①
x
3
·
x
5
=
x
3
+
5
=
x
8
;
②
x
4
·
x
4
=
x
4
+
4
=
x
8
;
③
(
a
m
+
1
)
2
=
a
(
m
+
1
)
×
2
=
a
2m
+
2
;
④
(
-
2a
2
·
b
)
2
=
(
-
2
)
2
a
4
b
2
=
4a
4
b
2
;
⑤
(
m
-
n
)
6
÷(
n
-
m
)
3
=
(
n
-
m
)
6
÷(
n
-
m
)
3
=
(
n
-
m
)
3