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- 2021-05-10 发布
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分式方程和不等式
知识点一:分式方程及其运用
1.分式方程.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般步骤:
(1)去分母,在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;
(2)解这个整式方程;
(3)验根,把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
3.分式方程的增根问题:
(1) 增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根——增根;
(2)验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.
4.分式方程的应用:
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解.另外,还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果的合理性.
5.易错知识辨析:
(1) 去分母时,不要漏乘没有分母的项.
(2) 解分式方程的重要步骤是检验,检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
典例
1、解方程:
2、甲、乙二人同时从A地前往距A地30千米的B地,甲比乙每小时快2千米,结果比乙先到半小时,若设乙的速度为千米/小时,则可列出的方程为
变式练习
1、解方程
2、 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度.(提示:顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度)
3、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米,B、C两城的距离为400千米,甲车比乙车的速度快10千米/时,结果两辆车同时到达C城.求两车的速度
4、某工程队承接了3000米的修路任务,在修好600米后,引进了新设备,工作效率是原来的2倍,一共用30天完成了任务,求引进新设备前平均每天修路多少米?
.
知识点二:一元一次不等式(组)
1.一元一次不等式及不等式组的概念
2.不等式的基本性质:(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
3.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
4.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.
5.求不等式(组)解集的过程叫做解不等式.
6.一元一次不等式的解法.解一元一次不等式的步骤:①去分母,②去话号,③移项,④合并同类项,⑤系数化为1(不等号的改变问题)
7、一元一次不等式组的解.(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分,即这个不等式的解。
8.求不等式(组)的正整数解,整数解等特解,可先求出这个不等式的解集,再从中找出所需特解.
9、列不等式解应用题的一般步骤:列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似,其步骤包括:①设未知数;②找不等关系;③列不等式(组)④解不等式(组)⑤检验,其中检验是正确求解的必要环节.
典例
1、解不等式组
注:不等式(1)要给出详细的解答过程.
2、若不等式组的正整数解只有2,求的整数值.
3、绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨,桃子12吨.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售,已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨,一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨.
(1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地?有几种方案?
(2)若甲种货车每辆要付运输费300元,乙种货车每辆要付运输费240元,则果农王灿应选择哪种方案,使运输费最少?最少运费是多少?
变式练习
1、若,则下列四个不等式中,正确的是( ).
A. B. C. D.
1
2
0
A.
B.
1
2
0
C.
1
2
0
D.
1
2
0
2、不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
3、若不等式组有5个整数解,则a的取值范围是
4、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于的不等式的解集为 .
5、不等式组, 并将它的解集在数轴上表示出来.
6、现有不等式的两个性质:
① 在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;
② 在不等式的两边都乘以同一个数(或整式) ,乘的数(或整式)为正时不等号的方向
不变,乘的数(或整式)为负时,不等号的方向改变。
请解决以下两个问题:
(1)利用性质①比较 2a 与 a 的大小(a≠0) ;
(2)利用性质②比较 2a 与 a 的大小(a≠0¹ ).
7、某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产、两种产品,共50件.已知生产一件种产品,需用甲种原料9千克,乙种原料3千克;生产一件种产品,需用甲种原料4千克,乙种原料10千克.
(1)据现有条件安排、两种产品的生产件数,有哪几种方案,请你设计出来.
(2)若甲种原料每千克80元,乙种原料每千克120元,怎样设计成本最低.
课后作业
1、方程的解是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2、不等式组的解集是
3、 分式方程的解x等于 ;
4、
5、解不等式组: 6、解方程:.
7、已知两个语句:
①式子的值在1(含1)与3(含3)之间;
②式子的值不小于1且不大于3.
请回答以下问题:
(1) 两个语句表达的意思是否一样(不用说明理由)?
(2) 把两个语句分别用数学式子表示出来.
8、
9、某地为四川省汶川大地震灾区进行募捐,共收到粮食100吨,副食品54吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往汶川,已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、副食品6吨,一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副食品8吨.
(1) 将这些货物一次性运到目的地,有几种租用货车的方案?
(2) 若甲种货车每辆付运输费1300元,乙种货车每辆付运输费1000元,要使运输总费用最少,应选择哪种方案?