2020年贵州省黔东南州中考数学试卷(含解析） 22页

‎2020年贵州省黔东南州中考数学试卷 一、选择题（每小题4分，10个小题，共40分）‎ ‎1．（4分）﹣2020的倒数是（　　）‎ A．﹣2020 B．‎-‎‎1‎‎2020‎ C．2020 D．‎‎1‎‎2020‎ ‎2．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．（x+y）2＝x2+y2 B．x3+x4＝x7 ‎ C．x3•x2＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2‎ ‎3．（4分）实数2‎10‎介于（　　）‎ A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 ‎4．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）‎ A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3‎ ‎5．（4分）如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠l＝25°，则∠2等于（　　）‎ A．25° B．30° C．50° D．60°‎ ‎6．（4分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（　　）‎ A．12个 B．8个 C．14个 D．13个 ‎7．（4分）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．8 B．12 C．16 D．2‎‎91‎ ‎8．（4分）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）‎ A．16 B．24 C．16或24 D．48‎ ‎9．（4分）如图，点A是反比例函数y═‎6‎x（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y‎=‎‎2‎x的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧BO、OD，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π 二．填空题：（每小题3分，10个小题，共30分）‎ ‎11．（3分）cos60°＝　 　．‎ ‎12．（3分）2020年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．截止6月份，全球确诊人数约3200000人，其中3200000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎13．（3分）在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝　 　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎14．（3分）不等式组‎5x-1＞3(x+1)‎‎1‎‎2‎x-1≤4-‎1‎‎3‎x的解集为　 　．‎ ‎15．（3分）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为　 　．‎ ‎16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　 　．‎ ‎17．（3分）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为　 　．‎ ‎18．（3分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是　 　．‎ ‎19．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为　 　．‎ ‎20．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC‎=‎‎2‎，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝　 　．‎ 第22页（共22页）‎ 三、解答题：（6个小题，共80分）‎ ‎21．（14分）（1）计算：（‎1‎‎2‎）﹣2﹣|‎2‎‎-‎3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0；‎ ‎（2）先化简，再求值：（‎3‎a+1‎‎-‎a+1）‎÷‎a‎2‎‎-4‎a‎2‎‎+2a+1‎，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．‎ ‎22．（12分）某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表． ‎ 等级 频数（人数）‎ 频率 A a ‎20%‎ B ‎16‎ ‎40%‎ C b m D ‎4‎ ‎10%‎ 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）上表中的a　 　，b＝　 　，m＝　 　．‎ ‎（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．‎ ‎（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．‎ 第22页（共22页）‎ ‎23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．‎ ‎（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．‎ ‎（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC‎=‎‎1‎‎2‎，求图中阴影部分的面积．‎ ‎24．（14分）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．‎ ‎（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？‎ ‎（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：‎ 销售单价x（元/件）‎ ‎11‎ ‎19‎ 日销售量y（件）‎ ‎18‎ ‎2‎ 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．‎ ‎（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎25．（14分）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．‎ 探究发现 ‎（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．‎ 拓展运用 ‎（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．‎ ‎（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．‎ 第22页（共22页）‎ ‎26．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．‎ ‎（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第22页（共22页）‎ ‎2020年贵州省黔东南州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分，10个小题，共40分）‎ ‎1．（4分）﹣2020的倒数是（　　）‎ A．﹣2020 B．‎-‎‎1‎‎2020‎ C．2020 D．‎‎1‎‎2020‎ ‎【解答】解：﹣2020的倒数是‎-‎‎1‎‎2020‎，‎ 故选：B．‎ ‎2．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．（x+y）2＝x2+y2 B．x3+x4＝x7 ‎ C．x3•x2＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2‎ ‎【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；‎ B、x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误；‎ C、x3•x2＝x5，故此选项错误；‎ D、（﹣3x）2＝9x2，正确．‎ 故选：D．‎ ‎3．（4分）实数2‎10‎介于（　　）‎ A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 ‎【解答】解：∵2‎10‎‎=‎‎40‎，且6‎＜‎40‎＜‎7，‎ ‎∴6＜2‎10‎‎＜‎7．‎ 故选：C．‎ ‎4．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）‎ A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3‎ ‎【解答】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5，‎ 解得x＝﹣7．‎ 故选：A．‎ ‎5．（4分）如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠l＝25°，则∠2等于（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．25° B．30° C．50° D．60°‎ ‎【解答】解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°．‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°．‎ 故选：C．‎ ‎6．（4分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（　　）‎ A．12个 B．8个 C．14个 D．13个 ‎【解答】解：底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有13个．‎ 故选：D．‎ ‎7．（4分）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）‎ A．8 B．12 C．16 D．2‎‎91‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ ‎∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，‎ ‎∴OD＝10，OM＝6，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴AM‎=OA‎2‎‎-‎OM‎2‎=‎10‎‎2‎‎-‎‎6‎‎2‎=‎8，‎ ‎∴AB＝2AM＝16．‎ 故选：C．‎ ‎8．（4分）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）‎ A．16 B．24 C．16或24 D．48‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD，‎ ‎∵x2﹣10x+24＝0，‎ 因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，‎ 解得：x＝4或x＝6，‎ 分两种情况：‎ ‎①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；‎ ‎②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，‎ ‎∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．‎ 故选：B．‎ ‎9．（4分）如图，点A是反比例函数y═‎6‎x（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y‎=‎‎2‎x的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【解答】解：如图，连接OA、OB、PC．‎ ‎∵AC⊥y轴，‎ ‎∴S△APC＝S△AOC‎=‎1‎‎2‎×‎|6|＝3，S△BPC＝S△BOC‎=‎1‎‎2‎×‎|2|＝1，‎ ‎∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．‎ 故选：A．‎ ‎10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧BO、OD，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π ‎【解答】解：由题意可得，‎ 阴影部分的面积是：‎1‎‎4‎•π×22‎-‎1‎‎2‎⋅π×‎1‎‎2‎-‎2（1×1‎-‎‎1‎‎4‎•π×12）＝π﹣2，‎ 故选：B．‎ 二．填空题：（每小题3分，10个小题，共30分）‎ ‎11．（3分）cos60°＝　‎1‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：cos60°‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 第22页（共22页）‎ 故答案为：‎1‎‎2‎．‎ ‎12．（3分）2020年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．截止6月份，全球确诊人数约3200000人，其中3200000用科学记数法表示为　3.2×106　．‎ ‎【解答】解：3200000＝3.2×106．‎ 故答案为：3.2×106．‎ ‎13．（3分）在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．‎ ‎【解答】解：xy2﹣4x ‎＝x（y2﹣4）‎ ‎＝x（y+2）（y﹣2）．‎ 故答案为：x（y+2）（y﹣2）．‎ ‎14．（3分）不等式组‎5x-1＞3(x+1)‎‎1‎‎2‎x-1≤4-‎1‎‎3‎x的解集为　2＜x≤6　．‎ ‎【解答】解：解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，‎ 解不等式‎1‎‎2‎x﹣1≤4‎-‎‎1‎‎3‎x，得：x≤6，‎ 则不等式组的解集为2＜x≤6，‎ 故答案为：2＜x≤6．‎ ‎15．（3分）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为　y＝2x+3　．‎ ‎【解答】解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，‎ 再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．‎ 故答案为：y＝2x+3．‎ ‎16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　﹣3＜x＜1　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：∵物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），‎ 由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．‎ 故答案为：﹣3＜x＜1．‎ ‎17．（3分）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为　（2，﹣1）　．‎ ‎【解答】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），‎ ‎∴点C的坐标为（2，﹣1），‎ 故答案为：（2，﹣1）．‎ ‎18．（3分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是　‎1‎‎6‎　．‎ ‎【解答】解：画出树状图得：‎ ‎∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，‎ ‎∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为‎1‎‎6‎，‎ 故答案为：‎1‎‎6‎．‎ ‎19．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为　‎2‎　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：∵AC＝AD，∠A＝30°，‎ ‎∴∠ACD＝∠ADC＝75°，‎ ‎∵AO＝OC，‎ ‎∴∠OCA＝∠A＝30°，‎ ‎∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形，‎ 在等腰Rt△OCE中，OC＝2；‎ 因此OE‎=‎‎2‎．‎ 故答案为：‎2‎．‎ ‎20．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC‎=‎‎2‎，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝　‎4‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，‎ ‎∵E为CD的中点，‎ ‎∴DE‎=‎‎1‎‎2‎CD‎=‎‎1‎‎2‎AB，‎ ‎∴△ABP∽△EDP，‎ ‎∴ABDE‎=‎PBPD，‎ ‎∴‎2‎‎1‎‎=‎PBPD，‎ ‎∴PBBD‎=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∵PQ⊥BC，‎ ‎∴PQ∥CD，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴△BPQ∽△DBC，‎ ‎∴PQCD‎=BPBD=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∵CD＝2，‎ ‎∴PQ‎=‎‎4‎‎3‎，‎ 故答案为：‎4‎‎3‎．‎ 三、解答题：（6个小题，共80分）‎ ‎21．（14分）（1）计算：（‎1‎‎2‎）﹣2﹣|‎2‎‎-‎3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0；‎ ‎（2）先化简，再求值：（‎3‎a+1‎‎-‎a+1）‎÷‎a‎2‎‎-4‎a‎2‎‎+2a+1‎，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．‎ ‎【解答】解：（1）（‎1‎‎2‎）﹣2﹣|‎2‎‎-‎3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0‎ ‎＝4‎+‎2‎-‎3+2×1﹣1‎ ‎＝4‎+‎2‎-‎3+2﹣1‎ ‎＝2‎+‎‎2‎；‎ ‎（2）（‎3‎a+1‎‎-‎a+1）‎‎÷‎a‎2‎‎-4‎a‎2‎‎+2a+1‎ ‎=‎3-(a-1)(a+1)‎a+1‎×‎‎(a+1‎‎)‎‎2‎‎(a+2)(a-2)‎‎ ‎ ‎=‎‎-(a+2)(a-2)‎a+1‎‎ ‎ ‎＝﹣a﹣1，‎ 要使原式有意义，只能a＝3，‎ 则当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．‎ ‎22．（12分）某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表． ‎ 等级 频数（人数）‎ 频率 A a ‎20%‎ B ‎16‎ ‎40%‎ 第22页（共22页）‎ C b m D ‎4‎ ‎10%‎ 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）上表中的a　8　，b＝　12　，m＝　30%　．‎ ‎（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．‎ ‎（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．‎ ‎【解答】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%；‎ 故答案为：8，12，30%；‎ ‎（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生；‎ 补全条形图如图所示；‎ ‎（3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b，‎ A B a b A ‎（A，B）‎ ‎（A，a）‎ ‎（A，b）‎ B ‎（B，A）‎ ‎（B，a）‎ ‎（B，b）‎ a ‎（a，A）‎ ‎（a，B）‎ ‎（a，b）‎ b ‎（b，A）‎ ‎（b，B）‎ ‎（b，a）‎ ‎∵共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种，‎ ‎∴抽得恰好为“一男一女”的概率为‎8‎‎12‎‎=‎‎2‎‎3‎．‎ 第22页（共22页）‎ ‎23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．‎ ‎（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．‎ ‎（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC‎=‎‎1‎‎2‎，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠CAB＝∠ACO．‎ ‎∵∠ACQ＝∠ABC，‎ ‎∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，‎ ‎∴直线PQ是⊙O的切线．‎ ‎（2）连接OE，‎ ‎∵sin∠DAC‎=‎‎1‎‎2‎，AD⊥PQ，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°．‎ 又∵OA＝OE，‎ ‎∴△AEO为等边三角形，‎ ‎∴∠AOE＝60°．‎ ‎∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO ‎＝S扇形‎-‎‎1‎‎2‎OA•OE•sin60°‎ ‎=‎60π‎360‎×‎‎22‎-‎1‎‎2‎×‎2×2‎‎×‎‎3‎‎2‎ ‎=‎2π‎3‎-‎‎3‎‎．‎ ‎∴图中阴影部分的面积为‎2π‎3‎‎-‎‎3‎．‎ ‎24．（14分）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．‎ ‎（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？‎ ‎（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：‎ 销售单价x（元/件）‎ ‎11‎ ‎19‎ 日销售量y（件）‎ ‎18‎ ‎2‎ 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．‎ ‎（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【解答】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：‎ ‎3a+2b=60‎‎2a+3b=65‎‎，‎ 解得：a=10‎b=15‎．‎ ‎∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．‎ ‎（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：‎ ‎11k‎1‎+b‎1‎=18‎‎19k‎1‎+b‎1‎=2‎‎，解得：k‎1‎‎=-2‎b‎1‎‎=40‎．‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．‎ 第22页（共22页）‎ ‎（3）由题意得：‎ w＝（﹣2x+40）（x﹣10）‎ ‎＝﹣2x2+60x﹣400‎ ‎＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．‎ ‎∴当x＝15时，w取得最大值50．‎ ‎∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．‎ ‎25．（14分）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．‎ 探究发现 ‎（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．‎ 拓展运用 ‎（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．‎ ‎（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．‎ ‎【解答】解：（1）全等，理由是：‎ ‎∵△ABC和△DCE都是等边三角形，‎ ‎∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，‎ ‎∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，‎ 即∠BCD＝∠ACE，‎ 在△BCD和△ACE中，‎ CD=CE‎∠BCD=∠ACEBC=AC‎，‎ ‎∴△ACE≌△BCD（ SAS）；‎ ‎（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴BD＝AE，‎ ‎∵△DCE都是等边三角形，‎ ‎∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，‎ ‎∵∠ADC＝30°，‎ ‎∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，‎ 在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，‎ ‎∴AE‎=AD‎2‎+DE‎2‎=‎9+4‎=‎‎13‎，‎ ‎∴BD‎=‎‎13‎；‎ ‎（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，‎ ‎∵B、C、E三点在一条直线上，‎ ‎∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，‎ ‎∵△ABC和△DCE都是等边三角形，‎ ‎∴∠BCA＝∠DCE＝60°，‎ ‎∴∠ACD＝60°，‎ 在Rt△ACF中，sin∠ACF‎=‎AFAC，‎ ‎∴AF＝AC×sin∠ACF＝1‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴S△ACD‎=‎1‎‎2‎×CD×AF=‎1‎‎2‎×2×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴CF＝AC×cos∠ACF＝1‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 第22页（共22页）‎ FD＝CD﹣CF＝2‎-‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎，‎ 在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2‎=(‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+(‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎3，‎ ‎∴AD‎=‎‎3‎．‎ ‎26．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．‎ ‎（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），‎ ‎∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，‎ 将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，‎ ‎∴a＝1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，‎ 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，‎ ‎∴x＝﹣1或x＝3，‎ ‎∴B（3，0），A（﹣1，0），‎ 令x＝0，则y＝﹣3，‎ ‎∴C（0，﹣3），‎ ‎∴AC‎=‎‎10‎，‎ 设点E（0，m），则AE‎=‎m‎2‎‎+1‎，CE＝|m+3|，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵△ACE是等腰三角形，‎ ‎∴①当AC＝AE时，‎10‎‎=‎m‎2‎‎+1‎，‎ ‎∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），‎ ‎∴E（3，0），‎ ‎②当AC＝CE时，‎10‎‎=‎|m+3|，‎ ‎∴m＝﹣3±‎10‎，‎ ‎∴E（0，﹣3‎+‎‎10‎）或（0，﹣3‎-‎‎10‎），‎ ‎③当AE＝CE时，m‎2‎‎+1‎‎=‎|m+3|，‎ ‎∴m‎=-‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴E（0，‎-‎‎4‎‎3‎），‎ 即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3‎+‎‎10‎）、（0，﹣3‎-‎‎10‎）、（0，‎-‎‎4‎‎3‎）；‎ ‎（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），‎ ‎∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，‎ ‎∴点Q的纵坐标为4，‎ 设Q（t，4），‎ 将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，‎ ‎∴t＝1+2‎2‎或t＝1﹣2‎2‎，‎ ‎∴Q（1+2‎2‎，4）或（1﹣2‎2‎，4），‎ 分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，‎ ‎∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），‎ ‎∴FB＝PG＝3﹣1＝2，‎ ‎∴点P的横坐标为（1+2‎2‎）﹣2＝﹣1+2‎2‎或（1﹣2‎2‎）﹣2＝﹣1﹣2‎2‎，‎ 即P（﹣1+2‎2‎，0）、Q（1+2‎2‎，4）或P（﹣1﹣2‎2‎，0）、Q（1﹣2‎2‎，4）．‎ 第22页（共22页）‎ 第22页（共22页）‎