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- 2021-05-10 发布
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2019年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1.(4分)﹣的倒数是( )
A.﹣2 B. C.2 D.1
2.(4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.(4分)据国家统计局统计,我国2018年国民生产总值(GDP)为900300亿元.用科学记数法表示900300亿是( )
A.9.003×1012 B.90.03×1012
C.0.9003×1014 D.9.003×1013
4.(4分)下列运算正确的是( )
A.(﹣2a)2=﹣4a2 B.(a+b)2=a2+b2
C.(a5)2=a7 D.(﹣a+2)(﹣a﹣2)=a2﹣4
5.(4分)若函数y=与y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=kx+b的大致图象为( )
A. B.
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C. D.
6.(4分)不等式组的所有非负整数解的和是( )
A.10 B.7 C.6 D.0
7.(4分)下列命题是真命题的是( )
A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
8.(4分)《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四足五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长多少尺,现设绳长x尺,木长y尺,则可列二元一次方程组为( )
A. B.
C. D.
9.(4分)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是( )
A.130° B.140° C.150° D.160°
10.(4分)甲、乙是两个不透明的纸箱,甲中有三张标有数字,,1的卡片,乙中有三张标有数字1,2,3的卡片,卡片除所标数字外无其他差别,现制定一个游戏规则:从甲中任取一张卡片,将其数字记为a,从乙中任取一张卡片,将其数字记为b.若a,b能使关于x的一元二次方程ax2+bx
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+1=0有两个不相等的实数根,则甲获胜;否则乙获胜.则乙获胜的概率为( )
A. B. C. D.
11.(4分)在下列函数图象上任取不同两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),一定能使<0成立的是( )
A.y=3x﹣1(x<0) B.y=﹣x2+2x﹣1(x>0)
C.y=﹣(x>0) D.y=x2﹣4x﹣1(x<0)
12.(4分)如图,正方形ABCD,点F在边AB上,且AF:FB=1:2,CE⊥DF,垂足为M,且交AD于点E,AC与DF交于点N,延长CB至G,使BG=BC,连接CM.有如下结论:①DE=AF;②AN=AB;③∠ADF=∠GMF;④S△ANF:S四边形CNFB=1:8.上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③ C.①②③ D.②③④
二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.
13.(4分)|x﹣3|=3﹣x,则x的取值范围是 .
14.(4分)方程﹣=1的解为 .
15.(4分)如图,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为 米.(sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
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16.(4分)已知:[x]表示不超过x的最大整数.例:[4.8]=4,[﹣0.8]=﹣1.现定义:{x}=x﹣[x],例:{1.5}=1.5﹣[1.5]=0.5,则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}= .
17.(4分)如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,=,CE=1,AB=6,则弦AF的长度为 .
18.(4分)如图,点A1、A3、A5…在反比例函数y=(x>0)的图象上,点A2、A4、A6……在反比例函数y=(x>0)的图象上,∠OA1A2=∠A1A2A3=∠A2A3A4=…=∠α=60°,且OA1=2,则An(n为正整数)的纵坐标为 .(用含n的式子表示)
三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(8分)先化简,再求值:(﹣)÷(﹣)•(++2),其中+(n﹣3)2=0.
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20.(10分)《中学生体质健康标准》规定的等级标准为:90分及以上为优秀,80~89分为良好,60~79分为及格,59分及以下为不及格.某校为了解七、八年级学生的体质健康情况,现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测,并对成绩进行分析.成绩如下:
七年级
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八年级
74
61
83
91
60
85
46
84
74
82
(1)根据上述数据,补充完成下列表格.
整理数据:
优秀
良好
及格
不及格
七年级
2
3
5
0
八年级
1
4
1
分析数据:
年级
平均数
众数
中位数
七年级
76
74
77
八年级
74
(2)该校目前七年级有200人,八年级有300人,试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人?
(3)结合上述数据信息,你认为哪个年级学生的体质健康情况更好,并说明理由.
21.(10分)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率;
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
22.(12分)如图,∠BPD=120°,点A、C分别在射线PB、PD上,∠PAC=30°,AC=2.
(1)用尺规在图中作一段劣弧,使得它在A、C两点分别与射线PB和PD
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相切.要求:写出作法,并保留作图痕迹;
(2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明;
(3)求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积.
23.(12分)下表中给出A,B,C三种手机通话的收费方式.
收费方式
月通话费/元
包时通话时间/h
超时费/(元/min)
A
30
25
0.1
B
50
50
0.1
C
100
不限时
(1)设月通话时间为x小时,则方案A,B,C的收费金额y1,y2,y3都是x的函数,请分别求出这三个函数解析式.
(2)填空:
若选择方式A最省钱,则月通话时间x的取值范围为 ;
若选择方式B最省钱,则月通话时间x的取值范围为 ;
若选择方式C最省钱,则月通话时间x的取值范围为 ;
(3)小王、小张今年5月份通话费均为80元,但小王比小张通话时间长,求小王该月的通话时间.
24.(12分)(1)如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程)
(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图2,求HD:GC:EB;
(3)把图2中的菱形都换成矩形,如图3,且AD:AB=AH:AE=1:2,此时HD:GC:EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.
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25.(14分)如图,抛物线y=mx2﹣mx﹣4与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且x2﹣x1=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当a≤x1≤a+2,x2≥时,均有y1≤y2,求a的取值范围;
(3)抛物线上一点D(1,﹣5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上,当∠BDC=∠MCE时,求点M的坐标.
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2019年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1.(4分)﹣的倒数是( )
A.﹣2 B. C.2 D.1
【分析】根据倒数的定义求解即可.
【解答】解:﹣的到数是﹣2,
故选:A.
【点评】本题考查了倒数,分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.
2.(4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形,再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误,
B、是中心对称图形但不是轴对称图形,故本选项正确,
C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误,
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项错误.
故选:B.
【点评】题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,中心对称图形:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180°,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,难度适中.
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3.(4分)据国家统计局统计,我国2018年国民生产总值(GDP)为900300亿元.用科学记数法表示900300亿是( )
A.9.003×1012 B.90.03×1012
C.0.9003×1014 D.9.003×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将900300亿元用科学记数法表示为:9.003×1013.
故选:D.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(4分)下列运算正确的是( )
A.(﹣2a)2=﹣4a2 B.(a+b)2=a2+b2
C.(a5)2=a7 D.(﹣a+2)(﹣a﹣2)=a2﹣4
【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算,再选择.
【解答】解:(﹣2a)2=4a2,故选项A不合题意;
(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项B不合题意;
(a5)2=a10,故选项C不合题意;
(﹣a+2)(﹣a﹣2)=a2﹣4,故选项D符合题意.
故选:D.
【点评】此题考查整式的运算,掌握各运算法则是关键,还要注意符号的处理.
5.(4分)若函数y=与y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=kx+b的大致图象为( )
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A. B.
C. D.
【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号,然后根据一次函数的性质确定答案即可.
【解答】解:根据反比例函数的图象位于二、四象限知k<0,
根据二次函数的图象确知a>0,b<0,
∴函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限,
故选:C.
【点评】本题考查了函数的图象的知识,解题的关键是了解三种函数的图象的性质,难度不大.
6.(4分)不等式组的所有非负整数解的和是( )
A.10 B.7 C.6 D.0
【分析】分别求出每一个不等式的解集,即可确定不等式组的解集,继而可得知不等式组的非负整数解.
【解答】解:,
解不等式①得:x>﹣2.5,
解不等式②得:x≤4,
∴不等式组的解集为:﹣2.5<x≤4,
∴不等式组的所有非负整数解是:0,1,2,3,4,
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10,
故选:A.
【点评】
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本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能,准确求出每个不等式的解集是解题的根本,确定不等式组得解集及其非负整数解是关键.
7.(4分)下列命题是真命题的是( )
A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
【分析】A、根据全等三角形的判定方法,判断即可.
B、根据垂径定理的推理对B进行判断;
C、根据平行四边形的判定进行判断;
D、根据平行线的判定进行判断.
【解答】解:A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等,故A错误,是假命题;
B、平分弦(非直径)的直径垂直于弦,故B错误,是假命题;
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形,故C正确,是真命题;
D、两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,故D错误,是假命题;
故选:C.
【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
8.(4分)《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四足五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长多少尺,现设绳长x尺,木长y尺,则可列二元一次方程组为( )
A. B.
C. D.
【分析】本题的等量关系是:绳长﹣木长=4.5;木长﹣绳长=1,据此可列方程组求解.
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【解答】解:设绳长x尺,长木为y尺,
依题意得,
故选:B.
【点评】此题考查二元一次方程组问题,关键是弄清题意,找准等量关系,列对方程组,求准解.
9.(4分)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是( )
A.130° B.140° C.150° D.160°
【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆,利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数.
【解答】解:由题意得到OA=OB=OC=OD,作出圆O,如图所示,
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ABC=40°,
∴∠ADC=140°,
故选:B.
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质,熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键.
10.(4分)甲、乙是两个不透明的纸箱,甲中有三张标有数字,,1的卡片,乙中有三张标有数字1,2,3的卡片,卡片除所标数字外无其他差别,现制定一个游戏规则:从甲中任取一张卡片,将其数字记为a,从乙中任取一张卡片,将其数字记为b.若a,b
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能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根,则甲获胜;否则乙获胜.则乙获胜的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果,利用一元二次方程根的判别式,即可判定各种情况下根的情况,然后利用概率公式求解即可求得乙获胜的概率
【解答】解:(1)画树状图如下:
由图可知,共有9种等可能的结果,其中能使乙获胜的有4种结果数,
∴乙获胜的概率为,
故选:C.
【点评】本题考查的是用树状图法求概率,树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.
11.(4分)在下列函数图象上任取不同两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),一定能使<0成立的是( )
A.y=3x﹣1(x<0) B.y=﹣x2+2x﹣1(x>0)
C.y=﹣(x>0) D.y=x2﹣4x﹣1(x<0)
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可.
【解答】解:A、∵k=3>0
∴y随x的增大而增大,即当x1>x2时,必有y1>y2
∴当x<0时,>0,
故A选项不符合;
B、∵对称轴为直线x=1,
∴当0<x<1时y随x的增大而增大,当x>1时y随x的增大而减小,
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∴当0<x<1时:当x1>x2时,必有y1>y2
此时>0,
故B选项不符合;
C、当x>0时,y随x的增大而增大,
即当x1>x2时,必有y1>y2
此时>0,
故C选项不符合;
D、∵对称轴为直线x=2,
∴当x<0时y随x的增大而减小,
即当x1>x2时,必有y1<y2
此时<0,
故D选项符合;
故选:D.
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质,需要结合图象去一一分析,有点难度.
12.(4分)如图,正方形ABCD,点F在边AB上,且AF:FB=1:2,CE⊥DF,垂足为M,且交AD于点E,AC与DF交于点N,延长CB至G,使BG=BC,连接CM.有如下结论:①DE=AF;②AN=AB;③∠ADF=∠GMF;④S△ANF:S四边形CNFB=1:8.上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③ C.①②③ D.②③④
【分析】①正确.证明△ADF≌△DCE(ASA),即可判断.
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②正确.利用平行线分线段成比例定理,等腰直角三角形的性质解决问题即可.
③正确.作GH⊥CE于H,设AF=DE=a,BF=2a,则AB=CD=BC=3a,EC=a,通过计算证明MH=CH即可解决问题.
④错误.设△ANF的面积为m,由AF∥CD,推出==,△AFN∽△CDN,推出△ADN的面积为3m,△DCN的面积为9m,推出△ADC的面积=△ABC的面积=12m,由此即可判断.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=CD=BC,∠CDE=∠DAF=90°,
∵CE⊥DF,
∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°,
∴∠ADF=∠DCE,
在△ADF与△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(ASA),
∴DE=AF;故①正确;
∵AB∥CD,
∴=,
∵AF:FB=1:2,
∴AF:AB=AF:CD=1:3,
∴=,
∴=,
∵AC=AB,
∴=,
∴AN=AB;故②正确;
作GH⊥CE于H,设AF=DE=a,BF=2a,则AB=CD=BC=3a,EC=a,
由△CMD∽△CDE,可得CM=a,
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由△GHC∽△CDE,可得CH=a,
∴CH=MH=CM,
∵GH⊥CM,
∴GM=GC,
∴∠GMH=∠GCH,
∵∠FMG+∠GMH=90°,∠DCE+∠GCM=90°,
∴∠FEG=∠DCE,
∵∠ADF=∠DCE,
∴∠ADF=∠GMF;故③正确,
设△ANF的面积为m,
∵AF∥CD,
∴==,△AFN∽△CDN,
∴△ADN的面积为3m,△DCN的面积为9m,
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m,
∴S△ANF:S四边形CNFB=1:11,故④错误,
故选:C.
【点评】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会利用参数解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.
13.(4分)|x﹣3|=3﹣x,则x的取值范围是 x≤3 .
【分析】根据绝对值的意义,绝对值表示距离,所以3﹣x≥0,即可求解;
【解答】解:3﹣x≥0,
第33页(共33页)
∴x≤3;
故答案为x≤3;
【点评】本题考查绝对值的意义;理解绝对值的意义是解题的关键.
14.(4分)方程﹣=1的解为 x=﹣4 .
【分析】根据分式方程的解法,先将式子通分化简为=1,最后验证根的情况,进而求解;
【解答】解:﹣=1,
=1,
=1,
=1,
x+1=﹣3,
x=﹣4,
经检验x=﹣4是原方程的根;
故答案为x=﹣4;
【点评】本题考查分式方程的解法;熟练掌握分式方程的解法,勿遗漏验根环节是解题的关键.
15.(4分)如图,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为 1.02 米.(sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO,CO的长,进而得出答案.
【解答】解:由题意可得:
∵∠ABO=70°,AB=6m,
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∴sin70°==≈0.94,
解得:AO=5.64(m),
∵∠CDO=50°,DC=6m,
∴sin50°=≈0.77,
解得:CO=4.62(m),
则AC=5.64﹣4.62=1.02(m),
答:AC的长度约为1.02米.
故答案为:1.02.
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确得出AO,CO的长是解题关键.
16.(4分)已知:[x]表示不超过x的最大整数.例:[4.8]=4,[﹣0.8]=﹣1.现定义:{x}=x﹣[x],例:{1.5}=1.5﹣[1.5]=0.5,则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}= 1.1 .
【分析】根据题意列出代数式解答即可.
【解答】解;根据题意可得原式=(3.9﹣3)+[(﹣1.8)﹣(﹣2)]﹣(1﹣1)=0.9+0.2=1.1;
故答案为:1.1
【点评】此题考查解一元一次不等式,关键是根据题意列出代数式解答.
17.(4分)如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,=,CE=1,AB=6,则弦AF的长度为 .
【分析】连接OA、OB,OB交AF于G,如图,利用垂径定理得到AE=BE=3,设⊙O的半径为r,则OE=r﹣1,OA=r,根据勾股定理得到32+(r﹣1)2=r2,解得r=5,再利用垂径定理得到OB⊥AF,AG=FG,则AG2+OG2=52,AG2+(5﹣OG)2=62,然后解方程组求出AG,从而得到AF的长.
【解答】解:连接OA、OB,OB交AF于G,如图,
∵AB⊥CD,
第33页(共33页)
∴AE=BE=AB=3,
设⊙O的半径为r,则OE=r﹣1,OA=r,
在Rt△OAE中,32+(r﹣1)2=r2,解得r=5,
∵=,
∴OB⊥AF,AG=FG,
在Rt△OAG中,AG2+OG2=52,①
在Rt△ABG中,AG2+(5﹣OG)2=62,②
解由①②组成的方程组得到AG=,
∴AF=2AG=.
故答案为.
【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理.
18.(4分)如图,点A1、A3、A5…在反比例函数y=(x>0)的图象上,点A2、A4、A6……在反比例函数y=(x>0)的图象上,∠OA1A2=∠A1A2A3=∠A2A3A4=…=∠α=60°,且OA1=2,则An(n为正整数)的纵坐标为 (﹣1)n+1() .(用含n的式子表示)
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【分析】先证明△OA1E是等边三角形,求出A1的坐标,作高线A1D1,再证明△A2EF是等边三角形,作高线A2D2,设A2(x,﹣),根据OD2=2+=x,解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标,同理依次得出结论,并总结规律:发现点A1、A3、A5…在x轴的上方,纵坐标为正数,点A2、A4、A6……在x轴的下方,纵坐标为负数,可以利用(﹣1)n+1来解决这个问题.
【解答】解:过A1作A1D1⊥x轴于D1,
∵OA1=2,∠OA1A2=∠α=60°,
∴△OA1E是等边三角形,
∴A1(1,),
∴k=,
∴y=和y=﹣,
过A2作A2D2⊥x轴于D2,
∵∠A2EF=∠A1A2A3=60°,
∴△A2EF是等边三角形,
设A2(x,﹣),则A2D2=,
Rt△EA2D2中,∠EA2D2=30°,
∴ED2=,
∵OD2=2+=x,
解得:x1=1﹣(舍),x2=1+,
∴EF====2(﹣1)=2﹣2,
第33页(共33页)
A2D2===,
即A2的纵坐标为﹣;
过A3作A3D3⊥x轴于D3,
同理得:△A3FG是等边三角形,
设A3(x,),则A3D3=,
Rt△FA3D3中,∠FA3D3=30°,
∴FD3=,
∵OD3=2+2﹣2+=x,
解得:x1=(舍),x2=+;
∴GF===2(﹣)=2﹣2,
A3D3===(﹣),
即A3的纵坐标为(﹣);
…
∴An(n为正整数)的纵坐标为:(﹣1)n+1();
故答案为:(﹣1)n+1();
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式,等边三角形的性质和判定,直角三角形30度角的性质,勾股定理,反比例函数图象上点的坐标特征,并与方程相结合解决问题.
三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(8分)先化简,再求值:(﹣)÷(﹣)•(++2),其中
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+(n﹣3)2=0.
【分析】先通分,再利用因式分解,把可以分解的分解,然后统一化成乘法运算,约分化简,再将所给等式化简,得出m和n的值,最后代回化简后的分式即可.
【解答】解:(﹣)÷(﹣)•(++2)
=֥
=••
=﹣.
∵+(n﹣3)2=0.
∴m+1=0,n﹣3=0,
∴m=﹣1,n=3.
∴﹣=﹣=.
∴原式的值为.
【点评】本题是分式化简求值题,需要熟练掌握通分和因式分解及分式乘除法运算.
20.(10分)《中学生体质健康标准》规定的等级标准为:90分及以上为优秀,80~89分为良好,60~79分为及格,59分及以下为不及格.某校为了解七、八年级学生的体质健康情况,现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测,并对成绩进行分析.成绩如下:
七年级
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八年级
74
61
83
91
60
85
46
84
74
82
(1)根据上述数据,补充完成下列表格.
整理数据:
优秀
良好
及格
不及格
七年级
2
3
5
0
八年级
1
4
74
1
分析数据:
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年级
平均数
众数
中位数
七年级
76
74
77
八年级
78
74
(2)该校目前七年级有200人,八年级有300人,试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人?
(3)结合上述数据信息,你认为哪个年级学生的体质健康情况更好,并说明理由.
【分析】(1)根据平均数和中位数的概念解答即可;
(2)根据样本估计总体解答即可;
(3)根据数据调查信息解答即可.
【解答】解:(1)八年级及格的人数是4,平均数=,中位数=;
故答案为:4;74;78;
(2)计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200×人;
(3)根据以上数据可得:七年级学生的体质健康情况更好.
【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数的运用,掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键.
21.(10分)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率;
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
【分析】(1)先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次,再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608,列方程求解;
(2)根据(1)所计算出的月平均增长率,计算出第四个月的进馆人次,再与500比较大小即可.
【解答】解:(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则由题意得:
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128+128(1+x)+128(1+x)2=608
化简得:4x2+12x﹣7=0
∴(2x﹣1)(2x+7)=0,
∴x=0.5=50%或x=﹣3.5(舍)
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)∵进馆人次的月平均增长率为50%,
∴第四个月的进馆人次为:128(1+50%)3=128×=432<500
答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
【点评】本题属于一元二次方程的应用题,列出方程是解题的关键.本题难度适中,属于中档题.
22.(12分)如图,∠BPD=120°,点A、C分别在射线PB、PD上,∠PAC=30°,AC=2.
(1)用尺规在图中作一段劣弧,使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切.要求:写出作法,并保留作图痕迹;
(2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明;
(3)求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积.
【分析】(1)过A、C分别作PB、PD的垂线,它们相交于O,然后以OA为半径作⊙O即可;
(2)写出已知、求证,然后进行证明;连接OP,先证明Rt△PAO≌Rt△PCO,然后根据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线;
(3)先证明△OAC为等边三角形得到OA=AC=2,∠AOC=60°,再计算出AP=2,然后根据扇形的面积公式,利用劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积进行计算.
【解答】解:(1)如图,
(2)已知:如图,∠BPD=120°,点A、C分别在射线PB、PD上,∠PAC=30°,AC
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=2,过A、C分别作PB、PD的垂线,它们相交于O,以OA为半径作⊙O,OA⊥PB,
求证:PB、PC为⊙O的切线;
证明:∵∠BPD=120°,PAC=30°,
∴∠PCA=30°,
∴PA=PC,
连接OP,
∵OA⊥PA,PC⊥OC,
∴∠PAO=∠PCO=90°,
∵OP=OP,
∴Rt△PAO≌Rt△PCO(HL)
∴OA=OC,
∴PB、PC为⊙O的切线;
(3)∵∠OAP=∠OCP=90°﹣30°=60°,
∴△OAC为等边三角形,
∴OA=AC=2,∠AOC=60°,
∵OP平分∠APC,
∴∠APO=60°,
∴AP=×2=2,∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积=S四边形APCO﹣S扇形AOC=2××2×2﹣=4﹣2π.
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【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了圆周角定理和扇形面积公式.
23.(12分)下表中给出A,B,C三种手机通话的收费方式.
收费方式
月通话费/元
包时通话时间/h
超时费/(元/min)
A
30
25
0.1
B
50
50
0.1
C
100
不限时
(1)设月通话时间为x小时,则方案A,B,C的收费金额y1,y2,y3都是x的函数,请分别求出这三个函数解析式.
(2)填空:
若选择方式A最省钱,则月通话时间x的取值范围为 0≤x≤ ;
若选择方式B最省钱,则月通话时间x的取值范围为 ≤x≤ ;
若选择方式C最省钱,则月通话时间x的取值范围为 x> ;
(3)小王、小张今年5月份通话费均为80元,但小王比小张通话时间长,求小王该月的通话时间.
【分析】(1)根据题意可以分别写出y1、y2、y3关于x的函数关系式,并写出相应的自变量的取值范围;
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(2)根据题意作出图象,结合图象即可作答;
(3)结合图象可得:小张选择的是方式A,小王选择的是方式B,将y=81代入y2关于x的函数关系式,解方程即可得出小王该月的通话时间.
【解答】解:(1)∵0.1元/min=6元/h,
∴由题意可得,
y1=,
y2=,
y3=100(x≥0);
(2)作出函数图象如图:
结合图象可得:
若选择方式A最省钱,则月通话时间x的取值范围为:0≤x<,
若选择方式B最省钱,则月通话时间x的取值范围为:<x<,
若选择方式C最省钱,则月通话时间x的取值范围为:x>.
故答案为:0≤x<,<x<,x>.
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(3)∵小王、小张今年5月份通话费均为80元,但小王比小张通话时间长,
∴结合图象可得:小张选择的是方式A,小王选择的是方式B,
将y=80分别代入y2=,可得
6x﹣250=80,
解得:x=55,
∴小王该月的通话时间为55小时.
【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
24.(12分)(1)如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程)
(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图2,求HD:GC:EB;
(3)把图2中的菱形都换成矩形,如图3,且AD:AB=AH:AE=1:2,此时HD:GC:EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.
【分析】(1)连接AG,由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,易得A,G,C共线,延长HG交BC于点M,延长EG交DC于点N,连接MN,交GC于点O,则GMCN也为菱形,利用菱形对角线互相垂直,结合三角函数可得结论;
(2)连接AG,AC,由△ADC和△AHG都是等腰三角形,易证△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE,利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论;
(3)连接AG,AC,易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE,利用相似三角形的性质可得结论.
【解答】解:(1)连接AG,
∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,
∴∠GAE=∠CAB=30°,AE=AH,AB=AD,
∴A,G,C共线,AB﹣AE=AD﹣AH,
第33页(共33页)
∴HD=EB,
延长HG交BC于点M,延长EG交DC于点N,连接MN,交GC于点O,则GMCN也为菱形,
∴GC⊥MN,∠NGO=∠AGE=30°,
∴=cos30°=,
∵GC=2OG,
∴=,
∵HGND为平行四边形,
∴HD=GN,
∴HD:GC:EB=1::1.
(2)如图2,连接AG,AC,
∵△ADC和△AHG都是等腰三角形,
∴AD:AC=AH:AG=1:,∠DAC=∠HAG=30°,
∴∠DAH=∠CAG,
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:GC=AD:AC=1:,
∵∠DAB=∠HAE=60°,
∴∠DAH=∠BAE,
在△DAH和△BAE中,
∴△DAH≌△BAE(SAS)
∴HD=EB,
∴HD:GC:EB=1::1.
第33页(共33页)
(3)有变化.
如图3,连接AG,AC,
∵AD:AB=AH:AE=1:2,∠ADC=∠AHG=90°,
∴△ADC∽△AHG,
∴AD:AC=AH:AG=1:,
∵∠DAC=∠HAG,
∴∠DAH=∠CAG,
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:GC=AD:AC=1:,
∵∠DAB=∠HAE=90°,
∴∠DAH=∠BAE,
∵DA:AB=HA:AE=1:2,
∴△ADH∽△ABE,
∴DH:BE=AD:AB=1:2,
∴HD:GC:EB=1::2
【点评】本题是菱形与相似三角形,全等三角形,三角函数等知识点的综合运用,难度较大.
25.(14分)如图,抛物线y=mx2﹣mx﹣4与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且x2﹣x1=.
(1)求抛物线的解析式;
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(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当a≤x1≤a+2,x2≥时,均有y1≤y2,求a的取值范围;
(3)抛物线上一点D(1,﹣5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上,当∠BDC=∠MCE时,求点M的坐标.
【分析】(1)函数的对称轴为:x=﹣==,而且x2﹣x1=,将上述两式联立并解得:x1=﹣,x2=4,即可求解;
(2)由(1)知,函数的对称轴为:x=,则x=和x=﹣2关于对称轴对称,故其函数值相等,即可求解;
(3)确定△BOC、△CDG均为等腰直角三角形,即可求解.
【解答】解:(1)函数的对称轴为:x=﹣==,而且x2﹣x1=,
将上述两式联立并解得:x1=﹣,x2=4,
则函数的表达式为:y=a(x+)(x﹣4)=a(x2﹣4x+x﹣6),
即:﹣6a=﹣4,解得:a=,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣4;
(2)由(1)知,函数的对称轴为:x=,
则x=和x=﹣2关于对称轴对称,故其函数值相等,
又a≤x1≤a+2,x2≥时,均有y1≤y2,
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结合函数图象可得:,解得:﹣2≤a≤;
(3)如图,连接BC、CM,过点D作DG⊥OE于点G,
而点B、C、D的坐标分别为:(4,0)、(0,﹣4)、(1,﹣5),
则OB=OC=4,CG=GC=1,BC=4,CD=,
故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形,
∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠GCD=90°,
在Rt△BCD中,tan∠BDC==4,
∠BDC=∠MCE,
则tan∠MCE=4,
将点B、D坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:
直线BD的表达式为:y=x﹣,故点E(0,﹣),
设点M(n,n﹣),过点M作MF⊥CE于点F,
则MF=n,CF=OF﹣OC=﹣,
tan∠MCE===4,
解得:n=,
故点M(,﹣).
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等,其中(3),确定△BOC、△CDG均为等腰直角三角形,是本题解题的关键.
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