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- 2021-05-10 发布
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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)
专题21:二次函数的图象和性质
今升数学工作室 编辑
一、选择题
1. (2012重庆市4分)已知二次函数的图象如图所示对称轴为。下列结论中,正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】A、∵二次函数的图象开口向上,∴>0。
∵二次函数的图象与轴交于负半轴,∴<0。
∵二次函数的图象对称轴在轴左侧,∴﹣<0。∴>0。∴。故本选项错误。
B、∵二次函数的图象对称轴:,∴,。故本选项错误。
C、从图象可知,当时,。故本选项错误。
D、∵二次函数的图象对称轴为,与轴的一个交点的取值范围为1>1,
∴二次函数的图象与轴的另一个交点的取值范围为2<﹣2。
∴当时,,即。故本选项正确。
故选D。
2. (2012浙江衢州3分)已知二次函数y=﹣x2﹣7x+,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是【 】
A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y2>y3>y1 D.y2<y3<y1
【答案】A。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征。
【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系,判断y1、y2、y3的大小关系:
∵二次函数,∴此函数的对称轴为:。
∵<0<x1<x2<x3,三点都在对称轴右侧,a<0,
∴对称轴右侧y随x的增大而减小。∴y1>y2>y3。故选A。
3. (2012浙江义乌3分)如图,已知抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:
①当x>0时,y1>y2; ②当x<0时,x值越大,M值越小;
③使得M大于2的x值不存在; ④使得M=1的x值是或.
其中正确的是【 】
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
【答案】D。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】①∵当x>0时,利用函数图象可以得出y2>y1。∴此判断错误。
②∵抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2,
若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M。
∴当x<0时,根据函数图象可以得出x值越大,M值越大。∴此判断错误。
③∵抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,与y轴交点坐标为:(0,2),
当x=0时,M=2,抛物线y1=﹣2x2+2,最大值为2,故M大于2的x值不存在;∴此判断正确。
④ ∵使得M=1时,
若y1=﹣2x2+2=1,解得:x1=,x2=﹣;
若y2=2x+2=1,解得:x=﹣。
由图象可得出:当x=>0,此时对应y1=M。
∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为:(1,0),(﹣1,0),
∴当﹣1<x<0,此时对应y2=M,
∴M=1时,x=或x=﹣。∴此判断正确。
因此正确的有:③④。故选D。
4. (2012江苏常州2分)已知二次函数,当自变量x分别取,3,0时,对应的值分别为,则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】 B。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】由二次函数知,
它的图象开口向上,对称轴为x=2,如图所示。
根据二次函数的对称性,x=3和x=1时,y值相等。
由于二次函数在对称轴x=2左侧,y随x的增大而减小,而0<1<,因此,。故选B。
5. (2012江苏镇江3分)关于x的二次函数,其图象的对称轴在y轴的右侧,则实数m的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】二次函数的性质。
【分析】∵,
∴它的对称轴为。
又∵对称轴在y轴的右侧,
∴。故选D。
5. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有【 】
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】A。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】根据图象可得:a>0,c>0,对称轴:。
①∵它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0),∴对称轴是x=1,
∴。∴b+2a=0。故命题①错误。
②∵a>0,,∴b<0。
又c>0,∴abc<0。故命题②正确。
③∵b+2a=0,∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c。
∵a﹣b+c=0,∴4a﹣4b+4c=0。∴﹣4b+4c=﹣4a。
∵a>0,∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a<0。故命题③正确。
④根据图示知,当x=4时,y>0,∴16a+4b+c>0。
由①知,b=﹣2a,∴8a+c>0。故命题④正确。
∴正确的命题为:①②③三个。故选A。
6. (2012湖北宜昌3分)已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
【答案】D。
【考点】抛物线与x轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系,二次函数的性质。1419956
【分析】∵抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点,∴△=4﹣4a<0,解得:a>1。
∴抛物线的开口向上。
又∵b=﹣2,∴抛物线的对称轴在y轴的右侧。
∴抛物线的顶点在第一象限。故选D。
7. (2012湖南郴州3分)抛物线的顶点坐标是【 】
A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(1,2)
【答案】D。
【考点】二次函数的性质。
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标:
∵顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),
∴抛物线的顶点坐标是(1,2)。故选D。
8. (2012湖南衡阳3分)如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:
①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0
其中正确的个数为【 】
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由x=1时的函数值判断a+b+c>0,然后根据对称轴推出2a+b与0的关系,根据图象判断﹣1<x<3时,y的符号:
①∵图象开口向下,∴a<0。说法错误。
②∵对称轴为x=,∴,即2a+b=0。说法正确。
③当x=1时,y>0,则a+b+c>0。说法正确。
④由图可知,当﹣1<x<3时,y>0。说法正确。
∴说法正确的有3个。故选C。
9. (2012湖南株洲3分)如图,已知抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是x=﹣1,则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
A.(﹣3,0) B.(﹣2,0) C.x=﹣3 D.x=﹣2
【答案】A。
【考点】抛物线与x轴的交点,二次函数的对称性。
【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B(b,0),
∵抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是x=﹣1,
∴=﹣1,解得b=﹣3。∴B(﹣3,0)。故选A。
10. (2012四川乐山3分)二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(﹣1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是【 】
A.0<t<1 B.0<t<2 C.1<t<2 D.﹣1<t<1
【答案】B。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限,且经过点(﹣1,0),
∴a﹣b+1=0,a<0,b>0,
∵由a=b﹣1<0得b<1,∴0<b<1①,
∵由b=a+1>0得a>﹣1,∴﹣1<a<0②。
∴由①②得:﹣1<a+b<1。∴0<a+b+1<2,即0<t<2。故选B。
11. (2012四川广元3分) 若二次函数(a,b为常数)的图象如图,则a的值为
【 】
A. 1 B. C. D. -2
【答案】C。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】由图可知,函数图象开口向下,∴a<0,
又∵函数图象经过坐标原点(0,0),∴a2-2=0,解得a1= (舍去),a2=-。故选C。
12. (2012四川德阳3分)设二次函数,当时,总有,当时,总有,
那么c的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】二次函数的性质。
【分析】∵当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,
∴当x=1时,y=0,即1+b+c=0①。
∵当1≤x≤3时,总有y≤0,
∴当x=3时,y=9+3b+c≤0②。
①②联立解得:c≥3。故选B。
13. (2012四川巴中3分) 对于二次函数,下列说法正确的是【 】
A. 图象的开口向下 B. 当x>1时,y随x的增大而减小
C. 当x<1时,y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=-1
【答案】C。
【考点】二次函数的性质。
【分析】把二次函数化为顶点式的形式,根据二次函数的性质进行解答:
二次函数,
A、∵此二次函数中a=2>0,∴抛物线开口向上,故本选项错误;
B、∵由二次函数的解析式可知,此抛物线开口向上,对称轴为x=1,∴当x>1时,y随x的增
大而增大,故本选项错误;
C、∵由二次函数的解析式可知,此抛物线开口向上,对称轴为x=1,∴当x<1时,y随x的增
大而减小,故本选项正确;
D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1,故本选项错误。
故选C。
14. (2012辽宁鞍山3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点B坐标(﹣1,0),下面的四个结论:①OA=3;②a+b+c<0;③ac>0;④b2﹣4ac>0.其中正确的结论是【 】
A.①④ B.①③ C.②④ D.①②
15. (2012山东滨州3分)抛物线 与坐标轴的交点个数是【 】
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】A。
【考点】抛物线与轴的交点,解一元一次、二次方程。
【分析】∵抛物线解析式,
令,解得:,∴抛物线与轴的交点为(0,4),
令,得到,
∴抛物线与轴的交点分别为(,0),(1,0)。
综上,抛物线与坐标轴的交点个数为3。故选A。
16. (2012山东济南3分)如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】
A.y的最大值小于0 B.当x=0时,y的值大于1
C.当x=-1时,y的值大于1 D.当x=-3时,y的值小于0
【答案】D。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接作答:由图象知,
A、点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0;故本选项错误;
B、当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在(1,1)点的左边,
故y<1,故本选项错误;
C、对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,∵-1<1,∴x=-1时,y
的值小于x=1时,y的值1,即当x=-1时,y的值小于1;故本选项错误;
D、当x=-3时,函数图象上的点在点(-2,-1)的左边,所以y的值小于0;故本选项正确。
故选D。
17. (2012山东日照4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:① b2-4ac>0;② 2a+b<0;③ 4a-2b+c=0;④ a︰b︰c= -1︰2︰3.其中正确的是【 】
(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④
【答案】D。
【考点】二次函数图象与系数的关系,一元二次方程根的判别式,二次函数的性质,。
【分析】根据二次函数图象和性质分别作出判断:
∵二次函数图象与x轴有两个交点,∴对应的一元二次方程ax2+bx+c 有两个不相等的实数根。
∴b2-4ac>0。选项①正确。
又∵对称轴为直线x=1,即,∴2a+b=0。选项②错误。
∵由图象知,x=-2对应的函数值为负数,∴当x=-2时,y=4a-2b+c<0。选项③错误。
∵图象知,x=-1对应的函数值为0,∴当x=-1时,y=a+b+c=0。
联立2a+b=0和y=a+b+c=0可得:b=-2a,c=-3a。
∴a:b:c=a:(-2a):(-3a)=-1:2:3。选项④正确。
综上所述,正确的选项有:①④。故选D。
18. (2012山东泰安3分)二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则的最大值为【 】
A. B.3 C. D.9
【答案】B。
【考点】抛物线与轴的交点。
【分析】∵抛物线的开口向上,顶点纵坐标为﹣3,
∴>0,,即。
∵一元二次方程有实数根,
∴△=,即,即,解得。
∴的最大值为3。故选B。
19. (2012山东泰安3分)设A,B,C是抛物线上的三点,则,,的大小关系为【 】
A. B. C. D.
【答案】 A。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征。
【分析】∵函数的解析式是,如右图,
∴对称轴是。
∴点A关于对称轴的点A′是。,
那么点A′、B、C都在对称轴的右边,而对称轴右边随的增大而减小,
∴于是。故选A。
20. (2012山东威海3分)已知二次函数的图象如图所示,下列结论错误的是【 】
A.abc>0 B.3a>2b C.m(am+b)≤a-b D.4a-2b+c<0
【答案】D。
【考点】二次函数的图象和性质,不等式的性质。
【分析】∵二次函数的图象的开口向下,对称轴为x=-1,与y轴的交点在x轴上方,
∴a<0,c>0,且,即b=2a<0。
∴abc>0。结论A正确。
∵3a-2b=3a-4a=-a>0,∴3a>2b。结论B正确。
∵.,
∴m(am+b)≤a-b。结论C正确。
从图象可知,当x=-2时,y>0,即4a-2b+c>0。结论D错误。
故选D。
21. (2012山东烟台3分)已知二次函数y=2(x﹣3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有【 】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A。
【考点】二次函数的性质。
【分析】结合二次函数解析式,根据函数的性质对各小题分析判断解答即可:
①∵2>0,∴图象的开口向上,故本说法错误;
②图象的对称轴为直线x=3,故本说法错误;
③其图象顶点坐标为(3,1),故本说法错误;
④当x<3时,y随x的增大而减小,故本说法正确。
综上所述,说法正确的有④共1个。故选A。
22. (2012山东枣庄3分)抛物线经过点(2,4),则代数式的值为【 】
A.3 B.9 C. D.
【答案】C。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,求代数式的值。
【分析】∵抛物线经过点(2,4),∴,即。
∴。故选C。
23. (2012河北省3分)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC;其中正确结论是【 】
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】D。
【考点】二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,解一元二次方程。
【分析】∵(x-3)2≥0,∴y2=(x-3)2+1>0,即无论x取何值,y2的值总是正数。故结论①正确。
∵ 两抛物线交于点A(1,3),∴3=a(1+2)2-3,解得a=≠1。故结论②错误。
【至此即可判断D正确】
当x=0时,y2-y1=[(0-3)2+1]-[(0+2)2-3]= 。故结论③错误。
解3=(x+2)2-3得x=1或x=-5,∴B(1,-5)。∴AB=6,2AB=12。
解3=(x-3)2+1得x=1或x=5,∴B(1, 5)。∴BC=4,3BC=12。
∴2AB=3AC。故结论④正确。
因此,正确结论是①④。故选D。
24. (2012甘肃白银3分)二次函数的图象如图所示,则函数值时x的取值范围是【 】
A. B.x>3 C.-1<x<3 D.或x>3
【答案】C。
【考点】二次函数的图象
【分析】根据y<0,则函数图象在x轴的下方,所以找出函数图象在x轴下方的x的取值范围即可:
由图象可知,当-1<x<3时,函数图象在x轴的下方,y<0。故选C。
25. (2012甘肃兰州4分)抛物线y=-2x2+1的对称轴是【 】
A.直线 B.直线 C.y轴 D.直线x=2
【答案】C。
【考点】二次函数的性质。
【分析】已知抛物线解析式为顶点式,可直接写出顶点坐标及对称轴:
∵抛物线y=-2x2+1的顶点坐标为(0,1),∴对称轴是直线x=0(y轴)。故选C。
26. (2012甘肃兰州4分)已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值,则a,b的大小关系为【 】
A.a>b B.a<b C.a=b D.不能确定
【答案】D。
【考点】二次函数的最值。
【分析】∵二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值,∴a>0。
∵无论b为何值,此函数均有最小值,∴a、b的大小无法确定。故选D。
27. (2012青海西宁3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,1)、(2,-1).下列关于这个
二次函数的叙述正确的是【 】
A.当x=0时,y的值大于1 B.当x=3时,y的值小于0
C.当x=1时,y的值大于1 D.y的最大值小于0
28. (2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠O)的图象如图所示,现有下列结论:①abc>0 ②b2-4ac<0 ⑤c<4b ④a+b>0,则其中正确结论的个数是【 】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】由抛物线的开口向下,得到a<0,
∵>0,∴b>0。
又∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0。
∴abc<0。结论①错误。
又∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2-4ac>0。结论②错误。
又∵对称轴为直线x=1,∴,即b=-2a。结论④正确。
∵当x=-2时,对应的函数值y<0,
∴4a-2b+c<0,即-2b-2b+c<0,即c<<4b。结论③正确。
∴其中正确的结论有③④。故选B。
29. (2012黑龙江牡丹江3分)抛物线与x轴的交点坐标是(-l,0)和(3,0),则这条抛物线的对称轴是【 】.
A.直线x=-1 8.直线x=0 C.直线x=1 D.直线x= 3
【答案】C。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标是(-l,0)和(3,0),根据二次函数的性质,得这条抛物线的对称轴是x=。故选C。
二、填空题
1. (2012广东深圳3分)二次函数的最小值是 ▲ .[来源:学。科。网]
【答案】5。
【考点】二次函数的性质。
【分析】∵,∴当时,函数有最小值5。
2. (2012江苏苏州3分)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若
x1>x2>1,则y1 ▲ y2.
【答案】>。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质。
【分析】由二次函数y=(x-1)2+1知,其对称轴为x=1。
∵x1>x2>1,∴两点均在对称轴的右侧。
∵此函数图象开口向上,∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大。
∵x1>x2>1,∴y1>y2。
3. (2012江苏无锡2分)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为 ▲ .
【答案】y=﹣x2+4x﹣3。
【考点】待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),∴可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+1。
又∵抛物线y=a(x﹣2)2+1经过点B(1,0),∴(1,0)满足y=a(x﹣2)2+1。
∴将点B(1,0)代入y=a(x﹣2)2得,0=a(1﹣2)2即a=﹣1。
∴抛物线的函数关系式为y=﹣(x﹣2)2+1,即y=﹣x2+4x﹣3。
4. (2012湖北咸宁3分)对于二次函数,有下列说法:
①它的图象与轴有两个公共点;
②如果当≤1时随的增大而减小,则;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则;
④如果当时的函数值与时的函数值相等,则当时的函数值为.
其中正确的说法是 ▲ .(把你认为正确说法的序号都填上)
【答案】①④。
【考点】二次函数的性质,一元二次方程的判别式,平移的性质。
【分析】由得,
∴方程有两不相等的实数根,即二次函数的图象与轴有两个公共点。故说法①正确。
∵的对称轴为,而当≤1时随的增大而减小,
∴。故说法②错误。
∵ ,
∴将它的图象向左平移3个单位后得。
∵经过原点,∴,解得。故说法③错误。
∵由时的函数值与时的函数值相等,得,
解得,
∴当时的函数值为。故说法④正确。
综上所述,正确的说法是①④。
5. (2012湖北孝感3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如
图所示.下列说法正确的是 ▲ (填正确结论的序号).
①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c<0;④当-1<x<3时,y>0.
【答案】①②③。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】由二次函数的图象可得:a>0,b<0,c>0,对称轴x=1,则再结合图象判断正确的选项即可:
由a>0,b<0,c>0得abc<0,故结论①正确。
∵由二次函数的图象可得x=2.5时,y=0,对称轴x=1,∴x=-0.5时,y=0。
∴x=-1时,y<0,即a-b+c<0。故结论②正确。
∵二次函数的图象的对称轴为x=1,即,∴。
代入②a-b+c<0得3a+c<0。故结论③正确。
∵由二次函数的图象和②可得,当-0.5<x<2.5时,y>0;当x<-0.5或 x>2.5时,y<0。
∴当-1<x<3时,y>0不正确。故结论④错误。
综上所述,说法正确的是①②③。
6. (2012辽宁营口3分)二次函数的部分图像如图所示,若关于的一元二次方程
的一个解为,则另一个解= ▲ .
【答案】5。
【考点】二次函数的性质,二次函数与轴的交点和对应的一元二次方程的关系。
【分析】∵二次函数的对称轴为
∴关于的对称点是5。∴的另一个解=5。
7. (2012山东枣庄4分)二次函数的图象如图所示.当y<0时,自变量x的取值范围是
▲ .
【答案】-1<x<3。
【考点】二次函数与不等式(组)
【分析】根据二次函数的性质得出,y<0,即是图象在x轴下方部分,从而得出x的取值范围:
∵二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,
∴图象与x轴交在(-1,0),(3,0),
∴当y<0时,即图象在x轴下方的部分,此时x的取值范围是:-1<x<3。
8. (2012新疆区5分)当x= ▲ 时,二次函数y=x2+2x﹣2有最小值.
【答案】﹣1。
【考点】二次函数的最值。
【分析】用配方法把函数化为顶点式的形式,再根据其解析式即可求解:
∵二次函数y=x2+2x﹣2可化为y=(x+1)2﹣3,
∴当x=﹣1时,二次函数y=x2+2x﹣2有最小值。(或用公式求解)
9. (2012吉林长春3分)如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ▲ .
【答案】18。
【考点】二次函数的性质,等边三角形的性质。
【分析】根据二次函数的性质,抛物线的对称轴为x=3。
∵A是抛物线与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一 点,且AB∥x轴。
∴A,B关于x=3对称。∴AB=6。
又∵△ABC是等边三角形,∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。
10. (2012黑龙江牡丹江3分)若抛物线经过点(-1,10),则= ▲ .
【答案】10。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】由抛物线经过点(-1,10),根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将
(-1,10)代入得,即。
11. (2012黑龙江大庆3分)已知二次函数y=-x-2x+3的图象上有两点A(-7,),B(-8,),则 ▲ .(用>、<、=填空).
【答案】>。
【考点】二次函数的性质和图象上点的坐标特征。119281
【分析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向,再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系:
∵二次函数y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1,开口向下,
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大。
∵点A(﹣7,y1),B(﹣8,y2)是二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上的两点,且﹣7>﹣8,
∴y1>y2。
三、解答题
1. (2012北京市7分)已知二次函数在和时的函数值相等。
(1) 求二次函数的解析式;
(2) 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A,求m和k的值;
(3) 设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间
的部分(含点B和点C)向左平移个单位后得到的图象记为C,同时将(2)中得到的直线
向上平移n个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围。
【答案】解:(1)∵二次函数在和时的函数值相等,∴二次函数图象的对称轴为。
∴,解得。
∴二次函数解析式为。
(2)∵二次函数图象经过A点,
∴,A(-3,-6)。
又∵一次函数的图象经过A点,
∴,解得。
(3)由题意可知,二次函数在点B,C间的部分图象的解析式为
,,
则向左平移后得到的图象C的解析式为,。
此时一次函数的图象平移后的解析式为。
∵平移后的直线与图象C有公共点,∴两个临界的交点为与。
∴当时,,即;
当时,,即。
∴
【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质。
【分析】(1)由二次函数在和时的函数值相等,可知二次函数图象的对称轴为,从而由对称轴公式可求得,从而求得二次函数的解析式。
(2)由二次函数图象经过A点代入可求得,从而由一次函数的图象经过A点,代入可求得。
(3)根据平移的性质,求得平移后的二次函数和一次函数表达式,根据平移后的直线与图象C有公共点,求得公共点的坐标即可。
2. (2012广东佛山8分)(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
①y随x变化的部分数值规律如下表:
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
②有序数对(-1,0),(1,4),(3,0)满足y=ax2+bx+c;
③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图).
(2)直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.
3. (2012广东梅州10分)(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两根为x1、x2;求证:x1+x2=﹣p,x1•x2=q.
(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(﹣1,﹣1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.
【答案】(1)证明:∵a=1,b=p,c=q,p2﹣4q≥0,
∴。
(2)解:把(﹣1,﹣1)代入y=x2+px+q得p﹣q=2,即q=p﹣2。
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)。
∵d=|x1﹣x2|,
∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4。
∴当p=2时,d 2的最小值是4。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,抛物线与x轴的交点,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。
【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可】
(2)把点(﹣1,﹣1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式,应用二次函数的最值原理即可得出结论。
4. (2012浙江杭州8分)当k分别取﹣1,1,2时,函数y=(k﹣1)x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.
【答案】解:∵当开口向下时函数y=(k﹣1)x2﹣4x+5﹣k取最大值
∴k﹣1<0,解得k<1。
∴当k=﹣1时函数y=(k﹣1)x2﹣4x+5﹣k有最大值,当k=1,2时函数没有最大值。
∴当k=﹣1时,函数y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2(x+1)2+8。
∴最大值为8。
【考点】二次函数的最值。
【分析】首先根据函数有最大值得到k的取值范围,然后判断即可。求最大值时将函数解析式化为顶点式或用公式即可。
5. (2012江苏徐州8分)二次函数的图象经过点(4,3),(3,0)。
(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;
(3)在所给坐标系中画出二次函数的图象。
【答案】解:(1)∵二次函数的图象经过点(4,3),(3,0),
∴,解得。
(2)∵该二次函数为。
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),对称轴为x=1。
(3)列表如下:
x
···
0
1
2
3
4
···
y
···
3
0
1
0
3
···
描点作图如下:
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,描点作图。
【分析】(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将(4,3),(3,0)代入得关于b、c的方程组,解之即得。
(2)求出二次函数的顶点式(或用公式法)即可求得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。
(3)描点作图。
6. (2012湖北荆州12分)已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最大值.
【答案】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,
令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.
△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1。
综上所述,k的取值范围是k≤2。
(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1。
由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1(*),
将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2。
又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•,
解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去)。∴所求k值为﹣1。
②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+,且﹣1≤x≤1,
由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=。
∴y的最大值为,最小值为﹣3。
【考点】抛物线与x轴的交点,一次函数的定义,一元二次方程根的判别式和根与系数物关系,二次函数的最值。
【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0。
(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k的值。②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值。
7. (2012山东淄博8分)已知:抛物线.
(1)写出抛物线的对称轴;
(2)完成下表;
x
…
−7
−3
1
3
…
y
…
−9
−1
…
(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象.
【答案】解:(1)抛物线的对称轴为x=-1。
(2)填表如下:
x
…
−7
-5
−3
-1
1
3
5
…
y
…
−9
-4
-1
0
−1
-4
-9
…
(3)描点作图如下:
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】(1)直接根据顶点式写出抛物线的对称轴。
(2)根据抛物线的对称填表。
(3)描点作图。
8. (2012黑龙江牡丹江6分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-4)和(-2,5),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)若与轴的两个交点为A,B,与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D,使得△ABC与△ABD
全等?若存在,求出D点的坐标;若不存在,请说明理由
注:抛物线的对称轴是