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  • 2021-05-10 发布

2010中考数学压轴题特训详解

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中考数学压轴题汇编(1)‎ 开始 y与x的关系式 结束 输入x 输出y ‎1、(安徽)按右图所示的流程,输入一个数据x,根据y与x的关系式就输出一个数据y,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求:‎ ‎(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间;‎ ‎(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大。‎ ‎(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x),请说明:当p=时,这种变换满足上述两个要求;‎ ‎(2)若按关系式y=a(x-h)2+k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式。(不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程)‎ ‎【解】(1)当P=时,y=x+,即y=。‎ ‎∴y随着x的增大而增大,即P=时,满足条件(Ⅱ)……3分 又当x=20时,y==100。而原数据都在20~100之间,所以新数据都在60~100之间,即满足条件(Ⅰ),综上可知,当P=时,这种变换满足要求;……6分 ‎(2)本题是开放性问题,答案不唯一。若所给出的关系式满足:(a)h≤20;(b)若x=20,100时,y的对应值m,n能落在60~100之间,则这样的关系式都符合要求。‎ 如取h=20,y=,……8分 ‎∵a>0,∴当20≤x≤100时,y随着x的增大…10分 令x=20,y=60,得k=60   ①‎ 令x=100,y=100,得a×802+k=100 ②‎ 由①②解得, ∴。………14分 ‎2、(常州)已知与是反比例函数图象上的两个点.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若点,则在反比例函数图象上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由,得,因此. 2分 ‎(2)如图1,作轴,为垂足,则,,,因此.‎ 由于点与点的横坐标相同,因此轴,从而.‎ 当为底时,由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点,‎ 故不符题意. 3分 当为底时,过点作的平行线,交双曲线于点,‎ 过点分别作轴,轴的平行线,交于点.‎ 由于,设,则,,‎ 由点,得点.‎ 因此,‎ 解之得(舍去),因此点.‎ 图2‎ 图1‎ 此时,与的长度不等,故四边形是梯形. 5分 如图2,当为底时,过点作的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为.‎ 由于,因此,从而.作轴,为垂足,‎ 则,设,则,‎ 由点,得点,‎ 因此.‎ 解之得(舍去),因此点.‎ 此时,与的长度不相等,故四边形是梯形. 7分 如图3,当过点作的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为时,‎ 同理可得,点,四边形是梯形. 9分 图3‎ 综上所述,函数图象上存在点,使得以四点为顶点的四边形为梯形,点的坐标为:或或. 10分 ‎3、(福建龙岩)如图,抛物线经过的三个顶点,已知轴,点在轴上,点在轴上,且.‎ ‎(1)求抛物线的对称轴;‎ ‎(2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;‎ ‎(3)探究:若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点坐标;不存在,请说明理由.‎ A C B y x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 解:(1)抛物线的对称轴………2分 ‎(2) …………5分 把点坐标代入中,解得………6分 ‎…………………………………………7分 A x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ Q N M K y ‎(3)存在符合条件的点共有3个.以下分三类情形探索.‎ 设抛物线对称轴与轴交于,与交于.‎ 过点作轴于,易得,,,‎ ① 以为腰且顶角为角的有1个:.‎ ‎ 8分 在中,‎ ‎ 9分 ‎②以为腰且顶角为角的有1个:.‎ 在中, 10分 ‎ 11分 ‎③以为底,顶角为角的有1个,即.‎ 画的垂直平分线交抛物线对称轴于,此时平分线必过等腰的顶点.‎ 过点作垂直轴,垂足为,显然.‎ ‎.‎ ‎ 于是 13分 ‎ 14分 注:第(3)小题中,只写出点的坐标,无任何说明者不得分.‎ ‎4、(福州)如图12,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若双曲线上一点的纵坐标为8,求的面积;‎ 图12‎ ‎(3)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标.‎ 解:(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时, = 2 .‎ ‎∴ 点A的坐标为( 4,2 ). ‎ ‎∵ 点A是直线 与双曲线 (k>0)的交点 ,‎ ‎∴ k = 4 ×2 = 8 . ‎ ‎(2) 解法一:如图12-1,‎ ‎∵ 点C在双曲线上,当 = 8时, = 1‎ ‎∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) . ‎ 过点A、C分别做轴、轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON .‎ S矩形ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4 . ‎ S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = ‎32 - 4 - 9‎ - 4 = 15 . ‎ 解法二:如图12-2,‎ 过点 C、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,‎ ‎∵ 点C在双曲线上,当 = 8时, = 1 .‎ ‎∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ). ‎ ‎∵ 点C、A都在双曲线上 ,‎ ‎∴ S△COE = S△AOF = 4 。 ‎ ‎∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .‎ ‎∴ S△COA = S梯形CEFA . ‎ ‎∵ S梯形CEFA = ×(2+8)×3 = 15 , ‎ ‎∴ S△COA = 15 . ‎ ‎(3)∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,‎ ‎∴ OP=OQ,OA=OB .‎ ‎∴ 四边形APBQ是平行四边形 .‎ ‎∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 . ‎ 设点P的横坐标为( > 0且),‎ 得P ( , ) .‎ 过点P、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,‎ ‎∵ 点P、A在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4 .‎ 若0<<4,如图12-3,‎ ‎∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .‎ ‎∴ .‎ 解得= 2,= - 8(舍去) .‎ ‎∴ P(2,4). ‎ 若 > 4,如图12-4,‎ ‎∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .‎ ‎ ∴,‎ 解得 = 8, = - 2 (舍去) .‎ ‎∴ P(8,1).‎ ‎∴ 点P的坐标是P(2,4)或P(8,1). ‎ ‎5、(甘肃陇南)如图,抛物线交轴于A、B两点,交轴于点C,点P是它的 顶点,点A的横坐标是3,点B的横坐标是1.‎ ‎(1)求、的值;‎ ‎(2)求直线PC的解析式;‎ ‎(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线 PC的位置关系,并说明理由.(参考数:,,)‎ 解: (1)由已知条件可知: 抛物线经过A(-3,0)、B(1,0)两点.‎ ‎∴ ……………………………………2分 解得 . ………………………3分 ‎ (2) ∵, ∴ P(-1,-2),C. …………………4分 设直线PC的解析式是,则 解得. ‎ ‎∴ 直线PC的解析式是. …………………………6分 说明:只要求对,不写最后一步,不扣分.‎ ‎ (3) 如图,过点A作AE⊥PC,垂足为E.‎ 设直线PC与轴交于点D,则点D的坐标为(3,0). ………………………7分 在Rt△OCD中,∵ OC=,,‎ ‎∴ . …………8分 ‎∵ OA=3,,∴AD=6. …………9分 ‎∵ ∠COD=∠AED=90o,∠CDO公用,‎ ‎∴ △COD∽△AED. ……………10分 ‎∴ , 即. ∴ . …………………11分 ‎∵ ,‎ ‎∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离. …………12分 ‎6、(贵阳)如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形.‎ ‎(1)求这个扇形的面积(结果保留).(3分)‎ ‎(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.(4分)‎ ‎(3)当的半径为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(5分)‎ 解:(1)连接,由勾股定理求得:‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎ 1分 ‎ 2分 ‎(2)连接并延长,与弧和交于,‎ ‎ 1分 弧的长: 2分 圆锥的底面直径为: 3分 ‎,不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥. 4分 ‎(3)由勾股定理求得:‎ 弧的长: 1分 圆锥的底面直径为: 2分 且 ‎ 3分 即无论半径为何值, 4分 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.‎ ‎7、(河南)如图,对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).‎ ‎(1)求抛物线解析式及顶点坐标;‎ ‎(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)①当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?‎ ‎②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.‎ B A C D P O Q x y ‎8、(湖北黄岗)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是,点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,设秒后,直线PQ交OB于点D.‎ ‎(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;‎ ‎(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)当时,求t的值及此时直线PQ的解析式;‎ ‎(4)当a为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与相似?当a 为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与不相似?请给出你的结论,并加以证明.‎ ‎9、(湖北荆门)如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.‎ ‎(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;‎ ‎(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;‎ ‎(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.‎ 图1‎ 图2‎ 解:(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠BPE=90°.∴∠OPE+∠APB=90°.又∠APB+∠ABP=90°,∴∠OPE=∠PBA.‎ ‎∴Rt△POE∽Rt△BPA.…………………………………………………………2分 ‎∴.即.∴y=(0<x<4).‎ 且当x=2时,y有最大值.…………………………………………………4分 ‎(2)由已知,△PAB、△POE均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).……6分 设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c,则∴‎ y=.…………………………………………………………8分 ‎(3)由(2)知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件.……………………9分 直线PB为y=x-1,与y轴交于点(0,-1).‎ 将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),‎ ‎∴该直线为y=x+1.……………………………………………………………10分 由得∴Q(5,6).‎ 故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件.……………………………12分