2018中考数学试题分类汇编考点27菱形含解析_462 18页

‎2018中考数学试题分类汇编：考点27 菱形 一．选择题（共4小题）‎ ‎1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）‎ A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 ‎【分析】根据菱形的性质即可判断；‎ ‎【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）‎ A． B．2 C．5 D．10‎ ‎【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵BD=8，‎ ‎∴OB=4，‎ ‎∵tan∠ABD==，‎ ‎∴AO=3，‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）‎ A．20 B．24 C．40 D．48‎ ‎【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．‎ ‎【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，‎ 则AB==5，‎ 故这个菱形的周长L=4AB=20．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（　　）‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．‎ ‎【解答】解：∵E是AC中点，‎ ‎∵EF∥BC，交AB于点F，‎ ‎∴EF是△ABC的中位线，‎ ‎∴EF=BC，‎ ‎∴BC=6，‎ ‎∴菱形ABCD的周长是4×6=24．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎5．（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC=，则BE的长为　3或5　．‎ ‎【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可．‎ ‎【解答】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：‎ ‎∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6，‎ ‎∴AC⊥BD，BO=，‎ ‎∵tan∠EAC==，‎ 解得：OE=1，‎ ‎∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3，‎ 当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：‎ ‎∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6，‎ ‎∴AC⊥BD，BO=，‎ ‎∵tan∠EAC==，‎ 解得：OE=1，‎ ‎∴BE=BO﹣OE=4+1=5，‎ 故答案为：3或5；‎ ‎　‎ ‎6．（2018•湖州）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是　2　．‎ ‎【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，‎ ‎∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．‎ 在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，‎ ‎∴tan∠BAC==，‎ ‎∴OB=1，‎ ‎∴BD=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结 MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　　．‎ ‎【分析】‎ 延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．‎ ‎【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，‎ ‎∴∠ADM=∠H，‎ ‎∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，‎ ‎∴△ADM≌△BHM，‎ ‎∴AD=HB=2，‎ ‎∵EM⊥DH，‎ ‎∴EH=ED，设BE=x，‎ ‎∵AE⊥BC，‎ ‎∴AE⊥AD，‎ ‎∴∠AEB=∠EAD=90°‎ ‎∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，‎ ‎∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，‎ ‎∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），‎ ‎∴cosB==，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　（﹣5，4）　．‎ ‎【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∴AD=5，‎ ‎∴由勾股定理知：OD===4，‎ ‎∴点C的坐标是：（﹣5，4）．‎ 故答案为：（﹣5，4）．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为　（，﹣）　．‎ ‎【分析】作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠AOB=30°，再根据旋转的性质得∠BOB′=75°，OB′=OB=2，则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，所以△OBH为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B′H=，然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标．‎ ‎【解答】解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，‎ ‎∵四边形OABC为菱形，‎ ‎∴∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC，‎ ‎∴∠AOB=30°，‎ ‎∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置，‎ ‎∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2，‎ ‎∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，‎ ‎∴△OBH为等腰直角三角形，‎ ‎∴OH=B′H=OB′=，‎ ‎∴点B′的坐标为（，﹣）．‎ 故答案为：（，﹣）．‎ ‎　‎ ‎10．（2018•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　AB=BC或AC⊥BD　使平行四边形ABCD是菱形．‎ ‎【分析】根据菱形的判定方法即可判断．‎ ‎【解答】解：当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．‎ 故答案为AB=BC或AC⊥BD．‎ ‎　‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎11．（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．‎ ‎（1）求菱形ABCD的周长；‎ ‎（2）若AC=2，求BD的长．‎ ‎【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；‎ ‎（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，‎ ‎∴菱形ABCD的周长=2×4=8；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2‎ ‎∴AC⊥BD，AO=1，‎ ‎∴BO=，‎ ‎∴BD=2‎ ‎　‎ ‎12．（2018•遂宁）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．‎ ‎【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，AD∥BC，‎ ‎∵DE=BF，‎ ‎∴AE=CF，∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥EF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•郴州）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△‎ BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．‎ ‎【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，‎ ‎∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，‎ 在△EOD和△FOB中，‎ ‎，‎ ‎∴△DOE≌△BOF（ASA）；‎ ‎∴OE=OF，‎ 又∵OB=OD，‎ ‎∴四边形EBFD是平行四边形，‎ ‎∵EF⊥BD，‎ ‎∴四边形BFDE为菱形．‎ ‎　‎ ‎14．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：‎ ‎（1）∠BOD=∠C；‎ ‎（2）四边形OBCD是菱形．‎ ‎【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；‎ ‎（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．‎ ‎【解答】证明：（1）‎ 延长OA到E，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠ABO=∠BAO，‎ 又∠BOE=∠ABO+∠BAO，‎ ‎∴∠BOE=2∠BAO，‎ 同理∠DOE=2∠DAO，‎ ‎∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）‎ 即∠BOD=2∠BAD，‎ 又∠C=2∠BAD，‎ ‎∴∠BOD=∠C；‎ ‎（2）连接OC，‎ ‎∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，‎ ‎∴△OBC≌△ODC，‎ ‎∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，‎ ‎∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，‎ ‎∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD，‎ 又∠BOD=∠BCD，‎ ‎∴∠BOC=∠BCO，‎ ‎∴BO=BC，‎ 又OB=OD，BC=CD，‎ ‎∴OB=BC=CD=DO，‎ ‎∴四边形OBCD是菱形．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DEF；‎ ‎（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．‎ ‎【分析】（1）根据SAS即可证明．‎ ‎（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB∥DE，‎ ‎∴∠A=∠D，‎ ‎∵AF=CD，‎ ‎∴AF+FC=CD+FC，‎ 即AC=DF，‎ ‎∵AB=DE，‎ ‎∴△ABC≌△DEF．‎ ‎（2）如图，连接AB交AD于O．‎ 在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，‎ ‎∴DF==5，‎ ‎∵四边形EFBC是菱形，‎ ‎∴BE⊥CF，'∴EO==，‎ ‎∴OF=OC==，‎ ‎∴CF=，‎ ‎∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．‎ ‎　‎ ‎16．（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．‎ 求证：（1）△AED≌△CFD；‎ ‎（2）四边形ABCD是菱形．‎ ‎【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；‎ ‎（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A=∠C．‎ 在△AED与△CFD中，‎ ‎∴△AED≌△CFD（ASA）；‎ ‎（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．‎ ‎（1）求证：△ECG≌△GHD；‎ ‎（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．‎ ‎（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；‎ ‎（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；‎ ‎（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．‎ ‎【解答】解：（1）∵AF=FG，‎ ‎∴∠FAG=∠FGA，‎ ‎∵AG平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAG=∠FGA，‎ ‎∴∠CAG=∠FGA，‎ ‎∴AC∥FG，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴FG⊥DE，‎ ‎∵FG⊥BC，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，‎ ‎∵F是AD的中点，FG∥AE，‎ ‎∴H是ED的中点，‎ ‎∴FG是线段ED的垂直平分线，‎ ‎∴GE=GD，∠GDE=∠GED，‎ ‎∴∠CGE=∠GDE，‎ ‎∴△ECG≌△GHD；‎ ‎（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，‎ ‎∴GC=GP，而AG=AG，‎ ‎∴△CAG≌△PAG，‎ ‎∴AC=AP，‎ 由（1）可得EG=DG，‎ ‎∴Rt△ECG≌Rt△GPD，‎ ‎∴EC=PD，‎ ‎∴AD=AP+PD=AC+EC；‎ ‎（3）四边形AEGF是菱形，‎ 证明：∵∠B=30°，‎ ‎∴∠ADE=30°，‎ ‎∴AE=AD，‎ ‎∴AE=AF=FG，‎ 由（1）得AE∥FG，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∴四边形AEGF是菱形．‎ ‎　‎ ‎18．（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．‎ ‎（1）求证：▱ABCD是菱形；‎ ‎（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．‎ ‎【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；‎ ‎（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠B=∠D，‎ ‎∵AE⊥BC，AF⊥CD，‎ ‎∴∠AEB=∠AFD=90°，‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴△AEB≌△AFD ‎∴AB=AD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎（2）连接BD交AC于O．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，AC=6，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ AO=OC=AC=×6=3，‎ ‎∵AB=5，AO=3，‎ ‎∴BO===4，‎ ‎∴BD=2BO=8，‎ ‎∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．‎ ‎　‎ ‎19．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．‎ ‎（1）求证：四边形AEBD是菱形；‎ ‎（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．‎ ‎【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；‎ ‎（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥CE，‎ ‎∴∠DAF=∠EBF，‎ ‎∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，‎ ‎∴△AFD≌△BFE，‎ ‎∴AD=EB，∵AD∥EB，‎ ‎∴四边形AEBD是平行四边形，‎ ‎∵BD=AD，‎ ‎∴四边形AEBD是菱形．‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD=AB=，AB∥CD，‎ ‎∴∠ABE=∠DCB，‎ ‎∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，‎ ‎∵四边形AEBD是菱形，‎ ‎∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，‎ ‎∴tan∠ABE==3，‎ ‎∵BF=，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∴DE=3，‎ ‎∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15．‎ ‎　‎ ‎20．（2018•乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．‎ ‎（1）求证：四边形AECD是菱形；‎ ‎（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；‎ ‎（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∵∠BAC=90°，E是BC的中点，‎ ‎∴AE=CE=BC，‎ ‎∴四边形AECD是菱形；‎ ‎（2）过A作AH⊥BC于点H，‎ ‎∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∵，‎ ‎∴AH=，‎ ‎∵点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，‎ ‎∴CD=CE=5，‎ ‎∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，‎ ‎∴EF=AH=．‎ ‎　‎