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- 2021-05-10 发布
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§1.1 因动点产生的相似三角形问题
课前导学
相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.
判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.
如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分和两种情况列方程.
应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.
应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).
还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.
求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好.
如图1,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢?
我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减.
图1
例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(-3, 0)、B(1, 0)两点,与y轴交于点C(0,-3m)(m>0),顶点为D.
(1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示);
(2)如图1,当m=2时,点P为第三象限内抛物线上的一个动点,设△APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值;
(3)如图2,当m取何值时,以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似?
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14衡阳28”,拖动点P运动,可以体验到,当点P运动到AC的中点的正下方时,△APC的面积最大.拖动y轴上表示实数m的点运动,抛物线的形状会改变,可以体验到,∠ACD和∠ADC都可以成为直角.
思路点拨
1.用交点式求抛物线的解析式比较简便.
2.连结OP,△APC可以割补为:△AOP与△COP的和,再减去△AOC.
3.讨论△ACD与△OBC相似,先确定△ACD是直角三角形,再验证两个直角三角形是否相似.
4.直角三角形ACD存在两种情况.
图文解析
(1)因为抛物线与x轴交于A(-3, 0)、B(1, 0)两点,设y=a(x+3)(x-1).
代入点C(0,-3m),得-3m=-3a.解得a=m.
所以该二次函数的解析式为y=m(x+3)(x-1)=mx2+2mx-3m.
(2)如图3,连结OP.
当m=2时,C(0,-6),y=2x2+4x-6,那么P(x, 2x2+4x-6).
由于S△AOP==(2x2+4x-6)=-3x2-6x+9,
S△COP==-3x,S△AOC=9,
所以S=S△APC=S△AOP+S△COP-S△AOC=-3x2-9x=.
所以当时,S取得最大值,最大值为.
图3 图4 图5
(3)如图4,过点D作y轴的垂线,垂足为E.过点A作x轴的垂线交DE于F.
由y=m(x+3)(x-1)=m(x+1)2-4m,得D(-1,-4m).
在Rt△OBC中,OB∶OC=1∶3m.
如果△ADC与△OBC相似,那么△ADC是直角三角形,而且两条直角边的比为1∶3m.
①如图4,当∠ACD=90°时,.所以.解得m=1.
此时,.所以.所以△CDA∽△OBC.
②如图5,当∠ADC=90°时,.所以.解得.
此时,而.因此△DCA与△OBC不相似.
综上所述,当m=1时,△CDA∽△OBC.
考点伸展
第(2)题还可以这样割补:
如图6,过点P作x轴的垂线与AC交于点H.
由直线AC:y=-2x-6,可得H(x,-2x-6).
又因为P(x, 2x2+4x-6),所以HP=-2x2-6x.
因为△PAH与△PCH有公共底边HP,高的和为A、C两点间的水平距离3,所以
S=S△APC=S△APH+S△CPH
=(-2x2-6x)
=. 图6
例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题
如图1,在直角梯形ABCD中,AB//CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.2·1·c·n·j·y
(1)求AD的长;
(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2,若S=S1+S2,求S的最小值.
动感体验 图1
请打开几何画板文件名“14益阳21”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段.观察S随点P运动的图象,可以看到,S有最小值,此时点P看上去象是AB的中点,其实离得很近而已.
思路点拨
1.第(2)题先确定△PCB是直角三角形,再验证两个三角形是否相似.
2.第(3)题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键,圆心O在确定的BC的垂直平分线上,同时又在不确定的BP的垂直平分线上.而BP与AP是相关的,这样就可以以AP为自变量,求S的函数关系式.
图文解析
(1)如图2,作CH⊥AB于H,那么AD=CH.
在Rt△BCH中,∠B=60°,BC=4,所以BH=2,CH=.所以AD=.
(2)因为△APD是直角三角形,如果△APD与△PCB相似,那么△PCB一定是直角三角形.
①如图3,当∠CPB=90°时,AP=10-2=8.
所以==,而=.此时△APD与△PCB不相似.
图2 图3 图4
②如图4,当∠BCP=90°时,BP=2BC=8.所以AP=2.
所以==.所以∠APD=60°.此时△APD∽△CBP.
综上所述,当x=2时,△APD∽△CBP.
(3)如图5,设△ADP的外接圆的圆心为G,那么点G是斜边DP的中点.
设△PCB的外接圆的圆心为O,那么点O在BC边的垂直平分线上,设这条直线与BC交于点E,与AB交于点F.
设AP=2m.作OM⊥BP于M,那么BM=PM=5-m.
在Rt△BEF中,BE=2,∠B=60°,所以BF=4.
在Rt△OFM中,FM=BF-BM=4-(5-m)=m-1,∠OFM=30°,
所以OM=.
所以OB2=BM2+OM2=.
在Rt△ADP中,DP2=AD2+AP2=12+4m2.所以GP2=3+m2.
于是S=S1+S2=π(GP2+OB2)
==.
所以当时,S取得最小值,最小值为.
图5 图6
考点伸展
关于第(3)题,我们再讨论个问题.
问题1,为什么设AP=2m呢?这是因为线段AB=AP+PM+BM=AP+2BM=10.
这样BM=5-m,后续可以减少一些分数运算.这不影响求S的最小值.
问题2,如果圆心O在线段EF的延长线上,S关于m的解析式是什么?
如图6,圆心O在线段EF的延长线上时,不同的是FM=BM-BF=(5-m)-4=1-m.
此时OB2=BM2+OM2=.这并不影响S关于m的解析式.
例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题
如图1,已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒个单位的速度匀速运动,连结PQ,设运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式;
(2)问:当t为何值时,△APQ为直角三角形;
(3)过点P作PE//y轴,交AB于点E,过点Q作QF//y轴,交抛物线于点F,连结EF,当EF//PQ时,求点F的坐标;
(4)设抛物线顶点为M,连结BP、BM、MQ,问:是否存在t的值,使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由. 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15湘西26”,拖动点P在OA上运动,可以体验到,△APQ有两个时刻可以成为直角三角形,四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形,△MBQ与△BOP有一次机会相似.
思路点拨
1.在△APQ中,∠A=45°,夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示,分两种情况讨论直角三角形APQ.
2.先用含t的式子表示点P、Q的坐标,进而表示点E、F的坐标,根据PE=QF列方程就好了.
3.△MBQ与△BOP都是直角三角形,根据直角边对应成比例分两种情况讨论.
图文解析
(1)由y=-x+3,得A(3, 0),B(0, 3).
将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得 解得
所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)在△APQ中,∠PAQ=45°,AP=3-t,AQ=t.
分两种情况讨论直角三角形APQ:
①当∠PQA=90°时,AP=AQ.解方程3-t=2t,得t=1(如图2).
②当∠QPA=90°时,AQ=AP.解方程t=(3-t),得t=1.5(如图3).
图2 图3
(3)如图4,因为PE//QF,当EF//PQ时,四边形EPQF是平行四边形.
所以EP=FQ.所以yE-yP=yF-yQ.
因为xP=t,xQ=3-t,所以yE=3-t,yQ=t,yF=-(3-t)2+2(3-t)+3=-t2+4t.
因为yE-yP=yF-yQ,解方程3-t=(-t2+4t)-t,得t=1,或t=3(舍去).所以点F的坐标为(2, 3).
图4 图5
(4)由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,得M(1, 4).
由A(3, 0)、B(0, 3),可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等,AB=3.
由B(0, 3)、M(1, 4),可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等,BM=.
所以∠MBQ=∠BOP=90°.因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能:
①当时,.解得(如图5).
②当时,.整理,得t2-3t+3=0.此方程无实根.
考点伸展
第(3)题也可以用坐标平移的方法:由P(t, 0),E(t, 3-t),Q(3-t, t),按照P→E方向,将点Q向上平移,得F(3-t, 3).再将F(3-t, 3)代入y=-x2+2x+3,得t=1,或t=3.