中考几何解答题练习 9页

中考几何解答题练习 ‎1.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？‎ ‎2.如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．‎ ‎（1）求证：BE=AF；‎ ‎（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．‎ ‎3．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），‎ 点F在BC边上（不与点B、C重合）。‎ 第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；‎ 第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；‎ 依此操作下去…‎ ‎（1）图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为____，求此时线段EF的长；‎ ‎（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH。‎ ‎①请判断四边形EFGH的形状为______，此时AE与BF的数量关系是______。‎ ‎②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，‎ 求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。‎ ‎4．如图1，已知长方形ABED，点C是边DE的中点，且AB＝2AD．‎ ‎（1）判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）保持图1中ABC的固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置 ‎（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；‎ ‎（3）保持图2中△ABC的固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置 ‎（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．‎ ‎ A B C D E 图1‎ A B C D E 图2‎ N M ‎A B C D E 图3‎ N M ‎5．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，‎ BE⊥DC交DC的延长线于E．‎ ‎（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．‎ ‎6．（1）操作发现·‎ 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．‎ 小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．‎ ‎（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求的值；‎ ‎（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DC＝n·DF，求的值．‎ G B C E F A D ‎7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．‎ ‎（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；[~（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．‎ ‎8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．‎ ‎（1）如图①，当时，求的值；‎ ‎（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；‎ ‎（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．‎ ‎9．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，‎ 过点C作CF∥DE交AB于点F．‎ ‎（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD；‎ ‎（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；‎ F E A B C D 图②‎ F E A B C D 图①‎ ‎（3）若点D是BC边的任意一点（除B、C外如图②），那么，（1）中的结论是否仍然成立？‎ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎10．用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），‎ 完成以下两个探究问题：‎ 探究一：‎ 将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．‎ ‎（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；‎ ‎（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．‎ 探究二：‎ 如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，‎ 使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 ‎1.解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，‎ ‎∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．‎ ‎（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：‎ ‎∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF， ‎ ‎∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，‎ 又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．‎ ‎∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）．‎ ‎∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD． ‎ ‎2.（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，‎ ‎∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，‎ ‎∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；‎ ‎（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，‎ ‎∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，‎ ‎∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，‎ ‎∴DE=BE=2，∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=6．‎ ‎3． 解（1）等边三角.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°.‎ ‎∵ED=FD，∴△ADE≌△CDF.(HL)‎ ‎∴AE＝CF，BE＝BF.∴BEF是等腰直角三角形。‎ 设BE的长为x，则EF=x，AE=4- x.‎ ‎∵在Ｒt△AED中，，DE=EF，∴‎ 解得，(不合题意，舍去).‎ ‎∴EF＝x＝（－）＝－4＋4‎ ‎（2） ①四边形EFGH为正方形；AE＝BF.‎ ‎②∵AE＝x，∴BE=4-x.‎ ‎∵在Ｒt△BED中，，AE=BF，‎ ‎∴‎ ‎∵点E不与点A、B重合，点F不与点B、C重合，‎ ‎∴0＜x＜4.‎ ‎∵，‎ ‎∴当x=2时有最小值8，当x=0或4时，有最大值16，‎ ‎∴y的取值范围是8＜y＜16. ‎ ‎4．解：（1）△ABC为等腰直角三角形。如图1，在矩形ABED中， ‎ ‎∵点C是边DE的中点，且AB=2AD，∴AD=DC=CE=EB，DD=DE=90°， ∴Rt△ADC≌Rt△BEC，∴AC=BC，∠1=∠2=45°，∴∠ACB=90°，∴△ABC为等腰直角三角形； ‎ ‎（2）DE=AD+BE；如图2，在Rt△ADC和Rt△CEB中， ∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，∴∠CAD=∠2， 又∵AC=CB，∠ADC=∠CEB=90°，∴Rt△ADC≌Rt△CEB， ∴DC=BE，CE=AD，∴DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE； （3）DE=BE-AD。如图3，Rt△ADC和Rt△CEB中， ∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，∴∠CAD=∠2， 又∵∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB， ∴DC=BE，CE=AD，∴DC-CE=BE-AD，即DE=BE-AD。‎ ‎5．（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，‎ ‎∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），∴∠BCA=∠BAD．‎ ‎（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，‎ ‎∴△BED∽△CBA，∴=，即=，解得：DE=．‎ ‎（3）证明：连结OB，OD，‎ 在△ABO和△DBO中，∵，∴△ABO≌△DBO，∴∠DBO=∠ABO，‎ ‎∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，‎ ‎∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线．‎ ‎6． 解：（1）同意，连接EF， ∵∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF， ∴GF=DF； （2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x， ∴BF=BG+GF=3x； 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2 ∴，∴； （3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ∵DC=n·DF，∴DC=AB=BG=nx ∴CF=（n-1）x，BF=BG+GF=（n+1）x 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2 ∴，∴。‎ ‎7（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，‎ ‎∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，‎ 又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；‎ ‎（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，‎ ‎∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，‎ ‎∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°，‎ 又∵∠PAD+∠EAP′=90°，∴∠PAD=∠AP′E，‎ 在△APD和△P′AE中，，‎ ‎∴△APD≌△P′AE（AAS），∴AE=DP，∴AE=CP；‎ ‎（3）解：∵=，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，‎ 在Rt△AEP′中，P′E==4k，‎ ‎∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，‎ ‎∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE，‎ 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′，∴=，即=，解得P′A=AB，‎ 在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，即AB2+AB2=（5）2，解得AB=10．‎ ‎8.（1）解：∵=，∴=．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴△CEF∽△ADF，∴=，∴==，∴==；‎ ‎（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，‎ 又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．‎ ‎∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，‎ ‎∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，‎ 在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，∴AF=OA．‎ ‎（3）证明：连接OE．‎ ‎∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．∴点O是BD的中点．‎ 又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，OE=CD，‎ ‎∴△OFE∽△CFD．∴==，∴=．‎ 又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴==．‎ 在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．∴CG=GF，‎ 又∵CD=BC，∴==，∴=．∴CG=BG．‎ ‎9（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°， ∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，‎ ‎∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°， ∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°， ∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°，‎ ‎∴∠ACF=∠BAD=30°， 在△ABD和△CAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF， ∵AD=ED，∴ED=CF， 又∵ED∥CF，‎ ‎∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD． （2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4； ‎ （3） 解：成立． 理由如下：‎ ‎∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB， ∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，‎ ‎∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ‎ ‎∴∠AFC=∠BDA， 在△ABD和△CAF中，‎ ‎∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC， ∵AD=ED，∴ED=CF， 又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．‎ ‎10．解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：‎ 由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，‎ ‎∴CF=BC•sin30°=3×=，∴CP=CF•tan∠CFP=×=1．‎ 过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，∴PG=CG﹣CP=﹣1=．‎ 在Rt△APG中，由勾股定理得：AP===．‎ ‎（2）由（1）可知，FC=．‎ 如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=．‎ 过点A过AG⊥BC于点G，则AG=BC=．在Rt△AGP1中，cos∠P1AG===，‎ ‎∴∠P1AG=30°，∴∠P1AB=45°﹣30°=15°；‎ 同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．∴∠PAB的度数为15°或75°．‎ 探究二：△AMN的周长存在有最小值．‎ 如答图3所示，连接AD．‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．‎ ‎∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC．‎ ‎∵在△AMD与△CND中，∴△AMD≌△CND（ASA）．∴AM=CN．‎ 设AM=x，则CN=x，AN=AC﹣CN=BC﹣CN=﹣x．‎ 在Rt△AMN中，由勾股定理得：‎ MN====．‎ ‎△AMN的周长为：AM+AN+MN=+，‎ 当x=时，有最小值，最小值为+=．‎ ‎∴△AMN周长的最小值为．‎ ‎．‎