长沙中考数学之几何经典专题含解析 18页

‎2017年长沙中考数学之几何经典专题 ‎1． 如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎2． 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（　　）A．2 B．3 C． D．‎ ‎3． 如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：‎ ‎①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．‎ 其中正确的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4． 已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（　　）‎ A．10 B．2 C． D．4‎ ‎　‎ ‎5． 如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是　　　　　　．‎ ‎6． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　　　　　　．‎ ‎7． 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P是BC边上任意一点（B、C除外）PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为　　　　　　．‎ ‎8． 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为　　　　　　．‎ ‎9． 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10． 如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣3，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．‎ ‎（1）求∠EBP的度数；‎ ‎（2）求点D运动路径的长；‎ ‎（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．‎ ‎11． 如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．‎ ‎（1）求∠EPF的大小；‎ ‎（2）若AP=6，求AE+AF的值；‎ ‎（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．‎ ‎12． 知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H ‎（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；‎ ‎（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；‎ 小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？‎ ‎13． 如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．‎ ‎（1）求证：∠DAF=∠ABO；‎ ‎（2）当AB=AD时，求证：BC=2AF；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF=，EH=2，求线段CG的长．‎ ‎14． 如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．‎ ‎（1）写出点A的坐标；‎ ‎（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共4小题）‎ ‎1． 如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【解答】解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，‎ ‎∵∠CED=90°，‎ ‎∴四边形OMEN是矩形，‎ ‎∴∠MON=90°，‎ ‎∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，‎ ‎∴∠COM=∠DON，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴OC=OD，‎ 在△COM和△DON中，‎ ‎∴△COM≌△DON（AAS），‎ ‎∴OM=ON，‎ ‎∴四边形OMEN是正方形，‎ 设正方形ABCD的边长为2a，‎ ‎∵∠DCE=30°，∠CED=90°‎ ‎∴DE=a，CE=a，‎ 设DN=x，x+DE=CE﹣x，解得：x=，‎ ‎∴NE=x+a=，‎ ‎∵OE=NE，‎ ‎∴=•，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴S正方形ABCD=4‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2． 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【解答】解：如图，延长FD到G，使DG=BE；‎ 连接CG、EF；‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ 在△BCE与△DCG中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCE≌△DCG（SAS），‎ ‎∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，‎ ‎∴∠GCF=45°，‎ 在△GCF与△ECF中，‎ ‎，‎ ‎∴△GCF≌△ECF（SAS），‎ ‎∴GF=EF，‎ ‎∵CE=3，CB=6，‎ ‎∴BE===3，‎ ‎∴AE=3，‎ 设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，‎ ‎∴EF==，‎ ‎∴（9﹣x）2=9+x2，‎ ‎∴x=4，‎ 即AF=4，‎ ‎∴GF=5，‎ ‎∴DF=2，‎ ‎∴CF===2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3． 如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：‎ ‎①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，‎ ‎∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，‎ 在△BAE和△CDE中 ‎∵，‎ ‎∴△BAE≌△CDE（SAS），‎ ‎∴∠ABE=∠DCE，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，‎ ‎∵在△ADH和△CDH中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADH≌△CDH（SAS），‎ ‎∴∠HAD=∠HCD，‎ ‎∵∠ABE=∠DCE ‎∴∠ABE=∠HAD，‎ ‎∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，‎ ‎∴∠ABE+∠BAH=90°，‎ ‎∴∠AGB=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴AG⊥BE，故①正确；‎ ‎∵tan∠ABE=tan∠EAG=，‎ ‎∴AG=BG，GE=AG，‎ ‎∴BG=4EG，故②正确；‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴S△BDE=S△CDE，‎ ‎∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，‎ 即；S△BHE=S△CHD，故③正确；‎ ‎∵△ADH≌△CDH，‎ ‎∴∠AHD=∠CHD，‎ ‎∴∠AHB=∠CHB，‎ ‎∵∠BHC=∠DHE，‎ ‎∴∠AHB=∠EHD，故④正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4． 已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（　　）‎ A．10 B．2 C． D．4 ‎ ‎【解答】解：根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，‎ ‎∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，‎ ‎∵A（0，6），B（0，﹣4），‎ ‎∴M（0，1），‎ ‎∵点到直线的距离垂线段最短，‎ ‎∴过M作直线的垂线交直线于点C，此时CM最小，‎ 直线3x﹣4y+12=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=﹣4，即F（﹣4，0），E（0，3），‎ ‎∴OE=3，OF=4，EM=2，EF==5，‎ ‎∵△EOF∽△ECM，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：CM=，‎ 则CD的最小值为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5． 如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是　5﹣5　．‎ ‎【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，‎ 当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，‎ ‎∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，‎ ‎∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，‎ 故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5．‎ 故答案为：5﹣5．‎ ‎　‎ ‎6． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　≤AM＜6　．‎ ‎【解答】解：连接AP，‎ ‎∵PE⊥AB，PF⊥AC，‎ ‎∴∠AEP=∠AFP=90°，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴四边形AEPF是矩形，‎ ‎∴AP=EF，‎ ‎∵∠BAC=90°，M为EF中点，‎ ‎∴AM=EF=AP，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，‎ ‎∴BC==13，‎ 当AP⊥BC时，AP值最小，‎ 此时S△BAC=×5×12=×13×AP，‎ ‎∴AP=，‎ 即AP的范围是AP≥，‎ ‎∴2AM≥，‎ ‎∴AM的范围是AM≥，‎ ‎∵AP＜AC，‎ 即AP＜12，‎ ‎∴AM＜6，‎ ‎∴≤AM＜6．‎ 故答案为：≤AM＜6．‎ ‎　‎ ‎7． 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P是BC边上任意一点（B、C除外）PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为　4.8　．‎ ‎【解答】解：连接AP，如图所示：‎ ‎∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，‎ ‎∴BC==10，‎ ‎∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC，‎ ‎∴∠AEP=∠AFP=90°，‎ ‎∴四边形AEPF是矩形，‎ ‎∴EF=AP，‎ 当AP⊥BC时，AP最小，‎ 此时∵BC•AP=AB•AC，‎ ‎∴AP===4.8，‎ ‎∴EF的最小值为4.8；‎ 故答案为：4.8．‎ ‎　‎ ‎8． 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为　10　．‎ ‎【解答】解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，‎ ‎∵∠AED=90°，‎ ‎∴四边形EMON是矩形，‎ ‎∵正方形ABCD的对角线交于点O，‎ ‎∴∠AOD=90°，OA=OD，‎ ‎∴∠AOD+∠AED=180°，‎ ‎∴点A，O，D，E共圆，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠AEO=∠DEO=∠AED=45°，‎ ‎∴OM=ON，‎ ‎∴四边形EMON是正方形，‎ ‎∴EM=EN=ON，‎ ‎∴△OEN是等腰直角三角形，‎ ‎∵OE=8，‎ ‎∴EN=8，‎ ‎∴EM=EN=8，‎ 在Rt△AOM和Rt△DON中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），‎ ‎∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2，‎ ‎∴AE=AM+EM=2+8=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎9． 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是　对角线互相垂直　．‎ ‎【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．‎ 证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，‎ 根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；‎ ‎∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 故答案为：对角线互相垂直．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎10． 如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣3，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．‎ ‎（1）求∠EBP的度数；‎ ‎（2）求点D运动路径的长；‎ ‎（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．‎ ‎【解答】解：（1）如图，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）‎ ‎∴AO=PQ ‎∵四边形OABC是正方形，‎ ‎∴AO=AB=BC=OC，‎ ‎∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．‎ ‎∵DP⊥BP，‎ ‎∴∠BPD=90°．‎ ‎∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．‎ ‎∵AO=PQ，AO=AB，‎ ‎∴AB=PQ．‎ 在△BAP和△PQD中，‎ ‎∴△BAP≌△PQD（AAS）．‎ ‎∴BP=PD．‎ ‎∵∠BPD=90°，BP=PD，‎ ‎∴∠PBD=∠PDB=45°．‎ ‎（2）∵△BAP≌△PQD，‎ ‎∴DQ=AP，‎ ‎∵AP=t，‎ ‎∴DQ=t．‎ ‎∴点D运动路径的长为t；‎ ‎（3）∵∠EBP=45°‎ ‎∴由图1可以得到EP=CE+AP，‎ ‎∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE ‎=AO+CO ‎=3+3‎ ‎=6．‎ ‎∴△POE周长是定值，该定值为6．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•盐城）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．‎ ‎（1）求∠EPF的大小；‎ ‎（2）若AP=6，求AE+AF的值；‎ ‎（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，‎ ‎∵PE=PF，‎ ‎∴FG=EG=EF=2，∠FPG=，‎ 在△FPG中，sin∠FPG===，‎ ‎∴∠FPG=60°，‎ ‎∴∠EPF=2∠FPG=120°；‎ ‎（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD=AB，DC=BC，‎ 在△ABC与△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADC，‎ ‎∴∠DAC=∠BAC，‎ ‎∴PM=PN，‎ 在Rt△PME于Rt△PNF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△PME≌Rt△PNF，‎ ‎∴FN=EM，在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AP•cos30°=3，同理AN=3，‎ ‎∴AE+AF=（AM﹣EM）+（AN+NF）=6；‎ ‎（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，‎ 当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，‎ 设AC与EF交于点O，‎ ‎∵PE=PF，‎ ‎∴OF=EF=2，‎ ‎∵∠FPA=60°，‎ ‎∴OP=2，‎ ‎∵∠BAD=60°，‎ ‎∴∠FAO=30°，‎ ‎∴AO=6，‎ ‎∴AP=AO+PO=8，‎ 同理AP′=AO﹣OP=4，‎ ‎∴AP的最大值是8，最小值是4．‎ ‎12． 已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H ‎（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；‎ ‎（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；‎ 小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？‎ ‎【解答】（1）答：AB=AH，‎ 证明：延长CB至E使BE=DN，连接AE，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=∠D=90°，‎ ‎∴∠ABE=180°﹣∠ABC=90°‎ 又∵AB=AD，‎ ‎∵在△ABE和△ADN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ADN（SAS），‎ ‎∴∠1=∠2，AE=AN，‎ ‎∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，‎ ‎∴∠2+∠3=90°﹣∠MAN=45°，‎ ‎∴∠1+∠3=45°，‎ 即∠EAM=45°，‎ ‎∵在△EAM和△NAM中，‎ ‎，‎ ‎∴△EAM≌△NAM（SAS），‎ 又∵EM和NM是对应边，‎ ‎∴AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）；‎ ‎（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，‎ ‎∵AD是△ABC的高，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°‎ ‎∴∠E=∠F=90°，‎ 又∵∠BAC=45°‎ ‎∴∠EAF=90°‎ 延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，‎ 又∵AE=AD=AF ‎∴四边形AEGF是正方形，‎ 由（1）、（2）知：EB=DB=2，FC=DC=3，‎ 设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，‎ ‎∴BG=x﹣2；CG=x﹣3；BC=2+3=5，‎ 在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2=52‎ 解得x1=6，x2=﹣1，‎ 故AD的长为6．‎ ‎　‎ ‎13． 如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．‎ ‎（1）求证：∠DAF=∠ABO；‎ ‎（2）当AB=AD时，求证：BC=2AF；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF=，EH=2，求线段CG的长．‎ ‎【解答】解：（1）连接AO，如图1．‎ ‎∵AF与⊙O相切于点A，‎ ‎∴OA⊥AF，即∠FAO=90°．‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∴∠DAB=90°，‎ ‎∴∠FAO=∠DAB=90°，‎ ‎∴∠DAF=∠BAO．‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA，‎ ‎∴∠DAF=∠ABO；‎ ‎（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，‎ ‎∴∠DTB=90°+∠ABO．‎ ‎∵∠DTB=90°+∠D，‎ ‎∴∠D=∠ABO．‎ 在△AFD和△AOB中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFD≌△AOB，‎ ‎∴AF=AO，‎ ‎∴BC=2OA=2AF；‎ ‎（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2．‎ ‎∵∠D=∠B=∠BAO=∠DAF，tan∠DAF=，‎ ‎∴tanB==，tanD==，‎ ‎∴BE=2IE，DE=2EC．‎ 又∵∠DIA+∠D=∠DAF+∠FAI=90°，‎ ‎∴∠FIA=∠FAI，‎ ‎∴FI=FA，‎ ‎∴DI=2AF=BC，‎ ‎∴DE﹣IE=BE+EC，‎ ‎∴2EC﹣IE=2IE+EC，‎ ‎∴EC=3IE=BE．‎ 设BE=2x，则有EC=3x，BC=5x，HO=BO=，EO=．‎ 在Rt△HEO中，根据勾股定理可得 ‎（）2+（2）2=（）2，‎ 解得x=2（舍负）．∵AN⊥BC，∠BAC=90°，‎ ‎∴∠NAC=∠ABC，∴tan∠NAC==，tan∠ABC==，∴BN=2AN=4NC，∴BC=5NC=10，‎ ‎∴NC=2，ON=5﹣2=3．∵∠AON=∠GOA，∠ANO=∠OAG=90°，‎ ‎∴△AON∽△GOA，∴=，∴=，∴OG=，∴CG=OG﹣OC=．‎ ‎　‎ ‎14．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．‎ ‎（1）写出点A的坐标；‎ ‎（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．‎ ‎【解答】解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，‎ 即点A的坐标为（4，0）；‎ ‎（2）存在．‎ 理由：第一种情况，如下图一所示：‎ ‎∵∠OBA=∠BAP，∴它们是对应角，‎ ‎∴BQ=PA，‎ 将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，‎ ‎∴OB=4，‎ 由（1）可知OA=4，‎ 在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．‎ ‎∵△BOQ≌△AQP．‎ ‎∴QA=OB=4，BQ=PA．‎ ‎∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，‎ ‎∴PA=4﹣4．‎ ‎∴点P的坐标为（4，4﹣4）；‎ 第二种情况，如下图二所示：‎ ‎∵△OQB≌△APQ，‎ ‎∴AQ=BO=4，AB=，BQ=AP，‎ ‎∴BQ=AB+AQ=，‎ ‎∴AP=4，‎ ‎∴点P的坐标为：（4，﹣4）；‎ 由上可得，点P的坐标为：（4，）或（4，）．‎ ‎（3）如图所示：‎ 令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2，‎ ‎∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，‎ 在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，‎ 又∵PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，∴ab=16，‎ ‎∵O1A2=O1Q2+QA2=（）2+（）2=a2+4，O2A2=O2N2+NA2=（）2+（）2=b2+4，‎ ‎∴S1=π×O1A2=（a2+4）π，S2=π×O2A2=（b2+4）π，‎ ‎∴===×=．‎