中考数学一轮复习 图形的性质二 圆的基本性质 23页

圆的基本性质 第二十三讲 第五章　图形的性质 ( 二 ) 知识盘点 1 、圆的定义及其基本性质 2 、 垂径定理及推论 3 、弦、弧、圆心角的关系定理及推论 4 、圆周角定理及推论 5 、点和圆的位置关系 6 、过三点的圆的有关性质 7 、圆的内接四边形 常见的辅助线 (1) 有关弦的 问题 ， 常作其弦心距 ， 构造以半径、弦的一半、弦心距 为边 的直角三角形 ， 利用勾股定理知 识 求解； 难点与易错点 (2) 有关直径的问题 ， 常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算． (3) 有等弧或证弧相等时 ， 常连等弧所对的弦或作等 ( 同 ) 弧所对的圆周 ( 心 ) 角． B B 夯实基础 D 3 ． ( 2015 · 湘潭 ) 如图 ， 四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形 ， 若∠ DAB ＝ 60° ， 则∠ BCD 的度数是 ( ) A ． 60° B ． 90° C ． 100° D ． 120° A 5 ． ( 2015 · 贵港 ) 如图 ， 已知点 P 是⊙ O 外一点 ， Q 是⊙ O 上的动点 ， 线段 PQ 的中点为 M ， 连接 OP ， OM. 若⊙ O 的半径为 2 ， OP ＝ 4 ， 则线段 OM 的最小值是 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 B 类型一：垂径定理及其推论 C 【 点评 】 　本 题 考 查 的是垂径定理及勾股定理 ， 根据 题 意作出 辅 助 线 ， 构造出直角三角形是解答此 题 的关 键． 典例探究 [ 对应训练 ] 1 ． ( 2014 · 哈尔滨 ) 如图 ， ⊙ O 是△ ABC 的外接圆 ， 弦 BD 交 AC 于点 E ， 连接 CD ， 且 AE ＝ DE ， BC ＝ CE. (1) 求∠ ACB 的度数； (2) 过点 O 作 OF⊥AC 于点 F ， 延长 FO 交 BE 于点 G ， DE ＝ 3 ， EG ＝ 2 ， 求 AB 的长． 【 例 2 】 　 ( 2014 · 龙东 ) 直径为 10 cm 的⊙ O 中 ， 弦 AB ＝ 5 cm ， 则弦 AB 所对的圆周角是 ___________________ ． 【 点评 】 　在很多没有 给 定 图 形的 问题 中 ， 常常不能根据 题 目的条件把 图 形确定下来 ， 因此会 导 致解的不唯一性 ， 这 种 题 一 题 多解 ， 必 须 分 类讨论． 本 题 中 ， 弦所 对 的 圆 周角不是唯一的 ， 圆 周角的 顶 点可能在 优 弧上 ， 也可能在劣弧上 ， 依据 “ 圆 内接四 边 形的 对 角互 补 ” ， 这 两个角互 补． 类型二：圆心角、弧、弦之间的关系 30 ° 或 150° [ 对应训练 ] 2 ． ( 2015 · 台州 ) 如图 ， 四边形 ABCD 内接于⊙ O ， 点 E 在对角线 AC 上 ， EC ＝ BC ＝ DC. (1) 若∠ CBD ＝ 39° ， 求∠ BAD 的度数； (2) 求证：∠ 1 ＝∠ 2. 解： ( 1 ) 解： ∵ BC ＝ DC ， ∴∠ CBD ＝ ∠ CDB ＝ 39 ° ， ∵∠ BAC ＝ ∠ CDB ＝ 39 ° ， ∠ CAD ＝ ∠ CBD ＝ 39 ° ， ∴∠ BAD ＝ ∠ BAC ＋ ∠ CAD ＝ 39 ° ＋ 39° ＝ 78° 　 ( 2 ) 证明： ∵ EC ＝ BC ， ∴∠ CEB ＝ ∠ CBE ， 而 ∠ CEB ＝ ∠ 2 ＋ ∠ BAE ， ∠ CBE ＝ ∠ 1 ＋ ∠ CBD ， ∴∠ 2 ＋ ∠ BAE ＝ ∠ 1 ＋ ∠ CBD ， ∵∠ BAE ＝ ∠ CBD ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2 【 例 3 】 　 ( 2015 · 眉山 ) 如图 ， ⊙ O 是△ ABC 的外接圆 ， ∠ ACO ＝ 45° ， 则∠ B 的度数为 ( ) A ． 30° B ． 35° C ． 40° D ． 45° 【 点评 】 　当 图 中出 现 同弧或等弧 时 ， 常常考 虑 到弧所 对 的 圆 周角或 圆 心角 ， 一条弧所 对 的 圆 周角等于 该 弧所 对 的 圆 心角的一半 ， 通 过 相 等的弧把角 联 系起来． 类型三：圆周角定理及其推论 D [ 对应训练 ] 3 ． ( 2015 · 德州 ) 如图 ， ⊙ O 的半径为 1 ， A ， P ， B ， C 是⊙ O 上的四个点 ， ∠ APC ＝∠ CPB ＝ 60°.(1) 判断△ ABC 的形状： ____ ； (2) 试探究线段 PA ， PB ， PC 之间的数量关系 ， 并证明你的结论； (3) 当点 P 位于 的什么位置时 ， 四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积． 【 例 4 】 　矩形 ABCD 中 ， AB ＝ 8 ， BC ＝ 35 ， P 点在边 AB 上 ， 且 BP ＝ 3 AP ， 如果圆 P 是以点 P 为圆心 ， PD 为半径的圆 ， 那么下列判断正确的是 ( ) A ． 点 B ， C 均在圆 P 外 B ． 点 B 在圆 P 外 ， 点 C 在圆 P 内 C ． 点 B 在圆 P 内 ， 点 C 在圆 P 外 D ． 点 B ， C 均在圆 P 内 【 点评 】 　本 题 考 查 了点与 圆 的位置关系的判定 ， 根据点与 圆 心之 间 的距离和 圆 的半径的大小关系作出判断． 类型四：点与圆的位置关系 C 4 ． 在数轴上 ， 点 A 所表示的实数为 3 ， 点 B 所表示的实数为 a ， ⊙ A 的半径为 2. 下列说法中不正确的是 ( ) A ． 当 a ＜ 5 时 ， 点 B 在⊙ A 内 B ． 当 1 ＜ a ＜ 5 时 ， 点 B 在⊙ A 内 C ． 当 a ＜ 1 时 ， 点 B 在⊙ A 外 D ． 当 a ＞ 5 时 ， 点 B 在⊙ A 外 A 注意：外心位置要弄清 剖析 　上述解法看上去好像思考周全 ， 考 虑 了两种情况 ， 其 实 又 错 了 ， 因 为 BC ＞ AB ＞ AC ， BC 是不等 边 △ ABC 的最大 边 ， 所以∠ A ＝ 60° 不正确 ， 产 生 错误 的根源是 图 画得不准确 ， 忽 视 了 圆 心的位置 ， 实际 上本 题 的 圆 心 应 在 △ ABC 的外部．