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- 2021-05-11 发布
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中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形
基本题型:
一、已知,抛物线,点在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形为平行四边形,求点坐标。
分两大类进行讨论:
(1)为边时
(2)为对角线时
二、已知,抛物线,点在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形为距形,求点坐标。
在四边形为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边互相垂直
(2)对角线相等
三、已知,抛物线,点在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形为菱形,求点坐标。
在四边形为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边相等
(2)对角线互相垂直
四、已知,抛物线,点在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形为正方形,求点坐标。
在四边形为矩形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边相等
(2)对角线互相垂直
在四边形为菱形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边互相垂直
(2)对角线相等
五、已知,抛物线,点在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形为梯形,求点坐标。
分三大类进行讨论:
(1)为底时
(2)为腰时
(3)为对角线时
所需知识点:
一、 两点之间距离公式:
已知两点,
则由勾股定理可得:。
二、 圆的方程:
点在⊙M上,⊙M中的圆心M为,半径为R。
则,得到方程☆:。
∴P在☆的图象上,即☆为⊙M的方程。
三、 中点公式:
已知两点,则线段PQ的中点M为。
四、 任意两点的斜率公式:
已知两点,则直线PQ的斜率: 。
五、 平面内两直线之间的位置关系:
两直线分别为:,。
(一)∥。(二)与相交。特别是。
典型例题:
例一(08深圳中考题)、如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
(4)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
例二、如图,反比例函数y=的图象与二次函数的图象在第一象限内相交于A、B两点,A、B两点的纵坐标分别为1,3,且AB=.
(1) 求反比例函数的解析式;
(2) 求二次函数的解析式.
(3)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点, 以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.
例3、如图,在平面直角坐标系中,抛物线=-++经过A(0,-4)、B(,0)、 C(,0)三点,且-=5.
(1)求、的值;(4分)
(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形;(3分)
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在,请说明理由.(3分)
(第25题图)
A
x
y
B
C
O
例4、(2009年重庆綦江县)26.(11分)如图,已知抛物线经过点,抛物线的顶点为,过作射线.过顶点平行于轴的直线交射线于点,在轴正半轴上,连结.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点从点出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为.问当为何值时,四边形分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为,连接,当为何值时,四边形的面积最小?并求出最小值及此时的长.
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
同步训练:
1、如图,抛物线y=ax2+bx+c交坐标轴于点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)。
(1)求此抛物线函数解析式及顶点M的坐标。
(2)若直线CM与x轴交于点D, E是C关于此抛物线对称轴的对称点,试判断四边形ADCE的形状并说明理由。
(3)若P是该抛物线上异于A、B两点的一个动点,连接BP交y轴正半轴于点N,是否存在点P使△AOC与△BON相似,若存在请直接写出点P的坐标,若不存在请说明理由。
x
y
O
A
B
C
x
y
O
A
B
C
E
D
M
x
l
Q
C
P
A
O
B
H
R
y
2如图,在直角坐标系中,点为函数在第一象限内的图象上的任一点,点的坐标为,直线过且与轴平行,过作轴的平行线分别交轴,于,连结交轴于,直线交轴于.
(1)求证:点为线段的中点;
(2)求证:①四边形为平行四边形;
②平行四边形为菱形;
(3)除点外,直线与抛物线有无其它公共点?并说明理由.
3、(2009年广东广州)如图13,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
4、(2009年烟台市)如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是.
(1) 求抛物线对应的函数表达式;
(2) 经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点(不与重合),经过三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由;
O
B
x
y
A
M
C
1
(第26题图)
(4) 当是直线上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).
5、(2009年浙江省湖州市)已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.
(1)填空:试用含的代数式分别表示点与的坐标,则;
(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;
(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由.
第(2)题
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
备用图
(第24题)
6、(2009年河池市)如图12,已知抛物线交轴于A、B两点,交轴于点C,抛物线的对称轴交轴于点E,点B的坐标为(,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
O
D
B
C
A
E
图12
(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.
7、(江苏省2009年)如图,已知二次函数的图象的顶点为.二次函数的图象与轴交于原点及另一点,它的顶点在函数的图象的对称轴上.
(1)求点与点的坐标;
x
y
O
1
2
3
2
1
A
(2)当四边形为菱形时,求函数的关系式.
8、(2009年柳州)如图11,已知抛物线()与轴的一个交点为,与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.
(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点A的坐标;
(2)以AD为直径的圆经过点C.
①求抛物线的解析式;
O
x
y
A
B
C
D
图11
②点在抛物线的对称轴上,点在抛物线上,且以四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标.