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  • 2021-05-11 发布

全国各地中考数学真题分类汇编 矩形 菱形与正方形

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第 26 章 矩形、菱形与正方形 一、选择题 1. (2011 浙江省舟山,10,3 分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30°内角 的菱形 EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为 14cm2,四边 形 ABCD 面积是 11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为(   ) (A)48cm (B)36cm (C)24cm (D)18cm 【答案】A 2. (2011 山东德州 8,3 分)图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱 形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图 形(如图 2),依此规律继续拼下去(如图 3),……,则第 n 个图形的周长是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 3. (2011 山东泰安,17 ,3 分)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小 正方形的面积分别为 S1,S2,则 S1+S2 的值为 A.17 B.17 C.18 D.19 【答案】B 4. (2011 山东泰安,19 ,3 分)如图,点 O 是矩形 ABCD 的中心,E 是 AB 上的点,沿 CE 折叠后,点 B 恰好与点 O 重合,若 BC=3,则折痕 CE 的长为 (第 10 题) F A B C D HE G ① ② ③ ④ ⑤ 图 1 图 2 图 3 …… 2n 4n 12n+ 22n+ A.2 3 B. 3 2 C. 3 D.6 【答案】A 5. (2011 浙江杭州,10,3)在矩形 ABCD 中,有一个菱形 BFDE(点 E,F 分别在线段 AB,CD 上),记它们的面积分别 为 .现给出下列命题:( ) ①若 ,则 .②若 则 . 则: A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题 C.①是假命题,②是真命题 D,①是假命题,②是假命题 【答案】A 6. (2011 浙江衢州,1,3 分)衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜,如图为一农村 民居侧面截图,屋坡 分别架在墙体的点 、点 处,且 ,侧面四边形 为矩形,若测得 ,则 ( ) A. 35° B. 40° C. 55° D. 70° 【答案】C 7. (2011 浙江温州,6,4 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O.已知∠AOB= 60°,AC=16,则图中长度为 8 的线段有( ) A.2 条 B.4 条 C.5 条 D.6 条 【答案】D 8. 2011 四川重庆,10,4 分)如图,正方形 ABCD 中,AB=6,点 E 在边 CD 上,且 CD= 3DE.将△ADE 沿 AE 对折至△AFE,延长 EF 交边 BC 于点 G,连结 AG、CF.下列结 ABCD BFDES S和 2 3 2 ABCD BFDE S S += 3tan 3EDF∠ = 2 ,DE BD EF= • 2DF AD= AF AG、 B C AB AC= BDEC 100FAG∠ = ° FBD∠ = E A B C D F G (第 5 题) 论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 9. (2011 浙江省嘉兴,10,4 分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30°内角 的菱形 EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为 14cm2,四边 形 ABCD 面积是 11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为(   ) (A)48cm (B)36cm (C)24cm (D)18cm 【答案】A 10.(2011 台湾台北,29)如图(十二),长方形 ABCD 中,E 为 中点,作 的角 平分线交 于 F 点。 若 =6, =16,则 的长度为何? A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】C 11. (2011 湖南邵阳,7,3 分)如图(二)所示, 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,且 AB≠AD,则下列式子不正确的是() A.AC⊥BD B.AB=CD C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD 【答案】A.提示:当且仅当 为菱形时,AC⊥BD。 (第 10 题) F A B C D HE G ① ② ③ ④ ⑤ BC AEC∠ AD AB AD FD ABCD ABCD … A1 A A2 A3 B B1 B2 B3 C C2 C1 C3 D D2 D1 D3 第 10 题图 12. (2011 湖南益阳,7,4 分)如图 2,小聪在作线段 AB 的垂直平分线时,他是这样操作 的:分别以 A 和 B 为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧相交于 C、D,则直线 CD 即为所求.根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 13. (2011 山东聊城,7,3 分)已知一个菱形的周长是 20cm,两条对角线的比是 4∶3,则 这个菱形的面积是( ) A.12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2 【答案】B 14. (2011 四川宜宾,7,3 分)如图,矩形纸片 ABCD 中,已知 AD=8,折叠纸片使 AB 边与 对角线 AC 重合,点 B 落在点 F 处,折痕为 AE,且 EF=3,则 AB 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 15. ( 2011 重庆江津, 10,4 分)如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC⊥BD,顺次连接四 边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点,得到四边形 A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) ①四边形 A2B2C2D2 是矩形; ②四边形 A4B4C4D4 是菱形; ③四边形 A5B5C5D5 的周长 ; ④四边形 AnBnCnDn 的面积是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④ 1 2 (第 7 题图) 4 ba + 12 +n ab BA C D 图 2 【答案】C· 16. (2011 江苏淮安,5,3 分)在菱形 ABCD 中,AB=5cm,则此菱形的周长为( ) A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 【答案】C 17. (2011 山东临沂,11,3 分)如图,△ABC 中,AC 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、F,BE⊥DF 交 DF 的延长线于点 E,已知∩A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形 BCDE 的面积是( ) A.2 B.3 C.4 D.4 【答案】A 18. (2011 四川绵阳 7,3)下列关于矩形的说法中正确的是 A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 19. (2011 四川乐山 9,3 分)如图(5),在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、CD 的 中点,AE 交 BF 于点 H,CG∥AE 交 BF 于点 G。下列结论:①tan∠HBE=cot∠HEB ② ③BH=FG ④ .其中正确的序号是 A.①②③ B.②③④ C. ①③④ D.①②④ 【答案】D 20.(2011 江苏无锡,5,3 分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角互补 【答案】A 21. (2011 湖北武汉市,12,3 分)如图,在菱形 ABCD 中,AB=BD,点 E,F 分别在 AB, AD 上,且 AE=DF.连接 BF 与 DE 相交于点 G,连接 CG 与 BD 相交于点 H.下列结论: ①△AED≌△DFB; ②S 四边形 BCDG= CG2; ③若 AF=2DF,则 BG=6GF.其中正确的结论 A.只有①②. B.只有①③.C.只有②③. D.①②③. 3 3 3 CG BF BC CF⋅ = ⋅ 2 2 BC BG CF GF = 4 3 【答案】D 22. (2011 广东茂名,5,3 分)如图,两条笔直的公路 、 相交于点 O,村庄 C 的村民 在公路的旁边建三个加工厂 A.B、D,已知 AB=BC=CD=DA=5 公里,村庄 C 到公 路 的距离为 4 公里,则村庄 C 到公路 的距离是 A.3 公里 B.4 公里 C.5 公里 D.6 公里 【答案】B 23. (2011 湖北襄阳,10,3 分)顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形,则 四边形 ABCD 一定是 A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边 形 【答案】D 24. (2011 湖南湘潭市,5,3 分)下列四边形中,对角线相等且互相垂直平分的是 A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形 【答案】B 25. 26. 27. 28. 二、填空题 1. (2011 山东滨州,17,4 分)将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,得到如图所示图形。若∠CED′ =56°,则∠AED 的大小是_______. A B CD E F G H 第 12 题图 1l 2l 1l 2l 2l 1l 【答案】62° 2. (2011 山东德州 16,4 分)长为 1,宽为 a 的矩形纸片( ),如图那样折一下, 剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下, 剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第 n 此操作后,剩下的矩形为 正方形,则操作终止.当 n=3 时, a 的值为_____________. 【答案】 或 3. (2011 湖北鄂州,5,3 分)如图:矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个小 矩形的周长之和为_______. 【答案】28 4. (2011 山东烟台,17,4 分)如图,三个边长均为 2 的正方形重叠在一起,O1、O2 是其中 两个正方形的中心,则阴影部分的面积是 . 【答案】2 5. (2011 浙江湖州,16,4)如图,甲类纸片是边长为 2 的正方形,乙类纸片是边长为 1 的正 (第 17 题图) ED D′ C BA 12 1 << a 第一次操作 第二次操作 3 5 3 4 A B C D 第 5 题图 方形,丙类纸片是长、宽分别为 2 和 1 的长方形.现有甲类纸片 1 张,乙类纸片 4 张, 则应至少取丙类纸片 张,才能用它们拼成一个新的正方形. 【答案】4 6. (2011 浙江绍兴,15,5 分) 取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折,并沿图 3 中 过矩形顶点的斜线(虚线)剪开,那剪下的①这部分展开,平铺在桌面上,若平铺的这个图 形 是 正 六 边 形 , 则 这 张 矩 形 纸 片 的 宽 和 长 之 比 为 . 【答案】 7. (2011 甘肃兰州,20,4 分)如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再 依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为 1,则第 n 个矩形的面积为 。 【答案】 8. (2011 江苏泰州,18,3 分)如图,平面内 4 条直线 L1、L2、L3、L4 是一组平行线,相 邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度,正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这 些 平 行 线 上 , 其 中 点 A 、 C 分 别 在 直 线 L1 和 L4 上 , 该 正 方 形 的 面 积 是 平方单位. 【答案】5 或 9 9. (2011 山东潍坊,16,3 分)已知线段 AB 的长为 a,以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB.取 AB 边上一点 E,以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM.过 E 作 EF⊥CD, 垂 足 为 F 点 . 若 正 方 形 AENM 与 四 边 形 EFDB 的 面 积 相 等 , 则 AE 的 长 为 14 13 12 11 3 : 2 …… 1 1 4n− _________________. 【答案】 10.(2011 山东潍坊,17,3 分)已知长方形 ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线 BD 的 中 点 O 做 BD 的 垂 直 平 分 线 EF , 分 别 交 AD 、 BC 于 点 E 、 F , 则 AE 的 长 为 _______________. 【答案】 11. (2011 四川内江,16,5 分)如图,点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、 BD、BC、CA 的中点,当四边形 ABCD 的边至少满足 条件时,四边形 EFGH 是菱形. 【答案】AB=CD 12. (2011 重庆綦江,14,4 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,且 AC=8, BD=6,过点 O 作 OH⊥AB,垂足为 H,则点 O 到边 AB 的距离 OH= . 5 1 2 a − 7 8 cm A B C DE F G H 【答案】: 13. (2011 江苏淮安,17,3 分)在四边形 ABCD 中,AB=DC,AD=BC.请再添加一个条件, 使四边形 ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可) 【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或 AC=BD(答案不唯一,写出一种即可) 14. (2011 江苏南京,12,2 分)如图,菱形 ABCD 的连长是 2㎝,E 是 AB 中点,且 DE⊥AB,则菱形 ABCD 的面积为_________㎝2. 【答案】 15. (2011 江苏南通,15,3 分)如同,矩形纸片 ABCD 中,AB=2cm,点 E 在 BC 上,且 AE=EC.若将纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好与 AC 上的点 重合,则 AC= ▲ cm. 【答案】4 16. (2011 四川绵阳 17,4)如图,将长 8cm,宽 4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠,使点 A 与 C 重合,则折痕 EF 的长为_____cm. 【答案】2 5 17. (2011 四川凉山州,17,4 分)已知菱形 ABCD 的边长是 8,点 E 在直线 AD 上,若 5 12 (第 12 题) B A D C E 2 3 'B DE=3,连接 BE 与对角线 AC 相交于点 M,则 的值是 。 【答案】 或 18. (2011 湖北黄冈,5,3 分)如图:矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个 小矩形的周长之和为_______. 【答案】28 19. (2011 湖北黄石,13,3 分)有甲乙两张纸条,甲纸条的宽是乙纸条宽的 2 倍,如图 (4).将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形 ABCD,则 AB 与 BC 的 数量关系为 。 【答案】AB=2BC 20.(2011 山东日照,16,4 分)正方形 ABCD 的边长为 4,M、N 分别是 BC、CD 上的两 个动点,且始终保持 AM⊥MN.当 BM= 时,四边形 ABCN 的面积最大. 【答案】2; 21. (2011 河北,14,3 分)如图 6,已知菱形 ABCD,其顶点 A,B 在数轴对应的数分别为-4 和 1,则 BC=__. 【答案】5 22. (2010 湖北孝感,16,3 分)已知正方形 ABCD,以 CD 为边作等边△CDE,则∠AED 的度 数是 . 【答案】15°或 75° 23. 24. 25. 26. 27. 28. 图6 0 D A B C MC AM 8 5 8 11 A B C D 第 5 题图 三、解答题 1. (2011 浙江省舟山,23,10 分)以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向 外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形 EFGH. (1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发现四边形 EFGH 是正方形;如图 2, 当四边形 ABCD 为矩形时,请判断:四边形 EFGH 的形状(不要求证明); (2)如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC= (0°< <90°), ① 试用含 的代数式表示∠HAE; ② 求证:HE=HG; ③ 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由. 【答案】(1)四边形 EFGH 是正方形.     (2) ①∠HAE=90°+a. 在□ABCD 中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a; ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°, ∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a. ②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形,∴AE= AB,DG= CD, 在□ABCD 中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形, ∴∠DHA=∠CDG= 45°,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE. ∵△HAD 是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG. ③四边形 EFGH 是正方形. 由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE,∴四边形 EFGH 是菱形;∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE,又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°, ∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°,∴四边形 EFGH 是正方形. 2. (2011 安徽,23,14 分)如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 、 、 、 上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 、 、 ( >0, >0, >0). (1)求证: = ; α α α A B C D H E F G (第 23 题图 2) E B F G D H A C (第 23 题图 3)(第 23 题图 1) A B C D H E F G 2 2 2 2 1l 2l 3l 4l 1h 2h 3h 1h 2h 3h 1h 3h (2)设正方形 ABCD 的面积为 S,求证:S= ; (3)若 ,当 变化时,说明正方形 ABCD 的面积 S 随 的变化情况. 【答案】(1)过 A 点作 AF⊥l3 分别交 l2、l3 于点 E、F,过 C 点作 CG⊥l3 交 l3 于点 G, ∵l2∥l3,∴∠2 =∠3,∵∠1+∠2=90°,∠4+∠3=90°,∴∠1=∠4, 又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC,∴△BEA≌△DGC,∴AE=CG,即 = ; (2)∵∠FAD+∠3=90°,∠4+∠3=90°,∴∠FAD =∠4,又∵∠AFD= ∠ DGC=90 ° , AD=DC , ∴ △ AFD ≌ △ DGC , ∴ DF=CG , ∵ AD2=AF2+FD2,∴S= ; (3)由题意,得 , 所以 , l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 A B C D 2 1 2 21 )( hhh ++ 12 3 21 =+ hh 1h 1h l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 A B C D E F G 1 4 2 3 1h 3h 2 1 2 21 )( hhh ++ 12 3 2 1 hh −= 5 4 5 2 4 5 14 5 2 31 2 1 1 2 1 2 1 2 11 +     −= +−=+     −+= h hhhhhS 又 ,解得 0<h1< ∴当 0<h1< 时,S 随 h1 的增大而减小; 当 h1= 时,S 取得最小值 ; 当 <h1< 时,S 随 h1 的增大而增大. 3. (2011 福建福州,21,12 分)已知,矩形 中, , , 的垂直平 分线 分别交 、 于点 、 ,垂足为 . (1)如图 10-1,连接 、 .求证四边形 为菱形,并求 的长; (2)如图 10-2,动点 、 分别从 、 两点同时出发,沿 和 各边匀速运动 一周.即点 自 → → → 停止,点 自 → → → 停止.在运动过程中, ①已知点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒,当 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求 的值. ②若点 、 的运动路程分别为 、 (单位: , ),已知 、 、 、 四 点为顶点的四边形是平行四边形,求 与 满足的数量关系式. 【答案】(1)证明:①∵四边形 是矩形 ∴ ∥ ∴ , ∵ 垂直平分 ,垂足为 ∴ ∴ ≌ ∴ ∴四边形 为平行四边形 又∵ ∴四边形 为菱形 ②设菱形的边长 ,则 在 中, 由勾股定理得 ,解得 ∴ (2)①显然当 点在 上时, 点在 上,此时 、 、 、 四点不可能构成平行 四边形;同理 点在 上时, 点在 或 上,也不能构成平行四边形.因此 只有当 点在 上、 点在 上时,才能构成平行四边形 ∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,    〉− 〉 02 31 0 1 1 h h 3 2 5 2 5 2 5 4 5 2 3 2 ABCD 4AB cm= 8BC cm= AC EF AD BC E F O AF CE AFCE AF P Q A C AFB∆ CDE∆ P A F B A Q C D E C P cm Q cm t A C P Q t P Q a b cm 0ab ≠ A C P Q a b A B C DE F 图 10-1 O 图 10-2 A B C DE F P Q 备用图 A B C DE F P Q ABCD AD BC CAD ACB∠ = ∠ AEF CFE∠ = ∠ EF AC O OA OC= AOE∆ COF∆ OE OF= AFCE EF AC⊥ AFCE AF CF xcm= = (8 )BF x cm= − Rt ABF∆ 4AB cm= 2 2 24 (8 )x x+ − = 5x = 5AF cm= P AF Q CD A C P Q P AB Q DE CE P BF Q ED A C P Q PC QA= ∵点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒 ∴ , ∴ ,解得 ∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时, 秒. ②由题意得,以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 、 在 互相平行的对应边上. 分三种情况: i)如图 1,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得 ii) 如 图 2, 当 点 在 上 、 点 在 上 时 , , 即 , 得 iii) 如 图 3, 当 点 在 上 、 点 在 上 时 , , 即 , 得 综上所述, 与 满足的数量关系式是 4. (2011 广东广州市,18,9 分) 如图 4,AC 是菱形 ABCD 的对角线,点 E、F 分别在边 AB、AD 上,且 AE=AF. 求证:△ACE≌△ACF. 【答案】∵四边形 ABCD 为菱形 ∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF,AC=AC ∴△ACE≌△ACF(SAS) 5. (2011 山东滨州,24,10 分)如图,在△ABC 中,点 O 是 AC 边上(端点除外)的一个 动点,过点 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于 点 F,连接 AE、AF。那么当点 O 运动到何下时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论。 P cm Q cm t 5PC t= 12 4QA t= − 5 12 4t t= − 4 3t = A C P Q 4 3t = A B C DE FP Q A C P Q P Q P AF Q CE AP CQ= 12a b= − 12a b+ = P BF Q DE AQ CP= 12 b a− = 12a b+ = P AB Q CD AP CQ= 12 a b− = 12a b+ = a b 12a b+ = ( 0)ab ≠ A B C DE F P Q A B DE FP Q C A B C DE F P Q 图 1 图 2 图 3 A B C D E F 图 4 【答案】 当点 O 运动到 AC 的中点(或 OA=OC)时, 四边形 AECF 是矩形………………2 分 证明:∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2,………………3 分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3, ∴∠3=∠2,∴EO=CO. ………………5 分 同理,FO=CO………………6 分 ∴EO=FO 又 OA=OC, ∴四边形 AECF 是平行四边形………………7 分 又∵∠1=∠2,∠4=∠5, ∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8 分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180° ∴∠2+∠4=90°………………9 分 ∴四边形 AECF 是矩形………………10 分 6. (2011 山东济宁,22,8 分)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图 ,正方形 的边长为 , 为边 延长线上的一点, 为 的中点, 的垂直平分线交边 于 ,交边 的延长线于 .当 时, 与 的比值是多少? 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过 作直线平行于 交 , 分别 于 , ,如图 ,则可得: ,因为 ,所以 .可求出 和 的值,进而可求得 与 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2)小东又对此题作了进一步探究,得出了 的结论.你认为小东的这个结论正 确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由. (第 24 题图) FE NM O CB A 1 ABCD 12 P BC E DP DP DC M AB N 6CP = EM EN E BC DC AB F G 2 DF DE FC EP = DE EP= DF FC= EF EG EM EN DP MN= (1)解:过 作直线平行于 交 , 分别于点 , , 则 , , . ∵ ,∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 ∴ , . ∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 (2)证明:作 ∥ 交 于点 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 则 , . ∵ , ∴ . ∵ , , ∴ .∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 ∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 7. (2011 山东威海,24,11 分)如图,ABCD 是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在 矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M,在 CD 上取一点 N,将纸片沿 MN 折叠,使 MB 与 DN 交 于点 K,得到△MNK. (第 22 题) E BC DC AB F G DF DE FC EP = EM EF EN EG = 12GF BC= = DE EP= DF FC= 1 1 6 32 2EF CP= = × = 12 3 15EG GF EF= + = + = 3 1 15 5 EM EF EN EG = = = MH BC AB H MH CB CD= = 90MHN∠ = ° 180 90 90DCP∠ = ° − ° = ° DCP MHN∠ = ∠ 90MNH CMN DME CDP∠ = ∠ = ∠ = ° − ∠ 90DPC CDP∠ = ° − ∠ DPC MNH∠ = ∠ DPC MNH∆ ≅ ∆ DP MN= (第 22 题) H B C D E M N A P (1)若∠1=70°,求∠MNK 的度数. (2)△MNK 的面积能否小于 ?若能,求出此时∠1 的度数;若不能,试说明理由. (3)如何折叠能够使△MNK 的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况,求出最大 值. (备用图) 【答案】 解:∵ABCD 是矩形, ∴AM∥DN, ∴∠KNM=∠1. ∵∠KMN=∠1, ∴∠KNM=∠KMN. ∵∠1=70°, ∴∠KNM=∠KMN=70°. ∴∠MNK=40°. (2)不能. 过 M 点作 ME⊥DN,垂足为点 E,则 ME=AD=1, 由(1)知∠KNM=∠KMN. ∴MK=NK. 又 MK≥ME, ∴NK≥1. ∴ . ∴△MNK 的面积最小值为 ,不可能小于 . (3)分两种情况: 情况一:将矩形纸片对折,使点 B 与点 D 重合,此时点 K 也与点 D 重合. 1 2 1 1 2 2MNKS NK ME∆ = ⋅ ≥ 1 2 1 2 设 MK=MD=x,则 AM=5-x,由勾股定理,得 , 解得, . 即 . ∴ . (情况一) 情况二:将矩形纸片沿对角线 AC 对折,此时折痕为 AC. 设 MK=AK= CK=x,则 DK=5-x,同理可得 即 . ∴ . ∴△MNK 的面积最大值为 1.3. (情况二) 8. (2011 山东烟台,24,10 分)已知:如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°, CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2. (1)求证:AB=BC; (2)当 BE⊥AD 于 E 时,试证明:BE=AE+CD. 【答案】(1)证明:连接 AC, ∵∠ABC=90°, ∴AB2+BC2=AC2. ∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2. ∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2, ∴AB=BC. (2)证明:过 C 作 CF⊥BE 于 F. ∵BE⊥AD,∴四边形 CDEF 是矩形. ∴CD=EF. ∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°, 2 2 21 (5 )x x+ − = 2.6x = 2.6MD ND= = 1 1 2.6 1.32MNK ACKS S∆ ∆= = × × = 2.6MK NK= = 1 1 2.6 1.32MNK ACKS S∆ ∆= = × × = A B C DE ∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF. ∴AE=BF. ∴BE=BF+EF =AE+CD. 9. (2011 浙江湖州,22,8) 如图已知 E、F 分别是 □ABCD 的边 BC、AD 上的点,且 BE=DF. (1) 求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2) 若 BC=10,∠BAC=90°,且四边形 AECF 是菱形,求 BE 的长 . 【答案】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,且 AD=BC,∴AF∥EC,∵ BE=DF, ∴AF=EC,∴四边形 AECF 是平行四边形. (2)∵四边形 AECF 是,∴AE=CE,∴∠1=∠2,∵∠BAC=90°,∴∠3=∠90°-∠2,∠ 4=∠90°-∠1,∴∠3=∠4,∴AE=BE,∴BE=AE=CE= BC=5. 10.(2011 宁波市,23,8 分)如图,在□ABCD 中,E、F 分别为边 ABCD 的中点,BD 是 对角线,过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G. (1)求证:DE∥BF; (2)若∠G=90,求证四边形 DEBF 是菱形. 解:(1)□ABCD 中,AB∥CD,AB=CD ∵E、F 分别为 AB、CD 的中点 ∴DF= 1 2DC,BE= 1 2AB ∴DF∥BE,DF=BE ∴四边形 DEBF 为平行四边形 ∴DE∥BF (2)证明:∵AG∥BD ∴∠G=∠DBC=90° ∴ DBC 为直角三角形 1 2 ∆ (第 22 题) 又∵F 为边 CD 的中点. ∴BF= 1 2DC=DF 又∵四边形 DEBF 为平行四边形 ∴四边形 DEBF 是菱形 11. (2011 浙江衢州,22,10 分)如图, 中, 是边 上的中线,过点 作 ,过点 作 与 分别交于点 、点 ,连接 求证: ; 当 时,求证:四边形 是菱形; 在(2)的条件下,若 ,求 的值. 【答案】.证明:(1) 解法 1:因为 DE//AB,AE//BC,所以四边形 ABDE 是平行四边形, 所以 AE//BD 且 AE=BD,又因为 AD 是边 BC 上的中线,所以 BD=CD,所以 AE 平行且等于 CD, 所以四边形 ADCE 是平行四边形,所以 AD=EC. 解法 2: 又 (2)解法 1: 证明 是斜边 上的中线 又 四边形 是平行四边形 四边形 是菱形 解法 2 证明: 又 四边形 是平行四边形 O D A E B C ABC∆ AD BC A AE BC D ,DE AB DE AC AE、 O E EC AD EC= RtBAC∠ = ∠ ADCE AB AO= tan OAD∠ / / , / / ,DE AB AE BC ABDE B EDC∴ ∠ = ∠四边形 是平行四边形, AB DE∴ = AD BC 是边 上的中线 BD CD∴ = ( )ABD EDC SAS∴ ≅  AD ED∴ = Rt ,BAC AD∠ = ∠ BC AD BD CD∴ = =  ADCE  ADCE / / , RtDE AB BAC∠ = ∠ DE AC∴ ⊥  ADCE 四边形 是菱形 解法 3 证明: 四边形 是平行四边形 又 四边形 是菱形 解法 1 解: 四边形 是菱形 的中位线,则 解法 2 解: 四边形 是菱形 12. (2011 浙江省嘉兴,23,12 分)以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别 向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形 EFGH. (1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发现四边形 EFGH 是正方形;如图 2, 当四边形 ABCD 为矩形时,请判断:四边形 EFGH 的形状(不要求证明);  ADCE RtBAC AD BC∠ = ∠ , 是斜边 上的中线 AD BD CD∴ = =  ABDE AE BD CD∴ = = AD EC AD CD CE AE = ∴ = = =  ∴ ADCE  ADCE , 90AO CO AOD BD CD ∴ = ∠ = ° =又 OD ABC∴ ∆是 1 2OD AB= 1 2 AB AO OD AO = ∴ =  1Rt tan 2 ODABC OAD OA ∴ ∆ ∠ = =在 中,  ADCE 1 , , 902 1 2 AO CO AC AD CD AOD AB AO AB AC ∴ = = = ∠ = ° = ∴ =  1Rt tan 2 1tan tan 2 ABABC ACB AC AD CD DAC DCA OAD ACB ∴ ∠ = = = ∴∠ = ∠ ∴ ∠ = ∠ =   在 中, (2)如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC= (0°< <90°), ① 试用含 的代数式表示∠HAE; ② 求证:HE=HG; ③ 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由. 【答案】(1)四边形 EFGH 是正方形.     (2) ①∠HAE=90°+a. 在□ABCD 中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a; ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°, ∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a. ②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形,∴AE= AB,DG= CD, 在□ABCD 中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形, ∴∠DHA=∠CDG= 45°,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE. ∵△HAD 是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG. ③四边形 EFGH 是正方形. 由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE,∴四边形 EFGH 是菱形;∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE,又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°, ∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°,∴四边形 EFGH 是正方形. 13. (2011 福建泉州,21,9 分)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把△ACD 沿 CA 方向平移得到△A1C1D1. (1)证明:△A1AD1≌△CC1B; (2)若∠ACB=30°,试问当点 C1 在线段 AC 上的什么位置时,四边形 ABC1D1 是菱形. (直接 写出答案) 【答案】 ∵矩形 ABCD ∴BC=AD,BC∥AD ∴∠DAC=∠ACB ∵把△ACD 沿 CA 方向平移得到△A1C1D1. ∴∠A1=∠DAC,A1D 1=AD,AA1=CC1 α α α A B C D H E F G (第 23 题图 2) E B F G D H A C (第 23 题图 3)(第 23 题图 1) A B C D H E F G 2 2 2 2 ∴∠A1=∠ACB,A1D1=CB。 ∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)。……………6 分 当 C1 在 AC 中点时四边形 ABC1D1 是菱形,……………9 分 14. (2011 甘肃兰州,27,12 分)已知:如图所示的一张矩形纸片 ABCD(AD>AB),将 纸片折叠一次,使点 A 与点 C 重合,再展开,折痕 EF 交 AD 边于点 E,交 BC 边于点 F, 分别连结 AF 和 CE。 (1)求证:四边形 AFCE 是菱形; (2)若 AE=10cm,△ABF 的面积为 24cm2,求△ABF 的周长; (3)在线段 AC 上是否存在一点 P,使得 2AE2=AC·AP?若存在,请说明点 P 的位置,并 予以证明;若不存在,请说明理由。 【答案】(1)由折叠可知 EF⊥AC,AO=CO ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF ∴EO=FO ∴四边形 AFCE 是菱形。 (2)由(1)得 AF=AE=10 设 AB=a,BF=b,得 a2+b2=100 ①,ab=48 ② ①+2×②得 (a+b)2=196,得 a+b=14(另一负值舍去) ∴△ABF 的周长为 24cm (3)存在,过点 E 作 AD 的垂线交 AC 于点 P,则点 P 符合题意。 C B A D A1 C1 D1 (第 21 题) A B C DE F O 证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP ∴ ,得 AE2=AO·AP 即 2AE2=2AO·AP 又 AC=2AO ∴2AE2=AC·AP 15. (2011 广东株洲,23,8 分)如图,矩形 ABCD 中,点 P 是线段 AD 上一动点,O 为 BD 的 中点, PO 的延长线交 BC 于 Q. (1)求证: OP=OQ; (2)若 AD=8 厘米,AB=6 厘米,P 从点 A 出发,以 1 厘米/秒的速度向 D 运动(不与 D 重 合).设点 P 运动时间为 t 秒,请用 t 表示 PD 的长;并求 t 为何值时,四边形 PBQD 是菱 形. 【答案】(1)证明: 四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC, ∴∠PDO=∠QBO,又 OB=OD,∠POD=∠QOB, ∴△POD≌△QOB, ∴OP=OQ。 (2)解法一: PD=8-t ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°, ∵AD=8cm,AB=6cm,∴BD=10cm,∴OD=5cm. 当四边形 PBQD 是菱形时, PQ⊥BD,∴∠POD=∠A,又∠ODP=∠ADB, ∴△ODP∽△ADB, ∴ ,即 , A B C DE F O P AO AE AE AP =  OD AD PD BD = 5 8 8 10t =− 解得 ,即运动时间为 秒时,四边形 PBQD 是菱形. 解法二:PD=8-t 当四边形 PBQD 是菱形时,PB=PD=(8-t)cm, ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°,在 RT△ABP 中,AB=6cm, ∴ , ∴ , 解得 ,即运动时间为 秒时,四边形 PBQD 是菱形. 16. (2011 江苏苏州,28,9 分)(本题满分 9 分)如图①,小慧同学吧一个正三角形纸片 (即△OAB)放在直线 l1 上,OA 边与直线 l1 重合,然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时 针方向旋转 120°,此时点 O 运动到了点 O1 处,点 B 运动到了点 B1 处;小慧又将三角形纸 片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 120°,点 A 运动到了点 A1 处,点 O1 运动到了点 O2 处 (即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2 处). 小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点 O 运动所形成的图形是两段圆 弧,即弧 OO1 和弧 O1O2,顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两端圆弧 与直线 l1 围成的图形面积等于扇形 AOO1 的面积、△AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之 和. 小慧进行类比研究:如图②,她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上,OA 边与直线 l2 重合,然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°,此时点 O 运动到 了点 O1 处(即点 B 处),点 C 运动到了点 C1 处,点 B 运动到了点 B1 处;小慧又将正方形 纸片 AO1C1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 90°,……,按上述方法经过若干次旋转后,她提 出了如下问题: 问题①:若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转,求顶点 O 经过的路程,并求 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积;若正方形 OABC 按上述方 法经过 5 次旋转,求顶点 O 经过的路程; 问题②:正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转,顶点 O 经过的路程是 π? 请你解答上述两个问题. 【答案】解问题①:如图,正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转,顶点 O 运动所形成的图形是 三段弧,即弧 OO1、弧 O1O2 以及弧 O2O3, ∴顶点 O 运动过程中经过的路程为 7 4t = 7 4 2 2 2AP AB BP+ = 2 2 26 (8 )t t+ = − 7 4t = 7 4 2 22041+ . 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积为 =1+π. 正方形 OABC 经过 5 次旋转,顶点 O 经过的路程为 . 问题②:∵方形 OABC 经过 4 次旋转,顶点 O 经过的路程为 ∴ π=20× π+ π. ∴正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转. 17. (2011 江苏泰州,24,10 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,直线 L 垂直平分线段 AC, 垂足为 O,直线 L 分别与线段 AD、CB 的延长线交于点 E、F. (1)△ABC 与△FOA 相似吗?为什么? (2)试判定四边形 AFCE 的形状,并说明理由. 【答案】(1)相似.由直线 L 垂直平分线段 AC,所以 AF=FC,∴∠FAC=∠ACF,又∵∠ ABC=∠AOF=90°,∴△ABC∽FOA. (2)四边形 AFCE 是菱形。理由:∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,又∵AO=CO,∠AOE= ∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,又 AE∥CF,∴四边形 AFCE 为平行四边形,又 AF=FC,所以平行四边形 AFCE 为菱形. 18. (2011 江苏泰州,28,12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,边长为 a(a 为大于 0 的常数) 的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P,顶点 A 在 x 轴正半轴上运动,顶点 B 在 y 轴正半轴上运动(x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O),顶点 C、D 都在第一象 l O A F E CB D πππ )2 21(180 2902180 190 +=⋅⋅+×⋅⋅ 112 12360 )2(902360 190 22 ×××+⋅⋅+×⋅⋅ ππ πππ )2 2 2 3(180 2903180 190 +=⋅⋅+×⋅⋅ πππ )2 21(180 2902180 190 +=⋅⋅+×⋅⋅ 2 22041+ )2 21( + 2 1 限. (1)当∠BAO=45°时,求点 P 的坐标; (2)求证:无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动,点 P 都在∠AOB 的平 分线上; (3)设点 P 到 x 轴的距离为 h,试确定 h 的取值范围,并说明理由. 【答案】解:(1)当∠BAO=45°时,∠PAO=90°,在 Rt ⊿AOB 中,OA= AB= ,在 Rt⊿APB 中,PA= AB= 。∴点 P 的坐标为( , ) (2)过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线垂足分别为 M、N,则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠ BPA=90°,∴∠MPA=∠NPB,又 PA=PB,∴ △PAM≌△PBN,∴PM=PN,于是,点 P 都在∠AOB 的平分线上; (3) <h≤ 。当点 B 与点 O 重合时,点 P 到 AB 的距离为 ,然后顶点 A 在 x 轴正半轴上向左运动,顶点 B 在 y 轴正半轴上向上运动时,点 P 到 AB 的距离逐渐增大,当∠ BAO=45°时,PA⊥x 轴,这时点 P 到 AB 的距离最大为 ,然后又逐渐减小到 ,∵x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O ,∴点 P 到 x 轴的距离的取值范围是 <h≤ y O P D C x B A y O P D C x B A N M 2 2 a2 2 2 2 a2 2 a2 2 a2 2 2 a a2 2 2 a a2 2 2 a 2 a 。 19. (2011 山东济宁,17, 5 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于 点 O,过点 O 作直线 EF⊥BD,分别交 AD、BC 于点 E 和点 F,求证:四边形 BEDF 是菱 形. 【答案】证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AD∥BC,OB=OD,…………………………………………1 分 ∴∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB,…………………………2 分 ∴△OED≌△OFB, ∴DE=BF,………………………………………………………3 分 又∵DE∥BF, ∴四边形 BEDF 是平行四边形,………………………………4 分 ∵EF⊥BD, ∴四边形 BEDF 是菱形.………………………………………5 分 20.(2011 山东聊城,25,12 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=8cm,点 E、 F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点 E、G 的速 度均为 2cm/s,点 F 的速度为 4cm/s,当点 F 追上点 G(即点 F 与点 G 重合)时,三个 点随之停止移动.设移动开始后第 t 秒时,△EFG 的面积为 S(cm2). (1)当 t=1 秒时,S 的值是多少? (2)写出 S 和 t 之间的函数解析式,并指出自变量 t 的取值范围. (3)若点 F 在矩形的边 BC 上移动,当 t 为何值时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与 以 F、C、G 为顶点的三角形相似?请说明理由. 【答案】(1)如图甲,当 t=1 秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2,由 S a2 2 O F E D CB A 第 17 题 =S 梯形 EGCG-SEBF-SFCG= (10+2)×8- ×10×4- ×4×2=24 (2)如图(甲),当 0≤t≤2 时,点 E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上移动,此时 AE=2t, EB=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,S=8t2-32t+48(0≤t≤2) (3)如图乙,当点 F 追上点 G 时,4t=2t=8,解得 t=4,当 2<t≤4 时,CF=4t-8, CG=2t,FG=CG-CF=8-2t,即 S=-8t+32(2<t≤4), (3)如图(甲),当点 F 在矩形的边 BC 上移动时,0≤t≤2,在 EFF 和 FCG 中,B=C=90,,① 若 ,即 ,解得 t= ,又 t= 满足 0≤t≤2,所以当 t= 时△EBF∽△ GCF②若 ,即 ,解得 t= ,又 t= 满足 0≤t≤2,所以当 t= 时△EBF∽△GCF,综上知,当 t= 或 时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶点的三角形相似 21. (2011 山东潍坊,18,8 分)已知正方形 ABCD 的边长为 a,两条对角线 AC、BD 相交 于点 O,P 是射线 AB 上任意一点,过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线 PE、PF,垂足 为 E、F. (1)如图 1,当 P 点在线段 AB 上时,求 PE+PF 的值; (2)如图 2,当 P 点在线段 AB 的延长线上时,求 PE-PF 的值. 2 1 2 1 2 1 CG BF FC EB = t t t t 2 4 48 212 =− − 3 2 3 2 3 2 CF BF GC EB = t t t t 48 4 2 212 −=− 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 【解】(1)∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形,故 PE=OF. 又∵∠PBF=45°,∴PF=BF. ∴PE+PF=OF+FB=OB= . (2)∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形,故 PE=OF. 又∵∠PBF=45°,∴PF=BF. ∴PE-PF=OF-BF= OB= . 22. (2011 四川广安,23,8 分)如图 5 所示,在菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°,DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E.求证:DE= BE 【答案】证明:∵ABCD 是菱形,∠ABC= 60° ∴BC=AC=AD 又∵DE∥AC ∴ACED 为平行四边形 ∴CE=AD=BC DE=AC ∴DE=CE=BC ∴DE= BE 23. (2011 江苏南京,21,7 分)如图,将□ABCD 的边 DC 延长到点 E,使 CE=DC,连接 AE,交 BC 于点 F. ⑴求证:△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D,连接 AC、BE.求证:四边形 ABEC 是矩形. E D CB A 2cos 45 2 a a° = 2cos 45 2 a a° = 1 2 1 2 图 5 【答案】证明:⑴∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC. 在△ABF 和△ECF 中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC, ∴⊿ABF≌⊿ECF. (2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形 ABEC 是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC. ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB. ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴口 ABEC 是矩形. 解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形 ABEC 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE. 又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE, ∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD. 又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°. ∴口 ABEC 是矩形. 24. (2011 江苏南通,26,10 分)(本体满分 10 分) 已知:如图 1,O 为正方形 ABCD 的中心,分别延长 OA 到点 F,OD 到点 E,使 OF= 2OA,OE=2OD,连结 EF,将△FOE 绕点 O 逆时针旋转α角得到△ (如图 2). (1) 探究 AE′与 BF'的数量关系,并给予证明; (2) 当α=30°时,求证:△AOE′为直角三角形. 【答案】(1)AE′=BF 证明:如图 2, ∵在正方形 ABCD 中, AC⊥BD ∴∠ =∠AOD=∠AOB=90° 即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′ ∴∠AOE′=∠BOF′ 又∵OA=OB=OD,OE′=2OD,OF′=2OA ∴OE′=OF′ A B C D E F (第 21 题) ' 'F OE ' 'F OE ∴△OAE′≌△OBF′ ∴AE′=BF (2)作△AOE′的中线 AM,如图 3. 则 OE′=2OM=2OD=2OA ∴OA=OM ∵α=30° ∴∠AOM=60° ∴△AOM 为等边三角形 ∴ MA=MO=ME′,∠ =∠ 又∵∠ +∠ =∠AMO 即 2∠ =60° ∴∠ =30° ∴∠ +∠AOE′=30°+60°=90° ∴△AOE′为直角三角形. 25. (2011 山东临沂,22,7 分)如图,△ABC 中,AB=AC,AD、CD 分别是△ABC 两 个外角的平分线.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,=2CD,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,线段 OA,OB 的中点分别为点 E,F (1)求证:AC=AD; (2)若∠B=60°,求证:四边形 ABCD 是菱形; 【解】(1)证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠BCA, ∴∠EAC=∠B+∠BCA=2∠B, ∵AD 平分∠FAC, ∴∠FAD=∠B, ∴AD∥BC,……………………………………………………………………(2 分) ∴∠D=∠DCE, 'AE M 'E AM 'AE M 'E AM 'AE M 'AE M 'AE M ∵CD 平分∠ACE, ∴∠ACD=∠DCE, ∴∠D=∠ACD,………………………………………………………………(3 分) ∴AC=AD;……………………………………………………………………(4 分) (2)证明:∵∠B=60°, ∴∠ACB=60°,∠FAC=∠ACE=120°, ∴∠DCE=∠B=60°,………………………………………………………(5 分) ∴DC∥AB, ∵AD∥BC, ∴四边形 ABCD 为平行四边形,……………………………………………(6 分) 又由(1)知 AC=AD, ∴AB=AD, ∴四边形 ABCD 是菱形.……………………………………………………(7 分) 26. (2011 山东临沂,25,11 分)如图 1,奖三角板放在正方形 ABCD 上,使三角板的直角 顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合,三角板的一边交 CD 于点 F,另一边交 CB 的延长 线于点 G. (1)求证:EF=EG; (2)如图 2,移动三角板,使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,其他条件不 变.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由; (3)如图 3,将(2)中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”,且使三角板的一边 经过点 B,其他条件不变,若 AB=a,BC=b,求 的值. 图 1 图 2 图 3 (1)证明:∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°, ∴∠DEF=GEB,………………………………………………( 1 分) 又∵ED=BE, ∴Rt△FED≌Rt△GEB,…………………………………………( 2 分) ∴EF=EG.……………………………………………………( 3 分) (2)成立.……………………………………………………………………( 4 分) 证明:如图,过点 E 分别作 BC、CD 的垂线,垂足分别为 H、I, 则 EH=EI,∠HEI=90°,…………………………………( 5 分) ∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°, ∴∠IEF=∠GEH,……………………………………………( 6 分) ∴Rt△FEI≌Rt△GEH, ∴EF=EG.………………………………………………………(7 分) EG EF (3)解:如图,过点 E 分别作 BC、CD 的垂线,垂足分别为 M、N , 则∠MEN=90°,EM∥AB,EN∥AD,………………………( 8 分) ∴ = = , ∴ = = , …………………………………………(9 分) ∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°, ∴∠FEN=∠GEM, ∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………(10 分) ∴ = = .…………………………………………(11 分) 27. (2011 上海,23,12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC,过点 D 作 DE⊥ BC,垂足为 E,并延长 DE 至 F,使 EF=DE.联结 BF、CF、AC. (1)求证:四边形 ABFC 是平行四边形; (2)如果 DE2=BE·CE,求证四边形 ABFC 是矩形. 【答案】(1)连接 BD. ∵DE⊥BC,EF=DE, ∴BD=BF,CD=CF. ∵在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC, ∴四边形 ABCD 是等腰梯形. ∴BD=AC. ∴AC=BF,AB=CF. ∴四边形 ABFC 是平行四边形. A B D F CE AB EM CA CE AD EN EN EM AD AB b a EG EF EM EN a b (2)∵DE2 =BE·CE,EF=DE, ∴EF2 =BE·CE. ∴ . 又∵DE⊥BC, ∴∠CEF=∠FEB=90°. ∴△CEF∽△FEB. ∴∠CFE=∠FBE. ∵∠FBE+∠BFE=90°, ∴∠CFE +∠BFE=90°. 即∠BFC=90°. 由(1)知四边形 ABFC 是平行四边形, ∴证四边形 ABFC 是矩形. 20.28. (2011 四川乐山 20,10 分)如图,E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上 的点,且 AE=DF。求证:BE=CF 【答案】 证明:∵四边形 ABCD 为矩形 ∴OA=OB=OC=OD AB=CD ∵AE=DF ∴OE=OF 在 ΔBOE 与 ΔCOF 中, ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF F E D CB A EF CE BE EF =    = ∠=∠ = OFOE COFBOE OCOB 29. (2011 湖南衡阳,26,10 分)如图,在矩形 ABCD 中,AD=4,AB=m(m>4),点 P 是 AB 边上的任意一点(不与 A、B 重合),连结 PD,过点 P 作 PQ⊥PD,交直线 BC 于点 Q. (1)当 m=10 时,是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合?若存在,求出此时 AP 的长;若 不存在,说明理由; (2)连结 AC,若 PQ∥AC,求线段 BQ 的长(用含 m 的代数式表示) (3)若△PQD 为等腰三角形,求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函 数关系式,并写出 m 的取值范围. 【解】(1) 假设当 m=10 时,存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合(如下图), ∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°, 又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP, 又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴ , ∴ ,∴ 或 8,∴存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合,出此时 AP 的 长 2 或 8. (2) 如下图,∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠BPQ=∠ADP,∴∠BAC=∠ADP,又∠ B=∠DAP=90°,∴△ABC∽△DAP,∴ ,即 ,∴ . ∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△PBQ∽△ABC, ,即 ,∴ . (3)由已知 PQ⊥PD,所以只有当 DP=PQ 时,△PQD 为等腰三角形(如图), ∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP, PB BC DA AP = 10 4 4 AP AP − = 2AP = AB BC DA AP = 4 4 m AP = 16AP m = PB BQ AB BC = 16 4 m BQm m − = 2 164BQ m = − ∴PB=DA=4,AP=BQ= , ∴以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式为:S 四边形 PQCD= S 矩形 ABCD-S△DAP-S△QBP= = =16(4< ≤8). 30. (2011 贵州贵阳,18,10 分) 如图,点 E 是正方形 ABCD 内一点,△CDE 是等边三角形,连接 EB、EA,延长 BE 交 边 AD 于点 F. (1)求证:△ADE≌△BCE;(5 分) (2)求∠AFB 的度数.(5 分) (第 18 题图) 【答案】解:(1)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC. ∵△CDE 是等边三角形, ∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE. ∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°, ∴∠ADE=∠BCE=30°. ∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE, ∴△ADE≌△BCE. (2)∵△ADE≌△BCE, ∴AE=BE, ∴∠BAE=∠ABE. ∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∠BAE=∠ABE, ∴∠DAE=∠AFB. ∵AD=CD=DE, ∴∠DAE=∠DEA. ∵∠ADE=30°, ∴∠DAE=75°, ∴∠AFB=75°. 31. (2011 广东肇庆,20,7 分)如图,在正方形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,连接 EB、ED. (1)求证:△BEC≌△DEC; (2)延长 BE 交 AD 于点 F,若∠DEB = 140,求∠AFE 的度数. 4m − 1 1 2 2DA AB DA AP PB BQ× − × × − × × ( ) ( )1 14 4 4 4 42 2m m m− × × − − × × − m 【答案】解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形 ∴CD=CB, ∵AC 是正方形的对角线 ∴∠DCA=∠BCA 又 CE = CE ∴△BEC≌△DEC (2)∵∠DEB = 140 由△BEC≌△DEC 可得∠DEC =∠BEC=1402=70, ∴∠AEF =∠BEC=70, 又∵AC 是正方形的对角线, ∠DAB=90 ∴∠DAC =∠BAC=902=45, 在△AEF 中,∠AFE=180— 70— 45=65 32. (2011 广东肇庆,22,8 分)如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,DE∥AC,CE∥ BD. (1)求证:四边形 OCED 是菱形; (2)若∠ACB=30,菱形 OCED 的面积为 ,求 AC 的长. 【答案】解:(1)证明:∵DE∥OC ,CE∥OD,∴四边形 OCED 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AO=OC=BO=OD ∴四边形 OCED 是菱形. (2)∵∠ACB=30° ∴∠DCO = 90°— 30°= 60° 又∵OD= OC, ∴△OCD 是等边三角形 过 D 作 DF⊥OC 于 F,则 CF= OC,设 CF= ,则 OC= 2 ,AC=4 A BC D E F 38 A B C D E O A B C D E O 图 8 F 2 1 x x x 在 Rt△DFC 中,tan 60°= ∴DF=FC tan 60° 由已知菱形 OCED 的面积为 得 OC DF= ,即 , 解得 =2, ∴ AC=42=8 33. (2011 湖北襄阳,25,10 分) 如图 9,点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点(不与点 A,B 重合),连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE,PE 交边 BC 于点 F,连接 BE,DF. (1)求证:∠ADP=∠EPB; (2)求∠CBE 的度数; (3)当 的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由. 【答案】 (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠A=∠PBC=90°,AB=AD,∴∠ADP+∠APD=90°∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 ∵∠DPE=90° ∴∠APD+∠EPB=90° ∴∠ADP=∠EPB.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 (2)过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G,则∠EGP=∠A=90°∙∙∙∙∙∙3 分 又∵∠ADP=∠EPB,PD=PE,∴△PAD≌△EGP ∴EG=AP,AD=AB=PG,∴AP=EG=BG ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 ∴∠CBE=∠EBG=45°. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 (3)方法一: 当 时,△PFE∽△BFP.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 设 AD=AB=a,则 AP=PB= ,∴BF=BP· ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 GP F E D C BA FC DF x3= 38 38 3832 =⋅ xx x AB AP P F E D C BA 图 9 2 1= AB AP a2 1 aAD AP 4 1= ∴ , ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 又∵∠DPF=∠PBF=90°,∴△ADP∽△BFP∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 方法二: 假设△ADP∽△BFP,则 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 ∴ ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 ∴ , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 ∴PB=AP, ∴当 时,△PFE∽△BFP. 10 分 34. (2011 湖南永州,25,10 分)探究问题: ⑴方法感悟: 如图①,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且满足∠EAF=45°,连接 EF,求证 DE+BF=EF. 感悟解题方法,并完成下列填空: 将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°, 因此,点 G,B,F 在同一条直线上. ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°. ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45°. 即∠GAF=∠_________. 又 AG=AE,AF=AF ∴△GAF≌_______. ∴_________=EF,故 DE+BF=EF. ⑵方法迁移: 如图②,将 沿斜边翻折得到△ADC,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且∠EAF= ∠DAB.试猜想 DE,BF,EF 之间有何数量关系,并证明你的猜想. aAPADPD 2 522 =+= aBFPBPF 4 522 =+= 5 5== PF BF PD PB PF BF PD PB = BF AP PF PD = BF AP BF PB = 2 1= AB AP 3 2 1 G E F D C B A (第 25 题)① ABCRt∆ 2 1 ⑶问题拓展: 如 图 ③ , 在 四 边 形 ABCD 中 , AB=AD , E , F 分 别 为 DC,BC 上 的 点 , 满 足 ,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时,可使得 DE+BF=EF.请直接写出你 的猜想(不必说明理由). 【答案】⑴EAF、△EAF、GF. ⑵DE+BF=EF,理由如下: 假设∠BAD 的度数为 ,将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 得到△ABG,此时 AB 与 AD 重合, 由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°, 因此,点 G,B,F 在同一条直线上. ∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF= ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3= . 即∠GAF=∠EAF 又 AG=AE,AF=AF ∴△GAF≌△EAF. ∴GF=EF, 又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF. E F D CB A (第 25 题)② DABEAF ∠=∠ 2 1 E F D CB A (第 25 题)③ m °m °m2 1 °=°−° mmm 2 1 2 1 °m2 1 ⑶当∠B 与∠D 互补时,可使得 DE+BF=EF. 35. (2011 江苏盐城,27,12 分) 情境观察 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开,得到△ABC 和△A′C′D,如图 1 所示.将 △A′C′D 的顶点 A′与点 A 重合,并绕点 A 按逆时针方向旋转,使点 D、A(A′)、B 在同一 条直线上,如图 2 所示. 观察图 2 可知:与 BC 相等的线段是 ▲ ,∠CAC′= ▲ °. 问题探究 如图 3,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边, 向△ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别 为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. 拓展延伸 如图 4,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,分别以 AB、AC 为一边向△ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF,射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE,AC= k AF,试探究 HE 与 HF 之间的 数量关系,并说明理由. 3 2 1 G E F D CB A (第 25 题)②解得图 图 1 图 2 C' A'BA D C A B CD B C D A(A') C' 图 3 A B C E F G P Q 【答案】情境观察 AD(或 A′D),90 问题探究 结论:EP=FQ. 证明:∵△ABE 是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理 AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸 结论: HE=HF. 理由:过点 E 作 EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为 P、Q. ∵四边形 ABME 是矩形,∴∠BAE=90°, ∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°, ∴∠ABG=∠EAP. ∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴ AG EP = AB EA. 同理△ACG∽△FAQ,∴ AG FP = AC FA. ∵AB= k AE,AC= k AF,∴ AB EA = AC FA = k,∴ AG EP = AG FP. ∴EP=FQ. ∵∠EHP=∠FHQ,∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF. 36. (20011 江苏镇江,23,7 分)已知:如图,在梯形 ABCD 中 AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E 为 AB 中 点, 求证:四边形 BCDE 是菱形. Q P H A B C E F G N M 图 4 M N G F E CB A H 答案:证明:∵AD⊥BD, ∴∠ADB=90°。 又 E 为 AB 中点,∴DE= AB,BE= AB, ∴DE=BE ∴∠ DBE =∠EDB 又 AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB ∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC ∴BC∥DE. ∵EB∥CD ∴四边形 BCDE 是平行四边形 ∵BC=CD ∴四边形 BCDE 是菱形。 37. (20011 江苏镇江,25,6 分)已知:如图 1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144 °.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图 2).记作 AB 的长度为 a,BM 的长度为 b. (1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度. (2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风 筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”. ①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为 b 的正十边形,需要这种纸片____张; ②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图 3),其中 ∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕 迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接) 1 2 1 2 【答案】(1)∠B=72°,∠E=36° (2)5 个; (3)图略 38. (2011贵州安顺,25,10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交 BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE. ⑴说明四边形ACEF是平行四边形; ⑵当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由. 【答案】(1)证明:由题意知∠FDC =∠DCA = 90°.∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF,∴EF = CA,∴四边形 ACEF 是平行四边形 . (2)当∠B=30°时,四边形 ACEF 是菱形 . 理由是:∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC= ,∵DE 垂直平分 BC,∴ BE=CE 又∵AE=CE,∴CE= ,∴AC=CE,∴四边形 ACEF 是菱形. 39. (2011 河北,23,9 分)如图 12,四边形 ABCD 是正方形,点 E,K 分别在 BC,AB 上, 点 G 在 BA 的延长线上,且 CE=BK=AG. (1)求证:①DE=EG; ②DE⊥EG; (2)尺规作图:以线段 DE,DG 为边作出正方形 DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作 法和证明); (3)连接(2)中的 KF,猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想; (4)当 时,请直接写出 的值. 第 25 题图 AB2 1 AB2 1 n 1= CB CE DEFG ABCD S S 正方形 正方形 【答案】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°,又∵CE=AG,∴△ DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG. (2)如图 (3)四边形 CEFK 为平行四边形。 证明:设 CK,DE 相交于 M 点,∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形,∴AB∥ CD,AB=CD,EF=DG,EF ∥ DG; ∵ BK=AG, ∴ KG=AB=CD, ∴ 四 边 形 CKGD 为 平 行 四 边 形 。 ∴ CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形 CKEF 为平行四边形。 (4) = 40. (2011 湖南湘潭市,24,8 分)(本题满分 8 分) 两个全等的直角三角形重叠放在直线 上,如图⑴,AB=6cm,BC=8cm, ∠ABC=90°,将 Rt△ABC 在直线 上左右平移,如图⑵所示. ⑴ 求证:四边形 ACFD 是平行四边形; ⑵ 怎样移动 Rt△ABC,使得四边形 ACFD 为菱形; ⑶ 将 Rt△ABC 向左平移 ,求四边形 DHCF 的面积. 图12 B C A D G E K MF B C A D G E K DEFG ABCD S S 正方形 正方形 1n n 2 2 + l l cm4 l 图(1) A(D) B(E) C(F) D l 图(2) FE CB A H 【答案】 (1)证明:∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF,∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF, ∴四边形 ACFD 是平行四边形; (2)在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC=10cm,要使四边形 ACFD 为菱形,则 AC=CF, ∴可将 Rt△ABC 向左平移 10cm 或向右平移 10cm; (3)在 Rt△ABC 中, . ∴当 Rt△ABC 向左平移 时,EC=BC-BE=8-4=4(cm), 在 Rt△HEC 中, . ∴四边形 DHCF 的面积为: cm2. 41. (2011 湖北荆州,19,7 分)(本题满分 7 分)如图,P 是矩形 ABCD 下方一点,将△PCD 绕 P 点顺时针旋转 60°后恰好 D 点与 A 点重合,得到△PEA,连接 EB,问△ABE 是什么 特殊三角形?请说明理由. 【答案】△ABE 是等边三角形,理由如下: 因为△PEA 是将△PCD 绕 P 点顺时针旋转 60°后得到的 所以△PEA≌△PCD,且 AE 与 DC 所夹的锐角为 60° 所以 AE=DC 又因为四边形 ABCD 是矩形 所以 DC=AB 且 DC∥AB 所以 AE=AB 且∠EAB=60° 所以△ABE 是等边三角形. D C B A P E 6 3tan 8 4 ABACB BC ∠ = = = cm4 3tan 4 34HE EC ACB= ∠ = × = 1 18 6 4 3 182 2 × × − × × =