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- 2021-05-11 发布
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求解最值问题的几种思路
最值问题涉及的知识面较广,解法灵活多变,越含着丰富的数学思想方法,对发展学生的思维,提升学生解题能力起着十分重要的作用.本文举例介绍这类问题的常见思路和方法.
一、利用非负数的性质
在实数范围内,显然有,当且仅当时,等号成立,即的最小值为.
例1形码 设、为实数,求的最小值.
解析 =
=
=.
当,即时,上式等号成立.
故的最小值为-1.
二、均值代换法
在一些数学问题中,常遇到含有型条件的问题,若用来代换,往往能获得简捷的妙法.
例2 已知、为实数,且,求的最值.
解析 由得,易得最小值为.
设,其中,
,
又,
即.
的最小值是,最大值是2.
三、局部换元法
例3 若,求的最小值.
解析 设,
J
则.
.
故的最小值为.
四、积化和差法
完全平方公式;
.
将这两个公式的左右两边分别相减,得
结论1 .①
由于,故由①又可得如下积化和的完全平方不等式.
结论2 ,当且仅当时,等号成立.②
结论①、②表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式.应用上述公式解题,方法独特,别致新颖,给人一种清晰、明快的感觉.
例4 设,求的最大值.
解 把两边平方得
,
即,
.
由积化和差公式,得
代人上式,得
.
,
,
.
又时,
,
.
注 有时将积化和差公式
化为如下形式:
,
用起来比较方便.
五、配方法
解题时把题中所给的代数式,应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的形式;再根据,可求出代数式的最小值,根据,可求出代数式的最大值.
例5 求函数的最值.
解析 .
,
的最小值是0,最小也是0.
当时,的最小值为:
.
注 本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求的最值,那就错了.事实上,当时,取得极小值,这是不可能的。一般情况下,如果自变量取值范围有一定限制,不能轻易套用极值公式,而应先通过配方,再求极值,这样做才不会得出错误的答案.
六、增加辅助量
例6 若实数、、、、满足条件和
,求的最值.
解 ,
.
设,,,,
则,
而
.
,即.
.
故的最大值为,最小值为.
七、数形结合法
例7 已知、都是小于1的正数,求
的最小值.
解 对形如的问题,不妨考虑利用勾股定理和题中所给的已知条件,构造相应的几何图形,并根据图形中边与边之间的关系解决问题.
如图1,构造边长为1的正方形,是正方形内一点,它到、的距离分别为、,即,,则由勾股定理,易得
.
, ,
则,
即所求最小值.
八、构造一元二次方程
例8 若,求的最小值.
解 将配方,得
①
设
则
∴方程①可构造为以为主元的一元二次方程:
是实数,
即
解之得
即的最小值
点评 此题巧妙运用了构造方程的思想,并利用一元二次方程根的判别式求得的最值.
九、构造函数
由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此解决最值问题离不开函数,我们常利用构造函数法使问题得到解决.
例9 求代数式:的最值.
解 设,
再令,则有
最小值为,最大值为
十、零点分段讨论法
例10 当时,求函数的最大值.
分析 先由条件,求出的取值范围,再用“零点分段讨论法”去掉函数中的绝对值符号,然后求出在各个区段上的最大值并加以比较,从中确定出在取值范围内的最大值.
解 由6,知.
∴当时,
当时,
故当时,函数有最大值16.
对于最值问题,还有更多的方法(如消元法、共轭配对法、数形结合法、和差代换法、判别式法、参数法、等式变形法、待定系数法、平均值不等式法等),这里不再赘述.