北京中考数学一模第题四边形专题 12页

‎2016年北京中考数学一模第22题 ‎ (四边形的证明)（教师版）‎ 海淀22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC 的平行线交DC的延长线于点E.‎ ‎（1）求证：BD=BE；‎ ‎（2）若BE=10，CE=6，连接OE，求tan∠OED的值.‎ 朝阳22．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF =∠BAE．‎ ‎（1）求证：四边形AEFD是平行四边形 ；‎ ‎（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．‎ 东城22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF．‎ ‎（1）求证：四边形ABEF为菱形；‎ ‎（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．‎ ‎ ‎ 怀柔 石景山23．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．‎ ‎（1）求证：四边形ABDE是菱形；‎ ‎（2）若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．‎ 西城21．如图，在中，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点．‎ ‎（1）求证：四边形是矩形；‎ ‎（2）连接，若，，求的长．‎ 房山22. 如图，在ABCD中，为中点，过点作于G，连结，延长DC，交GE的延长线于点H.已知,，.求 CD的长.‎ 丰台O F E D C B A 22. 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．‎ ‎（1）求证：四边形ABEF是菱形；‎ ‎（2）若AE= 6，BF = 8，CE = 3， ‎ 求□ABCD的面积．‎ 门头沟23．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．‎ ‎（1）求证：四边形ABEF是正方形；‎ ‎（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．‎ 平谷22．如图，□ABCD，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC，连接CF，DE．‎ ‎（1）求证：四边形DECF是平行四边形；‎ ‎（2）若AB=13，DF=14，，求CF的长．‎ ‎　‎ 顺义23．如图，已知分别是的边上的点，且．‎ （1） 求证：四边形是平行四边形；‎ （2） 若，，且四边形是；菱形，求的长．‎ 通州23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．‎ ‎（1）求证：四边形AECD是菱形；‎ ‎（2）如果点E是AB的中点，AC=4，EC=2.5，求四边形ABCD的面积．‎ 延庆21. 已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线 ‎ EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，‎ ‎ 求菱形ABCD的周长．‎ 燕山22．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD＝2DF．‎ ‎(1) 求证：四边形ABED为菱形；‎ ‎(2) 若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABED的面积．‎ 答案 海淀22．(1) 证明：∵ 四边形为矩形，‎ ‎∴ ，∥. ‎ ‎∵ ∥，‎ ‎∴ 四边形为平行四边形. ………………………2分 ‎∴ .‎ ‎∴ . ………………………3分 ‎(2) 解：过点O作⊥于点.‎ ‎∵ 四边形为矩形，‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ .‎ 同理，可得.‎ ‎∴. ………………………4分 在Rt△中，由勾股定理可得.‎ ‎∵ OB=OD，‎ ‎∴ OF为△的中位线.‎ ‎∴ . ‎ ‎∴在Rt△OEF中，. ………………………5分 朝阳22.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎ ∴,=90º．‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴△≌△．………………1分 ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴．………………………2分 ‎ 又∵EF∥AD，‎ ‎ ∴四边形AEFD是平行四边形．………………………3分 ‎ （2）解：由（1）知，EF=AD= 5．‎ 在△EFD中，DF=3，DE=4，EF=5，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴∠EDF=90º．……………………………………………………………………4分 ‎ ∴．‎ ‎ ∴． ……………………………………………………………………5分 东城22．解：（1）证明： 由尺规作∠BAD的平分线的过程可知，‎ AB=AF，且∠BAE=∠FAE.‎ 又∵平行四边形ABCD，‎ ‎∴ ∠FAE=∠AEB.‎ ‎∴ ∠BAE=∠AEB. ‎ ‎∴ AB=BE.‎ ‎∴ BE= FA.‎ ‎∴四边形ABEF为平行四边形.‎ ‎∴四边形ABEF为菱形. …………2分 ‎（2）∵四边形ABEF为菱形，‎ ‎∴AE⊥BF，OB=BF=3，AE=2AO.‎ 在Rt△AOB中，AO=.‎ ‎∴AE=2AO=8. …………5分 怀柔 石景山23．（1）证明：∵//，//，‎ ‎ ∴四边形是平行四边形． ……………………………1分 ‎ ∵平分，∴．‎ ‎ ∵//，∴．∴． ‎ ‎ ∴． ‎ ‎ ∴四边形是菱形． ……………………………………2分 ‎（2）解： ∵，‎ ‎∴．‎ ‎ ∵， ∴．‎ ‎ ∴………………………3分 ‎ ∵，∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎∵四边形是菱形，, ∴‎ ‎ ∴，． ………………………………………4分 ‎ ∴．………………………………………5分 西城‎ 房山22．解：∵四边形是平行四边形 ‎∴∥,‎ ‎∵EG ⊥于点，‎ ‎ ∴ ‎ 在△中，，，，‎ ‎∴． -------------------------1分 ‎∵为中点，，‎ ‎∴． ------------------------2分 ‎∵‎ ‎∴△≌△．‎ ‎ ∴． ------------------------3分 在△中，，，，‎ ‎∴． -----------------------4分 ‎∴ -------------------------5分 丰台、22．（1）证明：在中，‎ ‎ ∴AD∥BC.‎ ‎∴.[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎∵的平分线交于点，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 同理可得.‎ ‎∴.‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴是菱形. -------- 3分 ‎（2）解：过作.‎ ‎∵是菱形， ，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 门头沟23．（本小题满分5分）‎ ‎（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠FAB =∠ABE =90°，AF∥BE．‎ 又∵EF⊥AD，[来源:学_科_网]‎ ‎∴∠FAB =∠ABE =∠AFE=90°．‎ ‎ ∴四边形ABEF是矩形．…………………………………………………1分 又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，‎ ‎∴∠FAE=∠BAE=∠AEB．‎ ‎∴AB=BE．‎ ‎ ∴四边形ABEF是正方形．………………………………………………2分 ‎（2）解：如图，过点P作PH⊥AD于H．‎ ‎∵四边形ABEF是正方形，‎ ‎∴ BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°．‎ ‎∴ AB∥PH．‎ 又∵AB=4，‎ ‎∴AH=PH=2．…………………………………………………………………3分 又∵AD=7，‎ ‎∴DH=AD－AH=7－2=5．……………………………………………………4分 在Rt△PHD中，∠PHD=90°．‎ ‎∴tan∠ADP=．………………………………………………………5分 平谷22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎ ∴AD∥BC．……………………………………………………………………1‎ ‎∴∠ADE=∠DEC．‎ ‎∵∠AFC=∠DEC，‎ ‎∴∠AFC=∠ADE，‎ ‎∴DE∥FC．‎ ‎ ∴四边形DECF是平行四边形．………………………………………………2‎ ‎（2）解：过点D作DH⊥BC于点H，………………………………………………………3‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BCD=∠A，AB=CD=13‎ ‎∵，AB=13，‎ ‎∴DH=12，CH=5．……………………4‎ ‎∵DF=14，‎ ‎∴CE=14．‎ ‎∴EH=9．‎ ‎∴FD==15．‎ ‎∴CF=DE=15．………………………………5‎ 顺义23．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎ ∴AD∥BC，且AD=BC,‎ ‎ ∴BE=DF,‎ ‎ ∴AF=EC，‎ ‎ ∴四边形AECF是平行四边形；‎ ‎（2）∵四边形AECF是菱形，‎ ‎∴AE=EC,‎ ‎∴∠ACE=∠EAC,‎ ‎∵∠BAE=90°-∠EAC，∠B=90°-∠ACE,‎ ‎∴∠BAE=∠B，‎ ‎∴AE=BE ‎∴BE=AE=CE=0．5BC=5．‎ 通州23.（1）证明： ‎ ‎∵AB∥CD，CE∥AD，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形， ………………… 1分；[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎∵AC平分∠BAD，‎ ‎∴，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴， ‎ ‎ ∴，‎ ‎∴AD=CD， ………………… 2分；‎ ‎∴四边形AECD是菱形.‎ ‎（2）∵四边形AECD是菱形，‎ ‎∴AE=CE，‎ ‎∴，‎ ‎∵点E是AB的中点，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即 ………………… 3分；‎ ‎∵点E是AB的中点，EC=2.5，‎ ‎∴AB=2EC=5，‎ ‎∴BC=3. ………………… 4分；‎ ‎∴S△ABC=.‎ ‎∵点E是AB的中点，四边形AECD是菱形，‎ ‎∴S△AEC=S△EBC=S△ACD=3.‎ ‎∴四边形ABCD的面积=S△AEC+S△EBC+S△ACD=9. ………………… 5分；‎ 延庆21. 解：联结BD．‎ ‎∵在菱形ABCD中， ‎ ‎∴AD∥BC，BD． …………………1分 又∵EF⊥AC，‎ ‎∴BD∥EF． ‎ ‎∴四边形EFBD为平行四边形． …………2分 ‎∴FB = ED =2．…………………………………3分 ‎∵E是AD的中点．‎ ‎∴AD=2ED=4．…………………………………4分 ‎∴菱形ABCD的周长为 ‎．…………………………………5分 燕山22．（1）证明：∵DE∥AB，AD∥BE，‎ ‎∴四边形OCED为平行四边形． ………………………1分 ‎∵D是BC中点，DF∥AB，‎ ‎∴DF为△ABC的中位线，‎ ‎∴AB＝2DF．‎ 又∵AD＝2DF，‎ ‎∴AB＝AD．‎ ‎∴四边形ABED为菱形． ………………………2分 ‎（2）∵菱形ABED，‎ ‎∴∠DAB＝∠E＝60°，AB＝AD，‎ ‎∴△DAB是等边三角形，‎ ‎∴AB＝AD＝DB＝6． ………………………3分 过点D作DG⊥AB于点G，‎ ‎∴DG＝AD•sin60°＝6×＝， ………………………4分 ‎∴S菱形ABED＝＝＝．‎