2017年度高考数学快速命中考点20 6页

‎2014高考数学快速命中考点20‎ 一、选择题 ‎1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1,2)　　　 　　　　　 B．(1,2]‎ C．(1，) D．(1，]‎ ‎【解析】　因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤‎3a2，‎ ‎∴c2－a2≤‎3a2，则c2≤‎4a2,1＜e≤2.‎ ‎【答案】　B ‎2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)‎ A. B．2 C．4 D．8‎ ‎【解析】　设C：－＝1.‎ ‎∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，‎ ‎∴|AB|＝2＝4，‎ ‎∴a＝2，∴‎2a＝4.‎ ‎∴C的实轴长为4.‎ ‎【答案】　C ‎3．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　设P(－c，y0)代入椭圆方程求得y0，从而求得kOP，‎ 由kOP＝kAB及e＝可得离心率e.‎ ‎ 由题意设P(－c，y0)，将P(－c，y0)代入＋＝1，得＋＝1，则y＝b2＝b2·＝.‎ ‎∴y0＝或y0＝－(舍去)，‎ ‎∴P，∴kOP＝－.‎ ‎∵A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝＝－.‎ 又∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，‎ ‎∴－＝－，∴b＝c.‎ ‎∴e＝＝＝＝.故选C.‎ ‎【答案】　C ‎4．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2，线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于(　　)‎ A．－ B．－2‎ C. D．2‎ ‎【解析】　设直线l的方程为y＝k1(x＋2)，代入x2＋2y2＝2，‎ 得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，‎ 所以x1＋x2＝－，‎ 而y1＋y2＝k1(x1＋x2＋4)＝，‎ 所以OP的斜率k2＝＝－，所以k1k2＝－.‎ ‎【答案】　A ‎5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y ‎【解析】　∵双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，‎ ‎∴＝＝2，∴b＝a，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，‎ ‎∴抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点(0，)到双曲线的渐近线的距离为＝2，‎ ‎∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.‎ ‎【答案】　D 二、填空题 ‎6．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为______．‎ ‎【解析】　由题意知|AF1|＝a－c，|F‎1F2|＝‎2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F‎1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即‎4c2＝a2－c2，a2＝‎5c2，所以e2＝，所以e＝.‎ ‎【答案】　 ‎7．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．‎ ‎【解析】　设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)．‎ 解方程组 化简得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0且Δ＝(2k2－4)2－4k4＞0，‎ ‎∴x1＋x2＝，‎ y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝且k2＜1.‎ ‎∴x0＝，y0＝.‎ 由＝2得：2＋2＝12.‎ 解得k＝±，满足k2＜1即Δ＞0，∴k＝±.‎ ‎【答案】　± ‎8．设F1是椭圆＋y2＝1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则·的最大值为________．‎ ‎【解析】　设P(x0，y0)，依题意可得：F1(－，0)，‎ 则·＝x＋y＋x0＝x＋1－＋x0‎ ‎＝＋x0＋1＝2.‎ 又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，‎ ‎∴·取得最大值4＋2.‎ ‎【答案】　4＋2 三、解答题 ‎9．已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．‎ 图5－3－3‎ ‎【解】　(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.‎ 由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，‎ 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.‎ 从而|x1－x2|＝4.‎ 由 解得点M的横坐标xM＝＝＝.‎ 同理，点N的横坐标xN＝.‎ 所以|MN|＝|xM－xN|＝ ‎＝8＝.‎ 令4k－3＝t，t≠0，则k＝.‎ 当t>0时，|MN|＝2 >2.‎ 当t<0时，|MN|＝2 ≥.‎ 综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是.‎ ‎10. 如图5－3－4，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.‎ 图5－3－4‎ ‎ (1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．‎ ‎【解】　(1)由题意得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.‎ 又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，‎ 所以|AB|＝2＝2.‎ 又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.‎ 由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，‎ 故x0＝－，所以|PD|＝.‎ 设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，‎ 所以S＝≤＝，当且仅当k＝±时取等号．‎ 所以所求直线l1的方程为y＝±x－1. ‎ ‎11．如图5－3－5，椭圆的中心为原点O，离心率e＝，一条准线的方程是x＝2.‎ 图5－3－5‎ ‎ (1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设动点P满足：＝＋2，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－，问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x＝2的距离之比为定值？若存在，求F的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解】　(1)由e＝＝，＝2，‎ 解得a＝2，c＝，b2＝a2－c2＝2，‎ 故椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2，得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，‎ 即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.‎ 因为点M，N在椭圆x2＋2y2＝4上，‎ 所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，‎ 故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2)‎ ‎＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)‎ ‎＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．‎ 设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，‎ 所以x2＋2y2＝20.‎ 所以P点是椭圆＋＝1上的点，该椭圆的右焦点为F(，0)，离心率e＝，直线l：x＝2是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点F(，0)，使得|PF|与点P到直线l的距离之比为定值． ‎