绵阳市2010年高级中等教育学校招生统一考试数学试题 7页

绵阳市2010年高级中等教育学校招生统一考试数学试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．－是的（ ）．‎ A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根 ‎2．对右图的对称性表述，正确的是（ ）．‎ A．轴对称图形 B．中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形 ‎3．“4·‎14”‎青海省玉树县7.1级大地震，牵动了全国人民的心，社会各界踊跃捐款捐物，‎4月20日央视赈灾晚会共募得善款21.75亿元．把21.75亿元用科学计数法表示为（ ）．‎ A．2.175×108 元 B．2.175×107 元 C．2.175×109 元 D．2.175×106 元 ‎4．如图，几何体上半部为正三梭柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．要使有意义，则x应满足（ ）．‎ A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3‎ ‎6．有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为（ ）．‎ A．129 B．‎120 C．108 D．96‎ ‎7．下列各式计算正确的是（ ）．‎ A．m2 · m3 = m6 B．‎ C． D．（a＜1）‎ ‎8．张大娘为了提高家庭收入，买来10头小猪．经过精心饲养，不到7个月就可以出售了，下表为这些猪出售时的体重：‎ 体重／kg ‎116‎ ‎135‎ ‎136‎ ‎117‎ ‎139‎ 频数 ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ 则这些猪体重的平均数和中位数分别是（ ）．‎ A．126.8，126 B．128.6，‎126 C．128.6，135 D．126.8，135‎ ‎9．甲盒子中有编号为1、2、3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4、5、6的3个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ G A B D C O ‎10．如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．‎ 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．‎ A．1 : 2 B．1 : 3‎ C．2 : 3 D．11 : 20‎ ‎● ●‎ ‎● ● ● ●‎ ‎● ● ● ● ● ●‎ ‎………‎ ‎11．如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n =（ ）．‎ A．29 B．30‎ C．31 D．32‎ C B A O D ‎12．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB = 1，BC = 2，则OA =（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．‎ ‎13．因式分解：x3y－xy = ．‎ B F G H A D E C ‎1‎ ‎14．如图，AB∥CD，∠A = 60°，∠C = 25°，C、H分别为CF、CE的中点，‎ 则∠1 = ．‎ ‎15．已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB = 6，∠BDC = 30°，‎ 则菱形的面积为 ．‎ ‎45° ‎60° A′‎ B M A O D C ‎16．在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米／时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行‎2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 ．‎ ‎17．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB = a．将△ABO 沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为 ．‎ ‎18．若实数m满足m2－m + 1 = 0，则 m4 + m－4 = ．‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎19．（1）计算：（p－2010）0 +（sin60°）－1－︱tan30°－︱+．‎ ‎（2）先化简：；若结果等于，求出相应x的值．‎ ‎20．已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．‎ ‎21．绵阳农科所为了考察某种水稻穗长的分布情况，在一块试验田里随机抽取了50个谷穗作为样本，量得它们的长度（单位：cm）．对样本数据适当分组后，列出了如下频数分布表：‎ 穗长 ‎4.5≤x＜5‎ ‎5≤x＜5.5‎ ‎5.5≤x＜6‎ ‎6≤x＜6.5‎ ‎6.5≤x＜7‎ ‎7≤x＜7.5‎ 频数 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎（1）在图1、图2中分别出频数分布直方图和频数折线图；‎ ‎（2）请你对这块试验田里的水稻穗长进行分析；并计算出这块试验田里穗长在5.5≤x＜7范围内的谷穗所占的百分比．‎ 穗长 ‎4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5‎ 频数 ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ 穗长 ‎4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8‎ 频数 ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ 图1 图2‎ E D B A x y O C ‎22．如图，已知正比例函数y = ax（a≠0）的图象与反比例函致（k≠0）的图象的一个交点为A（－1，2－k2），另—个交点为B，且A、B关于原点O对称，D为OB的中点，过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E．‎ ‎（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；‎ ‎（2）试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍．‎ ‎23．如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为‎200 m、‎ ‎120 m‎，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3x m、2x m．‎ ‎（1）用代数式表示三条通道的总面积S；当通道总面积为花坛总面积 的时，求横、纵通道的宽分别是多少？‎ ‎（2）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168 x元，‎ 那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价．‎ B D F A O G E C l ‎（以下数据可供参考：852 = 7225，862 = 7396，872 = 7569）‎ ‎24．如图，△ABC内接于⊙O，且∠B = 60°．过点C作圆的切线l与 直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．‎ ‎（1）求证：△ACF≌△ACG；‎ ‎（2）若AF = 4，求图中阴影部分的面积．‎ C E D G A x y O B F ‎25．如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；‎ ‎（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；‎ ‎（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，‎ ‎△EFK的面积最大？并求出最大面积．‎ 绵阳市2010年高级中等教育学校招生统一考试数学试题 参考答案 一、选择题 ABCC DDDA CABA 二、填空题 ‎13．xy（x－1）（x + 1） 14．145° 15．18 ‎ ‎16．40千米∕时 17． 18．62‎ 三、解答题 ‎19．（1）原式= 1 ++ 2 = 3 += 3 += 3．‎ ‎（2）原式==；‎ 由=，可，解得 x =±．‎ ‎20．（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．‎ ‎∵ 原方程有两个实数根，‎ ‎∴ △= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤．‎ ‎（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，‎ ‎∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤．‎ 因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得极小值1．‎ ‎21．（1）‎ 穗长 ‎4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5‎ 频数 ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ 穗长 ‎4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8‎ 频数 ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎（2）由（1）可知谷穗长度大部分落在5 cm至7 cm之间，其它区域较少．长度在6≤x＜6.5范围内的谷穗个数最多，有13个，而长度在4.5≤x＜5，7≤x＜7.5范围内的谷穗个数很少，总共只有7个．‎ 这块试验田里穗长在5.5≤x＜7范围内的谷穗所占百分比为（12 + 13 + 10）÷ 50 = 70%．‎ ‎22．（1）由图知k＞0，a＞0．∵ 点A（－1，2－k2）在图象上，‎ ‎∴ 2－k2 =－k，即 k2－k－2 = 0，解得 k = 2（k =－1舍去），得反比例函数为．‎ 此时A（－1，－2），代人y = ax，解得a = 2，∴ 正比例函数为y = 2x．‎ ‎（2）过点B作BF⊥x轴于F．∵ A（－1，－2）与B关于原点对称，‎ ‎∴ B（1，2），即OF = 1，BF = 2，得 OB =．‎ 由图，易知 Rt△OBF∽Rt△OCD，∴ OB : OC = OF : OD，而OD = OB∕2 =∕2，‎ ‎∴ OC = OB · OD∕OF = 2.5．由 Rt△COE∽Rt△ODE得 ，‎ 所以△COE的面积是△ODE面积的5倍．‎ ‎23．（1）由题意得 S = 3x · 200 + 2x · 120×2－2×6x2 =－12x2 + 1080x．‎ 由 S =×200×120，得 x2－90x + 176 = 0，解得 x = 2 或 x = 88．‎ 又 x＞0，4x＜200，3x＜120，解得0＜x＜40，‎ 所以x = 2，得横、纵通道的宽分别是6 m、4 m．‎ ‎（2）设花坛总造价为y元．‎ 则 y = 3168x +（200×120－S）×3 = 3168x +（24000 + 12x2－1080x）×3‎ ‎ = 36x2－72x + 72000 = 36（x－1）2 + 71964，‎ 当x = 1，即纵、横通道的宽分别为3 m、2 m时，花坛总造价量低，最低总造价为71964元．‎ ‎24．（1）如图，连结CD，OC，则∠ADC =∠B = 60°．‎ ‎∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴ ∠ACG =∠ADC = 60°．‎ 由于 ∠ODC = 60°，OC = OD，∴ △OCD为正三角形，得 ∠DCO = 60°．‎ B D F A O G E C l 由OC⊥l，得 ∠ECD = 30°，∴ ∠ECG = 30° + 30° = 60°．‎ 进而 ∠ACF = 180°－2×60° = 60°，∴ △ACF≌△ACG．‎ ‎（2）在Rt△ACF中，∠ACF = 60°，AF = 4，得 CF = 4．‎ 在Rt△OCG中，∠COG = 60°，CG = CF = 4，得 OC =．‎ 在Rt△CEO中，OE =．‎ 于是 S阴影 = S△CEO－S扇形COD ==．‎ ‎25．（1）由题意，得 解得，b =－1．‎ 所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．‎ ‎∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．‎ 设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3．‎ 所以直线BD的解析式为y =x + 3．‎ 由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，‎ 得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．‎ 同理可求得直线EF的解析式为y =x +．‎ 联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．‎ ‎（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．‎ 则 KN = yK－yN =－（t +）=．‎ 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．‎ 即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．‎