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- 2021-05-13 发布
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第22课时 三角形全等
(60分)
一、选择题(每题5分,共20分)
1.[2016·宜昌]如图22-1,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】 要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,即3个单位长度,故点P的位置可以是P1,P3,P4三个.
图22-1 图22-2
2.如图22-2,下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是 (D)
A.BD=DC,AB=AC
B.∠ADB=∠ADC,BD=CD
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C,BD=DC
【解析】 当BD=DC,AB=AC时,因为AD=AD,由SSS可得△ABD≌△ACD,故A正确;当∠ADB=∠ADC,BD=CD时,因为AD=AD,由SAS可得△ABD≌△ACD,故B正确;当∠B=∠C,∠BAD=∠CAD时,因为AD=AD,由AAS可得△ABD≌△ACD,故C正确;D不能判定△ABD≌△ACD,因为不能利用SSA判定两三角形全等.
3.[2016·湖州]如图22-3,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于 (C)
A.10 B.7
C.5 D.4
第3题答图
图22-3
6
【解析】 作EF⊥BC于F,
∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,
∴EF=DE=2,
∴S△BCE=BC·EF=×5×2=5.
4.[2016·宁波]如图22-4,▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为 (C)
A.BE=DF B.BF=DE
C.AE=CF D.∠1=∠2
图22-4
【解析】 A.当BE=DF,△ABE≌△CDF(SAS),故此选项可添加;
B.当BF=ED,可得BE=DF,△ABE≌△CDF(SAS),故此选项可添加;
C.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;
D.当∠1=∠2,△ABE≌△CDF(ASA),故此选项可添加.
二、填空题(每题5分,共20分)
5.[2017·长沙]如图22-5,点B,E,C,F在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF=__6__.
图22-5 图22-6
6.[2016·江西]如图22-6,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有__3__对全等三角形.
【解析】 ∵OP平分∠MON,∴∠1=∠2,
由OA=OB,∠1=∠2,OP=OP,可证得△AOP≌△BOP(SAS),
∴AP=BP,
又∵OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,
∴PE=PF,∴△PEA≌△PFB(HL),
6
又∵PE=PF,OP=OP,∴△POE≌△POF(HL),
∴图中共有3对全等三角形.
7.[2016·娄底]如图22-7,已知AB=BC,要使△ABD≌△CBD,还需添加一个条件,你添加的条件是__∠ABD=∠CBD或AD=CD__(只需写一个,不添加辅助线).
【解析】 由已知AB=BC,及公共边BD=BD,可知要使△ABD≌△CBD,已经具备了两个边了,然后根据全等三角形的判定定理,应该有两种判定方法①SAS,②SSS.所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD.
图22-7
8.[2016·黔东南]如图22-8,在四边形ABCD中,AB∥CD,连结BD.请添加一个适当的条件__AB=CD__,使△ABD≌△CDB.(只需写一个)
图22-8
【解析】 ∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,而BD=DB,
∴当添加AB=CD时,可根据“SAS”判定△ABD≌△CDB.
三、解答题(共20分)图22-9
9.(10分)[2016·福州]如图22-9,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD.
证明:∵∠3=∠4,
∴∠ABC=∠ABD.
在△ABC和△ABD中,
∴△ABC≌△ABD(ASA)
∴AC=AD.
图22-10
10.(10分)[2016·武汉]如图22-10,点B,C,E,F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
6
(2)AB∥DE.
证明:(1)∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,
∴∠ACB=∠DFE=90°,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS);
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE.
(24分)
11.(12分)[2017·杭州]如图22-11,在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P,求证:PB=PC,并请直接写出图中其他相等的线段.
图22-11
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
在△ABF与△ACE中,
∴△ABF≌△ACE(SAS),
∴∠ABF=∠ACE,
∴∠ABC-∠ABF=∠ACB-∠ACE,
∴∠FBC=∠ECB,
∴PB=PC.
相等的线段还有:PE=PF,BE=CF,EC=FB,AE=AF.
图22-12
12.(12分)[2016·温州]如图22-12,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=CD;
6
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
解:(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠B=∠C,
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF(AAS),
∴AB=CD;
(2)∵△ABE≌△DCF,
∴AB=CD,BE=CF,
∵AB=CF,∠B=30°,
∴CD=CF,
∠C=∠B=30°,
∴△CDF是等腰三角形,
∴∠D=×(180°-30°)=75°.
(16分)
13.(16分)[2016·株洲]如图22-13,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O,E,F
分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF是正方形.
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.
图22-13
第13题答图
解:(1)证明:过点O作OM⊥AB于点M,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴OE=OM,
∵四边形OECF是正方形,
∴OE=OF,
∴OF=OM,
6
∵OM⊥AB,OF⊥AD,
∴AO是∠BAC的角平分线,
即点O在∠BAC的平分线上;
(2)∵在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,
∴AB===13,
设CE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,
∴
解得
∴OE=CE=CF=2.
6