• 306.50 KB
  • 2021-05-13 发布

中考专题中线倍长法及截长补短

  • 10页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法: 例 1 、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知:如图,△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,求证:AD ﹤ (AB+AC) 分析:要证明 AD ﹤ (AB+AC),就是证明 AB+AC>2AD,也就是证明两条线 段之和大于第三条线段,而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”,但题中 的三条线段共点,没有构成一个三角形,不能用三角形三边关系定理,因此应该 进行转化。待证结论 AB+AC>2AD 中,出现了 2AD,即中线 AD 应该加倍。 证明:延长 AD 至 E,使 DE=AD,连 CE,则 AE=2AD。 在△ADB 和△EDC 中, ∴△ADB≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE 中, AC+CE>AE ∴AC+AB>2AD,即 AD ﹤ (AB+AC) 小结:(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。 它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一 个三角形中,以利于问题的获解。 课题练习: 中,AD 是 的平分线,且 BD=CD,求证 AB=AC      AD= DE ∠ADB= ∠EDC BD= DC 2 1 2 1 2 1 ABC∆ BAC∠ B CD A E C D A B 例 2: 中线一倍辅助线作法 △ABC 中 方式 1: 延长 AD 到 E, AD 是 BC 边中线 使 DE=AD, 连接 BE 方式 2:间接倍长 作 CF⊥AD 于 F, 延长 MD 到 N, 作 BE⊥AD 的延长线于 E 使 DN=MD, 连接 BE 连接 CD 例 3:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线 AD 的取值范围 例 4:已知在△ABC 中,AB=AC,D 在 AB 上,E 在 AC 的延长线上,DE 交 BC 于 F,且 DF=EF,求证:BD=CE 课堂练习:已知在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE=AC,延长 BE 交 AC 于例 5:已知:如图,在 中, ,D、 E 在 BC 上,且 DE=EC,过 D 作 交 AE 于点 F, DF=AC. 求证:AE 平分 ABC∆ ACAB ≠ BADF // BAC∠ D A B C E D A B C F E D CB A N D CB A M F E D A B C F E C A B D 第 1 题图 A B F D E C 课堂练习:已知 CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE 作业: 1、在四边形 ABCD 中,AB∥DC,E 为 BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与 DC 的延长线 相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系,并证明你的结论 2、已知:如图,ABC 中,C=90°,CMAB 于 M,AT 平分BAC 交 CM 于 D,交 BC 于 T,过 D 作 DE//AB 交 BC 于 E,求证:CT=BE. E D A B C F E A B C D D A B C M T E 3:已知在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE=AC,延长 BE 交 AC 于 F,求证:AF=EF 4:已知 CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE 5、在四边形 ABCD 中,AB∥DC,E 为 BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与 DC 的延长线 相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系,并证明你的结论 (二)截长补短法 例1. 已知,如图 1-1,在四边形 ABCD 中,BC>AB,AD=DC,BD 平分∠ ABC. 求证:∠BAD+∠BCD=180°. 分析:因为平角等于 180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形, 可通过“截长补短法”来实现. 证明:过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E,作 DF⊥BC 于点 F,如图 1-2 ∵BD 平分∠ABC,∴DE=DF, F E D A B C E D A B C F E A B C D A B C D 图 1-1 F E D CB A 图 1-2 A D B C E 图 2-1 在 Rt△ADE 与 Rt△CDF 中, ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°, 即∠BAD+∠BCD=180° 例2. 如图 2-1,AD∥BC,点 E 在线段 AB 上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB. 求证:CD=AD+BC. 例3. 已知,如图 3-1,∠1=∠2,P 为 BN 上一点,且 PD⊥BC 于点 D,AB+BC=2BD. 求证:∠BAP+∠BCP=180°.    = = CDAD DFDE A B CD P 1 2 N 图 3-1 例4. 已知:如图 4-1,在△ABC 中,∠C=2∠B,∠1=∠2. 求证:AB=AC+CD. 作业: 1、已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE. 2、五边形 ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证:AD 平分∠CDE D CB A 1 2 图 4-1 F E D CB A (三)其它几种常见的形式: 1、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全 等三角形。 例:如图 1:已知 AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证: BE+CF>EF。 2、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全 等三角形。 例::如图 2:AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF> EF C E D B A A B CD E F N 1图 1 2 3 4 2图 A B C D E F M 1 2 3 4 练习:已知△ABC,AD 是 BC 边上的中线,分别以 AB 边、AC 边为直角边各 向形外作等腰直角三角形,如图 4, 求证 EF=2AD。 3、延长已知边构造三角形: 例如:如图 6:已知 AC=BD,AD⊥AC 于 A ,BC⊥BD 于 B, 求证:AD=BC 4、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解 决。 例如:如图 7:AB∥CD,AD∥BC 求证:AB=CD。 A B CD E F 4图 A B CD E 6图 O A B C D 7图 1 2 3 4 5、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。 例如:如图 8:在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD 的延长于 E 。求证:BD=2CE 6 连接已知点,构造全等三角形。 例如:已知:如图 9;AC、BD 相交于 O 点,且 AB=DC,AC=BD,求证:∠A =∠D。 九、取线段中点构造全等三有形。 例如:如图 10:AB=DC,∠A=∠D 求证:∠ABC=∠DCB。 D CB A 110 −图 O 10图 D CB A M N