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- 2021-05-13 发布
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几何证明中常用辅助线
(一)中线倍长法:
例 1 、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知:如图,△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,求证:AD ﹤ (AB+AC)
分析:要证明 AD ﹤ (AB+AC),就是证明 AB+AC>2AD,也就是证明两条线
段之和大于第三条线段,而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”,但题中
的三条线段共点,没有构成一个三角形,不能用三角形三边关系定理,因此应该
进行转化。待证结论 AB+AC>2AD 中,出现了 2AD,即中线 AD 应该加倍。
证明:延长 AD 至 E,使 DE=AD,连 CE,则 AE=2AD。
在△ADB 和△EDC 中,
∴△ADB≌△EDC(SAS)
∴AB=CE
又 在△ACE 中,
AC+CE>AE
∴AC+AB>2AD,即 AD ﹤ (AB+AC)
小结:(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一
个三角形中,以利于问题的获解。
课题练习: 中,AD 是 的平分线,且 BD=CD,求证 AB=AC
AD= DE
∠ADB= ∠EDC
BD= DC
2
1
2
1
2
1
ABC∆ BAC∠
B CD
A
E
C
D
A
B
例 2: 中线一倍辅助线作法
△ABC 中 方式 1: 延长 AD 到 E,
AD 是 BC 边中线 使 DE=AD,
连接 BE
方式 2:间接倍长
作 CF⊥AD 于 F, 延长 MD 到
N,
作 BE⊥AD 的延长线于 E 使 DN=MD,
连接 BE 连接 CD
例 3:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线 AD 的取值范围
例 4:已知在△ABC 中,AB=AC,D 在 AB 上,E 在 AC 的延长线上,DE 交 BC 于 F,且
DF=EF,求证:BD=CE
课堂练习:已知在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE=AC,延长 BE
交 AC 于例 5:已知:如图,在 中, ,D、
E 在 BC 上,且 DE=EC,过 D 作 交 AE 于点 F,
DF=AC.
求证:AE 平分
ABC∆ ACAB ≠
BADF //
BAC∠
D
A
B C
E
D
A
B C
F
E
D CB
A
N
D CB
A
M
F
E
D
A
B C
F
E
C
A
B
D
第 1 题图
A
B
F
D E C
课堂练习:已知 CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE
作业:
1、在四边形 ABCD 中,AB∥DC,E 为 BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与 DC 的延长线
相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系,并证明你的结论
2、已知:如图,ABC 中,C=90°,CMAB 于 M,AT 平分BAC 交 CM 于 D,交 BC
于 T,过 D 作 DE//AB 交 BC 于 E,求证:CT=BE.
E D
A
B C
F
E
A
B C
D
D
A
B
C
M
T
E
3:已知在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE=AC,延长 BE 交 AC
于 F,求证:AF=EF
4:已知 CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE
5、在四边形 ABCD 中,AB∥DC,E 为 BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与 DC 的延长线
相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系,并证明你的结论
(二)截长补短法
例1. 已知,如图 1-1,在四边形 ABCD 中,BC>AB,AD=DC,BD 平分∠
ABC.
求证:∠BAD+∠BCD=180°.
分析:因为平角等于 180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转
化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,
可通过“截长补短法”来实现.
证明:过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E,作 DF⊥BC 于点 F,如图 1-2
∵BD 平分∠ABC,∴DE=DF,
F
E
D
A
B C
E D
A
B C
F
E
A
B C
D
A
B C
D
图 1-1
F
E
D
CB
A
图 1-2
A
D
B
C
E
图 2-1
在 Rt△ADE 与 Rt△CDF 中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,
即∠BAD+∠BCD=180°
例2. 如图 2-1,AD∥BC,点 E 在线段 AB 上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.
求证:CD=AD+BC.
例3. 已知,如图 3-1,∠1=∠2,P 为 BN 上一点,且 PD⊥BC 于点 D,AB+BC=2BD.
求证:∠BAP+∠BCP=180°.
=
=
CDAD
DFDE
A
B CD
P
1
2
N
图 3-1
例4. 已知:如图 4-1,在△ABC 中,∠C=2∠B,∠1=∠2.
求证:AB=AC+CD.
作业:
1、已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE.
2、五边形 ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证:AD 平分∠CDE
D CB
A
1 2
图 4-1
F
E
D
CB
A
(三)其它几种常见的形式:
1、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全
等三角形。
例:如图 1:已知 AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
BE+CF>EF。
2、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全
等三角形。
例::如图 2:AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF>
EF
C
E
D
B
A
A
B CD
E F
N
1图
1 2 3 4
2图
A
B
C
D
E F
M
1 2 3 4
练习:已知△ABC,AD 是 BC 边上的中线,分别以 AB 边、AC 边为直角边各
向形外作等腰直角三角形,如图 4, 求证 EF=2AD。
3、延长已知边构造三角形:
例如:如图 6:已知 AC=BD,AD⊥AC 于 A ,BC⊥BD 于 B,
求证:AD=BC
4、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解
决。
例如:如图 7:AB∥CD,AD∥BC 求证:AB=CD。
A
B CD
E
F
4图
A B
CD
E
6图
O
A
B C
D
7图
1
2
3
4
5、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
例如:如图 8:在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD
的延长于 E 。求证:BD=2CE
6 连接已知点,构造全等三角形。
例如:已知:如图 9;AC、BD 相交于 O 点,且 AB=DC,AC=BD,求证:∠A
=∠D。
九、取线段中点构造全等三有形。
例如:如图 10:AB=DC,∠A=∠D 求证:∠ABC=∠DCB。
D
CB
A
110 −图
O
10图
D
CB
A
M
N