历年中考数学动点问题专集全含答案 90页

中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上 运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动 观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年 来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我 们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变 化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高， 它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中 以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供 读者欣赏. 1 以双动点为载体，探求函数图象问题 　　 　　例 1 (2007 年杭州市)在直角梯形 ABCD 中，∠C=90°，高 CD=6cm(如图 1). 动点 P，Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BA，AD，DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止， 两点运动时的速度都是 1cm/s. 而当点 P 到达点 A 时，点 Q 正好到达点 C. 设 P，Q 同时从 点 B 出发，经过的时间为 t(s)时，△BPQ 的面积为 y(cm)2(如图 2). 分别以 t，y 为横、纵坐 标建立直角坐标系，已知点 P 在 AD 边上从 A 到 D 运动时，y 与 t 的函数图象是图 3 中的线 段 MN. 　　(1)分别求出梯形中 BA，AD 的长度； 　　(2)写出图 3 中 M，N 两点的坐标； 　　(3)分别写出点 P 在 BA 边上和 DC 边上运动时，y 与 t 的函数关系式(注明自变量的取值 范围)，并在图 3 中补全整个运动中 y 关于 x 的函数关系的大致图象. 　　 评析 本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起， 二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思 想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段 AB、梯形的高与 t 的 函数关系式，建立起 y 与 t 的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象. 　　 2 以双动点为载体，探求结论开放性问题 　　 例 2 (2007 年泰州市)如图 5，Rt△ABC 中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点 A 的坐标 为(10，0)，顶点 B 的坐标为(5，53)，AB=10，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C 的方向匀速 运动，同时点 Q 从点 D(0，2)出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点 P 到达点 C 时， 两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒. 　　(1)求∠BAO 的度数. 　　(2)当点 P 在 AB 上运动时，△OPQ 的面积 S(平方单位)与时间 t(秒)之间的函数图象为 抛物线的一部分，(如图 6)，求点 P 的运动速度. 　　(3)求(2)中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标. 　　(4)如果点 P，Q 保持(2)中的速度不变，那么点 P 沿 AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着 时间 t 的增大而增大；沿着 BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小，当点 P 沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点 P 有几个?请说明理由. 　　解 (1)∠BAO=60°. 　　(2)点 P 的运动速度为 2 个单位/秒. 　　 　　评析 本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、 有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取 P 的速度为 2，然后建立 S 与 t 的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)， 考生要从题目的信息中确定建立以 B 为直角顶点的三角形，以 B 为临界点进行分类讨论， 进而确定点的个数问题.　　 　　3 以双动点为载体，探求存在性问题 　　 　　例 3 (2007 年扬州市)如图 8，矩形 ABCD 中，AD=3 厘米，AB=a 厘米(a>3).动点 M，N 同时从 B 点出发，分别沿 B→A，B→C 运动，速度是 1 厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB，分 别交 AN，CD 于 P，Q.当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动.设运动时间为 t 秒. 　　(1)若 a=4 厘米，t=1 秒，则 PM=厘米； 　　(2)若 a=5 厘米，求时间 t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比； 　　(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a 的取值 范围； 　　(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN，梯形 PQDA，梯 形 PQCN 的面积都相等?若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由. 　 　　评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进， 将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点 主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用 t 的代数式表示 PM，进而利用梯 形面积相等列等式求出 t 与 a 的函数关系式，再利用 t 的范围确定的 a 取值范围. 第(4)小题 是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 　4 以双动点为载体，探求函数最值问题 　　 　　例 4 (2007 年吉林省)如图 9，在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点，它们分别从点 A、C 同时出发，沿对角线以 1cm/s 的相同速度运动，过 E 作 EH 垂直 AC 交 Rt△ACD 的直角边于 H；过 F 作 FG 垂直 AC 交 Rt△ACD 的直角边于 G， 连结 HG、EB.设 HE、EF、FG、GH 围成的图形面积为 S1，AE、EB、BA 围成的图形面 积为 S2(这里规定：线段的面积为 0).E 到达 C，F 到达 A 停止.若 E 的运动时间为 x(s)， 解答下列问题： 　　(1)当 0 PCO ACO∠ < ∠ 5px = PCO ACO∠ = ∠ 2 5px< < PCO ACO∠ > ∠ 0y = 2 1 0x − = 1x = ± 0x = 1y = − ( 1,0)− (1,0) (0, 1)− x BEA O C 1x = P C′· 图 1 C P B y A o x （2）∵OA=OB=OC= ∴ BAC= ACO= BCO= ∵AP∥CB， ∴ PAB= 过点 P 作 PE 轴于 E，则 APE 为等腰直角三角形 令 OE= ，则 PE= ∴P ∵点 P 在抛物线 上 ∴ 解得 ， （不合题意，舍去） ∴PE= ∴四边形 ACBP 的面积 = AB•OC+ AB•PE= (3)． 假设存在 ∵ PAB= BAC = ∴PA AC ∵MG 轴于点 G， ∴ MGA= PAC = 在 Rt△AOC 中，OA=OC= ∴AC= 在 Rt△PAE 中，AE=PE= ∴AP= 设 M 点的横坐标为 ，则 M ①点 M 在 轴左侧时，则 (ⅰ) 当 AMG PCA 时，有 = ∵AG= ，MG= 即 解得 （舍去） （舍去） (ⅱ) 当 MAG PCA 时有 = 即 解得： （舍去） ∴M ② 点 M 在 轴右侧时，则 (ⅰ) 当 AMG PCA 时有 = 1 ∠ ∠ ∠ 45 ∠ 45 ⊥ x ∆ a 1a + ( , 1)a a + 2 1y x= − 21 1a a+ = − 1 2a = 2 1a = − 3 S 1 2 1 2 1 12 1 2 3 42 2 × × + × × = ∠ ∠ 45 ⊥ ⊥ x ∠ ∠ 90 1 2 3 3 2 m 2( , 1)m m − y 1m < − ∆ ∽ ∆ AG PA MG CA 1m− − 2 1m − 21 1 3 2 2 m m− − −= 1 1m = − 2 2 3m = ∆ ∽ ∆ AG CA MG PA 21 1 2 3 2 m m− − −= 1m = − 2 2m = − ( 2,3)− y 1m > ∆ ∽ ∆ AG PA MG CA G M 图 3 C B y P A o x G M 图 2 C B y P A o x ∵AG= ，MG= ∴ 解得 （舍去） ∴M (ⅱ) 当 MAG PCA 时有 = 即 解得： （舍去） ∴M ∴存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 M 点的坐标为 ， ， 练习 5、 解：（1） 点 ， ， ， 点坐标为 设过点 的直线的函数表达式为 ， 由 得 ， 直线 的函数表达式为 （2）如图 1，过点 作 ，交 轴于点 ， 在 和 中， ， 点为所求又 ， ， （3）这样的 存在 在 中，由勾股定理得 如图 1，当 时， 则 ，解得 1m + 2 1m − 21 1 3 2 2 m m+ −= 1 1m = − 2 4 3m = 4 7( , )3 9 ∆ ∽ ∆ AG CA MG PA 21 1 2 3 2 m m+ −= 1 1m = − 2 4m = (4,15) ∆ ( 2,3)− 4 7( , )3 9 (4,15)  ( 3 0)A − ， (1 0)C ， 4AC∴ = 3tan 4 34BC BAC AC= × = × =∠ B (13)， A B， y kx b= + 0 ( 3) 3 k b k b = × − +  = + 3 4k = 9 4b = ∴ AB 3 9 4 4y x= + B BD AB⊥ x D Rt ABC△ Rt ADB△ BAC DAB=∠ ∠ Rt RtABC ADB∴ △ ∽ △ D∴ 4tan tan 3ADB ABC= =∠ ∠ 4 9tan 3 3 4CD BC ADB∴ = ÷ = ÷ =∠ 13 4OD OC CD∴ = + = 13 04D ∴   ， m Rt ABC△ 5AB = PQ BD∥ APQ ABD△ ∽△ 133 4 135 3 4 mm + − = + 25 9m = A B C DQO y x 图 1 P A B C DQ O y x 图 2 P 如图 2，当 时， 则 ，解得 例 1(2008 福建福州)如图，已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速 度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列 问题： （1）当 t＝2 时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QR//BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，△APR∽△PRQ？ 分析:由 t＝2 求出 BP 与 BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状; 作 QE⊥BP 于点 E,将 PB,QE 用 t 表示,由 = ×BP×QE 可得 S 与 t 的函数关系式;先证得四边形 EPRQ 为平行四边形,得 PR=QE, 再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而 t 值可求. 解:(1)△BPQ 是等边三角形, 当 t=2 时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4, 即 BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过 Q 作 QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2t,得 QE=2t·sin600= t, 由 AP=t,得 PB=6-t,所以 = ×BP×QE= (6-t)× t=－ t2+3 t； (3)因为 QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,这时 BQ=2t,所以 QR=RC=QC=6-2t. 因为 BE=BQ·cos600= ×2t=t,AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以 EP=QR,又 EP∥QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形,所以 PR=EQ= t, 由△APR∽△PRQ,得到 ,即 ,解得 t= , 所以当 t= 时, △APR∽△PRQ. 点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大, 对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研 究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系, 动中取静,静中求动. 例 2(2008 浙江温州)如图，在 中， ， ， ， 分别是 边 的中点，点 从点 出发沿 方向运动，过点 作 于 ，过点 作 交 于 ，当点 与点 重合时，点 停止运动．设 ， ．（1）求 点 到 的距离 的长； PQ AD⊥ APQ ADB△ ∽△ 133 4 13 53 4 mm + − = + 125 36m = BPQS∆ 2 1 3 BPQS∆ 2 1 2 1 3 2 3 3 2 1 3 RQ PR PR AP = t t t t 26 3 3 −= 5 6 5 6 Rt ABC△ 90A∠ =  6AB = 8AC = D E， AB AC， P D DE P PQ BC⊥ Q Q QR BA∥ AC R Q C P BQ x= QR y= D BC DH （2）求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的 的值；若不存在，请说明理由． 分析:由△BHD∽△BAC,可得 DH;由△RQC∽△ABC,可得 关于 的函数关系式;由腰相等列方程可得 的值;注意需分类讨论. 解：（1） ， ， ， ． 点 为 中点， ． ， ． ， ， ∴ （2） ， ． ， ， ， ，即 关于 的函数关系式为： ． （3）存在.按腰相等分三种情况： ①当 时，过点 作 于 ，则 ． ， ， ． ， ， ， ． ②当 时， ， ． ③当 时，则 为 中垂线上的点， 于是点 为 的中点， ． ， ， ． 综上所述，当 为 或 6 或 时， 为等腰三角形． 点评:建立函数关系式,实质就是把函数 y 用含自变量 x 的代数式表示;要求使 为 等腰三角形的 的值,可假设 为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中 没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论. y x P PQR△ x y x x  RtA∠ = ∠ 6AB = 8AC = 10BC∴ =  D AB 1 32BD AB∴ = = 90DHB A∠ = ∠ =  B B∠ = ∠ BHD BAC∴△ ∽△ DH BD AC BC ∴ = 5 12810 3 =×=⋅= ACBC BDDH QR AB ∥ 90QRC A∴∠ = ∠ =  C C∠ = ∠ RQC ABC∴△ ∽△ RQ QC AB BC ∴ = 10 6 10 y x−∴ = y x 3 65y x= − + PQ PR= P PM QR⊥ M QM RM= 1 2 90∠ + ∠ =  2 90C∠ + ∠ =  1 C∴∠ = ∠ 8 4cos 1 cos 10 5C∴ ∠ = = = 4 5 QM QP ∴ = 1 3 6 42 5 12 5 5 x − +  ∴ = 18 5x∴ = PQ RQ= 3 1265 5x− + = 6x∴ = PR QR= R PQ R EC 1 1 22 4CR CE AC∴ = = = tan QR BAC CR CA = = 3 6 65 2 8 x− + ∴ = 15 2x∴ = x 18 5 15 2 PQR△ PQR△ x PQR△ A B C D E R P H Q M 2 1 A B C D E RP H Q A B C D E R P H Q 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反 映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的 一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析 式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例 1(2000 年·上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动 点 P,PH⊥OA,垂足为 H,△OPH 的重心为 G. (1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请 指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设 PH ,GP ,求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 的取值 范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长. 解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、 GP、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= OP=2. (2) 在 Rt △ POH 中 , , ∴ . 在 Rt△MPH 中, . ∴ =GP= MP= (0< <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时, . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 或 2. 二、应用比例式建立函数解析式 例 2（2006 年·山东）如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= CE= . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 与 之间的函数解析式； x= y= y x x 3 2 2 1 3 2 ⋅ 222 36 xPHOPOH −=−= 2362 1 2 1 xOHMH −== y 3 2 23363 1 x+ x xx =+ 23363 1 6=x 6=x 23363 1 2 =+ x 0=x 0=x 2=x 6 ,x y y x 22222 3362 1 4 19 xxxMHPHMP +=−+=+= HM N G P O A B 图 1 x y (2)如果∠BAC 的度数为 ,∠DAE 的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 与 之间的函数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴ , ∴ , ∴ . (2) 由 于 ∠ DAB+ ∠ CAE= , 又 ∠ DAB+ ∠ ADB= ∠ ABC= ,且函数关系式成立, ∴ = , 整理得 . 当 时,函数解析式 成立. 例 3(2005 年·上海) 如图 3(1), 在△ABC 中, ∠ABC=90 °,AB=4,BC=3. 点 O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半 圆,与边 AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E.作 EP⊥ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F. (1)求证: △ADE∽△AEP. (2)设 OA= ,AP= ,求 关于 的函数解析式,并写出 它的定义域. (3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长. 解:(1)连结 OD. 根据题意,得 OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴ , , ∴OD= ,AD= . ∴AE= = . ∵△ADE∽△AEP, ∴ , ∴ . ∴ ( ). (3)当 BF=1 时， α β α β y x AC BD CE AB = 1 1 x y = xy 1= αβ − 290 α−° 290 α−° αβ − =− 2 αβ °90 =− 2 αβ °90 xy 1= x y y x 53 xOD = 54 xAD = x5 3 x5 4 xx 5 3+ x5 8 AE AD AP AE = x x y x 5 8 5 4 5 8 = xy 5 16= 8 250 ≤< x A ED CB 图 2 ● P D E AC B 3(2) O F O ● F P D E AC B 3(1) ①若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F,如图 3(1)，则 CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5- =4,得 .可求得 ,即 AP=2. ②若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2), 则 CF=2. 类似①,可得 CF=CE. ∴5- =2,得 . 可求得 ,即 AP=6. 综上所述, 当 BF=1 时,线段 AP 的长为 2 或 6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 4（2004 年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= ,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动(与点 B、C 不重合),设 BO= ,△AOC 的面积为 . (1)求 关于 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H. ∵∠BAC=90°,AB=AC= , ∴BC=4,AH= BC=2. ∴OC=4- . ∵ , ∴ ( ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时, 在 Rt△AOH 中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 . 此时,△AOC 的面积 = . ②当⊙O 与⊙A 内切时, 在 Rt△AOH 中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 . 此时,△AOC 的面积 = . 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为 或 . 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与 特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三 角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就 此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 x5 8 8 5=x 2=y x5 8 8 15=x 6=y 22 x y y x 22 2 1 x AHOCS AOC ⋅=∆ 2 1 4+−= xy 40 << x 1+x x−2 222 )2(2)1( xx −+=+ 6 7=x y 6 17 6 74 =− 1−x 2−x 222 )2(2)1( −+=− xx 2 7=x y 2 1 2 74 =− 6 17 2 1 A B CO 图 8 H F A B C E D A B C DE O l A′ 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09 年徐汇区）如图， 中， ， ，点 在边 上，且 ，以点 为顶点作 ，分别交边 于点 ，交射线 于点 ． （1）当 时，求 的长； （2）当以点 为圆心 长为半径的⊙ 和以点 为圆心 长为半径的⊙ 相切时， 求 的长； （3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时，求 的长． [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典 型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改 编出第一小题,当 E 点在 AB 边上运动时，渗透入圆与 圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第 二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在 性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆 的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想 来求解． [区分度性小题处理手法] 1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r 建立方程． 2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用 d=R±r( )建立方 程． 3．解题的关键是用含 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] 解：（1） 证明 ∽ ∴ ，代入数据得 ，∴AF=2 （2）　设 BE= ,则 利用（1）的方法 ， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切， ， ； 内切， ， ． ∴当⊙ 和⊙ 相切时， 的长为 或 ． （3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时， ． 类题 ⑴一个动点：09 杨浦 25 题（四月、五月）、09 静安 25 题、 ⑵两个动点：09 闸北 25 题、09 松江 25 题、09 卢湾 25 题、09 青浦 25 题． （二）线动问题 在矩形 ABCD 中，AB＝3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直线 l 过点 B，把△ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A＇ 重合，求 BC 的长； (2)若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AO＝ AC，设 AD 的长为 ，五边形 BCDEF 的面积为 S.①求 S 关于 的函数关系式， ABC∆ 10== ACAB 12=BC D BC 4=BD D BEDF ∠=∠ AB E CA F 6=AE AF C CF C A AE A BE AC O DE BE rR > x CDF∆ EBD∆ BE CD BD CF = 8=CF x ,10== ACd ,10 xAE −= xCF 32= xx 321010 +−= 24=x xx 321010 −−= 17210 ±=x 100 << x C A BE 24 17210 − AC O DE 3 20=BE 4 1 x x A B C DE O l F 并指出 的取值范围； ②探索：是否存在这样的 ，以 A 为圆心，以 长为半径的圆与直线 l 相切，若存 在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点] 本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制 得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识 内容；当直线 沿 AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区 分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研 究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法] 1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补 法，不规则图形用割补法． 2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r 建立方 程． 3．解题的关键是用含 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] (1)∵A’是矩形 ABCD 的对称中心∴A’B＝AA’＝ AC ∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 (2)① ， ， ， ∴ ， ( ) ②若圆 A 与直线 l 相切，则 ， (舍去)， ∵ ∴ 不存在这样的 ，使圆 A 与直线 l 相切． [类题]09 虹口 25 题． （三）面动问题 如图，在 中， ， 、 分别是边 、 上的两个动点（ 不与 、 重合），且保持 ，以 为边，在点 的异侧作正方形 . （1）试求 的面积； （2）当边 与 重合时，求正方形 的边长； （3）设 ， 与正方形 重叠部分的面积为 ，试 求 关于 的函数关系式，并写出定义域； x x −x 4 3 x l x 2 1 33=BC 92 += xAC 94 1 2 += xAO )9(12 1 2 += xAF x xAE 4 92 += AF2 1 ⋅=∆ AES AEF x x 96 )9( 22 += x xxS 96 )9(3 22 +−= x xxS 96 81270 24 −+−= 333 << x 94 1 4 3 2 +=− xx 01 =x 5 8 2 =x 35 8 2 <=x x ABC∆ 6,5 === BCACAB D E AB AC D A B BCDE∥ DE A DEFG ABC∆ FG BC DEFG xAD = ABC∆ DEFG y y x FG E C A B D （4）当 是等腰三角形时，请直接写出 的长． [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形 成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当 D 点在 AB 边上运动时， 正方形 整体动起来，GF 边落在 BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相 似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与 线段 AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一， 用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法] 1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图 3-1、3-2 重叠部分分别 为正方形和矩形包括两种情况． 2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图 3-3、3-4、3-5 用方程思想解决． 3．解题的关键是用含 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] 解：（1） . （2）令此时正方形的边长为 ，则 ，解得 . （3）当 时， ， 当 时， . （4） . [类题] 改编自 09 奉贤 3 月考 25 题，将条件（2）“当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时”, 去掉，同时加到第（3）题中. 已知：在△ABC 中，AB=AC，∠B=30º，BC=6，点 D 在边 BC 上，点 E 在线段 DC 上，DE=3，△DEF 是等边三角 形，边 DF、EF 与边 BA、CA 分别相交于点 M、 N． 　 （1）求证：△BDM∽△CEN； 　　　　　　（2）设 BD= ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为 ， 图3-5图3-4图3-3图3-2图3-1 K FG E K FG E FG E UK FG E FG E C A A C A C A C A C B D B D B D B D B D BDG∆ AD DEFG x 12=∆ABCS a 4 4 6 aa −= 5 12=a 20 ≤x 2 2 25 36 5 6 xxy =    = 52  x ( ) 2 25 24 5 2455 4 5 6 xxxxy −=−⋅= 7 20,11 25,73 125=AD x y A B F D E M N C 求 关于 的函数解析式，并写出定义域． （3）当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时,是否存在点 D，使以 M 为圆心, BM 为半径的圆与 直线 EF 相切, 如果存在，请求出 x 的值；如不存在，请说明理由． 例 1：已知⊙O 的弦 AB 的长等于⊙O 的半径，点 C 在⊙O 上变化（不与 A、B）重合， 求∠ACB 的大小 . 分析：点 C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点 C 改变一下,如何变 化呢？可能在优弧 AB 上，也可能在劣弧 AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当 点 C 在优弧 AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB 的一半，因此 很自然地想到它的圆心角，连结 AO、BO，则由于 AB=OA=OB，即三角形 ABC 为等边三角 形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB= ∠AOB=300， 当点 C 在劣弧 AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧 AB 的一半， 由∠AOB=600 得，优弧 AB 的度数为 3600-600=3000，则由同弧所对 的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500， 因此，本题的答案有两个，分别为 300 或 1500. 反思：本题通过点 C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一 性。从而需要分类讨论。这样由点 C 的运动变化性而引起的分类讨论 在解题中经常出现。 变式 1：已知△ABC 是半径为 2 的圆内接三角形，若 ，求 ∠C 的大小. 本题与例 1 的区别只是 AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解 题方法与上面一致, 在三角形 AOB 中, , 则 , 即 , 从而当点 C 在优弧 AB 上变化时，∠C 所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB 的一半， 即 , 当点 C 在劣弧 AB 上变化时，∠C 所对的弧是优弧 AB，它的大 小为优弧 AB 的一半，由∠AOB=1200 得，优弧 AB 的度数为 3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ C=1200， 因此 或∠C=1200. 变式 2: 如图,半经为 1 的半圆 O 上有两个动点 A、B，若 AB=1， 判断∠AOB 的大小是否会随点 A、B 的变化而变化，若变化，求 出变化范围，若不变化，求出它的值。 四边形 ABCD 的面积的最大值。 y x 2 1 32=AB 2 32 1 2 1sin ==∠ OB AB AOB 0602 1 =∠AOB 0120=∠AOB 060=∠C 060=∠C O BA C O BA C H GF E OD C B A A B CD O 解：（1）由于 AB=OA=OB，所以三角形 AOB 为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB 的大小不会随点 A、B 的变化而变化。 （2）四边形 ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形 AOB 的面积为 ，而三角 形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和为 ，又由梯形 的中位线定理得三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和 ，要四边形 ABCD 的面积最大，只需 EH 最大，显然 EH≤OE= ，当 AB∥CD 时，EH=OE，因此 四边形 ABCD 的面积最大值为 + = . 对于本题同学们还可以继续思考:四边形 ABCD 的周长的变化 范围. 变式 3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块. 三角形的两个顶点分 别为 A、B，另一个顶点 C 在半圆上，问怎样截取才能使截出 的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市 2000 年考题） 分析：要使三角形 ABC 的面积最大，而三角形 ABC 的底 边 AB 为圆的直径为常量，只需 AB 边上的高最大即可。过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，连结 CO， 由于 CD≤CO，当 O 与 D 重合，CD=CO，因此，当 CO 与 AB 垂直时，即 C 为半圆弧 的中点时，其三角形 ABC 的面积最大。 本题也可以先猜想，点 C 为半圆弧的中点时，三角形 ABC 的面 积最大，故只需另选一个位置 C1（不与 C 重合），，证明三角 形 ABC 的面积大于三角形 ABC1 的面积即可。如图 显然三角形 ABC1 的面积= AB×C1D，而 C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1 的面积= AB× C1D< AB×C1O=三角形 ABC 的面积,因此,对于除点 C 外的任意点 C1,都有三角形 ABC1 的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点 C 为半圆中点时,三角形 ABC 面积最大. 本题还可研究三角形 ABC 的周长何时最大的问题。 提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形 ABC 的周长最大， AB 为常数，只需 AC+BC 最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC ×BC=AB2+4×ΔABC 的面积，因此ΔABC 的面积最大时， AC+BC 最大，从而ΔABC 的周长最大。 从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问 4 3 )(2 1 2 1 2 1 BGAFBGOCAFOD +=×+× EHBGAF =+ )(2 1 2 3 4 3 2 3 4 33 2 1 2 1 2 1 O C BA DA B C O C DA B C1 O 题的常见方法有: 一、 特殊探路，一般推证 例 2：（2004 年广州市中考题第 11 题）如图，⊙O1 和⊙O2 内切于 A，⊙O1 的半径为 3，⊙O2 的半径为 2，点 P 为⊙O1 上的任一点（与点 A 不重合），直线 PA 交⊙O2 于 点 C，PB 切⊙O2 于点 B，则 的值为 （ A ） （ B ） （ C ） （D） 分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因 此可以取一个特殊位置进行研究，当点 P 满足 PB ⊥AB 时，可以 通过计算得出 PB= BC×AP=BP×AB，因此 BC= ， 在三角形 BPC 中，PC= ， 所以， = 选（B） 当然，本题还可以根据三角形相似得 ，即可计算出结论。 作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况， 还要进一步证明对一般情况也成立。 例 3：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC=4，OA BC 于 O,点 E 和点 F 分别在边 AB、 AC 上滑动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合，点 E 不与 B、 A 重合。 判断 OEF 的形状，并加以证明。 判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化，若变 化，求其变化范围，若不变化，求它的值. AEF 的面积是否随着点 E、F 的变化而变化，若变化，求其 变化范围，若不变化，求它的值。 分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为 E、 F 分别为 AB、AC 中点，显然有ΔEOF 为等腰直角三角形。还可发 现当点 E 与 A 无限接近时，点 F 与点 C 无限接近，此时ΔEOF 无限 接近ΔAOC，而ΔAOC 为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得 PC BP 2 3 2 3 2 6 2213 22 =− 6 24 62 28 816 28 22 == + = + × BPAB BPAB 3 6222 =− BCBP PC BP 3 BP AP PC BP = ⊥ ∆ ∆ C O1 O2 P B A C O1 O2 P B A D C BA F E O CB A 出ΔEOF 为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE 与 OF 相等吗？∠EOF 为直角吗？ 能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形 OFC 与三角形 OEA 全等，一般情况下这两个三 角形全等吗？ 不难从题目的条件可得：OA=OC，∠OCF=∠OAE，而 AE=CF，则ΔOEA≌ΔOFC，则 OE=OF， 且∠FOC=∠EOA，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，则∠EOF 为直角，故Δ EOF 为等腰直角三角形。 二、 动手实践，操作确认 例 4（2003 年广州市中考试题）在⊙O 中，C 为弧 AB 的中点，D 为弧 AC 上任一点（与 A、C 不重合），则 （A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB 的长度，可以尝试换几个位 置量一量，得出结论（C） 例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和非直径的弦 CD， 延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B、E，则下列结论中正确的是（ * ） （A） （B） （C） （D） 的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B） 本题也可以可以证明得出结论，连结 DO、EO，则在三角形 OED 中，由于两边之差小于第三边，则 OE—OD ABDE < ABDE, EDAB < ABDE > 522 =+ CMBC ⊥ ∆ x−22 E D C BAO M N D CB A F E O CB A 而三角形 AOB 的面积与三角形 AOE 的面积之比= ，而三角形 AOB 的面积= ，则三角形 AOE 的面积= ，同理三角形 AOF 的面积= ，因此 四边形 AEOF 的面积= ；即 AEOF 的面积不会随点 E、F 的变化而变 化，是一个定值，且为 2. 当然，本题也可以这样思考，由于三角形 AOE 与三角形 COF 全等，则四边形 AEOF 的面积与三角形 AOC 的面积相等，而 AOC 的面积为 2，因此 AEOF 的面积不会随点 E、 F 的变化而变化，是一个定值，且为 2. 本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方 法应用比较广泛. 第 (3) 问 , 也 可 以 通 过 建 立 函 数 关 系 求 得 , AEF 的 面 积 = ,又 的变化范围为 ,由二次函数知识得 AEF 的面积的范围为: AEF 的面积 . 本题也可以根据三角形 AEF 与三角形 OEF 的面积关系确定 AEF 的面积范围: 不难证明 AEF 的面积≤ OEF 的面积，它们公用边 EF，取 EF 的中点 H，显然由于 OEF 为等腰直角三角形，则 OH⊥EF，作 AG⊥EF，显然 AG≤AH=AG（= ）， 所以 AEF 的面积≤ OEF 的面积，而它们的和为 2，因此 AEF 的面积 . 本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究： 比如，比较线段 EF 与 AO 长度大小等（可以通过 A、E、O、F 四点在以 EF 为直径的 圆上得出很多结论） 例 8：如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动。如果 Ｐ、Ｑ同时出发，用 t 秒表示移动的时间（0≤ t ≤6），那 么： （1）当 t 为何值时，三角形 QAP 为等腰三角形？ （2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关 的结论； （3）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 分析：（1）当三角形 QAP 为等腰三角形时，由于∠A 为直角，只能是 AQ=AP，建 立等量关系， ，即 时，三角形 QAP 为等腰三角形； （2）四边形 QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形 QDC 的面积—三角形 PBC 的面 积 = =36，即当 P、Q 运动时，四边形 QAPC 的面积不变。 （3）显然有两种情况：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC， x 22 22 1 =×× OAOB 2 x 2 22 x− 2 2 )22( =−+ xx ∆ 1)2(2 1)22(2 1 2 +−−=− xxx x 220 << x ∆ <0 ∆ 1≤ ∆ ∆ ∆ ∆ EF2 1 ∆ ∆ <0 ∆ 1≤ tt −= 62 2=t 6)212(2 1122 1612 ×−−××−× xx 由相似关系得 或 ，解之得 或 建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解 方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一 些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。 作为训练同学们可以综合上述方法求解： 练习 1：2003 年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道） 已知 ABC 为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB 为 直角，P 是 AB 边上的动点（与点 A、B 不重合），Q 是 BC 边上动点（与点 B、C 不重合） （1） 如图，当 PQ∥AC，且 Q 为 BC 的中点，求线段 CP 的长。 当 PQ 与 AC 不平行时， CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段 CQ 的长的 取值范围；若不可能，请说明理由。 第 1 问很易得出 P 为 AB 中点，则 CP= 第 2 问：如果 CPQ 为直角三角形，由于 PQ 与 AC 不平行，则∠Q 不可能为直角 又点 P 不与 A 重合，则∠PCQ 也不可能为直角，只能 是∠CPQ 为直角，即以 CQ 为直径的圆与 AB 有交点，设 CQ=2x，CQ 的中点 D 到 AB 的距离 DM 不大于 CD， ，即 ，所以 ，由 ，即 ，而 ，故 ，亦即 时， CPQ 可能为直角三角形。 当然还有其它方法。同学们可以继续研究。 练习 2：（广东省 2003 年中考试题最后一题）在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90 °，O 为 BC 的中点， （1）写出点 O 到△ABC 的三个顶点 A、B、C 距离的大小关 系。 （2）如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动，移动中保持 AN 6 12 6 2 =− x x 12 6 6 2 =− x x 3=x 2.1=x ∆ ∆ 2 13 2 1 =AB ∆ AB DB AC DM = 13 12 5 xDM −= 13 )12(5 xDM −= xCDxDM =≤−= 13 )12(5 3 10≥x 6， 4BC OB OC m= − = − 4AC BC m= = − Rt AOC△ 2 2 2AC OC OA= + ( )2 2 24 2m m− = + 3 2m = ∴ C 30 2     ， B OA B′ B CD BCD′△ ≌△ OB x OC y′ = =， 4B C BC OB OC y′ = = − = − Rt B OC′△ 2 2 2B C OC OB′ ′= + ( )2 2 24 y y x∴ − = + 21 28y x= − + B′ OA 0 2x≤ ≤ ∴ 21 28y x= − + ( )0 2x≤ ≤ ∴  0 2x≤ ≤ y x y∴ 3 22 y≤ ≤ B OA B′′ B D OB′′ ∥ OCB CB D′′ ′′∠ = ∠ x y B O A x y B O A x y B O A 又 ，有 . . 有 ，得 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 在 中， 设 ，则 . 由（Ⅱ）的结论，得 ， 解得 . 点 的坐标为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 12（09 太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 ， 重合），压平后得到折痕 ．当 时，求 的值． 类比归纳 在图（1）中，若 则 的值等于 ；若 则 的值等于 ； 若 （ 为整数），则 的值等于 ．（用含 的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 重合）， 压平后得到折痕 设 则 的值等于 ．（用含 的 式子表示） 解：方法一：如图（1-1），连接 ． 由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称． ∴ 垂直平分 ．∴ ……………1 分 ∵四边形 是正方形，∴ ∵ 设 则 在 中， ． ∴ 解得 ，即 …………3 分 在 和在 中， ， CBD CB D OCB CBD′′ ′′∠ = ∠ ∴∠ = ∠ ， CB BA′′∥ Rt RtCOB BOA′′∴ △ ∽ △ OB OC OA OB ′′ = 2OC OB′′= Rt B OC′′△ ( )0 0OB x x′′ = > 02OC x= 2 0 0 12 28x x= − + 0 0 08 4 5 0 8 4 5x x x= − ± > ∴ = − +． ， ∴ C ( )0 8 5 16−， ABCD B CD E C D MN 1 2 CE CD = AM BN 1 3 CE CD = ， AM BN 1 4 CE CD = ， AM BN 1CE CD n = n AM BN n ABCD B CD E C D， MN， ( )1 11AB CEmBC m CD n = > =， ， AM BN m n， BM EM BE， ， ABNM FENM MN MN BE BM EM BN EN= =， ． ABCD 90 2A D C AB BC CD DA∠ = ∠ = ∠ = = = = =° , ． 1 12 CE CE DECD = ∴ = =， ． BN x= ， NE x= ， 2NC x= − ． Rt CNE△ 2 2 2NE CN CE= + ( )22 22 1x x= − + ． 5 4x = 5 4BN = ． Rt ABM△ Rt DEM△ 2 2 2AM AB BM+ = 方法指导： 为了求得 AM BN 的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB =2 图（2） N A B C D E F M 图（1） A B C D E FM N N 图（1-1） A B C D E FM ， ∴ …………5 分 设 则 ∴ 解得 即 …………6 分 ∴ …………7 分 方法二：同方法一， …………3 分 如图（1－2），过点 做 交 于点 ，连接 ∵ ∴四边形 是平行四边形． ∴ 同理，四边形 也是平行四边形．∴ 　　　∵ 　　　 　　　在 与 中 　　　 ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙５分 ∵ …………6 分 ∴ …………7 分 类比归纳 （或 ）； ； …………10 分 联系拓广 …………12 分 2 2 2DM DE EM+ = 2 2 2 2AM AB DM DE+ = + ． AM y= ， 2DM y= − ， ( )22 2 22 2 1y y+ = − + ． 1 4y = ， 1 4AM = ． 1 5 AM BN = ． 5 4BN = ． N NG CD∥ ， AD G BE． AD BC∥ ， GDCN NG CD BC= = ． ABNG 5 4AG BN= = ． 90MN BE EBC BNM⊥ ∴∠ + ∠ =， °． 90NG BC MNG BNM EBC MNG⊥ ∴∠ + ∠ = ∴∠ = ∠ ， °， ． BCE△ NGM△ 90 EBC MNG BC NG C NGM ∠ = ∠  = ∠ = ∠ = ， ， °． BCE NGM EC MG=△ ≌△ ， ． 11 4AM AG MG AM= − − =5， = ． 4 1 5 AM BN = ． 2 5 4 10 9 17 ( )2 2 1 1 n n − + 2 2 2 2 2 1 1 n m n n m − + + 07 08 09 动点个 数 两个 一个 两个 问题背 景 特殊菱形两边上移动 特 殊 直 角 梯 形 三边上移动 抛物线中特殊直角梯 形底边上移动 考查难 点 探究相似三角形 探 究 三 角 形 面 积函数关系式 探究等腰三角形 考 点 ①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式 ① 求 直 线 解 析 式 ② 四 边 形 面 积 的表示 ③ 动 三 角 形 面 积 函 数 ④ 矩 形 性质 ①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积 是定值 ④探究等腰三角形存 在性 N 图（1-2） A B C D E FM G 三年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相 似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先 画出图形，再根据图形性质探究答案。 2013 年中考数学专题：动点型问题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上 运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容 包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做 好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也 是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题 反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量 间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. （一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像） 例 1 （2012•嘉兴）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，动点 P 从点 A 出发，沿折线 A→B→D→ C→A 的路径运 动，回到点 A 时运动停止．设点 P 运动的路程长为长为 x，AP 长为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（　　） 特 点 ①菱形是含 60°的特殊 菱形； △AOB 是底角为 30°的等 腰三角形。 ②一个动点速度是参数字 母。 ③探究相似三角形时，按 对应角不同分类讨论；先 画图，再探究。 ④通过相似三角形过度， 转化相似比得出方程。 ⑤利用 a、t 范围，运用不 等式求出 a、t 的值。 ① 观 察 图 形 构 造 特 征 适 当 割 补表示面积 ② 动 点 按 到 拐 点 时 间 分 段 分 类 ③ 画 出 矩 形 必 备 条 件 的 图 形 探究其存在性 ①直角梯形是特殊的 （一底角是 45°） ②点动带动线动 ③线动中的特殊性（两 个交点 D、E 是定点； 动线段 PF 长度是定值， PF=OA） ④通过相似三角形过 度，转化相似比得出方 程。 ⑤探究等腰三角形时， 先画图，再探究（按边 相等分类讨论） 　 A． B． C． D． 思路分析： 根据题意设出点 P 运动的路程 x 与点 P 到点 A 的距离 y 的函数关系式，然后对 x 从 0 到 2a+2 a 时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案． 解：设动点 P 按沿折线 A→B→D→C→A 的路径运动， ∵正方形 ABCD 的边长为 a， ∴BD= a， 则当 0≤x＜a 时，y=x， 当 a≤x＜（1+ ）a 时，y= ， 当 a（1+ ）≤x＜a（2+ ）时，y= ， 当 a（2+ ）≤x≤a（2+2 ）时，y=a（2+2 ）﹣x， 结合函数解析式可以得出第 2，3 段函数解析式不同，得出 A 选项一定错误， 根据当 a≤x＜（1+ ）a 时，函数图象被 P 在 BD 中点时，分为对称的两部分，故 B 选项错 误， 再利用第 4 段函数为一次函数得出，故 C 选项一定错误， 故只有 D 符合要求， 故选：D． 点评： 此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的 函数关系式是解决本题的关键． 对应训练 1．（2012•内江）如图，正△ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度， 沿 A→B→C 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒），y=PC2，则 y 关于 x 的函 数的图象大致为（　　） 　 A． B． C． D． （二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像） 例 2 （2012•攀枝花）如图，直角梯形 AOCD 的边 OC 在 x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于 x 轴，D（5，4），AD=2．若动点 E、F 同时从点 O 出发，E 点沿折线 OA→AD→DC 运动，到达 C 点时停止；F 点沿 OC 运动，到达 C 点是停止，它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度．设 E 运动秒 x 时，△EOF 的面积为 y（平方单位），则 y 关于 x 的函数图象大致为（　　） 　 A． B． C． D． 思路分析： 首先根据点 D 的坐标求得点 A 的坐标，从而求得线段 OA 和线段 OC 的长，然后根 据运动时间即可判断三角形 EOF 的面积的变化情况． 解：∵D（5，4），AD=2． ∴OC=5，CD=4 OA=5 ∴运动 x 秒（x＜5）时，OE=OF=x， 作 EH⊥OC 于 H，AG⊥OC 于点 G， ∴EH∥AG ∴△EHO∽△AGO 即： ∴EH= x ∴S△EOF= OF•EH= ×x× x= x2， 故 A、B 选项错误； 当点 F 运动到点 C 时，点 E 运动到点 A，此时点 F 停止运动，点 E 在 AD 上运动，△EOF 的面 积不变， 点在 DC 上运动时，如右图， EF=11﹣x，OC=5 ∴S△EOF= OC•CE= ×（11﹣x）×5=﹣ x+ 是一次函数，故 C 正确， 故选 C． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象． 对应训练 2．（2012•贵港）如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切于点 D、E、F，且∠ACB=90 °，AB=5，BC=3，点 P 在射线 AC 上运动，过点 P 作 PH⊥AB，垂足为 H． （1）直接写出线段 AC、AD 及⊙O 半径的长； （2）设 PH=x，PC=y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当 PH 与⊙O 相切时，求相应的 y 值． （三）应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 3 （2012•桂林）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D 为 BC 的中点． （1）若 E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AE=CF，求证：△AED≌△CFD； （2）当点 F、E 分别从 C、A 两点同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 CA、AB 运动，到 点 A、B 时停止；设△DEF 的面积为 y，F 点运动的时间为 x，求 y 与 x 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点 F、E 分别沿 CA、AB 的延长线继续运动，求此时 y 与 x 的函数关 系式． 思路分析： （1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到 AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD 提供了重要的条件； （2）利用 S 四边形 AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 即可得到 y 与 x 之间的函数关系式； （3）依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得 到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到 S△ADF=S△BDE 从而得到 S△EDF=S△EAF+S△ADB 即可 确定两个变量之间的函数关系式． 解： （1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D 为 BC 中点 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45° ∴AD=BD=DC （2 分） ∵AE=CF∴△AED≌△CFD （2）解：依题意有：FC=AE=x， ∵△AED≌△CFD ∴S 四边形 AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 ∴ ∴ ； （3）解：依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45° ∴∠DAF=∠DBE=135° ∴△ADF≌△BDE ∴S△ADF=S△BDE ∴S△EDF=S△EAF+S△ADB = ∴ ． 点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然 不是很多但难度较大． 对应训练 3．（2012•桂林）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，动点 P 从 A 点出发，以每秒 1 个单 位长度的速度沿 AB 向 B 点运动，同时动点 Q 从 B 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 BC→ CD 方向运动，当 P 运动到 B 点时，P、Q 两点同时停止运动．设 P 点运动的时间为 t，△APQ 的面积为 S，则 S 与 t 的函数关系的图象是（　　） 　 A． B． C． D． 四、中考真题演练 一、选择题 1．（2012•烟台）如图，矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点，点 Q 为 AB 上的动点（不与 A，B 重合） ．过 Q 作 QM⊥PA 于 M，QN⊥PB 于 N．设 AQ 的长度为 x，QM 与 QN 的长度和为 y．则能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（　　） 　 A． B． C． D． 2．（2012•鞍山）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC 于点 E ，且 E 是 BC 中点；动点 P 从点 E 出发沿路径 ED→DA→AB 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动；设点 P 的运动时间为 t 秒，△PBC 的面积为 S，则下列能反映 S 与 t 的函数关系的图 象是（　　） 　 A． B． C． D． 3．（2012•巴中）如图，点 P 是等边△ABC 的边上的一个做匀速运动的动点，其由点 A 开始 沿 AB 边运动到 B 再沿 BC 边运动到 C 为止，设运动时间为 t，△ACP 的面积为 S，则 S 与 t 的 大致图象是（　　） 　 A． B． C． D． 4．（2012•佳木斯）如图所示，四边形 ABCD 是边长为 4cm 的正方形，动点 P 在正方形 ABCD 的边上沿着 A→B→C→D 的路径以 1cm/s 的速度运动，在这个运动过程中△APD 的面积 s（ cm2）随时间 t（s）的变化关系用图象表示，正确的是 （　　） 　 A． B． C． D． 5．（2012•温州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动到终点 C，动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B．已知 P，Q 两点 同时出发，并同时到达终点，连接 MP，MQ，PQ．在整个运动过程中，△MPQ 的面积大小变化 情况是（　　） 　 A．一直增大 B． 一直减小 C．先减小后增大 D． 先增大 后减少 6．（2012•绥化）如图，点 A、B、C、D 为⊙O 的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发，沿 OC﹣ ﹣DO 的路线做匀速运动，设运动的时间为 t 秒，∠APB 的度数为 y 度，则下列图象中表示 y（ 度）与 t（秒）之间函数关系最恰当的是（　　） 　 A． B． C． D． 7．（2012•北京）小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经 过点 B 跑到点 C，共用时 30 秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小 翔跑步的时间为 t（单位：秒），他与教练的距离为 y（单位：米），表示 y 与 t 的函数关 系的图象大致如图 2 所示，则这个个定位置可能是图 1 中的（　　） 　 A．点 M B． 点 N C．点 P D． 点 Q 8．（2012•六盘水）如图为反比例函数 在第一象限的图象，点 A 为此图象上的一动点， 过点 A 分别作 AB⊥x 轴和 AC⊥y 轴，垂足分别为 B，C．则四边形 OBAC 周长的最小值为（　　） 　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 二、填空题 9．（2012•张家界）已知线段 AB=6，C、D 是 AB 上两点，且 AC=DB=1，P 是线段 CD 上一动点 ，在 AB 同侧分别作等边三角形 APE 和等边三角形 PBF，G 为线段 EF 的中点，点 P 由点 C 移 动到点 D 时，G 点移动的路径长度为　 　． 三、解答题 10．（2012•扬州）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点， 直线 l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的 点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2012•佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别与 x 轴、 y 轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12 ，点 C 的坐标为（﹣18，0）． （1）求点 B 的坐标； （2）若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE=4，OD=2BD，求直线 DE 的解 析式； （3）若点 P 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 O、E、P、 Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2012•铁岭）如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上一点 A（4，0），抛物线顶点为 E ，它的对称轴与 x 轴交于点 D．直线 y=﹣2x﹣1 经过抛物线上一点 B（﹣2，m）且与 y 轴交 于点 C，与抛物线的对称轴交于点 F． （1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式； （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点 P 的坐标； （3）点 Q 是平面内任意一点，点 M 从点 F 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度 匀速运动，设点 M 的运动时间为 t 秒，是否能使以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由． 13．（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（m，m），点 B 的坐标为（n ，﹣n），抛物线经过 A、O、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C．已知实数 m、 n（m＜n）分别是方程 x2﹣2x﹣3=0 的两根． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合），直线 PC 与抛物线交于 D、E 两 点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、BD． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标． 14．（2012•衢州）如图，把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△COD 分别置于平面直角坐标系中， 使直角边 OB、OD 在 x 轴上．已知点 A（1，2），过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E 、F．抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点 P 为线段 OC 上一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N， 问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由． （3）若△AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合），△AOB 在平移过 程中与△COD 重叠部分面积记为 S．试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值； 若不存在，请说明理由． 15．（2012•苏州）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合，在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合，连接 CG，过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P，连接 PD．已知正方形 ABCD 的边长 为 1cm，矩形 EFGH 的边 FG，GH 的长分别为 4cm，3cm，设正方形移动时间为 x（s），线段 GP 的长为 y（cm），其中 0≤x≤2.5． （1）试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 y=3 时相应 x 的值； （2）记△DGP 的面积为 S1，△CDG 的面积为 S2．试说明 S1﹣S2 是常数； （3）当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长． 专题十一 动点型问题（一）参考答案 （建立动点问题的函数解析式（或函数图像）、动态几何型压轴题） 三、中考考点精讲 对应训练 1．解：∵正△ABC 的边长为 3cm， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm． 如图，D 为 AB 的中点，连结 CD，则：AD=BD=1.5（cm），CD= （cm）。 ①当 0≤x≤1.5 时，即点 P 在线段 AD 上时，AP=xcm（0≤x≤1.5），则 ， 即 y=x2﹣3x+9（0≤x≤1.5）； ②当 1.5