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2002年北京市东城区中考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)
1.(4分)(2002•东城区)在实数﹣,0,,﹣3.14,无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(4分)(2002•东城区)我国某年石油产量约为170 000 000,用科学记数法表示为( )
A.1.7×10﹣7吨 B.1.7×107吨 C.1.7×108吨 D.1.7×109吨
3.(4分)(2002•东城区)下列运算中,正确的是( )
A.a2•a3=a6 B.a2÷a3=a C. D.
4.(4分)(2011•乌鲁木齐)关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0,则实数a的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣1或1
5.(4分)(2002•东城区)下列银行标志中,是轴对称图形的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.(4分)(2002•东城区)不等式组的最小整数解为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.4
7.(4分)(2002•东城区)若梯形中位线长是高的2倍,面积是18cm2,则这个梯形的高等于( )
A.6cm B.6cm C.3cm D.3cm
8.(4分)(2002•东城区)方程的解为( )
A.﹣1,2 B.1,﹣2 C.0, D.0,3
9.(4分)(2002•东城区)下列说法中错误的是( )
A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B.每组邻边都相等的四边形是菱形
C.四个角都相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
10.(4分)(2002•东城区)点P是△ABC中AB边上的一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似,满足这样条件的直线最多有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
二、填空题(共8小题,每小题4分,满分32分)
11.(4分)(2002•东城区)函数的自变量的取值范围是______.
12.(4分)(2002•东城区)2002年5月份,某市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是:
31 35 31 34 30 32 31
这组数据的中位数是______.
13.(4分)(2002•东城区)分解因式3x3﹣12x2y+12xy2=______.
14.(4分)(2002•东城区)如图,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧BC上的一点,已知∠BAC=80°,那么∠BDC=______度.
15.(4分)(2002•东城区)如图,在一段坡度为1:2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为______米.
16.(4分)(2002•东城区)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,以AC所在直线为轴旋转一周,所得圆锥的侧面积是______.
17.(4分)(2002•东城区)已知⊙O1、⊙O2的半径都等于1,有下列命题:
①若O1O2=1,则⊙O1与⊙O2有两个公共点
②若O1O2=2,则⊙O1与⊙O2外切
③若O1O2≤3,则⊙O1与⊙O2必有公共点
④若O1O2>1,则⊙O1与⊙O2至少有两条公切线
其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都上).
18.(4分)(2002•东城区)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点.
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3;
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式:______.
三、解答题(共6小题,满分48分)
19.(6分)(2006•烟台)计算:﹣sin60°+(﹣)0﹣.
20.(7分)(2002•东城区)如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.
21.(8分)(2002•东城区)在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边c=5,两直角边的长a,b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的两个根,求Rt△ABC中较小锐角的正弦值.
22.(8分)(2005•天水)某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的,若提前购票,则给予不同程度的优惠,在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票的;零售票每张16元,共售出零售票的一半.如果在六月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?
23.(9分)(2002•东城区)已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.
(l)求证:PA•PB=PO•PE;
(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求弦CF的长.
24.(10分)(2002•东城区)已知如图,一次函数的图象经过第一,二,三象限,且与反比例函数的图象交于A,B两点,与y轴交于点C,OB=,tan∠DOB=
(1)求反比例函数的解析式;
(2)设点A的横坐标为m,△ABO的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)当△OCD的面积等于,试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3?如果能,求此时抛物线的解析式;如果不能,请说明理由.
2002年北京市东城区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)
1.(4分)(2002•东城区)在实数﹣,0,,﹣3.14,无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】由于无限不循环小数叫无理数,利用无理数的定义进行判断即可求解.
【解答】解:在实数﹣,0,,﹣3.14,中,
根据无理数的定义,则其中的无理数有.
故选A.
【点评】此题考查了无理数的概念.注意:=2,是有理数.
2.(4分)(2002•东城区)我国某年石油产量约为170 000 000,用科学记数法表示为( )
A.1.7×10﹣7吨 B.1.7×107吨 C.1.7×108吨 D.1.7×109吨
【分析】在实际生活中,许多比较大的数,我们习惯上都用科学记数法表示,使书写、计算简便.
【解答】解:170 000 000=17×107=1.7×108吨.
故选C.
【点评】把一个数写成a×10n的形式,叫做科学记数法,其中1≤|a|<10,因此不能写成17×107而应写成1.7×108.
3.(4分)(2002•东城区)下列运算中,正确的是( )
A.a2•a3=a6 B.a2÷a3=a C. D.
【分析】根据同底数幂乘法、负整数指数幂、同底数幂除法性质和分式的加法运算等知识点进行排除法求解.
【解答】解:A、a2•a3=a5,错误;
B、a2÷a3=a﹣1,错误;
C、分式相加应先通分,不能直接相加,错误;
D、负整数幂是正整数幂的倒数,正确.
故选D.
【点评】同底数幂相乘指数相加,同底数幂相除,指数相减,负整数幂是正整数幂的倒数.
4.(4分)(2011•乌鲁木齐)关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0,则实数a的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣1或1
【分析】先把x=0代入方程求出a的值,然后根据二次项系数不能为0,把a=1舍去.
【解答】解:把x=0代入方程得:
|a|﹣1=0,
∴a=±1,
∵a﹣1≠0,
∴a=﹣1.
故选:A.
【点评】本题考查的是一元二次方程的解,把方程的解代入方程得到a的值,再由二次项系数不为0,确定正确的选项.
5.(4分)(2002•东城区)下列银行标志中,是轴对称图形的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:观察图形可知第三个图形不是轴对称图形.
故选C.
【点评】轴对称图形的判断方法:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.
6.(4分)(2002•东城区)不等式组的最小整数解为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.4
【分析】先求出不等式组的解集,在取值范围内可以找到最小整数解.
【解答】解:化简不等式组得,
所以不等式组的解集为﹣<x≤4,
则符合条件的最小整数解为0.
故选B.
【点评】解答此题要先求出不等式组的解集,再确定最小整数解.求不等式组的解集要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
7.(4分)(2002•东城区)若梯形中位线长是高的2倍,面积是18cm2,则这个梯形的高等于( )
A.6cm B.6cm C.3cm D.3cm
【分析】根据梯形的中位线定理,知梯形的面积=梯形的中位线×高.
根据这一面积公式,列方程求解.
【解答】解:设高为xcm,则梯形的中位线是2xcm.
根据梯形的面积公式,得2x2=18,解得x=±3(取正值).
故选D.
【点评】本题应用的知识点为:梯形的面积=中位线×高.
8.(4分)(2002•东城区)方程的解为( )
A.﹣1,2 B.1,﹣2 C.0, D.0,3
【分析】方程的两个分式具备平方关系,设y=,则原方程化为y2﹣y﹣2=0.用换元法解一元二次方程求y,再求x.
【解答】解:设y=,则原方程化为y2﹣y﹣2=0解得,y1=﹣1,y2=2,
当y1=﹣1时,=﹣1,解得x=0,
当y2=2时,=2,解得x=.
经检验0,都是原方程的根.
故选C.
【点评】换元法解分式方程时常用方法之一,它能够把一些分式方程化繁为简,化难为易,对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点,寻找解题技巧.
9.(4分)(2002•东城区)下列说法中错误的是( )
A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B.每组邻边都相等的四边形是菱形
C.四个角都相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】根据特殊平行四边形的判定对各个选项进行分析,从而得到最后答案.
【解答】解:A正确,一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等,是平行四边形;
B正确,每组邻边都相等实际是四条边都相等所以为菱形;
C正确,四个角都相等,四个角的内角和为360°,可得到每个内角为90°所以为矩形;
D不正确,应该是菱形,因为正方形的对角线相等且互相垂直平分;
故选D.
【点评】本题考查特殊平行四边形的判定,需熟练掌握各特殊平行四边形的特点.
10.(4分)(2002•东城区)点P是△ABC中AB边上的一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似,满足这样条件的直线最多有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条.
【解答】解:(1)作∠APD=∠C
∵∠A=∠A
∴△APD∽△ABC
(2)作PE∥BC
∴△APE∽△ABC
(3)作∠BPF=∠C
∵∠B=∠B
∴△FBP∽△ABC
(4)作PG∥AC
∴△PBG∽△ABC
所以共4条
故选C.
【点评】本题考查相似三角形的判定的运用.
二、填空题(共8小题,每小题4分,满分32分)
11.(4分)(2002•东城区)函数的自变量的取值范围是 x<3 .
【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可知:3﹣x>0,可求x的范围.
【解答】解:根据题意得:3﹣x>0,
解得:x<3.
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
12.(4分)(2002•东城区)2002年5月份,某市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是:
31 35 31 34 30 32 31
这组数据的中位数是 31 .
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数.
【解答】解:按从小到大顺序排列30,31,31,31,32,34,35,
第4个数据即为所求.
故中位数为31.
故填31.
【点评】本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
13.(4分)(2002•东城区)分解因式3x3﹣12x2y+12xy2= 3x(x﹣2y)2 .
【分析】先提取公因式3x,再运用完全平方公式继续分解.
【解答】解:3x3﹣12x2y+12xy2,
=3x(x2﹣4xy+4y2),
=3x(x﹣2y)2.
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,有公因式的首先提取公因式,最后一定要分解到各个因式不能再分解为止.
14.(4分)(2002•东城区)如图,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧BC上的一点,已知∠BAC=80°,那么∠BDC= 50 度.
【分析】先用切线的性质得出∠BAD=∠ACD=90°,再用四边形内角和定理得出∠BOC,∠BDC可求.
【解答】解:连接OB、OC,则∠ABO=∠ACO=90°,
∠BAC+∠BOC=360°﹣(∠ABO+∠ACO)=360°﹣180°=180°,
∠BOC=180°﹣∠BAC=180°﹣80°=100°,
故∠BDC=∠BOC=×100=50°.
【点评】本题考查的是切线的性质及圆周角定理,四边形内角和定理,比较简单.
15.(4分)(2002•东城区)如图,在一段坡度为1:2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为 米.
【分析】利用垂直距离:水平宽度得到水平距离与斜坡的比,把相应的数值代入即可.
【解答】解:∵坡度为1:2,=,且株距为6米,
∴株距:坡面距离=2:.
∴坡面距离=株距×=3(米).
另解:∵CB:AB=1:2,
设CB=x,AB=2x,
∴AC==x,
∴=,
∵AB=6,
∴AC=×6=3.
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,可把条件和问题放到直角三角形中,进行解决.要注意坡度是坡角的正切函数.
16.(4分)(2002•东城区)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,以AC所在直线为轴旋转一周,所得圆锥的侧面积是 3π .
【分析】易得几何体为圆锥,那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2.
【解答】解:∠C=90°,AB=3,BC=1,以AC所在直线为轴旋转一周,所得圆锥的底面周长=2π,侧面积=×2π×3=3π.
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.
17.(4分)(2002•东城区)已知⊙O1、⊙O2的半径都等于1,有下列命题:
①若O1O2=1,则⊙O1与⊙O2有两个公共点
②若O1O2=2,则⊙O1与⊙O2外切
③若O1O2≤3,则⊙O1与⊙O2必有公共点
④若O1O2>1,则⊙O1与⊙O2至少有两条公切线
其中正确命题的序号是 ①②④ .(把你认为正确命题的序号都上).
【分析】本题已知两圆为等圆,当圆心距=1时,两圆相交;当圆心距=2时,两圆外切;当圆心距≤3时,两圆有外离、外切、相交、内切、内含5种情况需要考虑;当圆心距>1时,两圆有外离、外切、相交3种情况需要考虑.
【解答】解:由题意可得①若O1O2=1,则两圆相交,⊙O1与⊙O2有两个公共点,正确;
②若O1O2=2,则⊙O1与⊙O2外切,正确;
③若O1O2≤3,则⊙O1与⊙O2有外离、外切、相交、内切、内含5种情况需要考虑,而两圆外离时,是没有公共点的,故错误;
④若O1O2>1,则⊙O1与⊙O2有外离、外切、相交3种情况需要考虑,公切线的条数分别是:4、3、2,故至少有两条公切线,正确.
故正确的是①②④.
【点评】可以根据圆心的距离判断两个圆的位置关系.两圆心距离小于两半径之和,则两圆相交;两圆心距离等于两半径之和,则两圆外切;两圆心距离大于两半径之和,两圆外离.
18.(4分)(2002•东城区)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点.
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3;
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式: y=(x﹣3)(x﹣5) .
【分析】由对称轴是直线x=4,与x轴两交点的横坐标都是整数,可设与x轴两交点坐标为(3,0),(5,0),又因为以函数与x轴,y轴交点为顶点的三角形面积为3,可得与y轴的交点的坐标为(0,3).利用交点式y=a(x﹣x1)(x﹣x2),求出解析式.
【解答】解:此题答案不唯一
∵对称轴是直线x=4,与x轴两交点的横坐标都是整数
可设与x轴两交点坐标为(3,0),(5,0)
又因为以函数与x轴,y轴交点为顶点的三角形面积为3
可得与y轴的交点的坐标为(0,3)
设解析式y=a(x﹣3)(x﹣5)
把点(0,3)代入得a=.
∴解析式y=(x﹣3)(x﹣5).
【点评】此题是开放题,解题的关键理解题意.还要注意利用待定系数法求函数解析式,当题目中出现二次函数与x轴的交点坐标时,采用交点式比较简单.
三、解答题(共6小题,满分48分)
19.(6分)(2006•烟台)计算:﹣sin60°+(﹣)0﹣.
【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:原式==2.
【点评】考查对零指数幂、特殊角的三角函数值的掌握情况及运算能力.
20.(7分)(2002•东城区)如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.
【分析】首先角平分线的性质得到OD=OE,然后利用其他已知条件可以证明△BOD≌△COE,从而不难得到结论.
【解答】证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,
∴OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°.
∵∠BOD=∠COE,
∴△BOD≌△COE.
∴OB=OC.
【点评】此题主要考查了角平分线的性质,利用它构造全等三角形,然后根据全等三角形的性质与判定解决问题.
21.(8分)(2002•东城区)在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边c=5,两直角边的长a,b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的两个根,求Rt△ABC中较小锐角的正弦值.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后,再求得方程的解,求出较小锐角的正弦值.
【解答】解:∵a,b是方程x2﹣mx+2m﹣2=0的解,
∴a+b=m,ab=2m﹣2,
在Rt△ABC中,由勾股定理得,a2+b2=c2,
而a2+b2=(a+b)2﹣2ab,c=5,
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=25,
即:m2﹣2(2m﹣2)=25
解得,m1=7,m2=﹣3,
∵a,b是Rt△ABC的两条直角边的长.
∴a+b=m>0,m=﹣3不合题意,舍去.
∴m=7,
当m=7时,原方程为x2﹣7x+12=0,
解得,x1=3,x2=4,
不妨设a=3,则sinA==,
∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为.
【点评】本题难度较大,利用了一元二次方程的根与系数的关系,勾股定理,正弦的概念求解.
22.(8分)(2005•天水)某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的,若提前购票,则给予不同程度的优惠,在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票的;零售票每张16元,共售出零售票的一半.如果在六月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?
【分析】本题的等量关系为:五月份票款数=六月份票款数,但此题的未知数较多,有总票数、团体票数、零票票数、六月份零售票的定价.又此题文字量大,数量关系复杂.设总票数为a元,六月份零票票按每张x元定价,则团体票数为a,零票票数为a,根据等量关系,列方程,再求解.
【解答】解:设总票数a张,六月份零售票按每张x元定价,
根据题意得:12(a•)+16(a•)=16•(a•)+a•x,
化简得:a+a=a+ax
因为总票数a>0,所以+=+x,
解得x=19.2
答:六月份零售票应按每张19.2元定价,才能使这两个月的票款收入持平.
【点评】拓展:有多个未知数的问题要抓住所求问题设为主元,问题中所涉及的其他未知量设为参量.在解方程中必然能消去参量,求出主元x的值.同学们掌握了这个方法,就不必再惧怕有多个未知量的问题了.
23.(9分)(2002•东城区)已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.
(l)求证:PA•PB=PO•PE;
(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求弦CF的长.
【分析】(1)欲证PA•PB=PO•PE,而这四条线段根本构不成相似三角形,因此需要转化,根据切割线定理,PD•PC=PA•PB,所以原题可转化为证明PO•PE=PD•PC,即证△DPO∽△EPC,而这两个三角形现在共用一个角P,且根据弧AD=弧AF=弧DF,可证∠AOD=∠DCF即∠POD=∠PCE,因此得出相似,从而找出比例线段,得到等积式;
(2)由图可知,CF=CE+EF,而由垂径定理可知DE=EF,所以只要求出DE和CE即可,欲求CE,可通过证明△DHO∽△DEC,运用比例线段进行求解,至于DE,则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形,而DH和HE则可通过勾股定理求出,从而求出CF的值.
【解答】(1)证明:连接OD.
∵AB是⊙O的直径,且DF⊥AB于D点H,
∴==.
∴∠AOD=∠DCF.
∴∠POD=∠PCE.
∵∠DPO=∠EPC,
∴△DPO∽△EPC.
∴.
即PO•PE=PD•PC.
又PD•PC=PA•PB,
∴PA•PB=PO•PE.
(2)解:由(1)知:
AB是弦DF的垂直平分线,
∴DE=EF.
∴∠DEA=∠FEA.
∵DE⊥CF,
∴∠DEA=∠FEA=45°.
∴∠FEA=∠CEP=45°.
∵∠P=15°,
∴∠AOD=60°.
在Rt△DHO中
∵∠AOD=60°,OD=2,
∴OH=1,DH=.
∵△DHE是等腰直角三角形,
∴DE=.
又∵∠AOD=∠DCF,∠DHO=∠DEC=90°,
∴△DHO∽△DEC.
∴.
∴.
∴EC=.
∴CF=CE+EF=CE+DE=.
【点评】此题考查比较全面,相似三角形的判定和判定、勾股定理、以及垂径定理,难易程度适中.
24.(10分)(2002•东城区)已知如图,一次函数的图象经过第一,二,三象限,且与反比例函数的图象交于A,B两点,与y轴交于点C,OB=,tan∠DOB=
(1)求反比例函数的解析式;
(2)设点A的横坐标为m,△ABO的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)当△OCD的面积等于,试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3?如果能,求此时抛物线的解析式;如果不能,请说明理由.
【分析】(1)根据tan∠DOB=可知Rt△OHB中两直角边的比,又因为OB=10,所以可根据勾股定理求出点B的坐标,进而求出解析式;
(2)已知A点横坐标m,代入反比例函数解析式,可求出A点坐标,根据OB=和tan∠DOB=,可利用勾股定理求出B点坐标;
把A、B两点坐标分别代入一次函数y=k2x+b的解析式,解方程组得到k2和b的值(用m表示),然后根据一次函数的性质,求出C点坐标,即得出OC的长,再求出以OC为底边,以A、B两点横坐标的绝对值为高的两个三角形△OCA和△COB的面积之和;
(3)设出抛物线解析式,将B(﹣3,﹣1),A(1,3)分别代入解析式,求出b的值以及a、c的关系式,再根据根与系数的关系解答.
【解答】解:(1)过点A作AG⊥x轴于点G,过点B作BH⊥x轴于点H,在Rt△OHB中,
∵tan∠HOB==,
∴HO=3BH,
由勾股定理得,BH2+HO2=OB2,
又∵OB=,
∴BH2+(3BH)2=()2,
∵BH>0,
∴BH=1,HO=3,
∴点B(﹣3,﹣1),
设反比例函数的解析式为y=(k1≠0),
∵点B在反比例函数的图象上,∴k1=3,
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)设直线AB的解析式为y=k2x+b(k2≠0),由点A在第一象限,得m>0,
又有点A在函数y=的图象上,可求得点A的纵坐标为(m,).
因为tan∠DOB=,OB=,
设BH=a,则HO=3a,
于是根据勾股定理,a2+9a2=10,
解得a=±1,
则B点坐标为(﹣3,﹣1).
把A、B两点坐标分别代入解析式得:,
解得k=,b=,
函数解析式为y=x+,
得C(0,).
于是S=(m+3)×=,
于是0<m<3.
(3)A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能等于3,
设过B(﹣3,﹣1),A(1,3)的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
可得,
解得b=2a+1,c=2﹣3a,
又因为A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长等于3,
所以设A(x1,0),(x2,0),x2>x1,
可得x2﹣x1=3,两边平方得(x2+x1)2﹣4x1x2=9,
根据根与系数的关系(﹣)2﹣4•=9,将c=2﹣3a,b=2a+1代入,
得7a2﹣4a+1=0,
∵△=16﹣4×7=﹣12<0,
∴过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3.
【点评】此题将一次函数、二次函数、反比例函数结合起来,有很强的综合性.根据图象交点坐标能求出相应线段的长,转化为一元二次方程根与系数的关系解答.
参与本试卷答题和审题的老师有:kuaile;HLing;shuiyu;星期八;wdxwwzy;WWF;HJJ;137-hui;蓝月梦;CJX;心若在;lanchong;zhangCF;郝老师;ln_86;sch;zhjh;hnaylzhyk;wenming;MMCH;lf2-9;wdxwzk;zcx;Liuzhx;438011;未来;zxw;lanyan(排名不分先后)
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2016年9月28日