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- 2021-05-13 发布
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2019中考数学提分训练: 锐角三角函数
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则tanA的值是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
3.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
4.已知 是等腰直角三角形的一个锐角，则 的值为（ ）
17
A. B. C. D. 1
5.一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A. B.
C. D.
6.在△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA= ，则AC等于（ ）.
A. 18 B. 2 C. D.
7.如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部B的仰角为30°，测量这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为（ ）米
A.15 B.30 C.45 D.60
8.△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，则△ABC一定是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.有一个角是60°的三角形
17
9.如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB∶OE＝3∶2.其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧 上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（ ）
A. B. C. D.
11.如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1 ， …，∠A5CB5=a5 ． 则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5的值为（ ）
A. B.
17
C. 1 D.
二、填空题
12.计算：tan60°﹣cos30°=________．
13.已知∠A是锐角，且tanA= ，则∠A=________．
14.坡角为α=60°，则坡度i=________．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2， ），以原点O为中心，将点A顺时针旋转165°得到点A′，则点A′的坐标为________.
16.如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么sin∠BAC的值是________．
17.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sinA=________．
18.已知△ABC，AB=AC，BC=8，点D、E分别在边BC、AB上，将△ABC沿着直线DE翻折，点B落在边AC上的点M处，且AC=4AM，设BD=m，那么∠ACB的正切值是________．（用含m的代数式表示）
19.如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A，B，C在同一条直线上），则河的宽度AB约为________．
三、解答题
20.计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣ |．
17
21.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 均垂直于地面，点 在线段 上.在 点测得点 的仰角为 ，点 的俯角也为 ，测得 间的距离为10米，立柱 高30米.求立柱 的高（结果保留根号）.
22.如图，为了测量建筑物 的高度，在 处树立标杆 ，标杆的高是 .在 上选取观测点 、 ，从 测得标杆和建筑物的顶部 、 的仰角分别为 、 ，从 测得 、 的仰角分别为 、 .求建筑物 的高度（精确到 ） .（参考数据： ， ， .）
17
23.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
17
答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【解析】 ：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，
∴BC==3
∴tanA==
故答案为：C
【分析】利用勾股定理先求出BC的长，再利用锐角三角形函数的定义，即可求出tanA的值。
2.【答案】C
【解析】 ∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=8，
∴AD=4 ，
在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD= = = ，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，
∴DE=BD•tan30°= = ，
∴AE=AD-DE= ，
故答案为：C.
【分析】根据等腰直角三角形边之间的关系得出AD的长，在Rt△ABD中，根据正切函数的定义由BD=得出BD的长，由DE=BD•tan30°得出DE的长，再根据线段的和差，由AE=AD-DE即可得出答案。
3.【答案】A
17
【解析】 ：如图，
由题意得：OC=2，AC=4，由勾股定理得：AO= =2 ，∴sinA= = ．故答案为：A．
【分析】延长AB与OC，两线相交于点C，根据方格纸的特点得出OC=2，AC=4，由勾股定理得AO，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案。
4.【答案】B
【解析】 ∵α是等腰直角三角形的一个锐角，∴α=45°，∴sinα=sin45°=
故答案为：B．
【分析】根据等腰直角三角形的性质及特殊锐角三角函数值得出答案。
5.【答案】A
【解析】 ：sinA= ，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义，由sinA==0.15,再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。
6.【答案】B
【解析】 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ，又AB=6，所以AC=2．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的定义，在Rt△ABC中，cosA= A C∶ A B，即可得出答案。
7.【答案】D
【解析】 ：过A作AD⊥BC，垂足为D，
17
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=30° ， AD=45m，
∴BD=AD⋅tan30°=45×=m,
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=60°，AD=45m，
∴CD=AD⋅tan60°=45×=m
BC=+=60m
故答案为 ：D
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，由BD=AD⋅tan30°得出BD，在Rt△ACD中，由CD=AD⋅tan60°得出CD,再根据BC=BD+CD得出答案。
8.【答案】D
【解析】 ∵△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，
∴tanB﹣ =0或2sinA﹣ =0，
即tanB= 或sinA= ．
∴∠B=60°或∠A=60°．
∴△ABC有一个角是60°．
故答案为：D．
【分析】根据两个因式的积0，则这两个因式至少有一个因式为0可得tanB-=0或2sinA-=0，解得tanB= ，或sinA= ，因为△ABC中，∠A，∠B均为锐角，由特殊角的锐角三角函数可得∠B=60°或∠A=60°．所以△ABC有一个角是60°．
9.【答案】C
【解析】 连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
17
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
在△OBF与△CBF中， ，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①正确，
∵∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
易证△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB不符合题意．
∴②错误，
∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，
∴MB= ，OF= ，
17
∵OE=OF，
∴MB：OE=3：2，
∴④正确；
故答案为：C．
【分析】（1）连接BD，由矩形的性质可得AC=BD，AC、BD互相平分，因为O为AC中点，所以AC、BD相较于O，则OB=OC，因为有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形，所以△OBC是等边三角形，用边边边定理可得△OBF≌△CBF，所以△OBF与△CBF关于直线BF对称，由对称的性质可得FB⊥OC，OM=CM；
（2）由已知可证得△EOB≌△FOB≌△FCB；
（3）由（1）可得△OBF≌△CBF，所以∠OBM=∠CBM=-=30°，所以∠ABO=∠OBF，根据平行线的性质可得∠OCF=∠OAE，用边角边可证得△AOE≌△COF，所以OE=OF，OB⊥EF，根据菱形的判定可得四边形EBFD是菱形，
（4）因为∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，所以tan∠OBF==,cos30°==,而OE=OF，所以MB：OE=3：2。
10.【答案】D
【解析】 ：作直径AD，连结BD，如图．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD= =8，∴cosD= = = ．∵∠C=∠D，∴cosC= ．故答案为：D．
【分析】作直径AD，连结BD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD=90°，在Rt△ABD中根据勾股定理得出BD的长，根据余弦函数的定义得出cosD的值，根据同弧所对的圆周角相等及等角的同名三角函数值相等得出结论。
11.【答案】A
【解析】 ：根据锐角三角函数的定义，得：tana= =1，tana1= = ，tana2= = …，tana5= = ，则tana•tana1+tana1tana2+…+tana4tana5=1× + × + × + × + ×
=1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ =1﹣ = ．
故答案为：A．
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【分析】根据锐角三角函数的定义，依次算出tana，tana1，tana2，…，tana5的值，依次代入tana•tana1+tana1tana2+…+tana4tana5，并根据，进行化简计算即可。
二、填空题
12.【答案】
【解析】 tan60°﹣cos30°= = .
故答案为： .
【分析】根据特殊角的三角函数值，直接计算即可求解。
13.【答案】30°
【解析】 ：∵∠A是锐角，tanA= ，∴∠A=30°．故答案为：30°．【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。
14.【答案】
【解析】 ：坡度i=tanα=tan60°= ．故答案为： ．【分析】根据坡度就是坡角的正切值，再根据特殊锐角三角函数即可得出答案。
15.【答案】（ ，﹣ ）
【解析】 作AB⊥x轴于点B，
∴AB= OB=2，
则tan∠AOB= ，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOy=30°，
∴将点A顺时针旋转165°得到点A′后，
∠A′OC=165°－30°－90°＝45°,
OA′=OA=2OB=4，
∴A′C=OC= ,
17
即A′( ,− )，
故答案为：（ ，﹣ ）.
【分析】作AB⊥x轴于点B，根据点A的坐标得出AB,OB的长，根据正切函数的定义得出∠AOB的度数，进而得出∠AOy的度数，将点A顺时针旋转165°得到点A′后，根据旋转的性质从而得出∠A′OC的度数，OA′=OA=2OB=4，进而得出A′C=OC= ，得出A′的坐标。
16.【答案】
【解析】 如图，过点B作BD⊥AC于D，设AH=BC=2x，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH= BC=x，
根据勾股定理得，AC= = x，
S△ABC= BC•AH= AC•BD，
即 •2x•2x= • x•BD，
解得BC= x，
所以，sin∠BAC= ．
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥AC于D，设AH=BC=2x，由等腰三角形三线合一可得BH=CH= BC=x，在直角三角形ACH中，根据勾股定理得，AC=,因为S△ABC= BC•AH= AC•BD，即•2x•2x=• x•BD，解得BC=x，在直角三角形ABD中，sin∠BAC=.
17.【答案】
17
【解析】 ：如图
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，
∴sinA=
故答案为：
【分析】利用锐角三角函数的定义，即可求解。
18.【答案】
【解析】 如图所示：作AH⊥BC，MG⊥BC，连结EM、MC．
∵AB=AC，BC=8，AH⊥BC，
∴CH=4．
∵AC=4AM，
∴CM：AC=3：4．
∵AH∥MG，
∴ ，即 ，解得：CG=3．
∴BG=5．
∴DG=m﹣5．
由翻折的性质可知MD=BD=m．
在Rt△MGD中，依据勾股定理可知：MG= ．
∴tan∠ACB= ．
17
故答案为： ．
【分析】作AH⊥BC，MG⊥BC，连结EM、MC．由已知条件易得CM：AC=3：4．因为AH∥MG，根据平行线分线段成比例定理可得,即，解得CG=3，所以BG=BC-CG=5，所以DG=BD-DG=m﹣5，由折叠的性质可得MD=BD=m，在直角三角形MGD中，由勾股定理可得MG=,所以tan∠ACB=.
19.【答案】15.3m
【解析】 ：∵在Rt△ACD中，CD=21m，∠DAC=30°，∴AC= = =21 m，
在Rt△BCD中，
∵∠EDB=45°，
∴∠DBC=45°，
∴BC=CD=21m，
∴AB=AC﹣BC=21 ﹣21≈15.3（m），
∴河的宽度AB约是15.3m．
【分析】本题利用锐角三角函数解决实际问题，已知CD=21m，∠DAC=，用角的正切可以求出AC的值，因为△BCD是等腰直角三角形，所以AB=AC-21.
三、解答题
20.【答案】 ：原式=2× ﹣ + ﹣ = ﹣
【解析】【分析】根据特殊锐角三角函数值，及绝对值的意义，先化简，再根据实数的混合运算计算出结果。
21.【答案】解：作CF⊥AB于F，则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CF，BF=CD.
17
由题意得，∠ACF=30°，∠CED=30°，
设CD=x米，则AF=（30﹣x）米，
在Rt△AFC中，FC= ，
则BD=CF= ，
∴ED= -10，
在Rt△CDE中，ED= ，则 -10= ，
解得，x=15﹣ ，
答：立柱CD的高为（15﹣ ）米．
【解析】【分析】首先由仰角和俯角的定义，是水平线与视线方向的夹角，则可作CF⊥AB于F，此时CF//水平线，则四边形HBDC为矩形，BD=CF，BF=CD；求CD，即设CD=x，由仰角和俯角可得到∠ACF=30°，∠CED=30°，用x表示出ED两种代数式，构造方程解答即可.
22.【答案】解：在 中， ，
∵ .
∴ .
在 中， ，
∵
∴ .
∴ .
同理 .
∴ .
解得 .
因此，建筑物 的高度约为
【解析】【分析】在 Rt △ CED 中，根据正切函数的定义得出DE =,在 Rt △CFD 中根据正切函数的定义得出DF=,由线段的和差表示出EF的长，同理再表示出EF的长，从而得出方程，求解得出AB的长。
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23.【答案】（1）解： 过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N.
因背水坡AD的坡度i为1:0.5，∴tan∠DAB=2，设AM=x，则DM=2x.
又四边形DMNC是矩形，∴DM=NC=2x.
在Rt△BNC中，tan∠ABC=tan37°= ，∴BN= ，
由x+3+ ，得x=3，∴DM=6.
即坝高为6m.
（2）解：过点F作FH⊥AB，垂足为H.
设DF=y，则AE=2y.
EH=3+2y-y=3+y，BH=14+2y-(3+y)=11+y，
由FH⊥BE，EF⊥BF，得△EFH~△FBH.
∴ ，即 .
，解得y= 或y= （舍）.
∴DF= .
答：DF的长为 米
【解析】【分析】（1）已知∠ABC＝37°和背水坡AD的坡度i，则过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N，由AB=AM+MN+BN，构造方程解答；（2）过点F作FH⊥AB，垂足为H，由（1）可得FH=DM=6，又∵EF⊥BF，可证得EFH~△FBH，则 其中HF=6，而HB与EH可设FD=x，用含x的代数式分别求出EH和HB，然后代入 即可.
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