2014山东省烟台市中考数学试卷 13页

‎2014年山东省烟台市中考数学试卷 ‎（满分120分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（2014山东省烟台市，1，3分）－3的绝对值等于 A． －3 B． 3 C． ±3 D． ‎ ‎【答案】 B ‎2．（2014山东省烟台市，2，3分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ‎【答案】 D ‎3．（2014山东省烟台市，3，3分）烟台市通过扩消费、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，激发了区域发展活力，实现了经济平稳较快发展，2013年全市生产总值（GDP）达5613亿元，该数据用科学记数法表示为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】 A ‎4．（2014山东省烟台市，4，3分）如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是 ‎ ‎ ‎【答案】 C ‎5．（2014山东省烟台市，5，3分）按如图所示的运算程序，能使输出结果为3的的值是 A． 　B． 　　C．　 　D．　 ‎ ‎【答案】 D ‎6．（2014山东省烟台市，6，3分）如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为 A． 28° B． 52° C． 62° D． 72°‎ ‎【答案】 C ‎7． （2014山东省烟台市，7，3分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝3，梯形中位线EF与对角线BD相较于点M，且BD⊥CD，则MF的长为 A．　1．5 B． 3 C． 3．5 D．4．5‎ ‎【答案】 B ‎8． （2014山东省烟台市，8，3分）关于x的方程的两个根的平方和5是，则a的值是 A． －1或5　　　B． 1 C． 5 D． －1‎ ‎【答案】 D ‎9． （2014山东省烟台市，9，3分）将一组数按，，，，，…，，下面的方法进行排列：‎ ‎，，，，；‎ ‎，，，，；‎ ‎…‎ 若的位置记为（1，4）， 的位置记为（2，3），则这组数中最大的位置记为 A． (5，2) B． (5，3) C． (6，2) D． (6，5) ‎ ‎【答案】 C ‎10． （2014山东省烟台市，10，3分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△，则点P的坐标是 A． (1，1) B． (1，2) C． (1，3) D． (1，4) ‎ ‎【答案】 B ‎11．（2014山东省烟台市，11，3分）二次函数的部分图像如图所示，图像过点（－1，0），对称轴为直线下列结论：其中正确的结论有 ‎①　②＞　③＞0 ④当＞－1时，的值随的值的增大而增大．‎ A．1个　　　B．　2个　　C．　 3个　　　D． 4个 ‎【答案】 B ‎12．（2014山东省烟台市，12，3分）如图，点P是□ABCD边上一动点，沿A→D→C→B移动，设P点经过的路径长为，△BAP的面积是，则下列能大致反映与的函数关系的图像是 ‎　‎ ‎【答案】 A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）‎ ‎13． （2014山东省烟台市，13，3分） ‎ ‎【答案】2015‎ ‎14． （2014山东省烟台市，14，3分）函数中，自变量的取值范围是　　　　　　‎ ‎【答案】　 x≤1且x≠－2 ‎ ‎15． （2014山东省烟台市，15，3分）在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状和大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出的白球的概率是，那么袋子中共有球　　　个 ‎【答案】15‎ ‎16． （2014山东省烟台市，16，3分）如图已知函数与函数的图像交于点P，则不等式＞的解集是　　　　‎ ‎【答案】x＜4‎ ‎17． （2014山东省烟台市，17，3分）如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　　　　　‎ ‎【答案】‎ ‎18． （2014山东省烟台市，18，3分）如图，∠AOB＝45°，点在OA上，＝7，⊙的半径为2，点在射线OB上运动，且⊙始终与OA相切，当⊙和⊙相切时⊙的半径等于　　　　　　．‎ ‎【答案】 3或15‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分66分）‎ ‎19． （2014山东省烟台市，19，6分）先化简，再求值：‎ ‎　其中为数据0，－1，－3，1，2的极差．‎ ‎【答案】 ‎ ‎∵‎ ‎∴原式＝‎ ‎20． （2014山东省烟台市，20，7分）‎ ‎2014年世界杯足球赛6月12日－7月13日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400名学生对此次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘成了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）‎ ‎(1)四个年级被调查人数的中位数是多少？‎ ‎(2)如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？‎ ‎(3)在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两个人进行座谈，请用列表或画树状图的方法求出抽取的两个人恰好是甲和乙的概率．‎ ‎【答案】 ‎ 解：（1）四个年级被抽出的人数由小到大排列为30，40，50，60．‎ ‎∴中位数是（40＋50）÷2＝45（人）‎ ‎（2）2400×(1－45％)＝1320(人) ∴该校关注本届世界杯的学生大约有1320人．‎ ‎（3）‎ 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙的有两种结果 ‎∴P（恰好是甲和乙）＝‎ ‎21． （2014山东省烟台市，21，7分）‎ 小明坐于提边垂钓，如右图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为米，钓竿OA的倾斜角是60°，其长为3米，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．‎ ‎【答案】 解：延长OA交直线BC于点D．‎ ‎∵OA的倾斜角是60°，‎ ‎∴∠ODB＝60°，‎ ‎∠ACD＝30 °，‎ ‎∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°．‎ 在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝（米）‎ ‎∴CD＝2AD＝3米 又∵∠O＝60°‎ ‎∴△BOD为等边三角形．‎ ‎∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋ ＝4．5米 ‎∴BC＝BD－CD＝4．5－3＝1．5(米)‎ 答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1．5米．‎ ‎22． jscm（2014山东省烟台市，21，7分）‎ 如图，点A（m，6）B(n，1)在反比例函数图像上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5‎ ‎（1）求的值并写出反比例函数的表达式；‎ ‎（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使得的面积等于5，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解： （1）由题意，得解得 ‎∴m，n的值分别为1，6‎ ‎∴A（1，6） B(6，1)‎ 设反比例函数关系式为 将A（1，6）代入，得 ‎∴‎ ‎(2)存在．‎ 设E（x，0）则DE＝x－1，CE＝6－x AD⊥x轴，BC⊥x轴，‎ ‎∴∠ADE＝∠BCE＝90°‎ 连接AE，BE S△ABE＝ S梯形ABCD － S△ADE －S△BCE ＝ (BC＋AD)·DC－DE·AD－CE·BC ‎(1＋6)×5－(x－1)×6－(6－x)×1＝－＝5‎ ‎∴x＝5‎ ‎∴E(5，0)‎ ‎23． （2014山东省烟台市，23，7分）‎ 山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20％．‎ ‎（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）‎ ‎（2）该车行计划新近一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？‎ A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：‎ A型车 B型车 进货价格（元）‎ ‎1100‎ ‎1400‎ 销售价格（元）‎ 今年的销售价格 ‎2000‎ ‎【答案】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年每辆售价（x＋40）元，得 解得：x＝1600．‎ 经检验，是所列方程的根．‎ 答：今年A型车每辆售价为1600元．‎ ‎（2）设车行新进A型车x辆，则B型车为（60－x）辆，获利润y元．由题意，得 y＝（1600－1100）x＋(2000－1400)(60－ x)‎ 即y＝－100x＋36000‎ ‎∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，‎ ‎∴60－x≤2 x ‎∴x≥20‎ 由y与x的关系式可知，－1000，y的值随x值的增大而减小．‎ ‎∴当x＝20时，y的值最大．‎ ‎∴60－x＝60－20＝40(辆)‎ 答:当车行新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．‎ ‎24． （2014山东省烟台市，24，8分）‎ 如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP＝OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B点D在PC上，设∠PCB＝，∠POC＝．求证：‎ ‎【答案】证明：连接AC 则∠A＝∠POC＝ ‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90，‎ ‎∴‎ ‎∵BD⊥BC ‎∴，BD∥AC ‎∴∠PBD＝∠A ‎∵∠P＝∠P ‎∴△PBD∽△PAC ‎∴‎ ‎∵PB＝OB＝OA ‎∴‎ ‎∴‎ ‎25． （2014山东省烟台市，25，10分）‎ 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．‎ ‎（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF，交于点P请你写出AE与DF的关系，并说明理由；‎ ‎（2）如图①，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）的结论还成立吗？（请直接回答“是”或“否”，不须证明）‎ ‎（3）如图③，当E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连接AE和DF，（1）的结论还成立吗？请说明理由；‎ ‎（4）如图④，当E、F分别在DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点EF的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P的运动路径的草图，若AD＝2，试求出线段CP的最小值．‎ ‎【答案】解：（1）AE＝DF，AE⊥DF 理由：∵四边形ABCD是正方形 ‎∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°‎ ‎∵DE＝CF ‎∴△ADE∽△DCF ‎∴AE＝DF， ∠DAE＝∠CDF 由于∠CDF＋∠ADF＝90°‎ ‎∴∠DAE＋∠ADF＝90°‎ ‎∴AE⊥DF ‎(2)是．‎ ‎（3）成立．‎ 理由：由（1）同理可证，AE＝DF， ∠DAE＝∠CDF．‎ 延长FD交AE于点G，则∠CDF＋∠ADG＝90°‎ ‎∴∠ADG＋∠DAE＝90°‎ ‎∴AE⊥DF ‎(4)草图如图．‎ 由于点P在运动中保持∠APD＝90°，‎ ‎∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，‎ 设AD的中心为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，‎ 在Rt△ODC中，OC＝‎ ‎∴CP＝OC－OP＝－1．‎ ‎26．（2014山东省烟台市，26，12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C分别在y轴，x轴上，∠ACB＝90°，OA＝抛物线经过点B，与y轴交于点D．‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)点B关直线AC的对称点是否是在抛物线上？请说明理由；‎ ‎(3)延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．‎ ‎【答案】解：(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式，得 解得 ‎∴抛物线的表达式为 ‎（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF＋∠CBF＝90°‎ ‎∵∠ACB＝90°∴∠ACO＋∠BCF＝90°，∴∠ACO＝∠CBF．‎ ‎∵∠AOC＝∠CFB＝90°‎ ‎∴△AOC∽△CFB，∴．‎ 设OC＝m，则CF＝2－m，则有 解得m1＝ m2＝1‎ ‎∴OC＝CF＝1‎ 当x＝0时，∴OD＝．‎ ‎∴BF＝OD ‎∵∠DOC＝∠BFC＝90°‎ ‎∴△OCD≌△FCB ‎∴DC＝CB， ∠OCD＝∠FCB ‎∴点B、C、D在同一条直线上．‎ ‎∴点B与D关于直线AC对称 ‎∴点B关于直线AC对称的点在抛物线上．‎ ‎（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为，则 解得 ‎∴‎ 代入抛物线表达式后解得 当时，‎ ‎∴点E的坐标为（）‎ ‎∵‎ ‎∴30°‎ ‎∵‎ ‎∴30°‎ ‎∴∠OAC＝∠EDG ‎∴ED∥AC