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  • 2021-05-13 发布

全等三角形(历年中考难题)

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红城教育培训学校数学教研组制作 ‎ 制作人:汪皞 监制:汪校长 黄校长 童老师 ‎(第6题)‎ 全等三角形专题(一) 姓名:‎ ‎1.如图,平分于点,点是射线上的一个动点,若,则的最小值为( )‎ A.1 B.2 C.3 D. 4‎ ‎2.如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起,且∠DAB=30°。有以下四个结论:①AF⊥BC ;②△ADG≌△ACF; ③O为BC的中点; ④AG:DE=:4,其中正确结论的序号是 .(错填得0分,少填酌情给分)‎ ‎3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC.‎ 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.‎ A B C D E ‎4.八(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图).设计了如下方案:‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.‎ ‎(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.‎ ‎(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.‎ ‎(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由. ‎ ‎5.(2010湖南娄底)如图10,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.‎ 求证:(1)FC=AD;‎ ‎ (2)AB=BC+AD ‎6.(2010江苏扬州)电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC,AB=6,AC=7,BC=8.如果跳蚤开始时在BC边的P0处,BP0=2.跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第一次落点)处,且CP1=CP0;第二步从P1跳到AB边的P2(第一次落点)处,且AP2=AP1;第三步从P2跳到BC边的P3(第三次落点)处,且BP3=BP2;……;跳蚤按上述规则一致跳下去,第n次落点为Pn(n为正整数),则点P2007与P2010之间的距离为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ A B C P0‎ P3‎ P2‎ P1‎ 第8题 ‎7.(2010安徽蚌埠)在中,分别是上的点,, 交于点,若,则四边形的面积为________。‎ ‎8.(2010安徽蚌埠)三角形纸片内有100个点,连同三角形的顶点共103个点,其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,则这样的三角形的个数为__________。‎ ‎9.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形有 个 .‎ ‎10、(2009临沂)数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证:AE=EF.‎ 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证 ‎,所以.‎ 在此基础上,同学们作了进一步的研究:‎ ‎(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;‎ ‎ (2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.‎ A D F C G E B 图1‎ A D F C G E B 图2‎ A D F C G E B 图3‎ ‎11、(2009年牡丹江)已知中,为边的中点,‎ 绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、‎ 当绕点旋转到于时(如图1),易证 当绕点旋转到不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,、、又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.‎ A E C F B D 图1‎ 图3‎ A D F E C B A D B C E 图2‎ F ‎12.(2008山东泰安)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,在同一条直线上,连结.‎ 图1‎ 图2‎ D C E A B ‎(第22题)‎ ‎(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);‎ ‎(2)证明:.‎ ‎13、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,,BD=DC. 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系.‎ 图1 图2 图3‎ ‎(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ; 此时 ; ‎ ‎(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; ‎ ‎(III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,‎ 若AN=,则Q= (用、L表示).‎ ‎14、已知四边形中,,,,,,绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于.‎ 当绕点旋转到时(如图1),易证.‎ 当绕点旋转到时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.‎ ‎(图1)‎ ‎(图2)‎ ‎(图3)‎ ‎15 正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.‎ ‎ ‎ ‎16、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:‎ ‎(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;‎ ‎(第23题图)‎ O P A M N E B C D F A C E F B D 图①‎ 图②‎ 图③‎ ‎(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。‎ ‎17、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD ‎18、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. ‎ ‎(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长.‎ ‎1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:CD⊥AC ‎ ‎ 全等三角形难题 ‎1.在△ABC 中,AB=AC,∠A=20°,D、E 分别是AB、AC 上的点,∠DCB=50°,∠EBC ‎=60°,求∠DEB 的度数。‎ ‎2.在三角形ABC 中,AB=AC,AD 平分角ABC 交AC 于D,AD+BD=BC,求角A 的度数。‎ ‎3.在直角三角形ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E 是直线AC 上的两个动点,且AD=EC,‎ AM⊥BD,垂足为M,AM 的延长线交BC 于N,直线BD 直线NE 相交于点F,试判断三角形DEF 的形状,并加以证明。‎ ‎4.如图,在△ABC 中,∠C = 2∠B ,D 是BC 上的一点,且AD ⊥ AB ,点E 是BD的中 点,连结AE .‎ ‎(1)求证:∠AEC = ∠C ‎(2)求证:BD = 2AC ‎(3)若AE = 6.5,AD = 5,那么△ABE 的周长是多少?‎ 全等三角形中的动态几何问题 汪老师:动态几何题,是指以几何知识和几何图形为背景,渗透运动变化观点的一类试题;而通过对几何图形运动变化,使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程,是中考数学试题中,考查创新意识、创新能力的重要题型;解决这类问题,要善于探索图形的运动特点和规律,抓住变化中图形的性质与特征,化动为静,以静制动.本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例,谈谈这类问题的解题思路,供同学们学习时参考.‎ 例1.(扬州)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.‎ ‎(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;‎ ‎(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;‎ A B C D E M N 图2‎ ‎(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.‎ A C B E D N M 图3‎ C B A E D 图1‎ N M 证明:‎ 评注:本题以直线MN绕点C旋转过程中与△ABC的不同的位置关系为背景设置的三个小题,第(1)小题的两个小题中,①是②的台阶,只要证明了①,不难得到②;第(1)小题思路又作为解决第(2)小题的借鉴;第(3)小题为探索性问题,探索的结论及证明过程可借鉴第(1)、(2)两小题,整个试题考查了同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力.‎ 例2 (锦州)如图A,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.‎ ‎(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论; ‎ ‎(2)将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图B,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;‎ ‎(3)若将图A中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画山一个变换后的图形C(草图即可),(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由; ‎ ‎(4)根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现.‎ 答:‎ 全等三角形提高练习 ‎1.如图所示,△ABC≌△ADE,BC的延长线过点E,∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=10°,‎ ‎∠B=50°,求∠DEF的度数 。‎ ‎ ‎A B C F D E ‎2.如图,△AOB中,∠B=30°,将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′边A′B′与边OB交于点C(A′不在OB上),则∠A′CO的度数为 。‎ B A A′‎ B′‎ O C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,D,E分别是AC,BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数是 。‎ ‎ ‎D E C B A ‎4.如图所示,把△ABC绕点C顺时针旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D,若∠A′DC=90°,则∠A= 。‎ ‎ ‎B'‎ D A'‎ C B A ‎5.已知,如图所示,AB=AC,AD⊥BC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD= .‎ A B D C ‎6.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C,作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E,若BD=3,CE=2,则DE= .‎ ‎ ‎D A E C B ‎7.如图,AD是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,交AD于G,AD与EF垂直吗?证明你的结论。‎ ‎ ‎B D C F A E G ‎8.如图所示,在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, △ABC的面积是 ‎ ‎ 28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的长。‎ A E F B D C ‎9.已知,如图,AB=AE, ∠B=∠E, ∠BAC=∠EAD, ∠CAF=∠DAF. 求证:AF⊥CD A B E D F C ‎10.如图,AD=BD,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD于BE相交于点H,则BH与AC相等吗?为什么?‎ A B D C E F ‎ ‎ ‎11.如图所示,已知,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.‎ ‎ 求证:BE⊥AC B A E H D C ‎12.△DAC, △EBC均是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,‎ ‎ 求证:(1)AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形(4)MN∥BC EE D A C B N M ‎13.已知:如图1,点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CN于点F. ‎ ‎(1)求证:AN=BM; ‎ ‎(2)求证:△CEF为等边三角形;‎ ‎(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O,其他条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第(1)、(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明).‎ 14. 如图所示,已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论:① AE=CD;②BF=BG;③BH平分∠AHD; ‎ ‎ ④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形;⑥ FG∥AD。其中正确的有( )‎ ‎ A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 ‎15.已知:BD,CE是△ABC的高,点F在BD上,BF=AC,点G在CE的延长线上,CG=AB.‎ ‎ 求证:AG⊥AF ‎ ‎B C D A G E F ‎16.如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG。‎ ‎ 求证:(1)AD=AG,‎ ‎ (2)AD与AG的位置关系如何。‎ ‎17.如图,已知E是正方形ABCD的边CD 的中点,点F在BC上,且∠DAE=∠FAE.‎ 求证:AF=AD+CF A B F C E D ‎18.如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且DE=DB,求证:AC=BE+BC A D E B C ‎19.如图所示,已知在△AEC中,∠E=90°,AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC.‎ 求证:BE=CF.‎ A B F C D E ‎20.已知:如图3-50,AB=DE,直线AE,BD相交于C,∠B+∠D=180°,AF∥DE,交BD于F. ‎ ‎ 求证:CF=CD.‎ ‎21.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于D, PE⊥OB于E,F是OC上一点,连接DF和EF,求证:DF=EF。‎ B A D C CC E F ‎22.已知:如图,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,且BD=CD ‎ 求证:⑴△BDE≌△CDF ⑵点D在∠A的平分线上 ‎ ‎ ‎23如图,已知AB∥CD,O是∠ACD与∠BAC的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则AB ‎ ‎ 与CD之间的距离为   ‎ A B D C O E ‎24.如图,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,按下列要求画图并回答:‎ ‎ 画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。‎ ‎ (1)∠AEB是什么角?‎ ‎(2)过点E作一直线交AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现?‎ ‎(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动,只要DC经过点E,①AD+BC=AB;②AD+BC=CD谁成立?并说明理由。‎ ‎26. 如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条 角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于( )‎ A.1︰1︰1 B.1︰2︰3 C.2︰3︰4 D.3︰4︰5‎ ‎27.正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF=90o,已知AE=3,CF=4,‎ ‎ 则S△BEF为___.‎ ‎29.如图,在R△ABC中,∠ACB=450,∠BAC=900,AB=AC,点D是AB的中点,AF⊥CD于H交BC于F,BE∥AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE. ‎ ‎30.在△ABC中,∠ACB=90o,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. ‎ ‎⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时,求证: DE=AD+BE ‎⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证: DE=AD-BE;‎ ‎⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系.‎