全等三角形(历年中考难题) 17页

红城教育培训学校数学教研组制作 ‎ 制作人：汪皞 监制：汪校长 黄校长 童老师 ‎（第6题）‎ 全等三角形专题（一） 姓名：‎ ‎1.如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D. 4‎ ‎2.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．‎ 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．‎ A B C D E ‎4．八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.‎ ‎（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.‎ ‎（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.‎ ‎（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. ‎ ‎5．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.‎ 求证：（1）FC=AD；‎ ‎ （2）AB=BC+AD ‎6．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点)处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点)处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点)处，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ A B C P0‎ P3‎ P2‎ P1‎ 第8题 ‎7．（2010安徽蚌埠）在中，分别是上的点，， 交于点，若，则四边形的面积为________。‎ ‎8．（2010安徽蚌埠）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________。‎ ‎9.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．‎ ‎10、（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证 ‎，所以．‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ ‎ （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．‎ A D F C G E B 图1‎ A D F C G E B 图2‎ A D F C G E B 图3‎ ‎11、（2009年牡丹江）已知中，为边的中点，‎ 绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、‎ 当绕点旋转到于时（如图1），易证 当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．‎ A E C F B D 图1‎ 图3‎ A D F E C B A D B C E 图2‎ F ‎12．（2008山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．‎ 图1‎ 图2‎ D C E A B ‎（第22题）‎ ‎（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎13、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．‎ 图1 图2 图3‎ ‎（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； ‎ ‎（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； ‎ ‎（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，‎ 若AN=，则Q= （用、L表示）．‎ ‎14、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．‎ 当绕点旋转到时（如图1），易证．‎ 当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．‎ ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎（图3）‎ ‎15 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.‎ ‎ ‎ ‎16、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：‎ ‎（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；‎ ‎(第23题图)‎ O P A M N E B C D F A C E F B D 图①‎ 图②‎ 图③‎ ‎（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。‎ ‎17、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD ‎18、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. ‎ ‎（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.‎ ‎1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC ‎ ‎ 全等三角形难题 ‎1.在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝20°，D、E 分别是AB、AC 上的点，∠DCB＝50°，∠EBC ‎＝60°，求∠DEB 的度数。‎ ‎2.在三角形ABC 中，AB=AC,AD 平分角ABC 交AC 于D，AD+BD=BC，求角A 的度数。‎ ‎3.在直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E 是直线AC 上的两个动点，且AD=EC，‎ AM⊥BD，垂足为M，AM 的延长线交BC 于N，直线BD 直线NE 相交于点F，试判断三角形DEF 的形状，并加以证明。‎ ‎4.如图，在△ABC 中，∠C = 2∠B ，D 是BC 上的一点，且AD ⊥ AB ，点E 是BD的中 点，连结AE ．‎ ‎（1）求证：∠AEC = ∠C ‎（2）求证：BD = 2AC ‎（3）若AE = 6.5，AD = 5，那么△ABE 的周长是多少？‎ 全等三角形中的动态几何问题 汪老师：动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例，谈谈这类问题的解题思路，供同学们学习时参考．‎ 例1．（扬州）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．‎ ‎（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；‎ ‎（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE；‎ A B C D E M N 图2‎ ‎（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．‎ A C B E D N M 图3‎ C B A E D 图1‎ N M 证明：‎ 评注：本题以直线MN绕点C旋转过程中与△ABC的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（1）小题的两个小题中，①是②的台阶，只要证明了①，不难得到②；第（1）小题思路又作为解决第（2）小题的借鉴；第（3）小题为探索性问题，探索的结论及证明过程可借鉴第（1）、（2）两小题，整个试题考查了同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力．‎ 例2　（锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE．‎ ‎（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； ‎ ‎（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；‎ ‎（3）若将图A中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； ‎ ‎（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．‎ 答：‎ 全等三角形提高练习 ‎1.如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，‎ ‎∠B=50°，求∠DEF的度数 。‎ ‎ ‎A B C F D E ‎2.如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为 。‎ B A A′‎ B′‎ O C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D,E分别是AC,BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数是 。‎ ‎ ‎D E C B A ‎4.如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C,A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= 。‎ ‎ ‎B＇‎ D A＇‎ C B A ‎5．已知，如图所示，AB=AC,AD⊥BC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD= .‎ A B D C ‎6．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B，C,作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足为D,E，若BD=3，CE=2,则DE= .‎ ‎ ‎D A E C B ‎7．如图，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F，连接EF,交AD于G,AD与EF垂直吗？证明你的结论。‎ ‎ ‎B D C F A E G ‎8.如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, △ABC的面积是 ‎ ‎ 28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的长。‎ A E F B D C ‎9.已知，如图，AB=AE, ∠B=∠E, ∠BAC=∠EAD, ∠CAF=∠DAF. 求证：AF⊥CD A B E D F C ‎10.如图，AD=BD,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD于BE相交于点H，则BH与AC相等吗？为什么？‎ A B D C E F ‎ ‎ ‎11.如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.‎ ‎ 求证：BE⊥AC B A E H D C ‎12．△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,‎ ‎ 求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BC EE D A C B N M ‎13．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． ‎ ‎(1)求证：AN=BM； ‎ ‎(2)求证：△CEF为等边三角形；‎ ‎(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．‎ 14. 如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论：① AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD； ‎ ‎ ④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥ FG∥AD。其中正确的有（ ）‎ ‎ A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 ‎15.已知：BD，CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC,点G在CE的延长线上，CG=AB.‎ ‎ 求证:AG⊥AF ‎ ‎B C D A G E F ‎16.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。‎ ‎ 求证：（1）AD=AG，‎ ‎ （2）AD与AG的位置关系如何。‎ ‎17.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.‎ 求证：AF=AD+CF A B F C E D ‎18.如图所示，已知△ABC中，AB=AC,D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB,求证：AC=BE+BC A D E B C ‎19.如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC.‎ 求证：BE=CF.‎ A B F C D E ‎20.已知：如图3-50，AB=DE，直线AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，AF∥DE，交BD于F． ‎ ‎ 求证：CF=CD．‎ ‎21.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，F是OC上一点，连接DF和EF，求证：DF=EF。‎ B A D C CC E F ‎22.已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD ‎ 求证：⑴△BDE≌△CDF ⑵点D在∠A的平分线上 ‎ ‎ ‎23如图，已知AB∥CD，O是∠ACD与∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则AB ‎ ‎ 与CD之间的距离为　　　‎ A B D C O E ‎24.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN,按下列要求画图并回答：‎ ‎ 画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。‎ ‎ （1）∠AEB是什么角？‎ ‎（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？‎ ‎（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由。‎ ‎26. 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条 角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（ ）‎ A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5‎ ‎27．正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4,‎ ‎ 则S△BEF为＿＿＿.‎ ‎29．如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE. ‎ ‎30.在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. ‎ ‎⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时,求证: DE＝AD＋BE ‎⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证: DE＝AD－BE;‎ ‎⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.‎