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- 2021-05-13 发布
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2014年数学中考“直角三角形与勾股定理”试题汇总
一、选择题
1. (2014•山东枣庄,第3题3分)如图,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,则∠D的度数为( )
A.
17°
B.
34°
C.
56°
D.
124°
考点:
平行线的性质;直角三角形的性质
分析:
根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠A,再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
解答:
解:∵AB∥CD,
∴∠DCE=∠A=34°,
∵∠DEC=90°,
∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°.
故选C.
点评:
本题考查了平行线的性质,直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键.
2. 1.(2014•湖南张家界,第7题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60°,DE是斜边AC的中垂线,分别交AB、AC于D、E两点.若BD=2,则AC的长是( )
A.
4
B.
4
C.
8
D.
8
考点:
线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
分析:
求出∠ACB,根据线段垂直平分线求出AD=CD,求出∠ACD、∠DCB,求出CD、AD、AB,由勾股定理求出BC,再求出AC即可.
解答:
解:如图,∵在Rt△ABC中,∠ACB=60°,
∴∠A=30°.
∵DE垂直平分斜边AC,
∴AD=CD,
∴∠A=∠ACD=30°,
∴∠DCB=60°﹣30°=30°,
∵BD=2,
∴CD=AD=4,
∴AB=2+4+2=6,
在△BCD中,由勾股定理得:CB=2,
在△ABC中,由勾股定理得:AC==4,
故选:B.
点评:
本题考查了线段垂直平分线,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要考查学生运用这些定理进行推理的能力,题目综合性比较强,难度适中.
3. (2014•十堰9.(3分))如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,则DE的长为( )
A.
2
B.
C.
2
D.
考点:
勾股定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
分析:
根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG,根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA,根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD,再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD,根据等腰三角形的性质可得CD=DG,再根据勾股定理即可求解.
解答:
解:∵AD∥BC,DE⊥BC,
∴DE⊥AD,∠CAD=∠ACB
∵点G为AF的中点,
∴DG=AG,
∴∠GAD=∠GDA,
∴∠CGD=2∠CAD,
∵∠ACD=2∠ACB,
∴∠ACD=∠CGD,
∴CD=DG=3,
在Rt△CED中,DE==2.
故选:C.
点评:
综合考查了勾股定理,等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线,解题的关键是证明CD=DG=3.
4. (2014•娄底8.(3分))下列命题中,错误的是( )
A.
平行四边形的对角线互相平分
B.
菱形的对角线互相垂直平分
C.
矩形的对角线相等且互相垂直平分
D.
角平分线上的点到角两边的距离相等
考点:
命题与定理.
分析:
根据平行四边形的性质对A进行判断;根据菱形的性质对B进行判断;根据矩形的性质对C进行判断;根据角平分线的性质对D进行判断.
解答:
解:A、平行四边形的对角线互相平分,所以A选项的说法正确;
B、菱形的对角线互相垂直平分,所以B选项的说法正确;
C、矩形的对角线相等且互相平分,所以C选项的说法错误;
D、角平分线上的点到角两边的距离相等,所以D选项的说法正确.
故选C.
点评:
本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
5. (2014•山东淄博,第10题4分)如图,矩形纸片ABCD中,点E是AD的中点,且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为( )
A. 1 B. C. D. 2
考点: 勾股定理;线段垂直平分线的性质;矩形的性质.菁优网
分析: 本题要依靠辅助线的帮助,连接CE,首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC.求出EC后根据勾股定理即可求解.
解答: 解:如图,连接EC.
∵FC垂直平分BE,
∴BC=EC(线段垂直平分线的性质)
又∵点E是AD的中点,AE=1,AD=BC,
故EC=2
利用勾股定理可得AB=CD==.
故选:C.
点评: 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质,本题的关键是要画出辅助线,证明BC=EC后易求解.本题难度中等.
二、填空题
1. (2014•山东威海,第17题3分)如图,有一直角三角形纸片ABC,边BC=6,AB=10,∠ACB=90°,将该直角三角形纸片沿DE折叠,使点A与点C重合,则四边形DBCE的周长为 18 .
考点:
翻折变换(折叠问题)
分析:
先由折叠的性质得AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A,进而得出,∠B=∠BCD,求得BD=CD=AD==5,DE为△ABC的中位线,得到DE的长,再在Rt△ABC中,由勾股定理得到AC=8,即可得四边形DBCE的周长.
解答:
解:∵沿DE折叠,使点A与点C重合,
∴AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A,
∴∠BCD=90°﹣∠DCE,
又∵∠B=90°﹣∠A,
∴∠B=∠BCD,
∴BD=CD=AD==5,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE==3,
∵BC=6,AB=10,∠ACB=90°,
∴,
∴四边形DBCE的周长为:BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18.
故答案为:18.
点评:
本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到ED是△ABC的中位线关键.
2. (2014•山东枣庄,第18题4分)图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 (3+3) cm.
考点:
平面展开-最短路径问题;截一个几何体
分析:
要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图②的几何体表面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
解答:
解:如图所示:
△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,
在Rt△BCD中,CD==6cm,
∴BE=CD=3cm,
在Rt△ACE中,AE==3cm,
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(3+3)cm.
故答案为:(3+3).
点评:
考查了平面展开﹣最短路径问题,本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形,根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题.
3. (2014•山东潍坊,第18题3分)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上'高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?,题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是__________尺.
考点:平面展开-最短路径问题;勾股定理的应用.
分析:这种立体图形求最短路径问题,可以展开成为平面内的问题解决,展开后可转化下图,所以是个直角三角形求斜边的问题,根据勾股定理可求出.
解答:解:如图,一条直角边(即木棍的高)长20尺,
另一条直角边长5×3=15(尺),因此葛藤长=25(尺).
故答案为:25
点评:本题考查了平面展开最短路径问题,关键是把立体图形展成平面图形,本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解.
4. 半径为2,点O2在射线OB上运动,且⊙O2始终与OA相切,当⊙O2和⊙O1相切时,⊙O2的半径等于 .
考点:圆和圆相切的性质,勾股定理.
分析: 作O2C⊥OA于点C,连接O1O2,设O2C=r,根据⊙O1的半径为2,OO1=7,表示出O1O2=r+2,O1C=7﹣r,利用勾股定理列出有关r的方程求解即可.
解答:如图,作O2C⊥OA于点C,连接O1O2,
设O2C=r,∵∠AOB=45°,∴OC=O2C=r,
∵⊙O1的半径为2,OO1=7,
∴O1O2=r+2,O1C=7﹣r,
∴(7﹣r)2+r2=(r+2)2,解得:r=3或15,
故答案为:3或15.
点评:本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是正确的作出图形,难度中等.
5. (2014•江西抚州,第14题,3分)如图,两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和重合在一起,将三角板绕其顶点按逆时针方向旋转角α(0°< α≤90°),有以下四个结论:
①当α=30°时,与的交点恰好为的中点;
②当α=60°时,恰好经过点;
③在旋转过程中,存在某一时刻,使得;
④在旋转过程中,始终存在,
其中结论正确的序号是 ① ② ④ .(多填或填错得0分,少填酌情给分)
解析:如图1,∵α=30°,∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°,∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确
如图2,当α=60°时,取A′B′的中点E,连接CE,则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,∴E、B重合,∴A′、B′恰好经过点B.正确
如图3,连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′,∴,∴AA′=BB′.错误
如图4,∠A′B′D=∠CBB′-60°,∠B′A′D=180°-(∠CA′A+30°),
∴∠A′B′D+∠B′A′D=90°+∠CBB′-∠CA′A
∵ ∠CBB′=∠CA′A ,
∴∠A′B′D+∠B′A′D=90°,即∠D=90°,
∴AA′⊥BB′.正确
∴①,②,④正确.
6. (2014年湖北咸宁13.(3分))如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,点C是上的一个动点(不与A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.若DE=1,则扇形OAB的面积为 .
考点: 三角形中位线定理;垂径定理;扇形面积的计算.菁优网
分析: 连接AB,由OD垂直于BC,OE垂直于AC,利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点,即ED为三角形ABC的中位线,即可求出AB的长.利用勾股定理、OA=OB,且∠AOB=90°,可以求得该扇形的半径.
解答: 解:连接AB,
∵OD⊥BC,OE⊥AC,
∴D、E分别为BC、AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴AB=2DE=2.
又∵在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,
∴OA=OB=AB=,
∴扇形OAB的面积为:=.
故答案是:.
点评: 此题考查了垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算以及三角形的中位线定理,熟练掌握定理是解本题的关键.
7. (2014•年山东东营,第14题3分)如图,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,问小鸟至少飞行 10 米.
考点: 勾股定理的应用.菁优网
分析: 根据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
解答: 解:如图,设大树高为AB=12m,
小树高为CD=6m,
过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是矩形,
连接AC,
∴EB=6m,EC=8m,AE=AB﹣EB=12﹣6=6(m),
在Rt△AEC中,AC==10(m).
故小鸟至少飞行10m.
故答案为:10.
点评: 本题考查了勾股定理的应用,根据实际得出直角三角形,培养学生解决实际问题的能力.
8.(2014•四川宜宾,第14题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′= 1.5 .
考点:
翻折变换(折叠问题)
分析:
首先根据折叠可得BE=EB′,AB′=AB=3,然后设BE=EB′=x,则EC=4﹣x,在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC的值,再在Rt△B′EC中,由勾股定理可得方程x2+22=(4﹣x)2,再解方程即可算出答案.
解答:
解:根据折叠可得BE=EB′,AB′=AB=3
设BE=EB′=x,则EC=4﹣x,
∵∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理得,,
∴B′C=5﹣3=2,
在Rt△B′EC中,由勾股定理得,x2+22=(4﹣x)2,
解得x=1.5.
故答案为:1.5.
点评:
此题主要考查了翻折变换,关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的.
9.(2014•四川凉山州,第16题,4分)已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为 5或 .
考点:
勾股定理.
专题:
分类讨论.
分析:
已知直角三角形两边的长,但没有明确是直角边还是斜边,因此分两种情况讨论:①3是直角边,4是斜边;②3、4均为直角边;可根据勾股定理求出上述两种情况下,第三边的长.
解答:
解:①长为3的边是直角边,长为4的边是斜边时:
第三边的长为:=;
②长为3、4的边都是直角边时:
第三边的长为:=5;
故第三边的长为:5或.
点评:
此题主要考查的是勾股定理的应用,要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确,所以一定要分类讨论,以免漏解.
10.(2014•四川凉山州,第26题,5分)如图,圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm.
考点:
平面展开-最短路径问题
分析:
将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
解答:
解:如图:
将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,
连接A′B,则A′B即为最短距离,
A′B===20(cm).
故答案为:20.
点评:
本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.
11.(2014•甘肃白银、临夏,第13题4分)等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是 cm.
考点:
勾股定理;等腰三角形的性质.
分析:
利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=BC=6cm,然后在直角△ABD中,利用勾股定理求得高线AD的长度.
解答:
解:如图,AD是BC边上的高线.
∵AB=AC=10cm,BC=12cm,
∴BD=CD=6cm,
∴在直角△ABD中,由勾股定理得到:AD===(8cm).
故答案是:8.
点评:
本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理.等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形.
三、解答题
1. (2014•上海,第22题10分)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.
(1)求sinB的值;
(2)如果CD=,求BE的值.
考点:
解直角三角形;直角三角形斜边上的中线.
分析:
(1)根据∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,可得出CD=BD,则∠B=∠BCD,再由AE⊥CD,可证明∠B=∠CAH,由AH=2CH,可得出CH:AC=1:,即可得出sinB的值;
(2)根据sinB的值,可得出AC:AB=1:,再由AB=2,得AC=2,则CE=1,从而得出BE.
解答:
解:(1)∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴CD=BD,
∴∠B=∠BCD,
∵AE⊥CD,
∴∠CAH+∠ACH=90°,
∴∠B=∠CAH,
∵AH=2CH,
∴由勾股定理得AC=CH,
∴CH:AC=1:,
∴sinB;
(2)∵sinB,
∴AC:AB=1:,
∵CD=,
∴AB=2,
由勾股定理得AC=2,则CE=1,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴BC=4,
∴BE=BC﹣CE=3.
点评:
本题考查了解直角三角形,以及直角三角形斜边上的中线,注意性质的应用,难度不大.
2. (2014山东济南,第27题,9分)如图1,有一组平行线,正方形的四个顶点分别在上,过点D且垂直于于点E,分别交于点F,G,.
(1) ,正方形的边长= ;
(2)如图2,将绕点A顺时针旋转得到,旋转角为,点在直线上,以为边在的左侧作菱形,使点分别在直线上.
①写出与的函数关系并给出证明;
②若,求菱形的边长.
【解析】(1)在中,AD=DC,又有和互余,和互余,故和相等,,知,
又,所以正方形的边长为.
(2)①过点作垂直于于点M,在中, ,,故,所以互余,与之和为,故=-.
②过E点作ON垂直于分别交于点O,N,
若,,,故, , ,
由勾股定理可知菱形边长为.
3.(( 2014年河南) 22.10分)(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE
填空:(1)∠AEB的度数为 60 ;
(2)线段AD、BE之间的数量关系是 AD=BE 。
解:(1)①60;②AD=BE. …………………………………………2分
提示:(1)①可证△CDA≌△CEB,
∴∠CEB=∠CDA=1200,
又∠CED=600,
∴∠AEB=1200-600=600.
②可证△CDA≌△CEB,
∴AD=BE
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等边三角形,∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由。
解:(2)∠AEB=900;AE=2CM+BE. …………………………4分
(注:若未给出本判断结果,但后续理由说明完全正确,不扣分)
理由:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB =∠DCE= 900,
∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE
∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………………6分
∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=1350-450=900.……………………………7分
在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,
∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=。若点P满足PD=1,且∠BPD=900,请直接写出点A到BP的距离。
(3)或………………………………………………………10分
【提示】PD =1,∠BPD=900,
∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线,点P为切点.
第一种情况:如图①,过点A作AP的垂线,交BP于点P/,
可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,
CD=,∴BD=2,BP=,
∴AM=PP/=(PB-BP/)=
第二种情况如图②,
可得AMPP/=(PB+BP/)=