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- 2021-05-13 发布
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2012年四川省资阳市中考数学试卷解析
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意.
1.(2012•义乌市)﹣2的相反数是( )
A.
2
B.
﹣2
C.
D.
考点:
相反数。
专题:
探究型。
分析:
根据相反数的定义进行解答即可.
解答:
解:由相反数的定义可知,﹣2的相反数是﹣(﹣2)=2.
故选A.
点评:
本题考查的是相反数的定义,即只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
2.(2012•资阳)下列事件为必然事件的是( )
A.
小王参加本次数学考试,成绩是150分
B.
某射击运动员射靶一次,正中靶心
C.
打开电视机,CCTV第一套节目正在播放新闻
D.
口袋中装有2个红球和1个白球,从中摸出2个球,其中必有红球
考点:
随机事件。
专题:
计算题。
分析:
根据事件的分类的定义及分类对四个选项进行逐一分析即可.
解答:
解:A、小王参加本次数学考试,成绩是150分是随机事件,故本选项错误;
B、某射击运动员射靶一次,正中靶心是随机事件,故本选项错误;
C、打开电视机,CCTV第一套节目正在播放新闻是随机事件,故本选项错误.
D、口袋中装有2个红球和1个白球,从中摸出2个球,其中必有红球是必然事件,故本选项正确;
故选D.
点评:
本题考查的是随机事件,即在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件.
3.(2012•资阳)如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体,它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单组合体的三视图;截一个几何体。
分析:
根据俯视图是从上面看到的图形判定则可.
解答:
解:从上面看,是正方形右边有一条斜线,
故选:A.
点评:
本题考查了三视图的知识,根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键.
4.(2012•资阳)下列图形:①平行四边形;②菱形;③圆;④梯形;⑤等腰三角形;⑥直角三角形;⑦国旗上的五角星.这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A.
1种
B.
2种
C.
3种
D.
4种
考点:
中心对称图形;轴对称图形。
分析:
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,即可判断出答案.
解答:
解:①平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形;
②菱形是中心对称图形,也是轴对称图形;
③圆是中心对称图形,也是轴对称图形;
④梯形不是中心对称图形,是轴对称图形;
⑤等腰三角形不是中心对称图形,是轴对称图形;
⑥直角三角形不是中心对称图形,也不是轴对称图形;
⑦国旗上的五角星不是中心对称图形,是轴对称图形,
故是轴对称图形又是中心对称图形的有②③,
故选:B.
点评:
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,关键是找出图形的对称中心与对称轴.
5.(2012•资阳)下列计算或化简正确的是( )
A.
a2+a3=a5
B.
C.
D.
考点:
二次根式的加减法;算术平方根;合并同类项;分式的基本性质。
专题:
计算题。
分析:
A、根据合并同类项的法则计算;
B、化简成最简二次根式即可;
C、计算的是算术平方根,不是平方根;
D、利用分式的性质计算.
解答:
解:A、a2+a3=a2+a3,此选项错误;
B、+3=+,此选项错误;
C、=3,此选项错误;
D、=,此选项正确.
故选D.
点评:
本题考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质,解题的关键是灵活掌握有关运算法则,并注意区分算术平方根、平方根.
6.(2012•资阳)小华所在的九年级一班共有50名学生,一次体检测量了全班学生的身高,由此求得该班学生的平均身高是1.65米,而小华的身高是1.66米,下列说法错误的是( )
A.
1.65米是该班学生身高的平均水平
B.
班上比小华高的学生人数不会超过25人
C.
这组身高数据的中位数不一定是1.65米
D.
这组身高数据的众数不一定是1.65米
考点:
算术平均数;中位数;众数。
分析:
根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数,它是反映数据集中趋势的一项指标.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数,中位数代表了这组数据值大小的“中点”,不易受极端值影响,但不能充分利用所有数据的信息,对每一项进行分析即可.
解答:
解:A、1.65米是该班学生身高的平均水平,正确;
B、因为小华的身高是1.66米,不是中位数,
所以班上比小华高的学生人数不会超过25人错误;
C、这组身高数据的中位数不一定是1.65米,正确;
D、这组身高数据的众数不一定是1.65米,正确.
故选B.
点评:
此题考查了算术平均数、中位数、众数,解答此题不是直接求平均数、中位数、众数,而是利用平均数、中位数、众数的概念进行综合分析,平均数受极值的影响较大,而中位数不易受极端值影响.
7.(2012•资阳)如图所示的球形容器上连接着两根导管,容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体,现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体.水从左导管匀速地注入,气体从右导管排出,那么,容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
函数的图象。
分析:
根据水从左导管匀速地注入,气体从右导管排出时,容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少,即可得出函数关系的大致图象.
解答:
解:∵水从左导管匀速地注入,气体从右导管排出时,
容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少,
∴容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是C.
故选C.
点评:
本题主要考查了函数的图象问题,在解题时要结合题意找出正确的函数图象是本题的关键.
8.(2012•资阳)如图,△ABC是等腰三角形,点D是底边BC上异于BC中点的一个点,∠ADE=∠DAC,DE=AC.运用这个图(不添加辅助线)可以说明下列哪一个命题是假命题?( )
A.
一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.
有一组对边平行的四边形是梯形
C.
一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形
D.
对角线相等的四边形是矩形
考点:
平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;矩形的判定;梯形;命题与定理。
分析:
已知条件应分析一组边相等,一组角对应相等的四边不是平行四边形,根据全等三角形判定方法得出∠B=∠E,AB=DE,进而得出一组对边相等,一组对角相等的四边形不是平行四边形,得出答案即可.
解答:
解:A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,根据等腰梯形符合要求,得出故此选项错误;
B.有一组对边平行的四边形是梯形,若另一组对边也平行,则此四边形是平行四边形,故此选项错误;
C.一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形,
∵△ABC是等腰三角形,
∴AB=AC,∠B=∠C,
∵DE=AC,AD=AD,∠ADE=∠DAC,
即,
∴△ADE≌△DAC,
∴∠E=∠C,
∴∠B=∠E,AB=DE,
但是四边形ABDE不是平行四边形,
故一组对边相等,一组对角相等的四边形不是平行四边形,因此C符合题意,
故此选项正确;
D.对角线相等的四边形是矩形,根据等腰梯形符合要求,得出故此选项错误;
故选:C.
点评:
此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定,结合已知选项,得出已知条件应分析一组边相等,一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键.
9.(2012•资阳)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.
﹣1<x<5
B.
x>5
C.
x<﹣1且x>5
D.
x<﹣1或x>5
考点:
二次函数与不等式(组)。
分析:
利用二次函数的对称性,可得出图象与x轴的另一个交点坐标,结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集.
解答:
解:由图象得:对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0).
利用图象可知:
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,
∴x<﹣1或x>5.
故选:D.
点评:
此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况,很好地利用数形结合,题目非常典型.
10.(2012•资阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=,则四边形MABN的面积是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
翻折变换(折叠问题)。
分析:
首先连接CD,交MN于E,由将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,即可得MN⊥CD,且CE=DE,又由MN∥AB,易得△CMN∽△CAB,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形对应高的比等于相似比,即可得,又由MC=6,NC=,即可求得四边形MABN的面积.
解答:
解:连接CD,交MN于E,
∵将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,
∴MN⊥CD,且CE=DE,
∴CD=2CE,
∵MN∥AB,
∴CD⊥AB,
∴△CMN∽△CAB,
∴,
∵在△CMN中,∠C=90°,MC=6,NC=,
∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6,
∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24,
∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18.
故选C.
点评:
此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质.此题难度适中,解此题的关键是注意折叠中的对应关系,注意数形结合思想的应用.
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(2012•资阳)为了保护人类居住环境,我国的火电企业积极做好节能环保工作.2011年,我国火电企业的平均煤耗继续降低,仅为330000
毫克/千瓦时,用科学记数法表示并保留三个有效数字为 3.30×105 毫克/千瓦时.
考点:
科学记数法与有效数字。
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
解答:
解:根据题意330 000用科学记数法表示为3.30×105人.
故答案为:3.30×105.
点评:
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
12.(2012•资阳)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 10或8 .
考点:
三角形的外接圆与外心;勾股定理。
专题:
探究型。
分析:
直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点,那么半径为斜边的一半,分两种情况:①16为斜边长;②16和12为两条直角边长,由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长,进而可求得外接圆的半径.
解答:
解:由勾股定理可知:
①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆半径为8;
②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长==20,
因此这个三角形的外接圆半径为10.
综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10.
故答案为:10或8.
点评:
本题考查的是直角三角形的外接圆半径,重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心,斜边长的一半为半径的圆.
13.关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k<且k≠0 .
考点:
根的判别式。
专题:
方程思想。
分析:
根据一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,知△=b2﹣4ac>0,然后据此列出关于k的方程,解方程即可.
解答:
解:∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=1﹣4k>0,且k≠0,
解得,k<且k≠0;
故答案是:k<且k≠0.
点评:
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式.解题时,注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件.
14.(2012•资阳)某果园有苹果树100棵,为了估计该果园的苹果总产量,小王先按长势把苹果树分成了A、B、C三个级别,其中A级30棵,B级60棵,C级10棵,然后从A、B、C三个级别的苹果树中分别随机抽取了3棵、6棵、1棵,测出其产量,制成了如下的统计表.小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量,那么小李的估计值是 7600 千克.
苹果树长势
A级
B级
C级
随机抽取棵数(棵)
3
6
1
所抽取果树的平均产量(千克)
80
75
70
考点:
用样本估计总体;加权平均数。
分析:
利用样本估计总体的方法结合图表可以看出:A级每颗苹果树平均产量是80千克,B级每颗苹果树平均产量是75千克,C级每颗苹果树平均产量是70千克,用A级每颗苹果树平均产量是80千克×30棵+B级每颗苹果树平均产量是75千克×60棵+C级每颗苹果树平均产量是70千克×10棵=该果园的苹果总产量.
解答:
解:由题意得:80×30+75×60+70×10=7600.
故答案为:7600.
点评:
此题主要考查了用样本估计总体,一般来说,用样本去估计总体时,样本越具有代表性、容量越大,这时对总体的估计也就越精确.
15.(2012•资阳)如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON⊥OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为 .
考点:
相似三角形的判定与性质;矩形的性质。
分析:
求两条线段的关系,把两条线段放到两个三角形中,利用两个三角形的关系求解.
解答:
解:如图,作OF⊥BC于F,OE⊥CD于E,
∵ABCD为矩形
∴∠C=90°
∵OF⊥BC,OE⊥CD
∴∠EOF=90°
∴∠EON+∠FON=90°
∵ON⊥OM
∴∠EON=∠FOM
∴△OEN∽△OFM
=
∵O为中心
∴===
∴=
即y=x,
故答案为:y=x,
点评:
此题主要考查的是相似三角形的判定与性质,解题的关键是合理的在图中作出辅助线,熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.
16.(2012•资阳)观察分析下列方程:①,②,③;请利用它们所蕴含的规律,求关于x的方程(n为正整数)的根,你的答案是: x=n+3或x=n+4 .
考点:
分式方程的解。
专题:
规律型。
分析:
首先求得分式方程①②③的解,即可得规律:方程x+=a+b的根为:x=a或x=b,然后将x+=2n+4化为(x﹣3)+=n+(n+1),利用规律求解即可求得答案.
解答:
解:∵由①得,方程的根为:x=1或x=2,
由②得,方程的根为:x=2或x=3,
由②得,方程的根为:x=3或x=4,
∴方程x+=a+b的根为:x=a或x=b,
∴x+=2n+4可化为(x﹣3)+=n+(n+1),
∴此方程的根为:x﹣3=n或x﹣3=n+1,
即x=n+3或x=n+4.
故答案为:x=n+3或x=n+4.
点评:
此题考查了分式方程的解的知识.此题属于规律性题目,注意找到规律:方程x+=a+b的根为:x=a或x=b是解此题的关键.
三、解答题:本大题共9个小题,共72分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2012•资阳)先化简,再求值:,其中a是方程x2﹣x=6的根.
考点:
分式的化简求值;一元二次方程的解。
分析:
先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简,再根据a是方程x2﹣x=6的根求出a的值,代入原式进行计算即可.
解答:
解:原式=
=
=
=.
∵a是方程x2﹣x=6的根,
∴a2﹣a=6,
∴原式=.
点评:
本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
18.(2012•资阳)为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券,甲和乙设计了如下的一个游戏:
口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个,四个球除了颜色或编号不同外,没有任何别的区别,摸球之前将小球搅匀,摸球的人都蒙上眼睛.先甲摸两次,每次摸出一个球;把甲摸出的两个球放回口袋后,乙再摸,乙只摸一个球.如果甲摸出的两个球都是红色,甲得1分,否则,甲得0分;如果乙摸出的球是白色,乙得1分,否则,乙得0分;得分高的获得入场券,如果得分相同,游戏重来.
(1)运用列表或画树状图求甲得1分的概率;
(2)这个游戏是否公平?请说明理由.
考点:
游戏公平性;列表法与树状图法。
分析:
(1)首先根据题意列出表格或画出树状图图,然后求得所有等可能的结果与甲得1分的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案;
(2)由(1)求得乙的得分,比较概率不相等,即可得这个游戏是不公平.
解答:
解:(1)列表得:…(3分)
1
2
3
4
1
﹣
1分
1分
0分
2
1分
﹣
1分
0分
3
1分
1分
﹣
0分
4
0分
0分
0分
﹣
∴P(甲得1分)=…(4分)
(2)不公平.…(5分)
∵P(乙得1分)=…(6分)
∴P(甲得1分)≠P(乙得1分),
∴不公平.…(7分)
点评:
本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
19.(2012•资阳)已知:一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位,求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标;
(3)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式:
①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点(0,﹣2)旋转一定角度得到;
②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点.
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题;一次函数图象与几何变换。
分析:
(1)先求出两函数的交点坐标,利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式;
(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2,联立两函数解析式,进而求得交点坐标;
(3)常数项为﹣2,一次项系数小于﹣1的一次函数均可.
解答:
解:(1)把x=1代入y=3x﹣2,得y=1,
设反比例函数的解析式为,
把x=1,y=1代入得,k=1,
∴该反比例函数的解析式为;
(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2,
解方程组,得 或.
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(,3)和(﹣1,﹣1);
(3)y=﹣2x﹣2.
(结论开放,常数项为﹣2,一次项系数小于﹣1的一次函数均可)
点评:
考查了反比例函数与一次函数的交点问题,一次函数图象与几何变换,解题的关键是待定系数法求函数解析式,掌握各函数的图象和性质.
20.(2012•资阳)小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°,测得办公大楼底部点B的俯角为60°,已知办公大楼高46米,CD=10米.求点P到AD的距离(用含根号的式子表示).
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析:
连接PA、PB,过点P作PM⊥AD于点M;延长BC,交PM于点N,将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量,设PM=x米,在Rt△PMA中,表示出AM,在Rt△PNB中,表示出BN,由AM+BN=46米列出方程求解即可.
解答:
解:连接PA、PB,过点P作PM⊥AD于点M;延长BC,交PM于点N
则∠APM=45°,∠BPM=60°,NM=10米
设PM=x米
在Rt△PMA中,AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x(米)
在Rt△PNB中,BN=PN×tan∠BPM=(x﹣10)tan60°=(x﹣10)(米)
由AM+BN=46米,得x+(x﹣10)=46
解得,,
∴点P到AD的距离为米.(结果分母有理化为米也可)
点评:
此题考查了解直角三角形的知识,作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.
21.(2012•资阳)已知a、b是正实数,那么,是恒成立的.
(1)由恒成立,说明恒成立;
(2)填空:已知a、b、c是正实数,由恒成立,猜测: 也恒成立;
(3)如图,已知AB是直径,点P是弧上异于点A和点B的一点,PC⊥AB,垂足为C,AC=a,BC=b,由此图说明恒成立.
考点:
相似三角形的判定与性质;完全平方公式;一元一次不等式的应用;圆周角定理。
分析:
(1)由(﹣)2≥0,利用完全平方公式,即可证得恒成立;
(2)由a3+b3+c3﹣3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac)=(a+b+c)[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2],可证得a3+b3+c3≥3abc,即可得也恒成立;
(3)首先证得Rt△APC∽Rt△PBC,由相似三角形的对应边成比例,可求得PC的值,又由OP是半径,可求得OP=,然后由点到线的距离垂线段最短,即可证得恒成立.
解答:
解:(1)∵(﹣)2≥0,
∴a﹣2+b≥0,…(1分)
∴a+b≥2,…(2分)
∴≥;…(3分)
(2)…(6分)
理由:a3+b3+c3﹣3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac)
=(a+b+c)(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac)
=(a+b+c)[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]
∵a、b、c是正实数,
∴a3+b3+c3﹣3abc≥0,
∴a3+b3+c3≥3abc,
同理:也恒成立;
故答案为:;
(3)如图,连接OP,
∵AB是直径,
∴∠APB=90°,
又∵PC⊥AB,
∴∠ACP=∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°,
∴∠APC=∠B,
∴Rt△APC∽Rt△PBC,
∴,
∴PC2=AC•CB=ab,
∴PC=,…(7分)
又∵PO=,
∵PO≥PC,
∴.…(8分)
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识.此题综合性较强,难度较大,注意数形结合思想的应用,注意完全平方式的非负性的应用.
22.(2012•资阳)为了解决农民工子女就近入学问题,我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模.学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑,要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1,购买电脑的资金不低于16000元,但不超过24000元.已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元,用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅.(课桌凳和办公桌椅均成套购进)
(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元?
(2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案.
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。
分析:
(1)根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅,得出等式方程求出即可;
(2)利用购买电脑的资金不低于16000元,但不超过24000元,得出16000≤80000﹣120×20m﹣200×m≤24000求出即可.
解答:
解:(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元,得:
,…(2分)
解得
∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元…(3分);
(2)设购买办公桌椅m套,则购买课桌凳20m套,由题意得:
16000≤80000﹣120×20m﹣200×m≤24000…(5分)
解得:…(6分),
∵m为整数,
∴m=22、23、24,有三种购买方案:…(7分)
方案一
方案二
方案三
课桌凳(套)
440
460
480
办公桌椅(套)
22
23
24
点评:
此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用,根据已知得出不等式关系是解题关键.
23.(2012•资阳)(1)如图(1),正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程);
(2)将图(1)中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度,如图(2),求HD:GC:EB;
(3)把图(2)中的正方形都换成矩形,如图(3),且已知DA:AB=HA:AE=m:n,此时HD:GC:EB的值与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程).
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;正方形的性质。
分析:
(1)首先连接AG,由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,易证得∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,即A,G,C共线,继而可得HD=BE,GC=BE,即可求得HD:GC:EB的值;
(2)连接AG、AC,由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE,利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质,即可求得HD:GC:EB的值;
(3)由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上,由DA:AB=HA:AE=m:n,易证得△ADC∽△AHG,△DAH∽△CAG,△ADH∽△ABE,利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD:GC:EB的值.
解答:
解:(1)连接AG,
∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,
∴∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,
∴A,G,C共线,AB﹣AE=AD﹣AH,
∴HD=BE,
∵AG==AE,AC==AB,
∴GC=AC﹣AG=AB﹣AE=(AB﹣AE)=BE,
∴HD:GC:EB=1::1…(3分)
(2)连接AG、AC,
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,
∴AD:AC=AH:AG=1:,∠DAC=∠HAG=45°,
∴∠DAH=∠CAG,…(4分)
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:GC=AD:AC=1:,…(5分)
∵∠DAB=∠HAE=90°,
∴∠DAH=∠BAE,
在△DAH和△BAE中,
,
∴△DAH≌△BAE(SAS),
∴HD=EB,
∴HD:GC:EB=1::1;…(6分)
(3)有变化,
连接AG、AC,
∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上,DA:AB=HA:AE=m:n,
∴∠ADC=∠AHG=90°,
∴△ADC∽△AHG,
∴AD:AC=AH:AG=m:,∠DAC=∠HAG,
∴∠DAH=∠CAG,…(4分)
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:GC=AD:AC=m:,…(5分)
∵∠DAB=∠HAE=90°,
∴∠DAH=∠BAE,
∵DA:AB=HA:AE=m:n,
∴△ADH∽△ABE,
∴DH:BE=AD:AB=m:n,
∴HD:GC:EB=m::n.…(8分)
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
24.(2012•资阳)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连接DE,过点B作BP平行于DE,交⊙O于点P,连接EP、CP、OP.
(1)BD=DC吗?说明理由;
(2)求∠BOP的度数;
(3)求证:CP是⊙O的切线;
如果你解答这个问题有困难,可以参考如下信息:
为了解答这个问题,小明和小强做了认真的探究,然后分别用不同的思路完成了这个题目.在进行小组交流的时候,小明说:“设OP交AC于点G,证△AOG∽△CPG”;小强说:“过点C作CH⊥AB于点H,证四边形CHOP是矩形”.
考点:
切线的判定;等腰三角形的性质;圆周角定理。
专题:
探究型。
分析:
(1)连接AD,由圆周角定理可知∠ADB=90°,再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形,故BD=DC;
(2)由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线,所以∠BAD=∠CAD,故=,进而可得出BD=DE,故BD=DE=DC,
所以∠DEC=∠DCE,△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°,故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数,再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°,进而得出∠ABP的度数,再由OB=OP,可知∠OBP=∠OPB,由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°;
(3)设OP交AC于点G,由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中,由∠OAG=30°,可知=,由于==,所以=,=,再根据∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG,由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°,故可得出CP是⊙O的切线.
解答:
(1)解:BD=DC.
连接AD,如图1,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵AB=AC,
∴BD=DC;
(2)解:∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴=,
∴BD=DE,
∴BD=DE=DC,
∴∠DEC=∠DCE,
∵△ABC中,AB=AC,∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC=(180°﹣30°)=75°,
∴∠DEC=75°
∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°
∵BP∥DE,
∴∠PBC=∠EDC=30°,
∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°
∵OB=OP,
∴∠OBP=∠OPB=45°,
∴∠BOP=90°;
(3)证明:证法一:设OP交AC于点G,则∠AOG=∠BOP=90°
在Rt△AOG中,
∵∠OAG=30°,
∴=,
又∵==,
∴=,
∴=,
又∵∠AGO=∠CGP
∴△AOG∽△CPG,
∴∠GPC=∠AOG=90°,
∴CP是⊙O的切线)
证法二:过点C作CH⊥AB于点H,如图2,则∠BOP=∠BHC=90°,
∴PO∥CH
在Rt△AHC中,
∵∠HAC=30°,
∴CH=AC,
又∵PO=AB=AC,
∴PO=CH,
∵四边形CHOP是平行四边形
∴四边形CHOP是矩形,
∴∠OPC=90°,
∴CP是⊙O的切线.
点评:
本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质,在判定圆的切线时构造直角三角形,再利用直角三角形的性质去证明过圆心的直线与切线垂直.
25.(2012•资阳)抛物线的顶点在直线y=x+3上,过点F(﹣2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.
(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;
(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;
(3)若射线NM交x轴于点P,且PA•PB=,求点M的坐标.
考点:
二次函数综合题。
专题:
压轴题。
分析:
(1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可,再利用点在直线上的性质得出答案即可;
(2)首先利用点N在抛物线上,得出N点坐标,再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2,进而得出NF2=NB2,即可得出答案;
(3)求点M的坐标,需要先求出直线PF的解析式.首先由(2)的思路得出MF=MA,然后连接AF、FB,通过证明△PFA∽△PBF,利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值,进而求出点F的坐标和直线PF的解析式,即可得解.
解答:
解:(1)y=x2+x+m=(x+2)2+(m﹣1)
∴顶点坐标为(﹣2,m﹣1)
∵顶点在直线y=x+3上,
∴﹣2+3=m﹣1,
得m=2;
(2)∵点N在抛物线上,
∴点N的纵坐标为:a2+a+2,
即点N(a,a2+a+2)
过点F作FC⊥NB于点C,
在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB﹣CB=a2+a,
∴NF2=NC2+FC2=(a2+a)2+(a+2)2,
=(a2+a)2+(a2+4a)+4,
而NB2=(a2+a+2)2,
=(a2+a)2+(a2+4a)+4
∴NF2=NB2,
NF=NB;
(3)连接AF、BF,
由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,由(2)的结论知,MF=MA,
∴∠MAF=∠MFA,
∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,
∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,
∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°,
∵∠MAB+∠NBA=180°,
∴∠FBA+∠FAB=90°,
又∵∠FAB+∠MAF=90°,
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA,
又∵∠FPA=∠BPF,
∴△PFA∽△PBF,
∴=,PF2=PA×PB=,
过点F作FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中,
PG==,
∴PO=PG+GO=,
∴P(﹣,0)
设直线PF:y=kx+b,把点F(﹣2,2)、点P(﹣,0)代入y=kx+b,
解得k=,b=,
∴直线PF:y=x+,
解方程x2+x+2=x+,
得x=﹣3或x=2(不合题意,舍去),
当x=﹣3时,y=,
∴M(﹣3,).
点评:
考查了二次函数综合题,在该二次函数综合题中,融入了勾股定理、相似三角形等重点知识,(3)题通过构建相似三角形将PA•PB转化为PF的值是解题的关键,也是该题的难点.