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  • 2021-05-13 发布

2012年资阳 (2)中考数学试卷

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‎2012年四川省资阳市中考数学试卷解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意.‎ ‎1.(2012•义乌市)﹣2的相反数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎﹣2‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 相反数。‎ 专题:‎ 探究型。‎ 分析:‎ 根据相反数的定义进行解答即可.‎ 解答:‎ 解:由相反数的定义可知,﹣2的相反数是﹣(﹣2)=2.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查的是相反数的定义,即只有符号不同的两个数叫做互为相反数.‎ ‎2.(2012•资阳)下列事件为必然事件的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 小王参加本次数学考试,成绩是150分 ‎ ‎ B.‎ 某射击运动员射靶一次,正中靶心 ‎ ‎ C.‎ 打开电视机,CCTV第一套节目正在播放新闻 ‎ ‎ D.‎ 口袋中装有2个红球和1个白球,从中摸出2个球,其中必有红球 考点:‎ 随机事件。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 根据事件的分类的定义及分类对四个选项进行逐一分析即可.‎ 解答:‎ 解:A、小王参加本次数学考试,成绩是150分是随机事件,故本选项错误;‎ B、某射击运动员射靶一次,正中靶心是随机事件,故本选项错误;‎ C、打开电视机,CCTV第一套节目正在播放新闻是随机事件,故本选项错误.‎ D、口袋中装有2个红球和1个白球,从中摸出2个球,其中必有红球是必然事件,故本选项正确;‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查的是随机事件,即在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件.‎ ‎3.(2012•资阳)如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体,它的俯视图是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单组合体的三视图;截一个几何体。‎ 分析:‎ 根据俯视图是从上面看到的图形判定则可.‎ 解答:‎ 解:从上面看,是正方形右边有一条斜线,‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 本题考查了三视图的知识,根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键.‎ ‎4.(2012•资阳)下列图形:①平行四边形;②菱形;③圆;④梯形;⑤等腰三角形;⑥直角三角形;⑦国旗上的五角星.这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1种 B.‎ ‎2种 C.‎ ‎3种 D.‎ ‎4种 考点:‎ 中心对称图形;轴对称图形。‎ 分析:‎ 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,即可判断出答案.‎ 解答:‎ 解:①平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形;‎ ‎②菱形是中心对称图形,也是轴对称图形;‎ ‎③圆是中心对称图形,也是轴对称图形;‎ ‎④梯形不是中心对称图形,是轴对称图形;‎ ‎⑤等腰三角形不是中心对称图形,是轴对称图形;‎ ‎⑥直角三角形不是中心对称图形,也不是轴对称图形;‎ ‎⑦国旗上的五角星不是中心对称图形,是轴对称图形,‎ 故是轴对称图形又是中心对称图形的有②③,‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,关键是找出图形的对称中心与对称轴.‎ ‎5.(2012•资阳)下列计算或化简正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a2+a3=a5‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 二次根式的加减法;算术平方根;合并同类项;分式的基本性质。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ A、根据合并同类项的法则计算;‎ B、化简成最简二次根式即可;‎ C、计算的是算术平方根,不是平方根;‎ D、利用分式的性质计算.‎ 解答:‎ 解:A、a2+a3=a2+a3,此选项错误;‎ B、+3=+,此选项错误;‎ C、=3,此选项错误;‎ D、=,此选项正确.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质,解题的关键是灵活掌握有关运算法则,并注意区分算术平方根、平方根.‎ ‎6.(2012•资阳)小华所在的九年级一班共有50名学生,一次体检测量了全班学生的身高,由此求得该班学生的平均身高是1.65米,而小华的身高是1.66米,下列说法错误的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1.65米是该班学生身高的平均水平 ‎ ‎ B.‎ 班上比小华高的学生人数不会超过25人 ‎ ‎ C.‎ 这组身高数据的中位数不一定是1.65米 ‎ ‎ D.‎ 这组身高数据的众数不一定是1.65米 考点:‎ 算术平均数;中位数;众数。‎ 分析:‎ 根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数,它是反映数据集中趋势的一项指标.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数,中位数代表了这组数据值大小的“中点”,不易受极端值影响,但不能充分利用所有数据的信息,对每一项进行分析即可.‎ 解答:‎ 解:A、1.65米是该班学生身高的平均水平,正确;‎ B、因为小华的身高是1.66米,不是中位数,‎ 所以班上比小华高的学生人数不会超过25人错误;‎ C、这组身高数据的中位数不一定是1.65米,正确;‎ D、这组身高数据的众数不一定是1.65米,正确.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了算术平均数、中位数、众数,解答此题不是直接求平均数、中位数、众数,而是利用平均数、中位数、众数的概念进行综合分析,平均数受极值的影响较大,而中位数不易受极端值影响.‎ ‎7.(2012•资阳)如图所示的球形容器上连接着两根导管,容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体,现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体.水从左导管匀速地注入,气体从右导管排出,那么,容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 函数的图象。‎ 分析:‎ 根据水从左导管匀速地注入,气体从右导管排出时,容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少,即可得出函数关系的大致图象.‎ 解答:‎ 解:∵水从左导管匀速地注入,气体从右导管排出时,‎ 容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少,‎ ‎∴容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是C.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题主要考查了函数的图象问题,在解题时要结合题意找出正确的函数图象是本题的关键.‎ ‎8.(2012•资阳)如图,△ABC是等腰三角形,点D是底边BC上异于BC中点的一个点,∠ADE=∠DAC,DE=AC.运用这个图(不添加辅助线)可以说明下列哪一个命题是假命题?(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 ‎ ‎ B.‎ 有一组对边平行的四边形是梯形 ‎ ‎ C.‎ 一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形 ‎ ‎ D.‎ 对角线相等的四边形是矩形 考点:‎ 平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;矩形的判定;梯形;命题与定理。‎ 分析:‎ 已知条件应分析一组边相等,一组角对应相等的四边不是平行四边形,根据全等三角形判定方法得出∠B=∠E,AB=DE,进而得出一组对边相等,一组对角相等的四边形不是平行四边形,得出答案即可.‎ 解答:‎ 解:A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,根据等腰梯形符合要求,得出故此选项错误;‎ B.有一组对边平行的四边形是梯形,若另一组对边也平行,则此四边形是平行四边形,故此选项错误;‎ C.一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形,‎ ‎∵△ABC是等腰三角形,‎ ‎∴AB=AC,∠B=∠C,‎ ‎∵DE=AC,AD=AD,∠ADE=∠DAC,‎ 即,‎ ‎∴△ADE≌△DAC,‎ ‎∴∠E=∠C,‎ ‎∴∠B=∠E,AB=DE,‎ 但是四边形ABDE不是平行四边形,‎ 故一组对边相等,一组对角相等的四边形不是平行四边形,因此C符合题意,‎ 故此选项正确;‎ D.对角线相等的四边形是矩形,根据等腰梯形符合要求,得出故此选项错误;‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定,结合已知选项,得出已知条件应分析一组边相等,一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键.‎ ‎9.(2012•资阳)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1<x<5‎ B.‎ x>5‎ C.‎ x<﹣1且x>5‎ D.‎ x<﹣1或x>5‎ 考点:‎ 二次函数与不等式(组)。‎ 分析:‎ 利用二次函数的对称性,可得出图象与x轴的另一个交点坐标,结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集.‎ 解答:‎ 解:由图象得:对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),‎ ‎∴图象与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0).‎ 利用图象可知:‎ ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,‎ ‎∴x<﹣1或x>5.‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况,很好地利用数形结合,题目非常典型.‎ ‎10.(2012•资阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=,则四边形MABN的面积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 翻折变换(折叠问题)。‎ 分析:‎ 首先连接CD,交MN于E,由将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,即可得MN⊥CD,且CE=DE,又由MN∥AB,易得△CMN∽△CAB,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形对应高的比等于相似比,即可得,又由MC=6,NC=,即可求得四边形MABN的面积.‎ 解答:‎ 解:连接CD,交MN于E,‎ ‎∵将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,‎ ‎∴MN⊥CD,且CE=DE,‎ ‎∴CD=2CE,‎ ‎∵MN∥AB,‎ ‎∴CD⊥AB,‎ ‎∴△CMN∽△CAB,‎ ‎∴,‎ ‎∵在△CMN中,∠C=90°,MC=6,NC=,‎ ‎∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6,‎ ‎∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24,‎ ‎∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质.此题难度适中,解此题的关键是注意折叠中的对应关系,注意数形结合思想的应用.‎ 二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎11.(2012•资阳)为了保护人类居住环境,我国的火电企业积极做好节能环保工作.2011年,我国火电企业的平均煤耗继续降低,仅为330000‎ 毫克/千瓦时,用科学记数法表示并保留三个有效数字为 3.30×105 毫克/千瓦时.‎ 考点:‎ 科学记数法与有效数字。‎ 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.‎ 解答:‎ 解:根据题意330 000用科学记数法表示为3.30×105人.‎ 故答案为:3.30×105.‎ 点评:‎ 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎12.(2012•资阳)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 10或8 .‎ 考点:‎ 三角形的外接圆与外心;勾股定理。‎ 专题:‎ 探究型。‎ 分析:‎ 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点,那么半径为斜边的一半,分两种情况:①16为斜边长;②16和12为两条直角边长,由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长,进而可求得外接圆的半径.‎ 解答:‎ 解:由勾股定理可知:‎ ‎①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆半径为8;‎ ‎②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长==20,‎ 因此这个三角形的外接圆半径为10.‎ 综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10.‎ 故答案为:10或8.‎ 点评:‎ 本题考查的是直角三角形的外接圆半径,重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心,斜边长的一半为半径的圆.‎ ‎13.关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k<且k≠0 .‎ 考点:‎ 根的判别式。‎ 专题:‎ 方程思想。‎ 分析:‎ 根据一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,知△=b2﹣4ac>0,然后据此列出关于k的方程,解方程即可.‎ 解答:‎ 解:∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△=1﹣4k>0,且k≠0,‎ 解得,k<且k≠0;‎ 故答案是:k<且k≠0.‎ 点评:‎ 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式.解题时,注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件.‎ ‎14.(2012•资阳)某果园有苹果树100棵,为了估计该果园的苹果总产量,小王先按长势把苹果树分成了A、B、C三个级别,其中A级30棵,B级60棵,C级10棵,然后从A、B、C三个级别的苹果树中分别随机抽取了3棵、6棵、1棵,测出其产量,制成了如下的统计表.小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量,那么小李的估计值是 7600 千克.‎ 苹果树长势 A级 B级 C级 随机抽取棵数(棵)‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ 所抽取果树的平均产量(千克)‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎70‎ 考点:‎ 用样本估计总体;加权平均数。‎ 分析:‎ 利用样本估计总体的方法结合图表可以看出:A级每颗苹果树平均产量是80千克,B级每颗苹果树平均产量是75千克,C级每颗苹果树平均产量是70千克,用A级每颗苹果树平均产量是80千克×30棵+B级每颗苹果树平均产量是75千克×60棵+C级每颗苹果树平均产量是70千克×10棵=该果园的苹果总产量.‎ 解答:‎ 解:由题意得:80×30+75×60+70×10=7600.‎ 故答案为:7600.‎ 点评:‎ 此题主要考查了用样本估计总体,一般来说,用样本去估计总体时,样本越具有代表性、容量越大,这时对总体的估计也就越精确.‎ ‎15.(2012•资阳)如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON⊥OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为  .‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;矩形的性质。‎ 分析:‎ 求两条线段的关系,把两条线段放到两个三角形中,利用两个三角形的关系求解.‎ 解答:‎ 解:如图,作OF⊥BC于F,OE⊥CD于E,‎ ‎∵ABCD为矩形 ‎∴∠C=90°‎ ‎∵OF⊥BC,OE⊥CD ‎∴∠EOF=90°‎ ‎∴∠EON+∠FON=90°‎ ‎∵ON⊥OM ‎∴∠EON=∠FOM ‎∴△OEN∽△OFM ‎=‎ ‎∵O为中心 ‎∴===‎ ‎∴=‎ 即y=x,‎ 故答案为:y=x,‎ 点评:‎ 此题主要考查的是相似三角形的判定与性质,解题的关键是合理的在图中作出辅助线,熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.‎ ‎16.(2012•资阳)观察分析下列方程:①,②,③;请利用它们所蕴含的规律,求关于x的方程(n为正整数)的根,你的答案是: x=n+3或x=n+4 .‎ 考点:‎ 分式方程的解。‎ 专题:‎ 规律型。‎ 分析:‎ 首先求得分式方程①②③的解,即可得规律:方程x+=a+b的根为:x=a或x=b,然后将x+=2n+4化为(x﹣3)+=n+(n+1),利用规律求解即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:∵由①得,方程的根为:x=1或x=2,‎ 由②得,方程的根为:x=2或x=3,‎ 由②得,方程的根为:x=3或x=4,‎ ‎∴方程x+=a+b的根为:x=a或x=b,‎ ‎∴x+=2n+4可化为(x﹣3)+=n+(n+1),‎ ‎∴此方程的根为:x﹣3=n或x﹣3=n+1,‎ 即x=n+3或x=n+4.‎ 故答案为:x=n+3或x=n+4.‎ 点评:‎ 此题考查了分式方程的解的知识.此题属于规律性题目,注意找到规律:方程x+=a+b的根为:x=a或x=b是解此题的关键.‎ 三、解答题:本大题共9个小题,共72分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(2012•资阳)先化简,再求值:,其中a是方程x2﹣x=6的根.‎ 考点:‎ 分式的化简求值;一元二次方程的解。‎ 分析:‎ 先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简,再根据a是方程x2﹣x=6的根求出a的值,代入原式进行计算即可.‎ 解答:‎ 解:原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎∵a是方程x2﹣x=6的根,‎ ‎∴a2﹣a=6,‎ ‎∴原式=.‎ 点评:‎ 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.‎ ‎18.(2012•资阳)为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券,甲和乙设计了如下的一个游戏:‎ 口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个,四个球除了颜色或编号不同外,没有任何别的区别,摸球之前将小球搅匀,摸球的人都蒙上眼睛.先甲摸两次,每次摸出一个球;把甲摸出的两个球放回口袋后,乙再摸,乙只摸一个球.如果甲摸出的两个球都是红色,甲得1分,否则,甲得0分;如果乙摸出的球是白色,乙得1分,否则,乙得0分;得分高的获得入场券,如果得分相同,游戏重来.‎ ‎(1)运用列表或画树状图求甲得1分的概率;‎ ‎(2)这个游戏是否公平?请说明理由.‎ 考点:‎ 游戏公平性;列表法与树状图法。‎ 分析:‎ ‎(1)首先根据题意列出表格或画出树状图图,然后求得所有等可能的结果与甲得1分的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案;‎ ‎(2)由(1)求得乙的得分,比较概率不相等,即可得这个游戏是不公平.‎ 解答:‎ 解:(1)列表得:…(3分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎﹣‎ ‎1分 ‎1分 ‎0分 ‎2‎ ‎1分 ‎﹣‎ ‎1分 ‎0分 ‎3‎ ‎1分 ‎1分 ‎﹣‎ ‎0分 ‎4‎ ‎0分 ‎0分 ‎0分 ‎﹣‎ ‎∴P(甲得1分)=…(4分)‎ ‎(2)不公平.…(5分)‎ ‎∵P(乙得1分)=…(6分)‎ ‎∴P(甲得1分)≠P(乙得1分),‎ ‎∴不公平.…(7分)‎ 点评:‎ 本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.‎ ‎19.(2012•资阳)已知:一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1.‎ ‎(1)求该反比例函数的解析式;‎ ‎(2)将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位,求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标;‎ ‎(3)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式:‎ ‎①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点(0,﹣2)旋转一定角度得到;‎ ‎②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点.‎ 考点:‎ 反比例函数与一次函数的交点问题;一次函数图象与几何变换。‎ 分析:‎ ‎(1)先求出两函数的交点坐标,利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式;‎ ‎(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2,联立两函数解析式,进而求得交点坐标;‎ ‎(3)常数项为﹣2,一次项系数小于﹣1的一次函数均可.‎ 解答:‎ 解:(1)把x=1代入y=3x﹣2,得y=1,‎ 设反比例函数的解析式为,‎ 把x=1,y=1代入得,k=1,‎ ‎∴该反比例函数的解析式为;‎ ‎(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2,‎ 解方程组,得 或.‎ ‎∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(,3)和(﹣1,﹣1);‎ ‎(3)y=﹣2x﹣2.‎ ‎(结论开放,常数项为﹣2,一次项系数小于﹣1的一次函数均可)‎ 点评:‎ 考查了反比例函数与一次函数的交点问题,一次函数图象与几何变换,解题的关键是待定系数法求函数解析式,掌握各函数的图象和性质.‎ ‎20.(2012•资阳)小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°,测得办公大楼底部点B的俯角为60°,已知办公大楼高46米,CD=10米.求点P到AD的距离(用含根号的式子表示).‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析:‎ 连接PA、PB,过点P作PM⊥AD于点M;延长BC,交PM于点N,将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量,设PM=x米,在Rt△PMA中,表示出AM,在Rt△PNB中,表示出BN,由AM+BN=46米列出方程求解即可.‎ 解答:‎ 解:连接PA、PB,过点P作PM⊥AD于点M;延长BC,交PM于点N 则∠APM=45°,∠BPM=60°,NM=10米 设PM=x米 在Rt△PMA中,AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x(米)‎ 在Rt△PNB中,BN=PN×tan∠BPM=(x﹣10)tan60°=(x﹣10)(米)‎ 由AM+BN=46米,得x+(x﹣10)=46‎ 解得,,‎ ‎∴点P到AD的距离为米.(结果分母有理化为米也可)‎ 点评:‎ 此题考查了解直角三角形的知识,作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.‎ ‎21.(2012•资阳)已知a、b是正实数,那么,是恒成立的.‎ ‎(1)由恒成立,说明恒成立;‎ ‎(2)填空:已知a、b、c是正实数,由恒成立,猜测:  也恒成立;‎ ‎(3)如图,已知AB是直径,点P是弧上异于点A和点B的一点,PC⊥AB,垂足为C,AC=a,BC=b,由此图说明恒成立.‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;完全平方公式;一元一次不等式的应用;圆周角定理。‎ 分析:‎ ‎(1)由(﹣)2≥0,利用完全平方公式,即可证得恒成立;‎ ‎(2)由a3+b3+c3﹣3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac)=(a+b+c)[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2],可证得a3+b3+c3≥3abc,即可得也恒成立;‎ ‎(3)首先证得Rt△APC∽Rt△PBC,由相似三角形的对应边成比例,可求得PC的值,又由OP是半径,可求得OP=,然后由点到线的距离垂线段最短,即可证得恒成立.‎ 解答:‎ 解:(1)∵(﹣)2≥0,‎ ‎∴a﹣2+b≥0,…(1分)‎ ‎∴a+b≥2,…(2分)‎ ‎∴≥;…(3分)‎ ‎(2)…(6分)‎ 理由:a3+b3+c3﹣3abc ‎ ‎=(a+b+c)(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac) ‎ ‎=(a+b+c)(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac) ‎ ‎=(a+b+c)[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]‎ ‎∵a、b、c是正实数,‎ ‎∴a3+b3+c3﹣3abc≥0,‎ ‎∴a3+b3+c3≥3abc,‎ 同理:也恒成立;‎ 故答案为:;‎ ‎(3)如图,连接OP,‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠APB=90°,‎ 又∵PC⊥AB,‎ ‎∴∠ACP=∠ACB=90°,‎ ‎∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°,‎ ‎∴∠APC=∠B,‎ ‎∴Rt△APC∽Rt△PBC,‎ ‎∴,‎ ‎∴PC2=AC•CB=ab,‎ ‎∴PC=,…(7分)‎ 又∵PO=,‎ ‎∵PO≥PC,‎ ‎∴.…(8分)‎ 点评:‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识.此题综合性较强,难度较大,注意数形结合思想的应用,注意完全平方式的非负性的应用.‎ ‎22.(2012•资阳)为了解决农民工子女就近入学问题,我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模.学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑,要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1,购买电脑的资金不低于16000元,但不超过24000元.已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元,用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅.(课桌凳和办公桌椅均成套购进)‎ ‎(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元?‎ ‎(2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案.‎ 考点:‎ 一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。‎ 分析:‎ ‎(1)根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅,得出等式方程求出即可;‎ ‎(2)利用购买电脑的资金不低于16000元,但不超过24000元,得出16000≤80000﹣120×20m﹣200×m≤24000求出即可.‎ 解答:‎ 解:(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元,得:‎ ‎,…(2分)‎ 解得 ‎∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元…(3分);‎ ‎(2)设购买办公桌椅m套,则购买课桌凳20m套,由题意得:‎ ‎16000≤80000﹣120×20m﹣200×m≤24000…(5分)‎ 解得:…(6分),‎ ‎∵m为整数,‎ ‎∴m=22、23、24,有三种购买方案:…(7分)‎ 方案一 方案二 方案三 课桌凳(套)‎ ‎440‎ ‎460‎ ‎480‎ 办公桌椅(套)‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ 点评:‎ 此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用,根据已知得出不等式关系是解题关键.‎ ‎23.(2012•资阳)(1)如图(1),正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程);‎ ‎(2)将图(1)中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度,如图(2),求HD:GC:EB;‎ ‎(3)把图(2)中的正方形都换成矩形,如图(3),且已知DA:AB=HA:AE=m:n,此时HD:GC:EB的值与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程).‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;正方形的性质。‎ 分析:‎ ‎(1)首先连接AG,由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,易证得∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,即A,G,C共线,继而可得HD=BE,GC=BE,即可求得HD:GC:EB的值;‎ ‎(2)连接AG、AC,由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE,利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质,即可求得HD:GC:EB的值;‎ ‎(3)由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上,由DA:AB=HA:AE=m:n,易证得△ADC∽△AHG,△DAH∽△CAG,△ADH∽△ABE,利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD:GC:EB的值.‎ 解答:‎ 解:(1)连接AG,‎ ‎∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,‎ ‎∴∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,‎ ‎∴A,G,C共线,AB﹣AE=AD﹣AH,‎ ‎∴HD=BE,‎ ‎∵AG==AE,AC==AB,‎ ‎∴GC=AC﹣AG=AB﹣AE=(AB﹣AE)=BE,‎ ‎∴HD:GC:EB=1::1…(3分)‎ ‎(2)连接AG、AC,‎ ‎∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,‎ ‎∴AD:AC=AH:AG=1:,∠DAC=∠HAG=45°,‎ ‎∴∠DAH=∠CAG,…(4分)‎ ‎∴△DAH∽△CAG,‎ ‎∴HD:GC=AD:AC=1:,…(5分)‎ ‎∵∠DAB=∠HAE=90°,‎ ‎∴∠DAH=∠BAE,‎ 在△DAH和△BAE中,‎ ‎,‎ ‎∴△DAH≌△BAE(SAS),‎ ‎∴HD=EB,‎ ‎∴HD:GC:EB=1::1;…(6分)‎ ‎(3)有变化,‎ 连接AG、AC,‎ ‎∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上,DA:AB=HA:AE=m:n,‎ ‎∴∠ADC=∠AHG=90°,‎ ‎∴△ADC∽△AHG,‎ ‎∴AD:AC=AH:AG=m:,∠DAC=∠HAG,‎ ‎∴∠DAH=∠CAG,…(4分)‎ ‎∴△DAH∽△CAG,‎ ‎∴HD:GC=AD:AC=m:,…(5分)‎ ‎∵∠DAB=∠HAE=90°,‎ ‎∴∠DAH=∠BAE,‎ ‎∵DA:AB=HA:AE=m:n,‎ ‎∴△ADH∽△ABE,‎ ‎∴DH:BE=AD:AB=m:n,‎ ‎∴HD:GC:EB=m::n.…(8分)‎ 点评:‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.‎ ‎24.(2012•资阳)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连接DE,过点B作BP平行于DE,交⊙O于点P,连接EP、CP、OP.‎ ‎(1)BD=DC吗?说明理由;‎ ‎(2)求∠BOP的度数;‎ ‎(3)求证:CP是⊙O的切线;‎ 如果你解答这个问题有困难,可以参考如下信息:‎ 为了解答这个问题,小明和小强做了认真的探究,然后分别用不同的思路完成了这个题目.在进行小组交流的时候,小明说:“设OP交AC于点G,证△AOG∽△CPG”;小强说:“过点C作CH⊥AB于点H,证四边形CHOP是矩形”.‎ 考点:‎ 切线的判定;等腰三角形的性质;圆周角定理。‎ 专题:‎ 探究型。‎ 分析:‎ ‎(1)连接AD,由圆周角定理可知∠ADB=90°,再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形,故BD=DC;‎ ‎(2)由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线,所以∠BAD=∠CAD,故=,进而可得出BD=DE,故BD=DE=DC,‎ 所以∠DEC=∠DCE,△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°,故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数,再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°,进而得出∠ABP的度数,再由OB=OP,可知∠OBP=∠OPB,由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°;‎ ‎(3)设OP交AC于点G,由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中,由∠OAG=30°,可知=,由于==,所以=,=,再根据∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG,由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°,故可得出CP是⊙O的切线.‎ 解答:‎ ‎(1)解:BD=DC.‎ 连接AD,如图1,‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴BD=DC;‎ ‎(2)解:∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BD=DE,‎ ‎∴BD=DE=DC,‎ ‎∴∠DEC=∠DCE,‎ ‎∵△ABC中,AB=AC,∠A=30°‎ ‎∴∠DCE=∠ABC=(180°﹣30°)=75°,‎ ‎∴∠DEC=75°‎ ‎∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°‎ ‎∵BP∥DE,‎ ‎∴∠PBC=∠EDC=30°,‎ ‎∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°‎ ‎∵OB=OP,‎ ‎∴∠OBP=∠OPB=45°,‎ ‎∴∠BOP=90°;‎ ‎(3)证明:证法一:设OP交AC于点G,则∠AOG=∠BOP=90°‎ 在Rt△AOG中,‎ ‎∵∠OAG=30°,‎ ‎∴=,‎ 又∵==,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 又∵∠AGO=∠CGP ‎∴△AOG∽△CPG,‎ ‎∴∠GPC=∠AOG=90°,‎ ‎∴CP是⊙O的切线)‎ 证法二:过点C作CH⊥AB于点H,如图2,则∠BOP=∠BHC=90°,‎ ‎∴PO∥CH 在Rt△AHC中,‎ ‎∵∠HAC=30°,‎ ‎∴CH=AC,‎ 又∵PO=AB=AC,‎ ‎∴PO=CH,‎ ‎∵四边形CHOP是平行四边形 ‎∴四边形CHOP是矩形,‎ ‎∴∠OPC=90°,‎ ‎∴CP是⊙O的切线.‎ 点评:‎ 本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质,在判定圆的切线时构造直角三角形,再利用直角三角形的性质去证明过圆心的直线与切线垂直.‎ ‎25.(2012•资阳)抛物线的顶点在直线y=x+3上,过点F(﹣2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.‎ ‎(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;‎ ‎(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;‎ ‎(3)若射线NM交x轴于点P,且PA•PB=,求点M的坐标.‎ 考点:‎ 二次函数综合题。‎ 专题:‎ 压轴题。‎ 分析:‎ ‎(1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可,再利用点在直线上的性质得出答案即可;‎ ‎(2)首先利用点N在抛物线上,得出N点坐标,再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2,进而得出NF2=NB2,即可得出答案;‎ ‎(3)求点M的坐标,需要先求出直线PF的解析式.首先由(2)的思路得出MF=MA,然后连接AF、FB,通过证明△PFA∽△PBF,利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值,进而求出点F的坐标和直线PF的解析式,即可得解.‎ 解答:‎ 解:(1)y=x2+x+m=(x+2)2+(m﹣1)‎ ‎∴顶点坐标为(﹣2,m﹣1)‎ ‎∵顶点在直线y=x+3上,‎ ‎∴﹣2+3=m﹣1,‎ 得m=2;‎ ‎(2)∵点N在抛物线上,‎ ‎∴点N的纵坐标为:a2+a+2,‎ 即点N(a,a2+a+2)‎ 过点F作FC⊥NB于点C,‎ 在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB﹣CB=a2+a,‎ ‎∴NF2=NC2+FC2=(a2+a)2+(a+2)2,‎ ‎=(a2+a)2+(a2+4a)+4,‎ 而NB2=(a2+a+2)2,‎ ‎=(a2+a)2+(a2+4a)+4‎ ‎∴NF2=NB2,‎ NF=NB;‎ ‎(3)连接AF、BF,‎ 由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,由(2)的结论知,MF=MA,‎ ‎∴∠MAF=∠MFA,‎ ‎∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,‎ ‎∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°‎ ‎∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,‎ ‎∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°,‎ ‎∵∠MAB+∠NBA=180°,‎ ‎∴∠FBA+∠FAB=90°,‎ 又∵∠FAB+∠MAF=90°,‎ ‎∴∠FBA=∠MAF=∠MFA,‎ 又∵∠FPA=∠BPF,‎ ‎∴△PFA∽△PBF,‎ ‎∴=,PF2=PA×PB=,‎ 过点F作FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中,‎ PG==,‎ ‎∴PO=PG+GO=,‎ ‎∴P(﹣,0)‎ 设直线PF:y=kx+b,把点F(﹣2,2)、点P(﹣,0)代入y=kx+b,‎ 解得k=,b=,‎ ‎∴直线PF:y=x+,‎ 解方程x2+x+2=x+,‎ 得x=﹣3或x=2(不合题意,舍去),‎ 当x=﹣3时,y=,‎ ‎∴M(﹣3,).‎ 点评:‎ 考查了二次函数综合题,在该二次函数综合题中,融入了勾股定理、相似三角形等重点知识,(3)题通过构建相似三角形将PA•PB转化为PF的值是解题的关键,也是该题的难点.‎