2011中考数学一轮复习几何篇18相似形的综合运用二 5页

‎18.相似形的综合运用（二）‎ 知识考点：‎ 本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】如图已知，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。‎ ‎（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。‎ ‎（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。‎ ‎（3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。‎ 解：（1）∵，∴‎ ‎ 又∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC ‎ ∴，∴‎ ‎ 故 ‎（2）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等 ‎ ∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝（△ABC的周长）＝6‎ ‎ 又∵PQ∥AB，∴，即，解得 ‎ ‎ ‎（3）①依题意得（如图2）当∠MPQ＝900 ，PM＝PQ时，由勾股定理的逆定理得∠C＝900，∴△ABC的AB边上的高为，设PM＝PQ＝‎ ‎∵PQ∥AB，△CPQ∽△CAB，∴，解得，即 当，时，同理可得 ‎②依题意得（如图3）当∠PMQ＝900 ，MP＝MQ时，由等腰直角三角形的性质得：M到PQ的距离为PQ，设PQ＝，由PQ∥AB可得△CPQ∽△CAB，所以有：‎ ‎，解得，即 ‎【例2】如图，△ABC≌△，∠C＝∠＝900，AC＝‎3cm，＝‎5cm，先将△ABC和△完全重合，再将△ABC固定，△沿CB所在的直线向左以每秒‎1cm的速度平行移动，设移动秒后，△ABC与△的重叠部分的面积为 cm2，则与之间的函数关系式为 ， 秒后重叠部分的面积为cm2。‎ 答案：（0≤≤4）‎ 变式：操场上有一高高耸立的旗杆，如何测出它的高度，请你说出几种方法来。‎ 探索与创新：‎ ‎【问题】在△ABC中，D为BC边上的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O。某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：‎ 当时，有（如图1）‎ 当时，有（如图2）‎ 当时，有（如图3）‎ 在图4中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明（其中是正整数）。‎ 分析：特例能反映个性特征信息, 个性之中包含着共性, 共性蕴含在个性之中。特例所反映的个性特征, 往往通过类比就可以反映其共性规律。‎ 对照（1）、（2）、（3）很容易猜想得到这样一个结论：‎ 独想：当时，有成立。‎ 证明：过点D作DF∥BE，交AC于点F ‎∵D是BC的中点 ‎∴F是EC的中点 由可知 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 跟踪训练：‎ 一、填空题：‎ ‎1、梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AC、BD交于点O，过点O的直线分别交AB、CD于E、F，若，FC＝‎4cm，则CD＝ cm。‎ ‎2、如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么∶＝ 。‎ ‎ ‎ ‎3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交BD于H，AF交BD于G，CD＝4AB，则∶＝ 。‎ 二、选择题：‎ 矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，DE垂直对角线AC于E，那么∶＝（ ）‎ A、4∶3 B、16∶‎9 C、∶3 D、3∶4‎ 三、解答题：‎ ‎1、如图，在正方形ABCD中，M是AB上一点，BM＝BN，作BP⊥MC于P，求证：DP⊥NP。‎ ‎ ‎ ‎2、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且，阅读下段材料，然后再回答后面的问题：‎ 连结BD，∵，∴EH∥BD ‎∵，∴FG∥BD，∴FG∥EH ‎①连结AC，则EF与GH是否一定平行？答： 。‎ ‎②当值为 时，四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎③在②的情况下，对角线AC与BD只须满足 条件时，EFGH是矩形；‎ ‎④在②的情况下，对角线AC与BD只须满足 条件时，EFGH是菱形。‎ ‎3、已知△ABC中，AB＝，AC＝2，BC边上的高AD＝。‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）如果有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC、BC上，求正方形的面积。‎ 提示：D点可能在BC上或在BC的延长线上，问题要分类讨论。‎ ‎3、已知抛物线与轴交于A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C（0，），O为坐标原点。‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若，OA＋OB＝3OC，求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，连结PQ与BC交于M，设AP＝，问是否存在值，使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ 跟踪训练参考答案 一、填空题：‎ ‎1、12；2、1∶8；3、15∶2；‎ 二、选择题：B 三、解答题：‎ ‎1、证△BPM∽△CPB，△PBN∽△PCD；‎ ‎2、①不一定；②1；③AC⊥BD；④AC＝BD；‎ ‎3、①点D在BC上时，BC＝4，；②点D在BC的延长线上时，BC＝2，；‎ ‎4、（1）；‎ ‎（2）A（－8，0），B（－4，0），C（0，4），‎ ‎（3）存在或2‎