一元二次方程整数根问题的十二种思维竞赛中考 6页

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略 一. 利用判别式 例1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 ‎ 与的根都是整数。‎ 解：∵方程有整数根，‎ ‎ ∴⊿=16‎-16m≥0，得m≤1‎ 又∵方程有整数根 ‎ ‎∴ 得 ‎ 综上所述，－≤m≤1‎ ‎∴x可取的整数值是-1，0，1‎ 当m=-1时，方程为－x-4x+4=0 没有整数解，舍去。‎ 而m≠0 ∴ m=1‎ 例2．（1996年四川竞赛题）已知方程 有两个不相等的正整数根，求m的值。‎ 解：设原方程的两个正整数根为x，x，则m=－(x+x)为负整数.‎ ‎ ∴一定是完全平方数 ‎ 设（为正整数）‎ ‎ ∴‎ ‎ 即：‎ ‎∵m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同 ‎ ∴或 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。‎ 当m=－5时 ，原方程为x-5x+6=0，两根分别为x=2，x=3。‎ ‎ ‎ 一. 利用求根公式 例3．（2000年全国联赛）设关于x的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。‎ 解： ‎ ‎ 由求根公式得 即 ‎ 由于x≠-1，则有 两式相减，得 即 ‎ 由于x，x是整数，故可求得或或 分别代入，易得k=，6，3。‎ 二. 利用方程根的定义 例4.b为何值时，方程 和有相同的整数根？‎ 并且求出它们的整数根？‎ 解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)‎ ‎ 当b≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得 ‎ 解得b=1,x=2‎ 当b=2时,两方程无整数根.‎ ‎ ∴b=1,相同的整数根是2‎ 四.利用因式分解 例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数，‎ 那么符合条件的整数a有___________个.‎ 解: 当a=1时,x=1‎ ‎ 当a≠1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0‎ 即得 ‎ ∵ x是整数 ‎ ∴ 1-a=±1,±2, ∴a=-1,0,2,3‎ ‎ 由上可知符合条件的整数有5个.‎ 例6.(1994年福州竞赛题) 当m是什么整数时,关于x的方程 的两根都是整数?‎ 解：设方程的两整数根分别是x，x，由韦达定理得 ‎① ②‎ 由②①消去，可得 则有 或 解得： 或 由此或0，分别代入②，得或 五.利用根与系数的关系 例7.(1998年全国竞赛题) 求所有正实数a,使得方程仅有整数根.‎ 解：设方程的两整数根分别是x，x，且 ‎ 由根与系数的关系得 ‎ ‎① ②‎ 由①得 ③‎ 将③代入②得 ‎∴‎ 显然 x≠4，故x可取5，6，7，8。‎ 从而易得a=25，18，16。‎ 六.构造新方程 例8.(1996年全国联赛)方程有两个整数根,求a的值.‎ 解：原方程变为 ‎ ‎ 设y=x-8，则得新方程为 ‎ ‎ 设它的两根为y，y，则 ‎ ‎ ∵x是整数，∴y，y也是整数，则y，y只能分别为1，-1或-1，1‎ ‎ 即y+y=0 ∴a=8。‎ 七.构造等式 例9.(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程 的所有的根都是正整数.‎ 解：设三个方程的正整数解分别为，则有 ‎ 令x=1，并将三式相加，注意到x≥1（i=1，2，…6），有 ‎ 但 a≥1，b≥1，c≥1，又有 3-（a+b+c）≤0，‎ ‎ ∴ 3-（a+b+c）=0‎ ‎ 故 a=b=c=1‎ 八.分析等式 例10.(1993年安徽竞赛题) n为正整数，方程 有一个整数根，则n=__________.‎ 解：不妨设已知方程的整数根为α，则 整理。得 因为为整数，所以为整数 也一定是整数，要使为整数，必有 由此得，即 解得n=3或-2（舍去）‎ ‎ ∴ n=3。‎ 九.反客为主 例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程 至少有一个整数根.‎ 解：由原方程知x≠2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程 得（因为是正整数）‎ 则得 解得 因此，x只能取-4，-3，-1，0，1，2。‎ ‎ 分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1，3，6，10。‎ 十.利用配方法 例12. (第三届《祖冲之杯》竞赛题) 已知方程 ‎ 有两个不等的负整数根,则整数a的值是__________.‎ 解：原方程可变为 即 得：‎ 当a-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5时，x为负整数。‎ 但a=0时，x＞0； a=-5时,x==-1‎ 又a≠-1 ∴ a=-2。 ‎ 十一.利用奇偶分析 例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程有两个质数根,‎ 则常数a=___________.‎ 解：设方程的两个质数根为x，x( x＜x)‎ ‎ 由根与系数的关系得x+x=1999.‎ ‎ 显然 x=2,x=1997,于是a=2×1997=3994.‎ 十二.利用反证法 例14.不解方程,证明方程无整数根 ‎ 证明:假设方程有两个整数根αβ,则α+β=1997,αβ=1997,由第二式知αβ均为奇数,于是α+β为偶数,但这与第一式相矛盾,所以α,β不可能都是整数.‎ 假设方程只有一个整数根,则α+β不可能是整数, 也与第一式相矛盾,所以方程不可能只有一个整数根.‎ 综上所述,原方程无整数根.‎