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- 2021-05-13 发布
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2015年武汉市中考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.在实数-3、0、5、3中,最小的实数是( )
A.-3 B.0 C.5 D.3
2.若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范为是( )
A.x≥-2 B.x>-2 C.x≥2 D.x≤2
3.把a2-2a分解因式,正确的是( )
A.a(a-2) B.a(a+2) C.a(a2-2) D.a(2-a)
4.一组数据3、8、12、17、40的中位数为( )
A.3 B.8 C.12 D.17
5.下列计算正确的是( )
A.2x2-4x2=-2 B.3x+x=3x2
C.3x·x=3x2 D.4x6÷2x2=2x3
6.如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3)、B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为( )
A.(2,1)
B.(2,0)
C.(3,3)
D.(3,1)
7.如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其主视图是( )
8.下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况,根据图中信息,下列说法错误的是( )
A.4:00气温最低 B.6:00气温为24℃
C.14:00气温最高 D.气温是30℃的为16:00
9.在反比例函数图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),x1<0<y1,y1<y2,则m的取值范围是( )
A.m> B.m< C.m≥ D.m≤
10.如图,△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(共6小题,每题3分,共18分)
11.计算:-10+(+6)=_________
12.中国的领水面积约为370 000 km2,将数370 000用科学记数法表示为_________
13.一组数据2、3、6、8、11的平均数是_________
14.如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省______元。
15.定义运算“*”,规定x*y=ax2+by,其中a、b为常数,且1*2=5,2*1=6,则2*3=_________。
16.如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是_________。
三、解答题(共8小题,共72分)
17.(8分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4)
(1)求这个一次函数的解析式
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集
18.(8分)如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF
求证:(1) △ABC≌△DEF
(2) AB∥DE
19.(8分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4
(1) 随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率
(2) 随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果:
① 两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率
② 第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率
20.(8分),如图,已知点A(-4,2)、B(-1,-2),□ABCD的对角线交于坐标原点O
(1) 请直接写出点C、D的坐标
(2) 写出从线段AB到线段CD的变换过程
(3) 直接写出□ABCD的面积
21.(本题8分)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB
(1) 求证:AT是⊙O的切线
(2) 连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC的值
22.(本题8分)已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8
(1) 如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K
① 求的值
② 设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值
(2) 若ABAC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长
23.(本题10分)如图,△ABC中,点E、P在边AB上,且AE=BP,过点E、P作BC的平行线,分别交AC于点F、Q.记△AEF的面积为S1,四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3
(1) 求证:EF+PQ=BC
(2) 若S1+S3=S2,求的值
(3) 若S3-S1=S2,直接写出的值
24.(本题12分)已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(-1,0),B两点,交y轴于点C
(1) 求抛物线的解析式
(2) 点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG,求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究)
(3) 如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长
2015年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题中均有四个备选答案,其中有且只有一个是正确的,请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.
1.(3分)(2015•武汉)在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是( )
A.
﹣3
B.
0
C.
5
D.
3
考点:
实数大小比较.菁优网版权所有
分析:
正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.
解答:
解:根据实数比较大小的方法,可得
﹣3<0<3<5,
所以在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是﹣3.
故选:A.
点评:
此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
2.(3分)(2015•武汉)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.
x≥﹣2
B.
x>﹣2
C.
x≥2
D.
x≤2
考点:
二次根式有意义的条件.菁优网版权所有
分析:
根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解.
解答:
解:根据题意得:x﹣2≥0,
解得x≥2.
故选:C.
点评:
本题考查了二次根式有意义的条件,知识点为:二次根式的被开方数是非负数.
3.(3分)(2015•武汉)把a2﹣2a分解因式,正确的是( )
A.
a(a﹣2)
B.
a(a+2)
C.
a(a2﹣2)
D.
a(2﹣a)
考点:
因式分解-提公因式法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式提取公因式得到结果,即可做出判断.
解答:
解:原式=a(a﹣2),
故选A.
点评:
此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.
4.(3分)(2015•武汉)一组数据3,8,12,17,40的中位数为( )
A.
3
B.
8
C.
12
D.
17
考点:
中位数.菁优网版权所有
分析:
首先把这组数据3,8,12,17,40从小到大排列,然后判断出中间的数是多少,即可判断出这组数据的中位数为多少.
解答:
解:把3,8,12,17,40从小到大排列,可得
3,8,12,17,40,
所以这组数据3,8,12,17,40的中位数为12.
故选:C.
点评:
此题主要考查了中位数的含义和求法的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5.(3分)(2015•武汉)下列计算正确的是( )
A.
2a2﹣4a2=﹣2
B.
3a+a=3a2
C.
3a•a=3a2
D.
4a6÷2a3=2a2
考点:
整式的除法;合并同类项;单项式乘单项式.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
A、原式合并同类项得到结果,即可做出判断;
B、原式合并同类项得到结果,即可做出判断;
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果,即可做出判断;
D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可做出判断.
解答:
解:A、原式=﹣2a2,错误;
B、原式=4a,错误;
C、原式=3a2,正确;
D、原式=2a3,错误.
故选C.
点评:
此题考查了整式的除法,合并同类项,以及单项式乘单项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
6.(3分)(2015•武汉)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为( )
A.
(2,1)
B.
(2,0)
C.
(3,3)
D.
(3,1)
考点:
位似变换;坐标与图形性质.菁优网版权所有
分析:
根据位似变换的性质可知,△ODC∽△OBA,相似比是
,根据已知数据可以求出点C的坐标.
解答:
解:由题意得,△ODC∽△OBA,相似比是,
∴=,又OB=6,AB=3,
∴OD=2,CD=1,
∴点C的坐标为:(2,1),
故选:A.
点评:
本题考查的是位似变换,掌握位似变换与相似的关系是解题的关键,注意位似比与相似比的关系的应用.
7.(3分)(2015•武汉)如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体.其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单组合体的三视图.菁优网版权所有
分析:
根据主视图是从正面看得到的视图,可得答案.
解答:
解:从正面看下面是一个比较长的矩形,上面是一个比较宽的矩形.
故选:B.
点评:
本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是正视图,注意圆柱的主视图是矩形.
8.(3分)(2015•武汉)下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下列说法错误的是( )
A.
4:00气温最低
B.
6:00气温为24℃
C.
14:00气温最高
D.
气温是30℃的时刻为16:00
考点:
折线统计图.菁优网版权所有
分析:
根据观察函数图象的横坐标,可得时间,根据观察函数图象的纵坐标,可得气温.
解答:
解:A、由横坐标看出4:00气温最低是24℃,故A正确;
B、由纵坐标看出6:00气温为24℃,故B正确;
C、由横坐标看出14:00气温最高31℃;
D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12:00,16:00,故D错误;
故选:D.
点评:
本题考查了折线统计图,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.折线统计图表示的是事物的变化情况,如气温变化图.
9.(3分)(2015•武汉)在反比例函数y=图象上有两点A(x1,y1),B (x2,y2),x1<0<x2,y1<y2,则m的取值范围是( )
A.
m>
B.
m<
C.
m≥
D.
m≤
考点:
反比例函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有
分析:
首先根据当x1<0<x2时,有y1<y2则判断函数图象所在象限,再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围.
解答:
解:∵x1<0<x2时,y1<y2,
∴反比例函数图象在第一,三象限,
∴1﹣3m>0,
解得:m<.
故选B.
点评:
本题主要考查反比例函数的性质,关键是根据题意判断出图象所在象限.
10.(3分)(2015•武汉)如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是( )
A.
2﹣
B.
+1
C.
D.
﹣1
考点:
旋转的性质;四点共圆;线段的性质:两点之间线段最短;等边三角形的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
连接AD、DG、BO、OM,如图,易证△DAG∽△DCF,则有∠DAG=∠DCF,从而可得A、D、C、M四点共圆,根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM,即BM≥BO﹣OM,当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,只需求出BO、OM的值,就可解决问题.
解答:
解:连接AD、DG、BO、OM,如图.
∵△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,
∴AD⊥BC,GD⊥EF,DA=DG,DC=DF,
∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC,=,
∴△DAG∽△DCF,
∴∠DAG=∠DCF.
∴A、D、C、M四点共圆.
根据两点之间线段最短可得:BO≤BM+OM,即BM≥BO﹣OM,
当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,
此时,BO===,OM=AC=1,
则BM=BO﹣OM=﹣1.
故选D.
点评:
本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识,求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
11.(3分)(2015•武汉)计算:﹣10+(+6)= ﹣4 .
考点:
有理数的加法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果.
解答:
解:原式=﹣(10﹣6)=﹣4.
故答案为:﹣4.
点评:
此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
12.(3分)(2015•武汉)中国的领水面积约为370 000km2,将数370 000用科学记数法表示为 3.7×105 .
考点:
科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.确定a×10n(1≤|a|<10,n为整数)中n的值,由于370 000有6位,所以可以确定n=6﹣1=5.
解答:
解:370 000=3.7×105,
故答案为:3.7×105.
点评:
本题主要考查了科学计数法:熟记规律:(1)当|a|≥1时,n的值为a的整数位数减1;(2)当|a|<1时,n的值是第一个不是0的数字前0的个数,包括整数位上的0是解题的关键.
13.(3分)(2015•武汉)一组数据2,3,6,8,11的平均数是 6 .
考点:
算术平均数.菁优网版权所有
分析:
首先求出2,3,6,8,11的和是多少;然后用2,3,6,8,11的和除以5,求出一组数据2,3,6,8,11的平均数是多少即可.
解答:
解:(2+3+6+8+11)÷5
=30÷5
=6
所以一组数据2,3,6,8,11的平均数是6.
故答案为:6.
点评:
此题主要考查了算术平均数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:对于n个数x1,x2,…,xn,则=(x1+x2+…+xn)就叫做这n个数的算术平均数.
14.(3分)(2015•武汉)如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元.
考点:
一次函数的应用.菁优网版权所有
分析:
根据函数图象,分别求出线段OA和射线AB的函数解析式,即可解答.
解答:
解:由线段OA的图象可知,当0<x<2时,y=10x,
1千克苹果的价钱为:y=10,
设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),
把(2,20),(4,36)代入得:,
解得:,
∴y=8x+4,
当x=3时,y=8×3+4=28.
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时,所花钱为:10×3=30(元),
30﹣28=2(元).
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元.
点评:
本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是分别求出线段OA和射线AB的函数解析式.
15.(3分)(2015•武汉)定义运算“*”,规定x*y=ax2+by,其中a、b为常数,且1*2=5,2*1=6,则2*3= 10 .
考点:
解二元一次方程组.菁优网版权所有
专题:
新定义.
分析:
已知等式利用新定义化简,求出a与b的值,即可求出所求式子的值.
解答:
解:根据题中的新定义化简已知等式得:,
解得:a=1,b=2,
则2*3=4a+3b=4+6=10,
故答案为:10.
点评:
此题考查了解二元一次方程组,弄清题中的新定义是解本题的关键.
16.(3分)(2015•武汉)如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 .
考点:
轴对称-最短路线问题.菁优网版权所有
分析:
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
解答:
解:作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,
连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
根据轴对称的定义可知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,
∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,
∴∠N′OM′=90°,
∴在Rt△M′ON′中,
M′N′==.
故答案为.
点评:
本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相等的线段,得到等边三角形是解题的关键.
三、解答题(共8小题,共72分)下列各题解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.
17.(8分)(2015•武汉)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
考点:
待定系数法求一次函数解析式;一次函数与一元一次不等式.菁优网版权所有
分析:
(1)把x=1,y=4代入y=kx+3,求出k的值是多少,即可求出这个一次函数的解析式.
(2)首先把(1)中求出的k的值代入kx+3≤6,然后根据一元一次不等式的解法,求出关于x的不等式kx+3≤6的解集即可.
解答:
解:(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),
∴4=k+3,
∴k=1,
∴这个一次函数的解析式是:y=x+3.
(2)∵k=1,
∴x+3≤6,
∴x≤3,
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是:x≤3.
点评:
(1)此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:①先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;③解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.
(2)此题还考查了一元一次不等式的解法,要熟练掌握,基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
18.(8分)(2015•武汉)如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)AB∥DE.
考点:
全等三角形的判定与性质;平行线的判定.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
(1)由SAS容易证明△ABC≌△DEF;
(2)由△ABC≌△DEF,得出对应角相等∠B=∠DEF,即可得出结论.
解答:
证明:(1)∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,
∴∠ACB=∠DFE=90°,
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS);
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定;熟练掌握全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
19.(8分)(2015•武汉)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4.
(1)随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率;
(2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果:
①两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率;
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率.
考点:
列表法与树状图法;概率公式.菁优网版权所有
分析:
(1)由一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)①首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的情况,再利用概率公式求解即可求得答案;
②由树状图即可求得第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
解答:
解:(1)∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4,
∴随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为:;
(2)画树状图得:
则共有16种等可能的结果;
①∵两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的有2种情况,
∴两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率为:=;
②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况,
∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为:.
点评:
此题考查了树状图法与列表法求概率的知识.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
20.(8分)(2015•武汉)如图,已知点A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C、D的坐标;
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程;
(3)直接写出平行四边形ABCD的面积.
考点:
平行四边形的性质;坐标与图形性质;平移的性质.菁优网版权所有
分析:
(1)利用中心对称图形的性质得出C,D两点坐标;
(2)利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可;
(3)利用SABCD的可以转化为边长为;5和4的矩形面积,进而求出即可.
解答:
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD关于O中心对称,
∵A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),
∴C(4,﹣2),D(1,2);
(2)线段AB到线段CD的变换过程是:绕点O旋转180°;
(3)由(1)得:A到y轴距离为:4,D到y轴距离为:1,
A到x轴距离为:2,B到x轴距离为:2,
∴SABCD的可以转化为边长为;5和4的矩形面积,
∴SABCD=5×4=20.
点评:
此题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称图形的性质,根据题意得出SABCD的可以转化为矩形面积是解题关键.
21.(8分)(2015•武汉)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求证:AT是⊙O的切线;
(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC.
考点:
切线的判定;解直角三角形.菁优网版权所有
分析:
(1)根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°,得出TA⊥AB,从而证得AT是⊙O的切线;
(2)作CD⊥AT于D,设OA=x,则AT=2x,根据勾股定理得出OT=x,TC=(﹣1)x,由CD⊥AT,TA⊥AB得出CD∥AB,根据平行线分线段成比例定理得出==,即==,从而求得CD=(1﹣)x,AD=2x﹣2(1﹣)x=x,然后解正切函数即可求得.
解答:
解:(1)∵∠ABT=45°,AT=AB.
∴∠TAB=90°,
∴TA⊥AB,
∴AT是⊙O的切线;
(2)作CD⊥AT于D,
∵TA⊥AB,TA=AB=2OA,
设OA=x,则AT=2x,
∴OT=x,
∴TC=(﹣1)x,
∵CD⊥AT,TA⊥AB
∴CD∥AB,
∴==,即==,
∴CD=(1﹣)x,TD=2(1﹣)x,
∴AD=2x﹣2(1﹣)x=x,
∴tan∠TAC===.
点评:
本题考查了切线的判定,勾股定理的应用,平行线的判定和性质,解直角三角形等,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.
22.(10分)(2015•武汉)已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8.
(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K.
①求的值;
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值;
(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.
考点:
相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;矩形的性质;正方形的性质.菁优网版权所有
分析:
(1)①根据EF∥BC,可得,所以,据此求出的值是多少即可.
②首先根据EH=x,求出AK=8﹣x,再根据=,求出EF的值;然后根据矩形的面积公式,求出S与x的函数关系式,利用配方法,求出S的最大值是多少即可.
(2)根据题意,设正方形的边长为a,分两种情况:①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时;②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时;分类讨论,求出正方形PQMN的边长各是多少即可.
解答:
解:(1)①∵EF∥BC,
∴,
∴=,
即的值是.
②∵EH=x,
∴KD=EH=x,AK=8﹣x,
∵=,
∴EF=,
∴S=EH•EF=x(8﹣x)=﹣+24,
∴当x=4时,S的最大值是24.
(2)设正方形的边长为a,
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时,
,
解得a=.
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=12÷2=6,
∴AB=AC=,
∴AB或AC边上的高等于:
AD•BC÷AB
=8×12÷10
=
∴,
解得a=.
综上,可得
正方形PQMN的边长是或.
点评:
(1)此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.
(2)此题还考查了二次函数的最值的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值.
(3)此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用,以及勾股定理的应用,要熟练掌握.
23.(10分)(2015•武汉)如图,△ABC中,点E、P在边AB上,且AE=BP,过点E、P作BC的平行线,分别交AC于点F、Q,记△AEF的面积为S1,四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3.
(1)求证:EF+PQ=BC;
(2)若S1+S3=S2,求的值;
(3)若S3+S1=S2,直接写出的值.
考点:
相似形综合题.菁优网版权所有
分析:
(1)由平行线得出比例式,,证出AP=BE,得出=1,即可得出EF+PQ=BC;
(2)过点A作AH⊥BC于H,分别交PQ于M、N,设EF=a,PQ=b,AM=h,则BC=a+b,由平行线得出△AEF∽△APQ,得出=,得出AN=,MN=(﹣1)h,
由三角形的面积公式得出S1=ah,S2=(a+b)(﹣1)h,S3=(b+a+b)h,得出ah+(a+b+b)h=(a+b)(﹣1)h,求出b=3a,即可得出结果;(3)由题意得出(a+b+b)h﹣ah=(a+b)(﹣1)h,得出b=(1+)a,即可得出结果.
解答:
(1)证明:∵EF∥BC,PQ∥BC,
∴,,
∵AE=BP,
∴AP=BE,
∴==1,
∴=1,
∴EF+PQ=BC;
(2)解:过点A作AH⊥BC于H,分别交PQ于M、N,如图所示:
设EF=a,PQ=b,AM=h,
则BC=a+b,
∵EF∥PQ,
∴△AEF∽△APQ,
∴=,
∴AN=,MN=(﹣1)h,
∴S1=ah,S2=(a+b)(﹣1)h,S3=(b+a+b)h,
∵S1+S3=S2,
∴ah+(a+b+b)h=(a+b)(﹣1)h,
解得:b=3a,
∴=3,
∴=2;
(3)解:∵S3﹣S1=S2,
∴(a+b+b)h﹣ah=(a+b)(﹣1)h,
解得:b=(1±)a(负值舍去),
∴b=(1+)a,
∴=1+,
∴=.
点评:
本题是相似形综合题目,考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及解方程等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(2)(3)中,需要通过作辅助线证明三角形相似和解方程才能得出结果.
24.(12分)(2015•武汉)已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG.求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究).
(3)如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长.
考点:
二次函数综合题.菁优网版权所有
分析:
(1)将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值,则可得抛物线解析式;
(2)过点C作CH⊥EF于点H,易证△EHC∽△FGC,再根据相似三角形的性质可得n的值;
(3)首先表示出点P的坐标,再根据△OPM∽△QPB,然后由对应边的比值相等得出PQ和BQ的长,从而可得△PBQ的周长.
解答:
解:(1)把A(﹣1,0)代入
得c=﹣,
∴抛物线解析式为
(2)如图1,过点C作CH⊥EF于点H,
∵∠CEF=∠CFG,FG⊥y轴于点G
∴△EHC∽△FGC
∵E(m,n)
∴F(m,)
又∵C(0,)
∴EH=n+,CH=﹣m,FG=﹣m,CG=m2
又∵,
则
∴n+=2
∴n=(﹣2<m<0)
(3)由题意可知P(t,0),M(t,)
∵PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,
∴△OPM∽△QPB.
∴.
其中OP=t,PM=,PB=1﹣t,
∴PQ=.
BQ=
∴PQ+BQ+PB=.
∴△PBQ的周长为2.
点评:
本题考查了二次函数的综合应用,同时涉及了相似三角形的判定与性质,具有一定的综合性与难度,解题时要注意数形结合思想与方程思想的运用.