岳阳市2016年中考数学卷 19页

‎2016年湖南省岳阳市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．下列各数中为无理数的是（　　）‎ A．﹣1 B．3.14 C．π D．0‎ ‎2．下列运算结果正确的是（　　）‎ A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1‎ ‎3．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4‎ ‎4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下：‎ ‎ 年龄（岁）‎ ‎ 12‎ ‎ 11‎ ‎ 10‎ ‎ 9‎ ‎ 人数 ‎ 4‎ ‎ 10‎ ‎ 6‎ ‎ 2‎ 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（　　）‎ A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11‎ ‎5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（　　）‎ A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 ‎6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）‎ A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm ‎7．下列说法错误的是（　　）‎ A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．菱形的对角线相等 D．平行四边形是中心对称图形 ‎8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　　　　　　．‎ ‎10．因式分解：6x2﹣3x=　　　　　　．‎ ‎11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　　　　　　cm．‎ ‎12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为　　　　　　元．‎ ‎13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　　　　　　度．‎ ‎14．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米．‎ ‎15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　　　　　　．‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）‎ ‎17．计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．‎ ‎18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．‎ ‎19．已知不等式组 ‎（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；‎ ‎（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．‎ ‎20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．‎ ‎21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：‎ ‎ AQI指数 ‎ 质量等级 ‎ 天数（天）‎ ‎ 0﹣50‎ ‎ 优 m ‎ 51﹣100‎ ‎ 良 ‎ 44‎ ‎ 101﹣150‎ ‎ 轻度污染 n ‎ 151﹣200‎ ‎ 中度污染 ‎ 4‎ ‎ 201﹣300‎ ‎ 重度污染 ‎ 2‎ ‎ 300以上 ‎ 严重污染 ‎ 2‎ ‎（1 ）统计表中m=　　　　　　，n=　　　　　　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　　　　　　%；‎ ‎（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？‎ ‎（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．‎ ‎22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．‎ ‎23．数学活动﹣旋转变换 ‎（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．‎ ‎（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；‎ ‎（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）‎ ‎24．如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；‎ ‎（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；‎ ‎（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．下列各数中为无理数的是（　　）‎ A．﹣1 B．3.14 C．π D．0‎ ‎【考点】无理数．菁优网版权所有 ‎【分析】π是圆周率，是无限不循环小数，所以π是无理数．‎ ‎【解答】解：∵π是无限不循环小数，‎ ‎∴π是无理数．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．下列运算结果正确的是（　　）‎ A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有 ‎【分析】利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项．‎ ‎【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；‎ B、（a2）3=a6，正确，符合题意；‎ C、a2•a3=a5，故错误；‎ D、3a﹣2a=a，故错误，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．菁优网版权所有 ‎【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x﹣4≥0，解该不等式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵x﹣4≥0，‎ ‎∴x≥4．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下：‎ ‎ 年龄（岁）‎ ‎ 12‎ ‎ 11‎ ‎ 10‎ ‎ 9‎ ‎ 人数 ‎ 4‎ ‎ 10‎ ‎ 6‎ ‎ 2‎ 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（　　）‎ A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11‎ ‎【考点】众数；中位数．菁优网版权所有 ‎【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．‎ ‎【解答】解：年龄是11岁的人数最多，有10个人，则众数是11；‎ 把这些数从小到大排列，中位数是第11，12个数的平均数，‎ 则中位数是=11；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（　　）‎ A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 ‎【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有 ‎【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．‎ ‎【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，‎ ‎∴该几何体是一个柱体，‎ 又∵俯视图是一个圆，‎ ‎∴该几何体是一个圆柱．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）‎ A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm ‎【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有 ‎【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．‎ ‎【解答】解：A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；‎ B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；‎ C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；‎ D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．下列说法错误的是（　　）‎ A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．菱形的对角线相等 D．平行四边形是中心对称图形 ‎【考点】中心对称图形；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．‎ B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．‎ C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．‎ D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方形，据此判断即可．‎ ‎【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，‎ ‎∴选项A正确；‎ ‎∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，‎ ‎∴选项B正确；‎ ‎∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，‎ ‎∴选项C不正确；‎ ‎∵平行四边形是中心对称图形，‎ ‎∴选项D正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】分段函数．菁优网版权所有 ‎【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，‎ ‎【解答】解：当x+3≥﹣x+1，‎ 即：x≥﹣1时，y=x+3，‎ ‎∴当x=﹣1时，ymin=2，‎ 当x+3＜﹣x+1，‎ 即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，‎ ‎∵x＜﹣1，‎ ‎∴﹣x＞1，‎ ‎∴﹣x+1＞2，‎ ‎∴y＞2，‎ ‎∴ymin=2，‎ 故选B ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　2　．‎ ‎【考点】相反数；数轴．菁优网版权所有 ‎【分析】根据相反数的定义，即可解答．‎ ‎【解答】解：数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎10．因式分解：6x2﹣3x=　3x（2x﹣1）　．‎ ‎【考点】因式分解-提公因式法．菁优网版权所有 ‎【分析】根据提公因式法因式分解的步骤解答即可．‎ ‎【解答】解：6x2﹣3x=3x（2x﹣1），‎ 故答案为：3x（2x﹣1）．‎ ‎　‎ ‎11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　4π　cm．‎ ‎【考点】弧长的计算．菁优网版权所有 ‎【分析】直接利用弧长公式求出即可．‎ ‎【解答】解：半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为： =4π（cm）．‎ 故答案为：4π．‎ ‎　‎ ‎12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为　1.24×109　元．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：124000万=124000 0000=1.24×109，‎ 故答案为：1.24×109．‎ ‎　‎ ‎13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　70　度．‎ ‎【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；‎ 又∵∠BCD=110°，‎ ‎∴∠BAD=70°．‎ 故答案为：70．‎ ‎　‎ ‎14．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　100　米．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】根据坡比的定义得到tan∠A=，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得tan∠A==，‎ 所以∠A=30°，‎ 所以BC=AB=×200=100（m）．‎ 故答案为100．‎ ‎　‎ ‎15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　1＜x＜4　．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0，‎ ‎∴不等式＜kx+b的解集为1＜x＜4，‎ 故答案为：1＜x＜4．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为　　．‎ ‎【考点】规律型：点的坐标．菁优网版权所有 ‎【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2016的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．‎ ‎【解答】解：由规律可得，2016÷4=504，‎ ‎∴点P2016的在第四象限的角平分线上，‎ ‎∵点P4（1，﹣1），点P8（2，﹣2），点P12（3，﹣3），‎ ‎∴点P2016，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）‎ ‎17．计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 ‎【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=3﹣2+2﹣1‎ ‎=2．‎ ‎　‎ ‎18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．‎ ‎【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B=∠C=90°，‎ ‎∵EF⊥DF，‎ ‎∴∠EFD=90°，‎ ‎∴∠EFB+∠CFD=90°，‎ ‎∵∠EFB+∠BEF=90°，‎ ‎∴∠BEF=∠CFD，‎ 在△BEF和△CFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BEF≌△CFD（ASA），‎ ‎∴BF=CD．‎ ‎　‎ ‎19．已知不等式组 ‎（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；‎ ‎（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）首先分别解不等式①②，然后求得不等式组的解集，继而求得它的所有整数解；‎ ‎（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由①得：x＞﹣2，‎ 由②得：x≤2，‎ ‎∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，‎ ‎∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况，‎ ‎∴积为正数的概率为： =．‎ ‎　‎ ‎20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．‎ ‎【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】设学生步行的平均速度是每小时x千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．‎ ‎【解答】解：设学生步行的平均速度是每小时x千米．‎ 服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，‎ 根据题意：﹣=3.6，‎ 解得：x=3，‎ 经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．‎ 答：学生步行的平均速度是每小时3千米．‎ ‎　‎ ‎21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：‎ ‎ AQI指数 ‎ 质量等级 ‎ 天数（天）‎ ‎ 0﹣50‎ ‎ 优 m ‎ 51﹣100‎ ‎ 良 ‎ 44‎ ‎ 101﹣150‎ ‎ 轻度污染 n ‎ 151﹣200‎ ‎ 中度污染 ‎ 4‎ ‎ 201﹣300‎ ‎ 重度污染 ‎ 2‎ ‎ 300以上 ‎ 严重污染 ‎ 2‎ ‎（1 ）统计表中m=　20　，n=　8　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　55　%；‎ ‎（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？‎ ‎（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由A占25%，即可求得m的值，继而求得n的值，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比；‎ ‎（2）首先由（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案；‎ ‎（3）提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等．‎ ‎【解答】解：（1）∵m=80×25%=20，n=80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2=8，‎ ‎∴空气质量等级为“良”的天数占：×100%=55%．‎ 故答案为：20，8，55；‎ ‎（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292（天），‎ 答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天；‎ 补全统计图：‎ ‎（3）建议不要燃放烟花爆竹．‎ ‎　‎ ‎22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．‎ ‎【考点】根的判别式；一元二次方程的解．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．‎ ‎（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．‎ ‎∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，‎ ‎∴方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）∵x=0是此方程的一个根，‎ ‎∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，‎ ‎∴m=0或m=﹣1，‎ 把m=0或m=﹣1代入（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，‎ 可得：（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=5，或（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=3﹣3+5=5．‎ ‎　‎ ‎23．数学活动﹣旋转变换 ‎（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．‎ ‎（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；‎ ‎（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）‎ ‎【考点】圆的综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可．‎ ‎（2）（Ⅰ）结论：直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在RT△ABB′中，利用勾股定理计算即可．‎ ‎（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题．在△CBB′中求出BB′，再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可．‎ ‎【解答】解；（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，‎ ‎∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B=65°，‎ ‎∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．‎ ‎（2）（Ⅰ）结论：直线BB′、是⊙A′的切线．‎ 理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B=60°，‎ ‎∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．‎ ‎∴AB′⊥BB′，‎ ‎∴直线BB′、是⊙A′的切线．‎ ‎（Ⅱ）∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，‎ ‎∴A′B==．‎ ‎（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．‎ 理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B=，‎ ‎∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．‎ ‎∴AB′⊥BB′，‎ ‎∴直线BB′、是⊙A′的切线．‎ 在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，‎ ‎∴BB′=2•nsinβ，‎ 在RT△A′BB′中，A′B==．‎ ‎　‎ ‎24．如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；‎ ‎（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；‎ ‎（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式；‎ ‎（2）由于M在抛物线F1上，所以可设M（a，﹣a2﹣a+4），然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC，过点M作MD⊥x轴于点D，则S四边形MAOC的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和．‎ ‎（3）由于没有说明点P的具体位置，所以需要将点P的位置进行分类讨论，当点P在A′的右边时，此情况是不存在；当点P在A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，则分为以下两种情况进行讨论：①=；②=．‎ ‎【解答】解：（1）令y=0代入y=x+4，‎ ‎∴x=﹣3，‎ A（﹣3，0），‎ 令x=0，代入y=x+4，‎ ‎∴y=4，‎ ‎∴C（0，4），‎ 设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），‎ 把C（0，4）代入上式得，a=﹣，‎ ‎∴y=﹣x2﹣x+4，‎ ‎（2）如图①，设点M（a，﹣a2﹣a+4）‎ 其中﹣3＜a＜0‎ ‎∵B（1，0），C（0，4），‎ ‎∴OB=1，OC=4‎ ‎∴S△BOC=OB•OC=2，‎ 过点M作MD⊥x轴于点D，‎ ‎∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，‎ ‎∴S四边形MAOC=AD•MD+（MD+OC）•OD ‎=AD•MD+OD•MD+OD•OC ‎=+‎ ‎=+‎ ‎=×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a）‎ ‎=﹣2a2﹣6a+6‎ ‎∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC ‎=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2‎ ‎=﹣2a2﹣6a+4‎ ‎=﹣2（a+）2+‎ ‎∴当a=﹣时，‎ S有最大值，最大值为 此时，M（﹣，5）；‎ ‎（3）如图②，由题意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0）‎ ‎∴AB′=2‎ 设直线A′C的解析式为：y=kx+b，‎ 把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，‎ 得：，‎ ‎∴‎ ‎∴y=﹣x+4，‎ 令x=代入y=﹣x+4，‎ ‎∴y=2‎ ‎∴‎ 由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=‎ 设P（m，0）‎ 当m＜3时，‎ 此时点P在A′的左边，‎ ‎∴∠DA′P=∠CAB′，‎ 当=时，△DA′P∽△CAB′，‎ 此时， =（3﹣m），‎ 解得：m=2，‎ ‎∴P（2，0）‎ 当=时，△DA′P∽△B′AC，‎ 此时， =（3﹣m）‎ m=﹣，‎ ‎∴P（﹣，0）‎ 当m＞3时，‎ 此时，点P在A′右边，‎ 由于∠CB′O≠∠DA′E，‎ ‎∴∠AB′C≠∠DA′P ‎∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，‎ 综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．‎ ‎　‎ ‎2016年6月29日