2020中考数学试题分项版解析汇编（第02期）专题5 41页

专题5.2 图形的相似 一、单选题 ‎1．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（　　）‎ A． ： B． 2：3 C． 4：9 D． 8：27‎ ‎【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷 ‎【答案】C ‎【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．‎ ‎【详解】∵两三角形的相似比是2：3，‎ ‎∴其面积之比是4：9，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.‎ ‎2．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（　　）‎ A． 32 B． 8 C． 4 D． 16‎ ‎【来源】贵州省铜仁市2018年中考数学试题 ‎【答案】C 点睛：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．‎ ‎3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）‎ 41‎ A． 五丈 B． 四丈五尺 C． 一丈 D． 五尺 ‎【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷 ‎【答案】B ‎【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．‎ ‎4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出，此题得解．‎ 详解：∵GE∥BD，GF∥AC，‎ ‎∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，‎ ‎∴，，‎ 41‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出是解题的关键．‎ ‎5．如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（　　）‎ A． 1：3 B． 3：1 C． 1：9 D． 9：1‎ ‎【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷 ‎【答案】C ‎【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键. ‎ ‎6．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（　　）‎ 41‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【来源】四川省达州市2018年中考数学试题 ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得 ‎,，由此即可解决问题．‎ 点睛：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．‎ ‎7．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（　　）‎ 41‎ A． 2 B． 1 C． 4 D． 2‎ ‎【来源】湖南省邵阳市2018年中考数学试卷 ‎【答案】A ‎【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．‎ ‎8．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）‎ A． 1 B． C． -1 D． +1‎ ‎【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】C ‎【解析】【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出，结合BD=AB﹣AD即可求出的值．‎ ‎【详解】∵DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∵S△ADE=S四边形BCED，S△ABC=S△ADE+S四边形BCED，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选C．‎ 41‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题 ‎【答案】A ‎【解析】分析：分两种情形：当A与点N、M重合时来确定b的最大与最小值即可.‎ 详解：如图1，当点A与点N重合时，CA⊥AB，‎ ‎∴MN是直线AB的一部分，‎ ‎∵N（3，1）‎ ‎∴OB=1，此时b=1；‎ 当点A与点M重合时，如图2，延长NM交y轴于点D，‎ 易证△MCN∽△BMD 41‎ ‎∴ ‎ ‎∵MN=3-=,DM=，CN=1‎ ‎∴BD= ‎ ‎∴OB=BD-OD=-1=,即b=-，‎ ‎∴b的取值范围是.‎ 故选A.‎ 点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键..‎ ‎10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ）‎ A． B． 2 C． D． 4‎ ‎【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷 ‎【答案】A ‎【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，‎ ‎∵∠BAD＝60°，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ 又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 41‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.‎ ‎11．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　）‎ A． 16 B． 18 C． 20 D． 24‎ ‎【来源】广西壮族自治区贵港市2018年中考数学试卷 ‎【答案】B ‎【解析】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值．‎ ‎【详解】∵EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∵AB=3AE，‎ ‎∴AE：AB=1：3，‎ ‎∴S△AEF：S△ABC=1：9，‎ 设S△AEF=x，‎ ‎∵S四边形BCFE=16，‎ 41‎ ‎∴，‎ 解得：x=2，‎ ‎∴S△ABC=18，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.‎ ‎12．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】广东省2018年中考数学试题 ‎【答案】C ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC是解题的关键． ‎ 二、填空题 ‎13．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．‎ 41‎ ‎【来源】四川省资阳市2018年中考数学试卷 ‎【答案】9‎ ‎【解析】【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得，据此建立关于x的方程，解之可得．‎ ‎【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．‎ ‎14．如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．‎ ‎【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷 41‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，证△ADG∽△ABC得，据此知EF=DG=（4﹣x），由EG=即可求得答案．‎ ‎【详解】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，‎ ‎【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理．‎ ‎15．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．‎ 41‎ ‎【来源】上海市2018年中考数学试卷 ‎【答案】‎ ‎【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，‎ ‎∵△ABC的面积是6，‎ ‎∴BC•AH=6，‎ ‎∴AH==3，‎ 设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，‎ ‎∵GF∥BC，‎ ‎∴△AGF∽△ABC，‎ ‎∴，即，解得x=，‎ 即正方形DEFG的边长为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.‎ ‎16．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）‎ 41‎ ‎【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】40‎ ‎【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．‎ ‎17．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：_____．‎ ‎【来源】湖南省邵阳市2018年中考数学试卷 ‎【答案】△ADF∽△ECF ‎【解析】【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．‎ ‎【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AD∥CE，‎ 41‎ ‎∴△ADF∽△ECF，‎ 故答案为：△ADF∽△ECF．‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键.‎ ‎18．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．‎ ‎【来源】北京市2018年中考数学试卷 ‎【答案】 ‎ 点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.‎ ‎19．如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是__________．‎ 41‎ ‎【来源】山东省菏泽市2018年中考数学试题 ‎【答案】（2，2） ‎ 详解：与是以点为位似中心的位似图形，，‎ ‎ ‎ ‎，若点的坐标是，‎ ‎ ‎ 过点作交于点E.‎ ‎ ‎ 点的坐标为：‎ 与的相似比为，‎ 点的坐标为：即点的坐标为：‎ 故答案为：‎ 点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键. ‎ 41‎ 三、解答题 ‎20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．‎ 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． ‎ ‎【来源】陕西省2018年中考数学试题 ‎【答案】河宽为17米．‎ ‎【解析】【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.‎ ‎21．已知正方形中与交于点，点在线段上，作直线交直线于,过作于,设直线交于.‎ 41‎ ‎（1）如图，当在线段上时，求证：；‎ ‎（2）如图2，当在线段上，连接,当时，求证：；‎ ‎（3）在图3，当在线段上，连接,当时，求证：.‎ ‎【来源】湖南省常德市2018年中考数学试卷 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【详解】（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，‎ ‎∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，‎ ‎∴∠OND+∠ODN=90°，‎ ‎∵∠ANH=∠OND，‎ ‎∴∠ANH+∠ODN=90°，‎ ‎∵DH⊥AE，‎ ‎∴∠DHM=90°，‎ ‎∴∠ANH+∠OAM=90°，‎ ‎∴∠ODN=∠OAM，‎ ‎∴△DON≌△AOM，‎ ‎∴OM=ON；‎ 41‎ ‎∵DN⊥AE，‎ ‎∴▱DENM是菱形，‎ ‎∴DE=EN，‎ ‎∴∠EDN=∠END，‎ ‎∵EN∥BD，‎ ‎∴∠END=∠BDN，‎ ‎∴∠EDN=∠BDN，‎ ‎∵∠BDC=45°，‎ ‎∴∠BDN=22.5°，‎ ‎∵∠AHD=90°，‎ ‎∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，‎ ‎∵∠ABM=45°，‎ ‎∴∠BAM=67.5°=∠AMB，‎ ‎∴BM=AB；‎ ‎（3）设CE=a（a＞0）‎ ‎∵EN⊥CD，‎ ‎∴∠CEN=90°，‎ ‎∵∠ACD=45°，‎ ‎∴∠CNE=45°=∠ACD，‎ ‎∴EN=CE=a，‎ ‎∴CN=a，‎ 41‎ ‎∴a=b（已舍去不符合题意的）‎ ‎∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，‎ ‎∴AN=AC﹣CN=b，‎ ‎∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2‎ ‎∴AN2=AC•CN．‎ ‎【点睛】本题是相似形综合题，涉及到的知识点有正方形的性质、平行四边形、菱形的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．‎ ‎22．如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.‎ 41‎ ‎（1）求证：BN平分∠ABE； ‎ ‎（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长； ‎ ‎（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．‎ ‎【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析. ‎ 详解：（1）∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∵M为BC的中点，‎ ‎∴AM⊥BC，‎ 在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，‎ 在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，‎ ‎∴∠MAB=∠EBC，‎ 又∵MB=MN，‎ ‎∴△MBN为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠MNB=∠MBN=45°，‎ ‎∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，‎ ‎∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；‎ 41‎ ‎（2）设BM=CM=MN=a，‎ ‎∵四边形DNBC是平行四边形，‎ ‎∴DN=BC=2a，‎ 在△ABN和△DBN中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABN≌△DBN（SAS），‎ ‎∴AN=DN=2a，‎ 在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，‎ 解得：a=±（负值舍去），‎ ‎∴BC=2a=；‎ 点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点． ‎ ‎23．在△ABC中，∠ABC=90°．‎ ‎（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；‎ ‎（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；‎ ‎（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．‎ 41‎ ‎【来源】湖北省武汉市2018年中考数学试卷 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. ‎ ‎【详解】（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，‎ ‎∴∠AMB=∠BNC=90°，‎ ‎∴∠BAM+∠ABM=90°，‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ABM+∠CBN=90°，‎ ‎∴∠BAM=∠CBN，‎ ‎∵∠AMB=∠NBC，‎ ‎∴△ABM∽△BCN；‎ ‎（2）如图，过点P作PF⊥AP交AC于F，‎ 在Rt△AFP中，tan∠PAC=，‎ 同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，‎ ‎∴，‎ 设AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b（a＞0，b＞0），‎ ‎∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，‎ 41‎ ‎∴△ABP∽△CQF，‎ ‎∴，∴CQ==2a，‎ ‎（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC=，‎ 如图，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，‎ ‎∵∠DEB=90°，‎ ‎∴CH∥AG∥DE，‎ ‎∴，‎ 同（1）的方法得，△ABG∽△BCH，‎ ‎∴=，‎ 设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，‎ ‎∵AB=AE，AG⊥BE，‎ ‎∴EG=BG=4m，‎ ‎∴GH=BG+BH=4m+3n，‎ 41‎ ‎∴，‎ ‎∴n=2m，‎ ‎∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，‎ 在Rt△CEH中，tan∠BEC=．‎ ‎【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，根据题意添加辅助线构造出图1中的相似三角形模型是解本题的关键．‎ ‎24．如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．‎ ‎（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；‎ ‎（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．‎ ‎①若OE=，OG=1，求的值；‎ ‎②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）‎ ‎【来源】湖南省邵阳市2018年中考数学试卷 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）①；②添加AC=BD.‎ ‎【解析】【分析】（1）连接AC，由四个中点可知OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，据此得出OE=GF、OE//GF，即可得证；‎ ‎（2）①由旋转性质知OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，据此可证△OGM∽△OEN得；‎ ‎②连接AC、BD，根据①知△OGM∽△OEN，若要GM=EN只需使△OGM≌△OEN，添加使AC=BD的条件均可以满足此条件．‎ ‎【详解】（1）如图1，连接AC，‎ 41‎ ‎（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，‎ ‎∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，‎ ‎∴，‎ ‎∴△OGM∽△OEN，‎ ‎∴；‎ ‎②添加AC=BD，‎ 如图2，连接AC、BD，‎ ‎∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，‎ ‎∴OG=EF=BD、OE=GF=BD，‎ ‎∵AC=BD，‎ 41‎ ‎【点睛】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是熟练掌握中位线定义及其定理、平行四边形的判定、旋转的性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识点．‎ ‎25．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．‎ ‎（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　 　°；‎ ‎（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．‎ ‎【来源】江苏省淮安市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）15°；（2）BE=．（3）AC=20．‎ ‎【解析】分析：（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；‎ ‎（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；‎ ‎（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：‎ 41‎ x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；‎ 详解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，‎ ‎∴2∠B+∠A=60°，‎ 解得，∠B=15°；‎ ‎（2）如图①中，‎ ‎（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．‎ 41‎ 则有：x（x+7）=122，‎ ‎∴x=9或﹣16（舍去），‎ ‎∴AF=7+9=16，‎ 在Rt△ACF中，AC=．‎ 点睛：本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题． ‎ ‎26．在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．‎ ‎（1）如图1，若EF∥BC，求证：‎ ‎（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；‎ ‎（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．‎ ‎【来源】湖北省黄石市2018年中考数学试卷 41‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ‎ 详解：（1）∵EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴==；‎ ‎（2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立，‎ 分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，‎ ‎∵FN⊥AB、CH⊥AB，‎ ‎∴FN∥CH，‎ ‎∴△AFN∽△ACH，‎ ‎∴，‎ 41‎ ‎∴==；‎ ‎（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，‎ 而==a，‎ ‎∴+a =a，‎ 解得：a=，‎ ‎∴=×=．‎ 点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．‎ ‎27．（1）（发现）如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点 41‎ B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F. ‎ ‎①若AB=6，AE=4，BD=2，则CF =________；‎ ‎②求证：△EBD∽△DCF.‎ ‎（2）（思考）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）（探索）如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF.设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为________（用含α的表达式表示） .‎ ‎【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）①4；②证明见解析；（2）存在；（3）1-cosα.‎ ‎【解析】分析：（1）①先求出BE的长度后发现BE=BD，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD；‎ ‎②证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角相似模型”，根据“AA”判定相似；‎ ‎（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而通过证明△BDM≅△CDN可得BD=CD；‎ 41‎ 详解：（1）①∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，‎ ‎∵AE=4，‎ ‎∴BE=2，则BE=BD，‎ ‎∴△BDE是等边三角形，‎ ‎∴∠BDE=60°，‎ 又∵∠EDF=60°，‎ ‎∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，则∠CDF =∠C=60°，‎ ‎∴△CDF是等边三角形，‎ ‎∴CF=CD=BC-BD=6-2=4；‎ ‎②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°‎ ‎∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，‎ ‎∴∠BED=∠CDF，‎ 又∵∠B=∠C，‎ ‎∴△EBD∽△DCF ‎ ‎（2）存在.如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，‎ 41‎ ‎（ 3 ）连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，‎ 则∠BGO=∠CHO=90°，‎ ‎∵AB=AC，O是BC的中点 ‎∴∠B=∠C，OB=OC，‎ ‎∴△OBG≅△OCH，‎ ‎∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°−α，‎ 则∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α，‎ ‎∵∠EOF=∠B=α，‎ 则∠GOH=2∠EOF=2α，‎ 由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH，‎ 则 C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，‎ 设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α,‎ ‎.‎ 点睛：本题考查了角平分线的定义，等边三角形的性质，全等三角形以及相似三角形的判定和性质等知识点．难度较大. ‎ ‎28．如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F 41‎ 分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．‎ ‎（1）如图②，当BC=4，DE=5，tan∠FMN=1时，求的值；‎ ‎（2）若tan∠FMN=，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；‎ ‎（3）连接CM，DN，CF，DF．试证明△FMC与△DNF全等；‎ ‎（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．‎ ‎【来源】山东省威海市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）；（2）可求线段AD的长；（3）证明见解析；（4）△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．‎ ‎（3）根据△ABC和△ADE都是直角三角形，M，N分别是AB，AE的中点，即可得到BM=CM，NA=ND，进而得出∠4=2∠1，∠5=2∠3，根据∠4=∠5，即可得到∠FMC=∠FND，再根据FM=DN，CM=NF，可得△FMC≌△DNF；‎ ‎（4）由BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，即可得到：‎ ‎△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．‎ 详解：（1）∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，‎ ‎∴MF，NF都是△ABE的中位线，‎ ‎∴MF=AE=AN，NF=AB=AM，‎ ‎∴四边形ANFM是平行四边形，‎ 又∵AB⊥AE，‎ ‎∴四边形ANFM是矩形，‎ 又∵tan∠FMN=1，‎ 41‎ ‎∴FN=FM，‎ ‎∴矩形ANFM是正方形，AB=AE，‎ ‎（2）可求线段AD的长．‎ 由（1）可得，四边形MANF为矩形，MF=AE，NF=AB，‎ ‎∵tan∠FMN=，即=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠1=∠3，∠C=∠D=90°，‎ ‎∴△ABC∽△EAD，‎ ‎∴==，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴AD=8；‎ ‎（3）∵BC⊥CD，DE⊥CD，‎ ‎∴△ABC和△ADE都是直角三角形，‎ 41‎ ‎（4）在（3）的条件下，BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，‎ ‎∴图中有：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．‎ 点睛：本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及矩形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是判定全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例得出有关结论．‎ ‎29．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：‎ 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．‎ 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．‎ 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　．‎ ‎（2）请参考以上解决思路，解决问题：‎ 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．‎ 41‎ ‎【来源】山东省东营市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）75；4；（2）CD=4．‎ 详解：（1）∵BD∥AC，‎ ‎∴∠ADB=∠OAC=75°．‎ ‎∵∠BOD=∠COA，‎ ‎∴△BOD∽△COA，‎ ‎∴．‎ 又∵AO=3，‎ ‎∴OD=AO=，‎ ‎∴AD=AO+OD=4．‎ ‎∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，‎ ‎∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，‎ ‎∴AB=AD=4．‎ ‎（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．‎ 41‎ ‎∵AC⊥AD，BE∥AD，‎ ‎∴∠DAC=∠BEA=90°．‎ ‎∵∠AOD=∠EOB，‎ ‎∴△AOD∽△EOB，‎ ‎∴．‎ ‎∵BO：OD=1：3，‎ ‎∴．‎ ‎∵AO=3，‎ ‎∴EO=，‎ ‎∴AE=4．‎ ‎∵∠ABC=∠ACB=75°，‎ ‎∴∠BAC=30°，AB=AC，‎ ‎∴AB=2BE．‎ 点睛：本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度． ‎ ‎30．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．‎ ‎（1）求证：AD2=DP•PC；‎ ‎（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；‎ 41‎ ‎（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若=，求的值．‎ ‎【来源】云南省昆明市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）四边形PMBN是菱形，理由见解析；（3）‎ ‎（3）由于，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，从而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得，，从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，从而可得．‎ 详解：（1）过点P作PG⊥AB于点G，‎ ‎∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形， ‎ ‎∴AD=PG，DP=AG，GB=PC ‎∵∠APB=90°，‎ ‎∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，‎ ‎∴∠APG=∠PBG，‎ ‎∴△APG∽△PBG，‎ ‎∴，‎ ‎∴PG2=AG•GB，‎ 即AD2=DP•PC；‎ ‎（2）∵DP∥AB，‎ 41‎ ‎∴∠DPA=∠PAM，‎ 由题意可知：∠DPA=∠APM，‎ ‎∴∠PAM=∠APM，‎ ‎∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，‎ 即∠ABP=∠MPB ‎∴AM=PM，PM=MB，‎ ‎∴PM=MB，‎ 又易证四边形PMBN是平行四边形，‎ ‎∴四边形PMBN是菱形；‎ 又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB=,‎ ‎∴ ‎ ‎∴，‎ ‎∴EF=AF-AE=AC-AC=AC， ∴.‎ 41‎ 点睛：本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．‎ 41‎