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- 2021-05-13 发布
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几何证明题分类汇编
一、证明两线段相等
图3
1.如图3,在梯形中,,,是上一点,,.
(1)求证:.
(2)若,求的长.
2、(8分)如图11,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD折叠,点C落在点C′的位置,BC′交AD于点G.
(1)求证:AG=C′G;
(2)如图12,再折叠一次,使点D与点A重合,的折痕EN,EN角AD于M,求EM的长.
2、类题演练
A
B
C
D
E
F
第20题图
3如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC=30º,EF⊥AB,垂足为F,连结DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
4如图,在△ABC中,点P是边AC上的一个动点,过点P作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:PE=PF;
(2)*当点P在边AC上运动时,四边形BCFE可能是菱形吗?说明理由;
A
B
C
D
M
N
E
F
P
(3)*若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且=.求此时∠A的大小.
二、证明两角相等、三角形相似及全等
A
O
D
B
H
E
C
1、(9分)AB是⊙O的直径,点E是半圆上一动点(点E与点A、B都不重合),点C是BE延长线上的一点,且CD⊥AB,垂足为D,CD与AE交于点H,点H与点A不重合。
(1)(5分)求证:△AHD∽△CBD
(2)(4分)连HB,若CD=AB=2,求HD+HO的值。
图9
2、(本题8分)如图9,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G。
(1)求证:△ABE≌△CBF;(4分)
(2)若∠ABE=50º,求∠EGC的大小。(4分)
3、(本题7分)如图8,△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90º,D在AB上.A
B
C
D
图8
O
(1)求证:△AOC≌△BOD;(4分)
(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.(3分)
2、类题演练
1、 (8分)如图,已知∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,CE与AB相交于F.
(1)求证:△CEB≌△ADC;
A
B
C
D
F
E
(2)若AD=9cm,DE=6cm,求BE及EF的长.
2、已知,在平行四边形ABCD中,EFGH分别是AB、BC、CD、DA上的点,且AE=CG,BF=DH,求证:≌
G
A
E
B
F
C
D
H
三、证明两直线平行
22.(10分)如图10-1,在平面直角坐标系中,点在轴的正半轴上, ⊙交轴于 两点,交轴于两点,且为的中点,交轴于点,若点的坐标为(-2,0),
(1)(3分)求点的坐标.
(2)(3分)连结,求证:∥
2、类题演练
1、(10分)如图,在□ABCD中,点E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF.
A
B
C
D
E
F
求证:(1)△ABE≌△CDF;(2)AE∥CF.
四、证明两直线互相垂直
18.(7分)如图7,在梯形ABCD中,AD∥BC, ,
A
D
B
C
图7
.
(1)(3分)求证:
(2)(4分)若,求梯形ABCD的面积
2、类题演练
1.已知:如图,在△中,是边上一点,⊙过三点,.
(1)求证:直线是⊙的切线;
(2)如果,⊙的半径为,求的长.
2、如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点.过点D作⊙O的切线交AC边于点E.
(第2题图)
(1)求证:DE⊥AC;
(2)若∠ABC=30°,求tan∠BCO的值.
3. 如图所示,矩形ABCD中,点E在CB的延长线上,使CE=AC,连结AE,点F是AE的中点,连结BF、DF,求证:BF⊥DF
第3题图
五、证明比例式或等积式
1、已知⊙O的直径AB、CD互相垂直,弦AE交CD于F,若⊙O的半径为R求证:AE·AF=2 R
2、类题演练
第1题图
1.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E是直线AB上两点.∠DCE=45°
(1)当CE⊥AB时,点D与点A重合,显然DE=AD+BE(不必证明)
(2)如图,当点D不与点A重合时,求证:DE=AD+BE
(3)当点D在BA的延长线上时,(2)中的结论是否成立?画出图形,说明理由.
2.(本小题满分10分)
如图,已知△ABC,∠ACB=90º,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45º,
(1)求证:△ACF∽△BEC(5分)
(2)设△ABC的面积为S,求证:AF·BE=2S(3)
3.如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于B,AC交⊙O于D.
①求证:AB2=AD·AC.
②当点D运动到半圆AB什么位置时,△ABC为等腰直角三角形,为什么?
A
B
C
D
O·
第3(2)题图
4、(本小题满分9分)
如图,为的直径,劣弧,连接并延长交于.
求证:(1)是的切线;
第4题图
O
A
E
D
B
C
(2).
5. 如图所示,⊙O中,弦AC、BD交于E,。
(1)求证:;
(2)延长EB到F,使EF=CF,试判断CF与⊙O的位置关系,并说明理由。
六、证明角的和、差、倍、分
21.(本题8分)如图10,AB是⊙O的直径,AB=10,
图10
DC切⊙O于点C,AD⊥DC,垂足为D,AD交⊙O于点E。
(1)求证:AC平分∠BAD;(4分)
(2)若sin∠BEC=,求DC的长。(4分)
2、类题演练
1、(广州2010)如图5,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC.
求证:∠A+∠C=180°
2、如图,在中,点在斜边上,以为直径的与相切于点
(1)求证:平分
(2)若
①求的值;②求图中阴影部分的面积.
3、如图,是的直径,点在的延长线上,直线与相切于点,弦于点,线段,连接.
(1)求证:;
第3题图
D
B
O
E
A
C
F
(2)若求的半径及的长.
七、证明线段的和、差、倍、分
22、(9分)AB是⊙O的直径,点E是半圆上一动点(点E与点A、B都不重合),点C是BE延长线上的一点,且CD⊥AB,垂足为D,CD与AE交于点H,点H与点A不重合。
(1)(5分)求证:△AHD∽△CBD
A
O
D
B
H
E
C
(2)(4分)连HB,若CD=AB=2,求HD+HO的值。
2、类题演练
1.(1)如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,CH⊥BD于点H,试证明CH=EF+EG;
(2) 若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC的延长线于点G,CH⊥BD于点H, 则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;
(3) 如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC, 连结CL,点E是CL上任一点, EF⊥BD于点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;
(4) 观察图1、图2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形, 使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段,并满足(1)或(2)的结论,写出相关题设的条件和结论.
2. 设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P,点Q在线段DE上,且AQ∥PC.
(1)证明:PC=2AQ.
(2)当点F为BC的中点时,试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系,并对你的结论加以证明.
八、其他
如图5,在梯形ABCD中,AB∥DC, DB平分∠ADC,过点A作AE∥BD,交CD的
延长线于点E,且∠C=2∠E.
(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形.
(2)若∠BDC=30°,AD=5,求CD的长.
2、类题演练
1.(肇庆2010)如图,四边形ABCD是平行四边形,AC、BD交于点O,∠1=∠2.
1
2
A
C
O
B
D
﹚
﹙
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠BOC=120°,AB=4cm,求四边形ABCD的面积.
图(2)
2..如图(2),是的直径,是圆上一点,=,连结过点作弦的平行线
(1)求证:是的切线;
(2)已知求弦BC的长.
3.(本题8分),如图,四边形是平行四边形,以为直径的经过点是上一点,且
(1)试判断与的位置关系,并说明理由;
(2)若的半径为,求的正弦值.
B
A
D
C
E
O
(第3题)