2020年中考数学真题试题（含解析）(新版)新人教版 21页

‎2019年中考数学真题试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D4个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 ‎1．（4.00分）9的平方根是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81‎ ‎2．（4.00分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108‎ ‎3．（4.00分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）‎ A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3‎ ‎4．（4.00分）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（4.00分）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　）‎ A．55° B．110° C．120° D．125°‎ ‎6．（4.00分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（　　）‎ A．32 B．8 C．4 D．16‎ ‎7．（4.00分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎8．（4.00分）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（　　）‎ A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm ‎9．（4.00分）如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1‎ 21‎ ‎）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）‎ A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1‎ ‎10．（4.00分）计算+++++……+的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．（4.00分）分式方程=4的解是x=　 　．‎ ‎12．（4.00分）因式分解：a3﹣ab2=　 　．‎ ‎13．（4.00分）一元一次不等式组的解集为　 　．‎ ‎14．（4.00分）如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=　 　°．‎ ‎15．（4.00分）小米的爸爸为了了解她的数学成绩情况，现从中随机抽取他的三次数学考试成绩，分别是87，93，90，则三次数学成绩的方差是　 　．‎ ‎16．（4.00分）定义新运算：a※b=a2+b，例如3※2=32+2=11，已知4※x=20，则x=　 　．‎ ‎17．（4.00分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB=　 　．‎ 21‎ ‎18．（4.00分）已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y=的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、简答题：（本大题共4个小题，第19题每小题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）‎ ‎19．（10.00分）（1）计算：﹣4cos60°﹣（π﹣3.14）0﹣（）﹣1‎ ‎（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=2．‎ ‎20．（10.00分）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．‎ ‎21．（10.00分）张老师为了了解班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查．他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）请计算出A类男生和C类女生的人数，并将条形统计图补充完整．‎ 21‎ ‎（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率．‎ ‎22．（10.00分）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C、D、B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度（结果精确到0.1米，≈1.732）‎ ‎　‎ 四、（本大题满分12分）‎ ‎23．（12.00分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．‎ ‎（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？‎ ‎（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．‎ ‎　‎ 五、（本大题满分12分）‎ ‎24．（12.00分）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：DF⊥AC；‎ ‎（2）求tan∠E的值．‎ ‎　‎ 21‎ 六、（本大题满分14分）‎ ‎25．（14.00分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．‎ ‎（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；‎ ‎（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？‎ ‎（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 21‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D4个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 ‎1．（4.00分）9的平方根是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81‎ ‎【分析】依据平方根的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：9的平方根是±3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（4.00分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：11700000=1.17×107．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（4.00分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）‎ A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3‎ ‎【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．‎ ‎【解答】解：x2﹣4x+3=0，‎ 分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，‎ 解得：x1=1，x2=3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（4.00分）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 21‎ ‎【分析】根据题意和题目中的数据可以求得点数为奇数的概率．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 点数为奇数的概率是：，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（4.00分）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　）‎ A．55° B．110° C．120° D．125°‎ ‎【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎【解答】解：根据圆周角定理，得 ‎∠ACB=（360°﹣∠AOB）=×250°=125°．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（4.00分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（　　）‎ A．32 B．8 C．4 D．16‎ ‎【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．‎ ‎【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，‎ ‎∴△ABC与△DEF的面积比为4，‎ ‎∵△ABC的面积为16，‎ ‎∴△DEF的面积为：16×=4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（4.00分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ 21‎ ‎【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．‎ ‎【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：‎ ‎180°•（n﹣2）=3×360°‎ 解得n=8．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（4.00分）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（　　）‎ A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm ‎【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．‎ ‎【解答】解：当直线c在a、b之间时，‎ ‎∵a、b、c是三条平行直线，‎ 而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，‎ ‎∴a与c的距离=4﹣1=3（cm）；‎ 当直线c不在a、b之间时，‎ ‎∵a、b、c是三条平行直线，‎ 而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，‎ ‎∴a与c的距离=4+1=5（cm），‎ 综上所述，a与c的距离为3cm或3cm．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（4.00分）如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）‎ 21‎ A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1‎ ‎【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，‎ ‎∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（4.00分）计算+++++……+的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用分数的性质将原式变形进而得出答案．‎ ‎【解答】解：原式=++++…+‎ ‎=1﹣+﹣+﹣+…+﹣‎ ‎=1﹣‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．（4.00分）分式方程=4的解是x=　﹣9　．‎ ‎【分析】‎ 21‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：3x﹣1=4x+8，‎ 解得：x=﹣9，‎ 经检验x=﹣9是分式方程的解，‎ 故答案为：﹣9‎ ‎　‎ ‎12．（4.00分）因式分解：a3﹣ab2=　a（a+b）（a﹣b）　．‎ ‎【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．‎ ‎【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．‎ ‎　‎ ‎13．（4.00分）一元一次不等式组的解集为　x＞﹣1　．‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x＞﹣1，‎ 由②得：x＞﹣2，‎ 所以不等式组的解集为：x＞﹣1．‎ 故答案为x＞﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．（4.00分）如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=　150　°．‎ ‎【分析】两直线平行，同旁内角互补，然后根据三角形内角和为180°即可解答．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 21‎ ‎∵m∥n，∠1=110°，‎ ‎∴∠4=70°，‎ ‎∵∠2=100°，‎ ‎∴∠5=80°，‎ ‎∴∠6=180°﹣∠4﹣∠5=30°，‎ ‎∴∠3=180°﹣∠6=150°，‎ 故答案为：150．‎ ‎　‎ ‎15．（4.00分）小米的爸爸为了了解她的数学成绩情况，现从中随机抽取他的三次数学考试成绩，分别是87，93，90，则三次数学成绩的方差是　6　．‎ ‎【分析】根据题目中的数据可以求得相应的平均数，从而可以求得相应的方差，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎∴=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．（4.00分）定义新运算：a※b=a2+b，例如3※2=32+2=11，已知4※x=20，则x=　4　．‎ ‎【分析】根据新运算的定义，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．‎ ‎【解答】解：∵4※x=42+x=20，‎ ‎∴x=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎17．（4.00分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB=　4　．‎ 21‎ ‎【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE、∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．‎ ‎【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，‎ ‎∴CE平分∠ACD，‎ ‎∴∠ACE=∠DCE．‎ ‎∵CD平分∠BCE，‎ ‎∴∠DCE=∠DCB．‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACE=∠ACB=30°，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∴AB===4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎18．（4.00分）已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y=的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为　（﹣1，﹣2）或（2，1）　．‎ ‎【分析】由三角形三边关系知|PA﹣PB|≥AB知直线AB与双曲线y=的交点即为所求点P，据此先求出直线AB解析式，继而联立反比例函数解析式求得点P的坐标．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 21‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ 将A（1，0）、B（0，﹣1）代入，得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x﹣1，‎ 直线AB与双曲线y=的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|=AB，即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值，‎ 由可得或，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（2，1），‎ 故答案为：（﹣1，﹣2）或（2，1）．‎ ‎　‎ 三、简答题：（本大题共4个小题，第19题每小题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）‎ ‎19．（10.00分）（1）计算：﹣4cos60°﹣（π﹣3.14）0﹣（）﹣1‎ ‎（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=2．‎ ‎【分析】（1）先计算立方根、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再分别计算乘法和加减运算可得；‎ ‎（2）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）原式=2﹣4×﹣1﹣2‎ ‎=2﹣2﹣1﹣2‎ ‎=﹣3；‎ 21‎ ‎（2）原式=（﹣）÷‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 当x=2时，原式==2．‎ ‎　‎ ‎20．（10.00分）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．‎ ‎【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；‎ ‎【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，‎ 在△ACE和△BDF中，，‎ ‎∴△ACE≌△BDF（SSS）‎ ‎∴∠A=∠B，‎ ‎∴AE∥BF；‎ ‎　‎ ‎21．（10.00分）张老师为了了解班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查．他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：‎ 21‎ ‎（1）请计算出A类男生和C类女生的人数，并将条形统计图补充完整．‎ ‎（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率．‎ ‎【分析】（1）由B类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数分别乘以A、C类别对应百分比求得其人数，据此结合条形图进一步得出答案；‎ ‎（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到所选两位同学恰好是一男一女同学的结果数，利用概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵被调查的总人数为（7+5）÷60%=20人，‎ ‎∴A类别人数为20×15%=3人、C类别人数为20×（1﹣15%﹣60%﹣10%）=3，‎ 则A类男生人数为3﹣1=2、C类女生人数为3﹣1=2，‎ 补全图形如下：‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，‎ 21‎ ‎∴所选两位同学恰好是一男一女同学的概率为．‎ ‎　‎ ‎22．（10.00分）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C、D、B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度（结果精确到0.1米，≈1.732）‎ ‎【分析】根据AB和∠ADB、AB和∠ACB可以求得DB、CB的长度，根据CD=CB﹣DB可以求出AB的长度，即可解题．‎ ‎【解答】解：在Rt△ADB中，DB==AB，‎ Rt△ACB中，CB==AB，‎ ‎∵CD=CB﹣DB，‎ ‎∴AB=≈23.7（米）‎ 答：电视塔AB的高度约23.7米．‎ ‎　‎ 四、（本大题满分12分）‎ ‎23．（12.00分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．‎ ‎（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？‎ ‎（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．‎ ‎【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10把甲种桌子钱数﹣5把乙种桌子钱数+多出5张桌子对应椅子的钱数=2000”列方程组求解可得；‎ ‎（2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌（40﹣a 21‎ ‎）张，购买的总费用为y，根据“总费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数”得出函数解析式，再由“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍”得出自变量a的取值范围，继而利用一次函数的性质求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；‎ ‎（2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为y，‎ 则y=400a+600（40﹣a）+2×40×100‎ ‎=﹣200a+32000，‎ ‎∵a≤3（40﹣a），‎ ‎∴a≤30，‎ ‎∵﹣200＜0，‎ ‎∴y随a的增大而减小，‎ ‎∴当a=30时，y取得最小值，最小值为26000元．‎ ‎　‎ 五、（本大题满分12分）‎ ‎24．（12.00分）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：DF⊥AC；‎ ‎（2）求tan∠E的值．‎ ‎【分析】（1）连接OC，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥‎ 21‎ AC，根据切线的性质可得结论；‎ ‎（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，连接OC，CD，‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线 ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DF为⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∴DF⊥AC；‎ ‎（2）解：如图，连接BG，‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BGC=90°，‎ ‎∵∠EFC=90°=∠BGC，‎ ‎∴EF∥BG，‎ ‎∴∠CBG=∠E，‎ Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，‎ ‎∴CD=4，‎ S△ABC=，‎ ‎6×4=5BG，‎ BG=，‎ 由勾股定理得：CG==，‎ ‎∴tan∠CBG=tan∠E===．‎ 21‎ ‎　‎ 六、（本大题满分14分）‎ ‎25．（14.00分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．‎ ‎（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；‎ ‎（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？‎ ‎（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）待定系数法求解可得；‎ ‎（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x﹣2，则Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得；‎ ‎（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得==‎ 21‎ ‎，再证△MBQ∽△BPQ得=，即=，解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），‎ 将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，‎ 解得：a=﹣，‎ 则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），‎ 设直线BD解析式为y=kx+b，‎ 将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线BD解析式为y=x﹣2，‎ ‎∵QM⊥x轴，P（m，0），‎ ‎∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），‎ 则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，‎ ‎∵F（0，）、D（0，﹣2），‎ ‎∴DF=，‎ ‎∵QM∥DF，‎ ‎∴当﹣m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，‎ 解得：m=﹣1（舍）或m=3，‎ 即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；‎ ‎（3）如图所示：‎ 21‎ ‎∵QM∥DF，‎ ‎∴∠ODB=∠QMB，‎ 分以下两种情况：‎ ‎①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，‎ 则===，‎ ‎∵∠MBQ=90°，‎ ‎∴∠MBP+∠PBQ=90°，‎ ‎∵∠MPB=∠BPQ=90°，‎ ‎∴∠MBP+∠BMP=90°，‎ ‎∴∠BMP=∠PBQ，‎ ‎∴△MBQ∽△BPQ，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：m1=3、m2=4，‎ 当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，‎ ‎∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；‎ ‎②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，‎ 此时m=﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；‎ 综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．‎ ‎　‎ 21‎