人教版本数学九下相似中考复习 31页

第27章：相似 一、基础知识 ‎(一).比例 ‎1.第四比例项、比例中项、比例线段；‎ ‎2.比例性质：‎ ‎（1）基本性质： ‎ ‎（2）合比定理：‎ ‎（3）等比定理：‎ ‎3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．‎ ‎4．平行线分线段成比例定理 ‎(二)相似 ‎1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.‎ ‎2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.‎ ‎3.相似三角形的判定 l ‎（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。‎ l ‎（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。‎ l ‎（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。‎ l ‎（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。‎ ‎4. 相似三角形的性质 l ‎（1）对应边的比相等，对应角相等.‎ l ‎（2）相似三角形的周长比等于相似比.‎ l ‎（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.‎ l ‎（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.‎ ‎5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.‎ 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。‎ ‎6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.‎ 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.‎ ‎7.相似三角形的应用:‎ ‎１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；‎ ‎２、利用三角形相似，求线段的长等 ‎3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。‎ ‎(三)位似:‎ 位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. ‎ 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二、经典例题 例1. 如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．‎ ‎ （1）填空：∠ABC=______，BC=_______．‎ ‎（2）判定△ABC与△DEF是否相似？‎ ‎[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.‎ ‎[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，‎ ‎∵∠ABC=∠DEF=135°，=‎ ‎【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．‎ 例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．‎ ‎[考点透视]本例主要是考查相似的判定 ‎[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或 点评：结合判定方法补充条件．‎ 例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为‎1米，继续往前走‎2米到达E处时，测得影子EF的长为‎2米，已知王华的身高是‎1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）‎ A．‎4.5米 B．‎6米 C．‎7.2米 D．‎‎8米 ‎[考点透视]本例主要是考查相似的应用 ‎[参考答案] B ‎【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．‎ 例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=‎120mm，高AD=‎80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？‎ ‎[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用 ‎[参考答案] ‎‎48mm ‎【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．‎ 例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．‎ ‎ （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．‎ ‎[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.‎ ‎[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．‎ 又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．‎ 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，‎ ‎∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，‎ ‎∴，∴y=．‎ 当α1β满足β- =90°，y=仍成立．‎ 此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，‎ ‎∴∠CAE=∠ADB．‎ 又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．‎ ‎【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．‎ 例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：‎3.5cm×‎3.5cm，放映的荧屏的规格为‎2m×‎2m，若放映机的光源距胶片‎20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？‎ 解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．‎ ‎[考点透视]本例主要是考查位似的性质.‎ ‎[参考答案] m ‎【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．‎ 三．适时训练 ‎（一）精心选一选 ‎1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（　　）（A）　（B）　（C）　（D）‎ ‎2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）‎ ‎（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD ‎ 题2 题4 题5‎ ‎3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（　　）‎ ‎（A）1条　　　（B）2条　　　（C）3条　　　（D）4条 ‎4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（　　）‎ ‎（A）2　　　（B）3　　　（C）4　　　（D）5‎ ‎5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（　　）‎ ‎（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰3‎ ‎6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：‎ ‎（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（　　）‎ ‎（A）3个　　　（B）2个　　　（C）1个　　　（D）0个 ‎ 题6 题7 题8‎ ‎7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（　　）‎ ‎（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB︰FC＝HB︰EC ‎8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（　　）‎ ‎（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长 ‎（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积 ‎（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC ‎9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（　　）‎ ‎（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25‎ ‎ 题9 题10 题11‎ ‎10．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（　　）．‎ ‎（A）5︰12　　（B）9︰5　　（C）12︰5　　（D）3︰2‎ ‎11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（　　）‎ ‎（A）2︰1　　（B）3︰2　　（C）3︰1　　（D）5︰2‎ ‎12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝‎9 cm，宽AB＝‎3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（　　）‎ ‎（A）4 cm、 cm　（B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm 题12‎ ‎（二）细心填一填 ‎13．已知线段a＝‎6 cm，b＝‎2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与 a－b的比例中项是_____cm．‎ ‎14．若＝＝＝－m2，则m＝______．‎ ‎15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．‎ ‎16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．‎ ‎ 题16 题17 题18‎ ‎17．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．‎ ‎18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．‎ ‎19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．‎ ‎ 题19 题20 题21‎ ‎20．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则 ‎△ABC的面积是______．‎ ‎21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD 面积是_________．‎ ‎22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝‎8 cm，AD＝‎8 cm，BC＝‎14 cm，‎ 则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．‎ ‎(三)认真答一答 ‎23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．‎ ‎24. 如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，‎ 求证＝．‎ ‎25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．‎ ‎26. 已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．‎ 求证：＋＝1．‎ ‎27. 如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．‎ ‎28. 如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．‎ ‎（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？‎ ‎（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．‎ 求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．‎ ‎29. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC ‎（AB＞AE）．‎ ‎（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；‎ ‎（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎30. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝‎6 cm，CA＝‎8 cm，动点P从点C出发，以每秒‎2 cm的 速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC？‎ ‎31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块‎35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以‎60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是‎40m，求小华家到公路的距离（精确到‎1m）．‎ ‎32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：‎ ‎ 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？‎ ‎ 某学生对上题作如下解答：‎ 答：△AOB∽△DOC．理由如下：‎ 在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，‎ ‎∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．‎ ‎ 请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．‎ ‎33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？‎ ‎34. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下‎2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=‎8.7m,窗口高AB=‎1.8m,求窗口底边离地面的高BC.‎ ‎35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE//BC；‎ ‎（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎36. 如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直经BD=6，连结CD、AO。（1）求证：CD∥AO；‎ ‎（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长。‎ ‎37. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD = 1，P、Q分别为AD、BC上两点，且AP=CQ，连结AQ、BP交于点E，EF平行BC交PQ于F，AP、BQ分别为方程的两根.（1）求的值（2）试用AP、BQ表示EF ‎（3）若S△PQE =，求n的值 ‎38. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=‎12cm，OB=‎6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以‎1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以‎1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（），那么：‎ O P A X Y B Q ‎（1）设△POQ的面积为，求关于的函数解析式。‎ ‎（2）当△POQ的面积最大时，△ POQ沿直线PQ翻折 后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，‎ 并说明理由。‎ ‎（3）当为何值时， △POQ与△AOB相似？‎ ‎39. 如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．‎ ‎40. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．‎ ‎41.(09延庆一模) 在Rt△ABC中，∠C=90， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D， ‎ ‎（第41题）‎ DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F ‎（1）求证:AC是⊙O的切线;‎ ‎（2）联结EF，求的值.‎ ‎42.(09东城一模) 请阅读下列材料：‎ ‎（图1）‎ 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD．请你根据以上材料，解决下列问题.‎ 已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R.（如图2）‎ ‎(1)若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；‎ ‎(2)若OP⊥AC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；‎ ‎（图2）‎ ‎(3)若AC是过点P的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：的值，并给出证明．‎ ‎（图4）‎ ‎（图3）‎ ‎ ‎ ‎43.(09昌平一模) .已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.‎ ‎（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；‎ ‎（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长.‎ ‎ ‎ ‎44.(09昌平二模) 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）．‎ ‎（1）固定△，将△绕点顺时针旋转得到△，连结（如图2）．此时线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；‎ ‎（2）设图2中的延长线交于，并将图2中的△在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△设为△（如图3）．设△移动（点在线段上）的时间为x秒，若△与△重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）若固定图1中的△，将△沿方向平移，使顶点C落在的中点处，再以点为中心顺时针旋转一定角度，设，边交于点M，边交于点N（如图4）．此时线段的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出的值；如果有变化，请你说明理由．‎ 图1 图2 图3 图4‎ ‎45.(09通州二模) 如图：是⊙O的直径，是弦，，延长到点， 使得．‎ ‎(1)求证：是⊙O的切线；‎ ‎(2)若，求的长．‎ ‎46.(09房山二模) 已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC =∠A. ‎ ‎（1）求证： BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.‎ ‎47.(09朝阳二模) 在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△（使＜180°），连接、，设直线与AC交于点O.‎ ‎（1）如图①，当AC=BC时，:的值为 ；‎ ‎（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值； ‎ ‎（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值.‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ ‎48.(09东城二模) 如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,DC⊥BC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E在下底边BC上，点F在AB 上．‎ ‎（１）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为，试用含的代数式表示△BEF的面积；‎ ‎（２）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎（３）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为１：２两部分，将△BEF的面积记为,五边形AFECD的面积记为,且求出的最大值．‎ ‎49.(09门头沟二模) ．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且BE＝2AE， BD是∠EBC的平分线．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．‎ ‎（1）当点P在线段ED上时（如图①），求证：；‎ ‎（2）当点P在线段ED的延长线上时（如图②），请你猜想三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；‎ ‎（3）当点P运动到线段ED的中点时（如图③），连结QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交BD于点G．若BC＝12，求线段PG的长．‎ ‎50.(同上)．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ．若设运动的时间为t秒 ‎（0＜t＜2）．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）设△AQP的面积为，求与之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）连结PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．‎ 参 考 答 案 ‎（一）精心选一选 ‎ 1．B 2.B 3.C 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B ‎（二）细心填一填 ‎13． 【答案】；4． 14．【提示】分a＋b＋c≠0和a＋b＋c＝0两种情况 【答案】±1．‎ ‎15．【提示】由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED． 【答案】10．‎ ‎16．【提示】延长FE交CB延长线于H点，则AF＝BH，考虑△AFG∽△CHG． 【答案】1︰5．‎ ‎17．【提示】分“”类和“”类两类． 【答案】6对．‎ ‎18． 【答案】∠B＝∠ACP，或∠ACB＝∠APC，或AC2＝AP·AB．‎ ‎19． 【答案】6．‎ ‎20．【提示】作EF∥BC交AD于F．设BE交AD于O点，先求出OD长和OB长，最后用勾股定理求出BD的长． 【答案】144．‎ ‎21． 【提示】作AE∥DC交BC于E点，由Rt△ABE∽Rt△CBA，依次算出BE、AB的长，最后求出AE的长，即可求出梯形面积． 【答案】36．‎ ‎(三)认真答一答 ‎22．【提示】延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC． 【答案】‎ ‎23．方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．‎ ‎【提示】先任意画一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数，画出另一个格点钝角三角形．‎ ‎24．【提示】过F点作FG∥CB，只需再证GF＝DF．‎ ‎【答案】方法一：作FG∥BC交AB延长线于点G．‎ ‎∵　BC∥GF，‎ ‎∴　＝．‎ 又　∠BDC＝90°，BE＝EC，‎ ‎∴　BE＝DE．‎ ‎∵　BE∥GF，‎ ‎∴　＝＝1． ∴　DF＝GF． ∴　＝．‎ 方法二：作EH∥AB交AC于点H．∵　＝，＝，‎ ‎∠BDC＝90°，BE＝EC，‎ ‎∴　BE＝DE． ∴　＝．‎ ‎25．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．‎ ‎【提示】先证△BCF∽△DBA，再证＝．‎ ‎【答案】∵　BC＝CD，EC⊥BD， ∴　BE＝DE，∠FBC＝∠D．‎ 又　AB＝AC， ∴　∠BCF＝∠DBA．‎ ‎∴　∠BCF∽△DBA． ∴　＝．‎ 又　BD＝2BC，AB＝AC， ∴　＝＝．‎ ‎∴　FC＝AC． 因此　AF＝FC．‎ ‎26．已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．‎ 求证：＋＝1．‎ ‎【提示】利用AC＝AF＋FC．‎ ‎【答案】∵　EF∥BC，FG∥AD，∴　＝，＝．‎ ‎∴　＋＝＋＝＝1．‎ ‎27．如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：‎ ‎（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．‎ ‎【提示】（1）证△BCG∽△DCG；（2）证Rt△HBG∽Rt△CFG．‎ ‎【答案】（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，‎ ‎∴　Rt△BDG∽Rt△DCG．∴　＝，即DG2＝BG·CG．‎ ‎（2）∵　DG⊥BC， ∴　∠ABC＋∠H＝90°，CE⊥AB．‎ ‎∴　∠ABC＋∠ECB＝90°．∴　∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB．∴　∠H＝∠ECB．‎ 又　∠HGB＝∠FGC＝90°，∴　Rt△HBG∽Rt△CFG．∴　＝，‎ ‎∴　BG·GC＝GF·GH．‎ ‎28．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．‎ ‎（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？‎ ‎（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．‎ 求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．‎ ‎【提示】利用三角形相似，推出BD＝．‎ ‎【答案】（1）∵　∠ABC＝∠CDB＝90°，∴　当＝时，△ABC∽△CDB．‎ 即　＝．∴　BD＝．即当BD＝时，△ABC∽△CDB．‎ ‎∵　△ABC∽△CDB，∴　∠ACB＝∠CBD．∴　AC∥ED．‎ 又　∠D＝90°，∴　∠ACD＝90°．∴　∠E＝90°．∴　四边形AEDC为矩形．‎ ‎29．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC ‎（AB＞AE）．‎ ‎（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；‎ ‎（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【提示】（1）如图，证明△AFE≌△DGE，证出∠AFE＝∠EFC．‎ ‎（2）证明∠ECG＝30°，∠BCF＝30°．‎ ‎【答案】如图，是相似．‎ ‎【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．‎ 在Rt△AEF与Rt△DEG中，‎ ‎∵　E是AD的中点，∴　AE＝ED．‎ ‎∵　∠AEF＝∠DEG，∴　△AFE≌△DGE．‎ ‎∴　∠AFE＝∠DGE．∴　E为FG的中点．‎ 又　CE⊥FG，∴　FC＝GC．∴　∠CFE＝∠G．∴　∠AFE＝∠EFC．‎ 又　△AEF与△EFC均为直角三角形，∴　△AEF∽△EFC．‎ ‎① 存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．‎ 证明：当＝时，＝，∴　∠ECG＝30°．‎ ‎∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．‎ 又　△AEF和△BCF均为直角三角形，∴　△AEF∽△BCF．‎ ‎② 因为EF不平行于BC，∴　∠BCF≠∠AFE．∴　不存在第二种相似情况．‎ ‎30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝‎6 cm，CA＝‎8 cm，动点P从点C出 发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使 S△BCP＝S△ABC？‎ ‎【提示】先求CP，再求DP．‎ ‎【答案】当点P从点C出发，运动在CA上时，若S△BCP＝S△ABC，则 ‎·CP·BC＝·AC·BC，‎ ‎∴　CP＝·AC＝2（cm）．‎ 故由点P的运动速度为每秒2 cm，它从C点出发1秒时，有S△BCP＝S△ABC．当点P从点C出发运动到AB上时，如图，可过点P作PD⊥BC于D．‎ 若S△BCP＝S△ABC，则 PD·BC＝·AC·BC．‎ ‎∴　PD＝AC＝2（cm）．‎ ‎∵　Rt△BAC∽Rt△BPD，‎ ‎∴　＝．‎ 又　AB＝＝10，‎ 故　BP＝＝，AP＝AB－BP＝10－＝7.5．‎ 也就是说，点P从C出发共行15.5 cm，用去7.75秒，此时S△BCP＝S△ABC．‎ 答：1秒或7.75秒．‎ ‎31. BC=‎50m，AM≈‎133米．‎ ‎32. 错误，∵‎ ‎33. 证△DCE∽△DBC得DC2=DE·DB再证△DEF∽△DAB得DE·DB=DA·DF ‎(2)AD·DF=DG·DC ‎34. BC=‎‎4m ‎35. 证（1）△EAC与△DBC全等,得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB 故AE//BC ‎(2) △EAC∽△DBC得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB ‎36. （1）连接BC交OA于E点 ∵AB、AC是⊙O的切线，‎ ‎∴AB=AC, ∠1=∠2 ∴AE⊥BC ∴∠OEB=90O ∵BD是⊙O的直径 ‎ ∴∠DCB=90O ∴∠DCB=∠OEB ∴CD∥AO…‎ ‎ (2)∵CD∥AO ‎ ∴∠3=∠4‎ ‎ ∵AB是⊙O的切线，DB是直径 ‎ ∴∠DCB=∠ABO=90O ‎ ∴△BDC∽△AOB ∴= ‎ ∴= ∴y = ∴0